APOSTILA 4 MÓDULO 7 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

CIP.COM 2
MÓDULO 7
OBJETIVOS:
- Adquirir conceitos de múltiplos, divisores e números primos;
- Efetuar decomposição e mínimo múltiplo comum;
- Conceituar, identificar e representar frações;
- Associar fração como divisão de dois números;
- Operar com frações (adição, subtração, multiplicação e divisão);
- Aplicar as técnicas de operações com frações na resolução de situações -
problemas.
ROTEIRO DE ESTUDO:
- Leia com atenção e observe as resoluções dos exemplos;
- Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência de
estudo;
- Confira as respostas no gabarito.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCIOS EM SEU
CADERNO.

CIP.COM 3
é filho de
significa
é pai de
2 é divisor de 10
significa
10 é divisível por 2
MÚLTIPLOS ( M ) E DIVISORES ( D )
Duas frases podem ter o mesmo significado apesar de utilizarem
palavras diferentes.
Por exemplo:
“Gabriel é filho de Marcelo”.Significa que “Marcelo é pai de Gabriel “
Na matemática isto também acontece como você pode ver no exemplo
acima.
Você sabe o que quer dizer divisível?
O conceito (idéia) de divisível vem da operação “divisão”
Ex.1: - 20 : 1 = 20
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
20 : 10 = 2
20 : 20 = 1
Ex. 2: - Quais são os divisores do nº 42?
É o conjunto D(42) = 1,2,3,6,7,14,21,42
Observe que nos dois exemplos o conjunto dos divisores
começa com o nº 1 e termina no próprio nº.
EX. 3: – E os divisores de 7?
Conjunto D(7) = 1 , 7 pois 7 : 1 = 7
7 : 7 = 1
Você pode dizer que o nº 20
é divisível por 1,2,4,5,10,20,
pois em todas as divisões efetuadas
o resto é zero
ou 1,2,4,5,10,20 são divisores de 20.

CIP.COM 4
Você reparou que no exemplo 3 os divisores são apenas dois: o nº 1 e o
próprio número?
O nº que tem apenas 2 divisores ( o nº 1 e o próprio número) é chamado
de NÚMERO PRIMO.
A seqüência de números primos é infinita. São eles:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
Copie essa seqüência em seu caderno, pois você vai usá-la mais
adiante.
MÚLTIPLOS
São determinados efetuando a multiplicação do nº pela seqüência dos
números naturais 0,1,2,3,4,5...
EX. 1: - Múltiplos de 5 ( começa sempre pelo nº zero)
5 • 0 = 0
5 • 1 = 5
5 • 2 = 10
5 • 3 = 15
. . .
. . .
. . .
Portanto conjunto M5 = 0,5,10,15,20,... é infinito ( não tem fim)
EX. 2: – Qual o conjunto dos múltiplos de 3 ?
M3 = 0,3,6,9,12,15,18, ... seqüência de 3 em 3
EX. 3: – E o conjunto dos múltiplos de zero?
M0 = 0 pois todo nº multiplicado por zero é zero.

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EXEMPLO PRÁTICO:
Um bebê precisa mamar de 3 em 3 horas. Começa à zero hora. Quais
serão os horários das mamadas do dia?
M3 = 0,3,6,9,12,15,18,21,24
Neste caso o conjunto dos múltiplos é finito pois o período foi pré
determinado.
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Decompor um número é escrever esse número em forma de
multiplicação.
EX. 1: – decomponha o nº 12
12 = 1 . 12 ou
2 . 6 ou
3 . 4 ou
2 . 2 . 3
Você pode usar o método prático para efetuar a decomposição em
fatores primos, dividindo o nº pela seqüência de nº primos já estudada
anteriormente.
Seqüência de nº primos 2,3,5,7,11,13,17,19,13,...
EX. 1: – Decomponha o nº 12 em fatores primos:
Divide apenas por nº primos.
12 2 O resultado é escrito em forma de potência
6 2
3 3 R = 2² • 3 ( 2² porque é 2 • 2 )
1
EX. 2: – decomponha o nº 60 em fatores primos.
Método prático
Divide o número por um número primo de
modo que a divisão seja exata.,
O resultado da divisão escreve na linha
debaixo,
Divide novamente pelo mesmo número
primo ou pelo próximo da seqüência.
60 2 2²
30 2
15 3
5 5 R = 2² . 3 . 5
FATORES são os números que se multiplicam.
.
FATORES PRIMOS - multiplicação de
números primos.

CIP.COM 6
2
2
3
3
3
EX. 3: – decomponha o nº 108
108
54
27
9
3
2²
3³
R = 2² . 3³
1 não esqueça de escrever a resposta.
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Menor múltiplo pertence a dois ou mais números
Dado dois ou mais números você pode determinar qual é o menor
múltiplo que pertence aos conjuntos dos múltiplos dos números dados.
Qual é o mínimo múltiplo comum (m.m.c) dos números 12 e 4 ?
M12 = {0,12,24,36...}
M4 = {0,4,8,12,16,20...}
m.m.c (4,12) = 12 ( múltiplo que pertence aos dois números )
Unindo o conceito de múltiplo com a decomposição em fatores primos
você pode usar uma técnica prática para calcular o m.m.c.
EX.1: 4, 12 2
2, 6
1, 3
1, 1
2
3 efetue a multiplicação
12 = m.m.c
Ex. 2: m.m.c (4,5,15)
4, 15, 5 2 Você percebeu que a divisão tem que
2, 15, 5 2 ser exata. Quando não der para dividir
1,15, 5 3 “ abaixa” o número.
1, 5, 5 5
1, 1, 1 60 = m.m.c.

CIP.COM 7
APLICAÇÕES PRÁTICAS
1- Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. Um de 2 em 2 horas; outro de 3
em 3 e o último de 4 em 4 horas. Após serem tomados à zero hora, depois de
quanto tempo eles serão tomados novamente juntos?
m.m.c (2,3,4) 2 , 3 , 4 2
1 , 3 , 2 2
1 , 3 , 1 3
1 , 1 , 1 12
Depois de 12 horas.
Copie e resolva em seu caderno:
1) Decomponha os números:
a) 60
b) 150
c) 55
2)Calcule o m.m.c. dos números:
a) m.m.c. ( 12 , 8 ) c) m.mc.(6,3,9) e) m.m.c.( 8,5)
b) m.m.c. ( 6 , 10 , 12 ) d) m.m.c.(10,8,160) f) m.m.c.( 2,3,6)
3) Em um país as eleições para presidente são de 4 em 4 anos e para
senadores de 6 em 6.
Em 1990 houve eleição para os dois cargos. Depois de quanto tempo
isto acontecerá novamente e em que ano?

CIP.COM 8
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÃO
INTRODUÇÃO
Até agora você estudou e trabalhou com os números inteiros positivos e
negativos. Agora, neste módulo você conhecerá os números fracionários,
utilizados para representar quantidades não inteiras.
O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais.
Observe o exemplo:
A figura abaixo representa um inteiro
Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma desses partes (pedaço)
representará a fração (
1
) do inteiro.
3
Observe os desenhos abaixo:
1 2 3
3 3 3
Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi
dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas).
Cada número que compõe a fração recebe um nome especial.
Ex.: 2 numerador (quantas partes considerei)
3 denominador (quantas partes o inteiro foi dividido)
4) Veja a figura abaixo e responda::
É uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.
a) Qual a fração que representa 1 pedaço de pizza ?
b) Na fração
4
, quantas partes considerei?
8
c) Qual é a fração que corresponde a pizza inteira?
ou 1/3
1
3

CIP.COM 9
LEITURA:
Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o
denominador.
Observe: Ex.:
3
lê-se três quintos.
5
Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex
Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex
3
três meios
2
2
dois terços
3
Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex
1
um quarto
4
Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10
(décimo).
A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”.
Exemplos: 4 = quatro onze avos b) 7 = sete treze avos
11 13
FRAÇÃO É DIVISÃO:
O traço de fração ou barra ( ) também significa “divisão” pois:
4
= 1 inteiro 4
4
0 1
10
= 5 inteiros 10
2
0 5
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES:
Você pode simplificar uma fração, isto é, deixar os números menores,
dividindo sucessivamente os termos (numerador e denominador) por um
mesmo número.
Observe: 48:2
= 24:2
= 12:2
= 6:3
= 2 fração irredutível
72:2
36:2
18:2
9:3
3
FRAÇÕES SIMPLIFICADAS
ou 48:12
= 4:2
= 2 ou 48:24
= 2
72:12
6:2
3 72:24
3
4 2
Quando não
dá mais para
simplificar.

ações:
2 4
www.ceesvo.com.br
Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode
utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo
número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja
sempre exato, não sobre resto nas divisões.
5) Simplifique as frações até torná-las irredutíveis:
a) 12 b) 9 c) 15
16 18 20
REDUÇÃO A UM MESMO DENOMINADOR:
Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e
precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador.
Para isso é necessário que você:
1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste
módulo );
2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador;
3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração;
4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores.
Observe o exemplo abaixo:
Ex.: Reduza ao mesmo denominador as fr
2 , 3 , 2
3 1º) m.m.c 3, 2, 4
3, 1, 2
3, 1,1
1, 1, 1
2
2
3 (multiplica)
12
4º) Multiplica 2 , 3 , 2
3 2 4
novo denominador 3º) Divide
8 , 18 , 6
12 12 12
Modo prático
Divide o novo denominador pelo nº
debaixo e multiplica o resultado pelo nº
de cima. O resultado final será o novo 10
numerador.

CIP.COM 11
3
8
6) Reduza ao mesmo denominador ( nº debaixo) as frações:
a) 5 , 3
3 7
b) 7 , 2 , 5
8 3 12
c) 4 , 3 , 5
2 3
Observação: no exercício letra c, coloque o n.º 1 embaixo do
4 como denominador para poder fazer a divisão
Comparação de frações
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade (
igual ) ou de desigualdade entre esses números.
Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos:
< (menor) ou > (maior)
1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador:
Observe os desenhos e compare:o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço
“b”
a) 7
8
b)
7 > 3 leia: sete oitavos é maior do que
8 8 três oitavos
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que
tem o maior numerador (nº de cima)..
2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes:
Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma
quantidade de inador.pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo den
3 e 2 m.m.c de 6 e 3. = 6 6 , 3
om
3
3 6 3 2 , 1 2
6 1 6
3 , 4 então 3 < 4
6 6 6 6
2
3

CIP.COM 12
7) Usando o conceito de igual, maior ou menor responda reduzindo ao
mesmo denominador quando for necessário:
a) Maria comeu
2
de uma pizza e João comeu
3
5
. Quem comeu menos?
8
Para você responder com certeza terá que reduzir ao mesmo
denominador as duas frações e depois compará-las.
b) Complete com os sinais de igual (=), maior (>) ou menor ( < ) :
I ) 3 15 II ) 2 1 III ) 2 -7
6 30 4 3 3 5
Operações com frações:
Você já aprendeu que fração é um número que representa
parte(s) do inteiro. Agora você vai aprender a resolver situações
problemas que envolvem números fracionários. Para isso terá que
saber operar (fazer conta) com esses números.
Adição e Subtração de Frações
Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações
devemos considerar dois casos:
1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo
denominadores:
Exemplo:
Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços.
Quanto sobrou?
3 - 2 = 1
3 3 3
CONSIDERE A PIZZA
INTEIRA COMO = 3
3

CIP.COM 13
Logo, sobrou 1 da pizza.
3
Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador
devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os
numeradores e manter o mesmo denominador.
2º caso – As frações têm denominadores diferentes:
TÉCNICA para ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO
1º) determine o m.m.c. dos denominadores (nºs debaixo)
2º) o resultado do m.m.c. será o novo denominador
3º) divida o novo denominador pelo nº debaixo e multiplique pelo nº de cima
de cada fração
4º) efetue a adição ou subtração dos numeradores (nºs de cima).conservando
o denominador.
Exemplo:
Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina
e sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram
juntos?
multiplica
divide
2 + 3 =
3 4
8 + 9 = 17
12 12 12
Você deve encontrar o m.m.c.
dos denominadores 3 e 4
3,4 2
3,2 2
3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12
1,1 Observe as flechas ao lado.
Elas mostram as operações que você
deve fazer.
Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas.
12
Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes,
devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para
depois efetuar a soma ou subtração.
Os dois exemplos a seguir mostram os dois casos e as maneiras
diferentes de serem efetuados.

CIP.COM 14
1-) Um agricultor tem um sítio e quer plantar
1
da área com feijão e
5
2
com
5
milho. Qual a fração que representará a área plantada?
Se você pensou 1 + 2 = 3 acertou!
5 5 5
(Se têm denominadores iguais, conserva o denominador e soma os
numeradores.)
2-) Esse mesmo agricultor após a colheita vai novamente plantar 1/3 da área
com feijão e 2/5 com milho. Qual a fração que representará a área plantada?
Agora complicou! Você percebeu que os denominadores são
diferentes, portanto a área foi dividida em “pedaços de
tamanhos diferentes”.
Pense. Você já aprendeu a fazer com que os denominadores
fiquem iguais, então, calcule o m.m.c. dos denominadores.
1 + 2 =
3
5 para resolver reduza ao mesmo denominador:
plantada.
A subtração é efetuada usando a mesma regra da adição.
3) Dos
4
da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar
5
1
para plantar
5
mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações?
4 – 1 = 3
5 5 5
Área destinada ao plantio
Resposta.
Outras plantações
3
da área sobrará para as outras plantações.
5
3 , 5 3
5 + 6 = 11 1 , 5 5 x
15 15 15 1 , 1 15
Resposta .
11 é a fração que representará a área
15

CIP.COM 15
Não se esqueça!
Denominadores diferentes,
calcule o m.m.c.para reduzir
ao mesmo denominador.
“Juntando” duas frações
negativas resulta negativo
4) Dos
2
da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar
4
1
para o pasto
5
de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras
plantações?
2 – 1 = 4 , 5 2
4 5 2 , 5 2
1 , 5 5
10 – 4 = 6 1 , 1 20
20 20 20
Resposta:Deixará
6
( simplificando por 2) a resposta será:
20
3
para outras plantações.
10
Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e
positivas observe as regras dos sinais
I-) Mesmo denominador.
a-) 1 + 3 = 4 c-) 4 – 6 = –2
6 6 6 5 5 5
b-) 6 – 5 = 1 d-) –2 – 1 = –3 = -1
7 7 7 3 3 3
II -) Denominadores diferentes ( não esqueça do m.m.c. para reduzir ao
mesmo denominador):
a) 3 + 2 = b) -1 - 3 =
6 5 8 5
15
+
30
12
=
30
27
– 5
–
30 40
24
= – 29
40 40
c) – 7 + 1 =
9 5
–
35
+
45
9
= –
26
45 45
negativo porque vale a
regra de sinais onde o
negativo é maior do
que o positivo
foiresultadoO
fração representa o
inteiro, pois fazemos
a divisão de 3 por 3
= 1
ao
adenominador
Quando o numerador
é igual
Observe os sinais das frações: o negativo é
maior do que o positivo, portanto “sobra”
negativo.

CIP.COM 16
Nas operações com frações
colocamos o n.º 1 embaixo do
n.º inteiro.
8) De acordo com o que você aprendeu até agora, resolva as adições e
subtrações de frações:
a) 1 + 4 = c) 9 - 2 =
3 3 2 3
b) 7 + 2 = d) – 1 – 3 =
5 8 2 4
Multiplicação de frações
Regra Prática:
- multiplique os numeradores (nºs de cima);
- multiplique os denominadores (nºs debaixo);
- observe os sinais das frações para usar a regra.
Sinais iguais resulta positivo.
Sinais diferentes resulta negativo.
1-) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, 3 são produtivas.
7
Qual é a fração que representa toda a terra produtiva?
DICA IMPORTANTE!
Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada
é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro
3
de 5 então:
7
3
•
5
=
7 1
15
Resposta:
7
15
representa a parte produtiva das 5 fazendas.
7
306 5
–
3
• –
8
= +
24
5 7 35
8
Ex:
4
•
2
=

CIP.COM 17
2-) Um fazendeiro vai plantar
3
da área da fazenda. Já plantou
5
2
dessa
6
área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em
relação a área da fazenda?
3 • 2 = 6 multiplique os numeradores
5 6 30 multiplique os denominadores
Resposta:A fração que representa a parte plantada com soja em relação a
fazenda inteira é
6
( ou simplificando por 6) apenas
1
.
30 5
Divisão de frações
Regra Prática:
- Copie a primeira fração;
- Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•);
- Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o
denominador;
- Multiplique os numeradores;
- Multiplique os denominadores;
- Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma
da multiplicação.
Exemplo:
1º) A metade (
1
) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes
2
iguais. Qual a fração que representa cada parte?
1 : 6 = 1 . 1 = 1
2 1 2 6 12
R. Cada parte é representada por
1
.
12
Observe que:
1- a divisão foi transformada em
multiplicação
2- a segunda fração foi invertida

CIP.COM 18
9) Efetue as multiplicações e divisões de frações:
a) 2 • 5 = c) 2 : 1 =
3 8 5 3
b) 1• 3 • 5 = d) 7 : 4 =
2 4 7 10 6
Potenciação
(multiplicação com o mesmo número)
Regra prática:
- Efetue a potenciação do numerador, multiplicando pelo mesmo número
tantas vezes quanto for o número do expoente;
- Efetue a potenciação do denominador.
1-) Qual é a área de um quadrado cujo lado é ½ m de lado?
A área do quadrado é: A = L²
½ m A = (1/2)² = 1² = 1• 1= 1 m²
2² 2•2 4
Para efetuar a potenciação de fração você deve elevar o numerador e o
denominador ao expoente dado e calcular o resultado:
Ex. 5 ³ = 5³ = 5 • 5• 5 = 125
4 4³ 4 • 4 •4 64

CIP.COM 19
9
16
7
10
9
16
25
4
Radiciação de frações:
Regra prática:
- Determinar a raiz do numerador;
- Determinar a raiz do denominador.
Exemplo: = =
3
pois
4
3.3
4.4
10) Calcule: a)
2 3
= b) =
c) = d) =
Usando o conceito de fração onde o denominador identifica em quantas
partes está dividido o inteiro e o numerador quantas partes está sendo
tomado. Pense no problema abaixo e veja como foi resolvido.
Uma granja tem 2400 aves. Destas
3
são galinhas.
5
a)Qual a quantidade de galinhas?
b) Qual a fração que representa os frangos?
c) Qual a quantidade de frangos?
Resolução:
a) 2400 5 480
480 x 3
1440 galinhas
representa o inteiro
b)
5
-
5
3
=
2
representa os frangos
5 5
d) 2400 – 1440 = 960 frangos
9
16
2
5

CIP.COM 20
Você percebeu que para cada tipo de operação com frações há uma
técnica específica.
No quadro a seguir você terá um resumo dessas técnicas para usar em
cada operação usada para resolver os exercícios e problemas a seguir.
RESUMO DAS TÉCNICAS DE OPERAÇÕES DE FRAÇÕES
:
Adição e subtração
(tem que ter o mesmo
denominador)
- M.m.c. dos denominadores;
- O resultado do m.m.c. será o
novo denominador;
- Divida o novo denominador
pelo nº debaixo e multiplique
pelo nº de cima de cada
fração;
- Efetue a adição ou subtração
dos numeradores
conservando o nº do
denominador.
Divisão
- Copie a primeira fração;
- Transforme a divisão em
multiplicação;
- Inverta a segunda fração;
- Multiplique os numeradores;
- Multiplique os denominadores.
Potenciação
Multiplicação
- Multiplique os numeradores
(nºs de cima);
- Multiplique os denominadores
(nºs debaixo).
- Efetue a potenciação do
numerador, multiplicando pelo
mesmo número tantas vezes
quanto for o número do
expoente;
- Efetue a potenciação do
denominador.
Radiciação
-
- Determine a raiz do
numerador;
- Determine a raiz do
denominador.

CIP.COM 21
11) Resolva os problemas em seu caderno lembrando que cada operação
com fração tem uma regra própria. Confira as respostas no gabarito:
I) Um aluno já executou
tarefa que resta fazer?
4
da tarefa de matemática. Qual a fração da
7
LEMBRE-SE!!
A fração que representa o inteiro tem denominador
igual ao numerador. Neste caso o inteiro é
7
7
II) Tenho uma divida de R$ 250,00. Já paguei
7
. Quanto estou devendo?
10
Observação: A dívida está dividida em 10 prestações
III) Em uma panela há
6
do Kg (quilograma) de pipoca estourada. Quero
8
repartir (dividir) em saquinhos de
comprar?
1
do Kg. Quantos saquinhos devo
4
IV) Em um pomar há três tipos de árvores frutíferas sendo que
1
são
4
laranjeiras,
2
são jabuticabeiras e
5
2
são limoeiros. Qual a fração que
10
corresponde ao total (soma) de árvores desse pomar?
v-) João Carlos é operário e ganha R$ 1400,00 por mês. Gasta
1
desse
4
dinheiro com aluguel e
2
(desse dinheiro) com a alimentação da família.
5
a) Qual é a fração que representa o total de gastos de João Carlos ?
b) Quanto dinheiro ela representa?
c) Qual o valor do aluguel? (
1
desse dinheiro)?
4
d) Quanto gasta com a alimentação? (
2
de R$1400,00)
5

CIP.COM 22
GABARITO
1) a) 2² . 3 . 5
b) 2 . 3 . 5²
c) 5 . 11
2) a) 24 c) 18 e) 40
b) 60 d) 160 f) 6
3) 12 anos em 2002
4) a)1/8 b ) 4 partes c ) 8/8
5 ) a ) 3/4 b ) 1/2 c ) 3/4
6 ) a ) 35 , 9 b ) 21, 16, 10 c) 24, 9,10
21 21 24 24 24 6 6 6
7) a ) João
8) a)
5
b)
66
c)
23
d) -
5
3
9) a)
10
b)
24
40
15
c)
56
6 4
6
d) 42
5 40
10) a)
4
b)
25
343
c)
1000
3
d)
5
4 2
11) I ) 3/7 II ) R$ 75,00 III ) 3 saquinhos IV ) 17/20
V ) a )
13
b) R$ 910,00 c) R$ 350,00 d) R$ 560,00
20

CIP.COM 23
MÓDULO 8
OBJETIVOS:
No final desta Unidade de Ensino (U.E.), o aluno deverá :
Entender uma razão como o quociente de dois números racionais em
que o segundo é diferente de zero;
Reconhecer se duas razões formam uma proporção;
Resolver problemas simples que envolvem escalas;
Resolver uma situação problema envolvendo grandezas
proporcionais, utilizando a regra de três;
Resolver problemas simples de porcentagem e problemas que
envolvem cálculo de juros simples.
ROTEIRO DE ESTUDO:
- Leia com atenção observando e acompanhando as resoluções dos
exemplos.
- Faça os exercícios do módulo no caderno seguindo a seqüência
de estudo,
- Confira as respostas no gabarito.
NÃO ESCREVA NA APOSTILA. FAÇA OS EXERCÍCOS EM SEU
CADERNO

CIP.COM 24
RAZÃO, UMA GRANDE INVENÇÃO.
Dos 50 alunos de uma sala de computação, 20 são
homens e 30 são mulheres. Qual é a relação entre o
número de homens e o número de mulheres?
número de homens = 20 : 10 = 2
número de mulheres= 30 : 10 3
Você pode concluir que:
- para cada 2 homens há 3 mulheres que estão na sala,ou o número de
homens (2) está para o número de mulheres (3) ou simplesmente 2 está
para 3.
.
A expressão 2 está para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada
por 2 ou 2 : 3.
3
RAZÂO serve para comparar quantidades entre duas grandezas.
No exemplo acima as duas grandezas são: HOMENS e MULHERES.
Veja o exemplo abaixo:
Se você comparar as quantidades de
gatos com as quantidade de cães, você
têm as grandezas: GATOS e CÃES e a
razão
3
ou seja: três está para
4
quatro(para cada 3 gatos têm 4 cães)
1) Escreva a razão simplificando quando for possível:
a) 20 para 50 b) 10 para 40
2)Em um hospital tem 16 pacientes para 2 enfermeiros. Qual a razão
entre o número de pacientes e o número de enfermeiros?
Simplificando,
isto édividindo
por um mesmo
número

CIP.COM 25
RAZÕES INVERSAS
Para determinar a razão entre o número de homens (20) e o número de
mulheres (30) da sala de computação do primeiro exemplo, você fez
20
, que
30
depois de simplificado ficou a mesma coisa que
2
(dois está para três).
3
Se você quer determinar a razão entre o número de mulheres (30) e o
número de homens (20), é só fazer
30
, que simplificando por 10 é a mesma
20
coisa de
3
(três está para dois).
2
As razões
3
e
2
são chamadas de inversas entre si.
2 3
O produto (multiplicação) de duas razões inversas é igual a 1.
3
•
2
=
6
= 1
2 3 6
3) Pedro fez uma prova que continha 10 questões de Português e 20 de
Matemática.
a) Qual a razão entre as questões de Português e Matemática?
b) Qual a razão entre as questões de Matemática e Português?
4) Ache a razão inversa de:
a) 3 b) 2 : 5 c) 4 : 1
4
ALGUMAS RAZÕES ESPECIAIS
Você já deve ter ouvido falar ou lido em algum lugar os termos
velocidade média, densidade demográfica e escala.
Na verdade, elas são razões especiais, que utilizamos com freqüência
no dia-a-dia. Vamos então ver qual o significado de cada uma.
VELOCIDADE MÉDIA
Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e
o tempo gasto para percorrê-lo.

CIP.COM 26
Isto significa
que têm 621 hab.
em 1 Km²
177
EXEMPLO:
A velocidade média de um carro que percorre 300 Km em 5 horas é dada
pela razão:
300km
= simplificando por 5 =
5horas
60km
1hora
ou 60 Km/h (sessenta km por hora)
5) Calcule a velocidade média de um carro que percorreu 210 Km em 3
horas.
DENSIDADE DEMOGRÁFICA
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma
região e a área dessa região.
Exemplo: A cidade de Votorantim (SP) tem uma área aproximada de
177Km² e segundo os dados de 2003 do IBGE a população está
aproximada em 110000 habitantes. Portanto, a densidade demográfica de
Votorantim é dada por:
População = 110000 = 621 hab/Km²
Área 177
110000 faça esta operação na calculadora
6) O censo de 2000 estimou a população do estado de São Paulo em
36351316 habitantes. Calcule a densidade demográfica desse estado da
região Sudeste, sabendo que a área total é de 248811Km².
Faça na calculadora.

CIP.COM 27
ESCALA
Escala é a razão entre a medida do comprimento no desenho e a
medida do comprimento real.
Exemplo:
Se a planta ou croqui (desenho) de uma casa está na escala de 1:100 ou
1
(1 para 100), significa que para cada 1cm do desenho corresponde a 100
100
cm na dimensão real.
Observe:
A planta a seguir foi desenhada na escala 1:100cm:
6cm
4,5cm 3,5cm
Agora, responda:
Quais são as dimensões reais (comprimento e largura) da cozinha, da sala
e do quarto A dessa casa.
Se você respondeu que as dimensões reais da cozinha são 3m por 6m,
da sala são 6m por 3,5m e do quarto são 3m por 2,5m, acertou!!!
Lembre-se!!
100cm=1m
quarto A
3cm
banheiro
1,5cm
2,5cm
6cm
sala
2,5cm
3cm
cozinha
1cm corredor
quarto B

CIP.COM 28
A proporção no dia-a-dia:
PROPORCIONALIDADE
Fernando e Alex apostaram juntos numa loteria esportiva e foram
premiados. Como eles devem dividir o prêmio de R$ 500 000,00, se as
importâncias que Fernando e Alex apostaram estão na razão 2 para 3?
Como as quantias que eles apostaram estão na razão de
concluir que:
- Fernando vai receber 2 partes portanto R$ 200 000,00
- Alex vai receber 3 partes portanto R$ 300 000,00.
2
é fácil
3
A igualdade entre as razões
2
=
3
200000,
300000
é uma proporção.
A proporção também pode ser indicada da seguinte maneira:
2 : 3 = 200000,00 : 300000,00
Veja um exemplo prático de proporção:
Você sabe que uma foto 3 X 4 tem 3cm de base (largura) e 4 cm de
altura (comprimento) . Do mesmo modo, uma foto 6 X 8 tem 6 cm de base e
8 cm de altura.
Observe as fotos da figura abaixo:
Qual é a razão entre a base e a altura da foto menor? E entre a base e a
altura da foto maior?
Base da foto menor = 3 = 0,75 (3 dividido por 4)
Altura da foto menor 4
Base da foto maior = 6 = 0,75
Altura da base maior 8

CIP.COM 29
Como
3
=
6
, ou seja, três está para quatro assim como seis está para
4 8
oito, podemos concluir que existe uma proporção entre as medidas das duas
fotos.
A igualdade entre as razões
3
=
4
proporção.
6
forma uma
8
Você observou que o
resultado das divisões (3:4 e
6:8) são iguais?
Isto mostra que as fotos têm
tamanhos proporcionais.
Na proporção 3 : 4 = 6 : 8, os números e 4 e 6 são chamados de meios:
e 3 e 8 são chamados de extremos
DESAFIO:
Medindo os lados das 2 fotos, verifique se elas são proporcionais (use a
régua) e responda as questões abaixo:
a) Os lados são proporcionais? .
.........
b) ABCD é ampliação de EFGH? ....

CIP.COM 30
Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto (multiplicação) dos meios é igual ao
produto dos extremos.
Exemplo:
3 = 6
4 8 O produto dos extremos é 3 • 8 = 24
O produto dos meios é 4 • 6 = 24
Os dois produtos são iguais portanto, formam uma proporção.
7)Verifique se as razões formam uma proporção. Utilize a propriedade
fundamental das proporções:
a) 2 e 10 b) 2 = 3
5 25 8 4
CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO OU
APLICAÇÃO DA “ REGRA DE TRÊS”
Com a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios
é igual ao produto dos extremos), tornou-se simples determinar o valor
desconhecido de um dos termos da proporção.
Veja qual o valor de X (termo desconhecido) nas proporções a seguir:
a) 3 = X
4 8
Pela propriedade fundamental: Produto dos meios = produto dos extremos
4 . X = 3 . 8 (calculando o valor de X)
Então: 4 . X = 24
X = 24 : 4
X = 6
Use a operação inversa
da multiplicação que é a
divisão.
Multiplique
cruzado

CIP.COM 31
8) Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido (X) nas
proporções:
a) 2 = X c) 12 = 15
8 12 X 5
b) 5 = 25 d) X = 9
6 X 6 2
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
O que são grandezas diretamente proporcionais?
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ambas
aumentam ou diminuem seus valores ou quantidades.
1 º Exemplo:
Se um padeiro faz 60 pães com 5 Kg de farinha, quantos pães ele fará
com 8 Kg de farinha?
É fácil perceber que, aumentando a quantidade de farinha (primeira
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também aumentará.
Logo, as duas grandezas:quantidade de farinha de trigo e quantidade de
pães são diretamente proporcionais.
Para resolver esse problema você deve:
- montar uma tabela com duas colunas correspondentes a cada grandeza;
- escrever os números nas respectivas colunas;
- analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;
- resolver para calcular o termo desconhecido.
Veja a montagem:
Quantidade de pães Quantidade de farinha
60
X terá que aumentar
5 Kg
8 Kg aumentou

CIP.COM 32
Observe que:
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando as duas aumentam ou as duas
diminuem.
Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
60
=
5
X 8
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
60 = 5 5• X = 60 • 8
X 8 5• X = 480
X = 480 X = 96
5
Com 5 Kg de farinha o padeiro fará 96 pães
2º Exemplo:
Um padeiro faz 80 pães com 20Kg de farinha de trigo. Quantos pães fará
com 3 Kg de farinha?
Quantidade de pães Quantidade de farinha
80
X terá que dimimuir
20 Kg
3 Kg diminuiu
É fácil perceber que diminuindo a quantidade de farinha (primeira
grandeza), a quantidade de pães (segunda grandeza) também diminuirá.
As duas grandezas: quantidade de farinha de trigo e quantidade de pães
são diretamente proporcionais.
Então:
80
X
20
20 • X = 80 • 3
3
20 • X = 240
X =
240
X = 12
20
O padeiro fará 12 pães.
=

CIP.COM 33
9) Resolva os problemas de acordo com os exemplos:
a) Roberto comprou 15 lápis por R$ 5,00. Se comprasse 36 lápis, quanto
pagaria?
b) Uma torneira leva 5 horas para encher uma caixa d’água de 1000 litros
de capacidade. Quantas horas levará essa torneira para encher uma caixa
d’água de 3000 litros de capacidade?
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
O que são grandezas inversamente proporcionais?
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma
grandeza aumenta e a outra diminui ou vice-versa: uma diminui e a outra
aumenta.
1º Exemplo:
Mário fez uma viagem de carro em 20 horas com uma velocidade média
de 60Km/h. Qual será a velocidade média para fazer essa mesma viagem
em 15 horas?
Tempo gasto (h) Velocidade média
(Km/h)
20
15 diminuiu
Você percebeu que para
velocidade média do carro
60
X terá que aumentar
diminuir o tempo de viagem (horas) a
deve aumentar, portanto enquanto uma
grandeza diminui a outra grandeza aumenta.
Dizemos então, que as grandezas velocidade e tempo são inversamente
proporcionais. Para resolver o problema temos que inverter uma das
razões correspondente a uma das grandezas. Pode ser a coluna do X ou a
outra.
20
=
15
60
invertendo uma das colunas
X
= 15 • X = 20 • 60
15 • X = 1200
X =
1200
então X = 80
15
A velocidade média do carro será de 80Km/h.
15
=
60
20 X

CIP.COM 34
Uma grandeza é inversa da outra,
logo são inversamente proporcionais.
2º Exemplo:
Para reformar a quadra de esportes de uma escola, 2 pedreiros vão
trabalhar 24 dias. Em quantos dias 6 pedreiros poderão fazer esse mesmo
serviço?
Temos:
Número de pedreiros Tempo (dias)
2 24
6 X
aumentou diminuiu tem que
inverter a razão
Se você aumentar a quantidade de pedreiros vai diminuir a
quantidade de dias gastos na reforma.
Uma grandeza (pedreiros) está aumentando enquanto que a outra
(dias) está diminuindo.
Invertendo uma das razões da proporção 2 = 24
2 = X 6 X
6 24
6 • X = 2 • 24
6 • X = 48
X =
48
X = 8
6
Assim, 6 pedreiros podem fazer o mesmo serviço em 8 dias.
ATENÇÃO! DICA IMPORTANTE!
Quando uma das grandezas for o TEMPO (horas, dias, etc) geralmente é
inversamente proporcional.

CIP.COM 35
10) Resolva os problemas em seu caderno de acordo com os exemplos:
a) 6 homens constroem uma casa em 90 dias. Quantos homens são
necessários para construir essa casa em 60 dias, no mesmo ritmo de
trabalho?
b) Um automóvel a 50Km/h vai de uma cidade a outra em 6 horas. Qual
deve ser a velocidade do automóvel para percorrer a mesma distância em
4 horas?
PORCENTAGEM
A expressão por cento é familiar. Você a vê, praticamente em todos os
dias nos jornais e na televisão.
A expressão por cento quer dizer “por um cento ou cem”. Assim quando
você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de verão com
40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você tem um
desconto de 40 reais para cada 100 reais do preço do artigo.
Isto nos leva então a estabelecer a razão
40
.
100
Assim: 40% é o mesmo que
40
100
Qual é o significado do símbolo %?
O símbolo % usado nas manchetes desse jornal, significa por cento.
Acompanhando um número indica a centésima parte desse número.
Assim:
6 % ou
6
= 0,06
100
16,85% ou
16,85
= 0,1685
100
5,82% ou
5,82
100
= 0,0582

CIP.COM 36
Qual é o valor de 80% de 60?
Veja o exemplo abaixo:
Em uma partida de basquete Hortência acertou 80% dos 60 arremessos que
efetuou. Quantos arremessos ela acertou?
Resolver esse problema significa responder a questão: Quanto vale 80%
de 60?
Solução:
Como 80% =
80
ou 0,80 você pode calcular usando a fração ou o nº
100
decimal fazendo:
80
• 60 =
100
4800
= 48 ou 0,80 . 60 = 48
100
Você também pode usar a regra de três ou propriedade fundamental
da proporção.
80
100
100 • X = 80 • 60
100 • X = 480
X =
480
X = 48
100
Hortência acertou 48 arremessos que correspondem aos 80%.
11) De acordo com o exemplo resolva os problemas de porcentagem:
a) 70% dos alunos da classe de Laura sabem nadar. Quantos alunos
sabem nadar, se a classe de Laura tem 40 alunos?
b) De um total de 30 alunos, 20% foram reprovados. Quantos alunos foram
reprovados?
c) O preço de um aparelho de som é R$500,00. Durante uma liquidação, a
loja anunciou um desconto de 20%. Nessas condições:
I) Qual é a quantia que corresponde ao desconto?
II) Qual é o preço do aparelho com o desconto?
Confira as respostas no final do módulo.
=
X
60

CIP.COM 37
JUROS
Os juros fazem parte do nosso dia-a-dia.
Uma ótica está vendendo óculos nas seguintes condições:
R$ 200,00 à vista ou em 4 parcelas de R$ 70,00. Desse modo o preço
dessa mercadoria a prazo sobe. Por que isso acontece?
O preço dessa mercadoria, à vista, é diferente do preço a prazo, porque
estão sendo cobrados juros pelo parcelamento da dívida.
O juro é uma compensação em dinheiro que a empresa cobra por estar
parcelando a dívida para o cliente.
No caso das aplicações financeiras (poupança), o cliente é que
empresta dinheiro ao banco e, por esse empréstimo, recebe uma quantia
de juros.
A dívida que uma pessoa contrai quando compra uma mercadoria a
prazo ou, a quantia que investe quando faz uma aplicação financeira é
chamada de capital.
A soma do capital e juros é chamada de montante.
Assim, podemos dizer que:
Juro (j) é uma compensação para mais ou para menos, em dinheiro, que
se paga ou que se recebe.
O capital (c) é o dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado.
A taxa (i) é o índice de porcentagem que se paga ou que se recebe pelo
aluguel do dinheiro.
O tempo (t) é o tempo pelo qual o capital fica emprestado.
Exemplo:
Sérgio emprestou R$2 000,00 de um banco por 4 meses a uma taxa de
3% ao mês.
a) Qual a quantia que ele pagará de juros?
b) Qual o total que terá de pagar no final do empréstimo?

CIP.COM 38
Solução:
a) Vamos calcular quanto de juros por mês:
3% de 2000,00 = 3 = X ou 3 . 2000,00
100 2000,00 100
X = (3 . 2000,00) : 100
X = 60,00
Como o empréstimo foi feito em 4 meses, temos:
4 • 60,00 = 240,00
b) Ao todo irá pagar:
2000,00 + 240,00 = 2240,00
R.: Sérgio pagará R$240,00 de juros num total de R$2 240,00.
12) Resolva em seu caderno os problemas e confira as respostas no final
deste módulo:
a) Qual o juro produzido por R$ 2800,00 em 3 meses da aplicação, a 7%
ao mês?
b) Marcos comprou uma bicicleta por R$ 180,00. Pagará em 6 meses, por
isso o vendedor cobrará juros à base de 3% ao mês. Quanto ele pagará de
juros e qual o total que pagará pela bicicleta?

CIP.COM 39
GABARITO:
1) a) 2 b) 1
5 4
2) 16 = 8 3) a) 10 = 1 b) 20 = 2
2 20 2 10
4) a) 4 b) 5 c) 1
3 2 4
5) 70 Km/h
6) 146,1 hab/Km²
7) a) Sim formam proporção, porque 50 = 50
b) Não formam proporção, porque 8 24
8) a) X = 3 c) X = 4
b) X = 30 d) X = 27
8) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas
9) a) Pagaria R$12,00 b) Levará 15 horas
10) a) São necessários 9 homens.
b) A velocidade deve ser de 75Km/h.
11) a) Sabem nadar 28 alunos.
b) Foram reprovados 6 alunos.
c) I )desconto de R$100,00.
II ) Preço do aparelho R$ 400,00.
12) a) Juro de R$ 588,00.
b)Pagará de juros R$ 32,40 e total de R$ 212,40.

CIP.COM 40
Bibliografia:
Desenhos ilustrativos tirados dos livros:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano,
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS.
6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
COLABORAÇÃO:
- Adriana Moreira Molinar
- Esmeralda Cristina T. Ramon
- Rosimeire Maschetto Nieri
- Sara M. Santos
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes

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