Ptt digital [modo de compatibilidad]

UNITAT 6: ELECTRÒNICA DIGITAL

Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics
Taules de veritat

Cristina Rodon Balmaña 1/29
Departament de Tecnologia


Sistemes digitals
Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics
Taules de veritat

Sistemes analògics
Els sistemes analògics són els que treballen amb
senyals continus o alterns: la informació pot adquirir
infinits valors
Ona sinusoïdal d’un
Exemple: Corrent Continu i altern
senyal analògic
Fenòmens i les magnituds físiques: la
temperatura, la pressió, la velocitat, la
massa, el pes, el temps, el soroll, etc.

Sistemes digitals
Els sistemes digitals són els que treballen amb senyals
discontinus o digitals: treballen en dos estats o nivells, els senyals
binaris.
Representació
També s’anomenen circuits lògics: la resolució i el plantejament d’un senyal binari
d’accions s’efectua mitjançant respostes lògiques, del tipus sí o no
Exemples: la llum està encesa (sí) o apagada (no); el motor està
aturat (sí) o en marxa (no).

Definim senyal binari com una variable que només pot tenir, dos valors, que
corresponen a dos estats distints i exclusius.


Sistemes digitals Àlgebra de Boole
Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuits lògics
Taules de veritat

Introducció a l’àlgebra de Boole
Per facilitar el tractament de les variables binàries, cada un dels estats es representa amb els símbols
1 i 0 respectivament, anomenats 1 lògic i 0 lògic.

0 i 1 no representen quantitats, sinó els estats de la
variable V, és a dir: 0 = V1 i 1 = V2.

dos estats: V1 i V2

V1 = 0 V i V2 = 10 V. Quan l’interruptor
està obert es
considera en estat
0; quan l’interruptor
està tancat, en
estat 1. Per tant
podem considerar
el seus estats com
una variable
binària. Video



Taules de veritat

Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats per representar quantitats o
dades numèriques.

El sistema decimal
El sistema decimal és de base 10, de manera que utilitza deu símbols
anomenats xifres o dígits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) .

És un sistema de numeració posicional, és a dir, que el valor de cada dígit
depèn de la seva posició relativa dins de la quantitat a la qual pertany: unitats,
desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers...

Un número es representa en funció de les potències de la base, d’acord amb
la posició que ocupen els seus dígits respectius.

Exemple: una quantitat com 3056 es pot expressar de la manera següent:
3056 = 3 X103 + 0 x102 + 5 x 101 + 6 x 100
ja que: 3 x 103 = 3 x 1000 =3000
0 x 10 2 = 0 x 100 = 0
5 x 10 1 = 5 x 10 = 50 Àbac xinès que permet fer
6 x 10 0 = 6 x 1= 6 operacions aritmètiques
Total 3056 com una calculadora
digital.



Taules de veritat

El sistema binari: el bit
El sistema binari és un sistema de numeració de base 2; per tant, utilitza dos dígits, 0 i 1,
anomenats bits.
El bit, de l’expressió anglesa binary digit, és la unitat d’informació bàsica.

Abans hem vist que en els circuits elèctrics podem aconseguir variables binàries Decimal Binari
amb un interruptor (també ho podem fer amb polsadors, commutadors o relés), ja 0 0
que són elements que només tenen dos estats: obert o tancat.
1 1

En els circuits electrònics s’aconsegueixen utilitzant díodes en polarització directa 2 10
(tancat) o inversa (obert), o amb transistors en mode no lineal o en commutació, on 3 11
si està a tall (OFF) i si està saturat (ON). 4 100
5 101
És fàcil entendre que realitzar circuits elèctrics o electrònics decimals que
requereixen deu estats diferents és molt més difícil. 6 110
7 111
L’ordinador transforma qualsevol dada o instrucció en uns i zeros (procés de 8 1000
codificació), fa el tractament de la informació i després presenta els resultats en un
9 1001
llenguatge comprensible per a nosaltres (procés de descodificació), ja sigui
alfabètic, numèric o gràfic.



Taules de veritat

Conversió binària decimal

Per convertir un número del sistema binari al decimal, es multiplica cada bit pel pes que té
associat, i se sumen els resultats parcials, tal com es mostra en l’exemple següent:

1 1 0 0 1 (2
1 x 20 = 1 x 1 = 1
0 x 21 = 0 x 2 = 0
0 x 22 = 0 x 4 = 0
1 x 23 = 1 x 8 = 8
1 x 24 = 1 x 16 = 16
Total 25 (10

11001(2 = 25 (10



Taules de veritat

Conversió decimal binària

Per convertir un número decimal en binari es divideix el decimal entre 2, el resultat es torna a
dividir entre 2, i així successivament. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i totes les
restes de les divisions en ordre invers, tal com es mostra en l’exemple següent:

25 2
05 12 2
1 0 6 2
0 3 2
1 1
11001

25 (10 = 11001(2



Taules de veritat

Operacions aritmètiques amb el sistema binari

La suma i la resta en el sistema binari es fan de la mateixa manera que amb el sistema decimal,
però fent servir només els dígits 0 i 1.

Exemple
Exemples d’operacions binàries
En la suma binària
Suma 11 1 1 ® (ròssec)
tenim 4 casos:
1 0 0 1 0 0 1 (2 73 (10 1 1 1 0 1 1 (2 59 (10
+ 1 1 0 0 1 (2 + 25 (10 0+0=0
+ 1 1 0 0 0 0 (2 + 48 (10
1 0 1 0 1 0 0 (2 84 (10 0+1=1
1 1 1 1 0 0 1 (2 121 (10
1+0=1
1 + 1 = 10 ® (com 9 + 1 = 10)
I en la resta també:
Resta 1 1 0 1 0 (2 26 (10 0-0=0
1 1 0 0 1 1 (2 51 (10 –1 1 0 1 (2 – 13 (10
1 1 1 ® (préstec)
1-0=1
– 1 0 0 0 1 (2 – 17 (10
1 0 0 0 1 0 (2 34 (10 0 1 1 0 1 (2 13 (10 1-1=0
0 - 1 = 1 ® i en portem 1
(préstec)



Taules de veritat

Operacions lògiques: l’àlgebra de Boole
Les operacions amb variables binàries s’anomenen operacions lògiques i les fonamentals són la
suma lògica, el producte lògic i la inversió o negació.

Per tant, l’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer
operacions lògiques amb les variables binàries.

L’àlgebra de Boole o àlgebra lògica és mèrit del matemàtic anglès George Boole, que durant el
segle XIX va estudiar les lleis del pensament i va establir la teoria matemàtica sobre la lògica de
les probabilitats, teoria en què es fonamenta l’electrònica digital.



Taules de veritat

Operacions lògiques: lleis de l’àlgebra de Boole
En aquest apartat estudiarem les tres operacions lògiques i els seus postulats.
La suma
La suma lògica es representa amb el símbol + de la manera següent:
S =a+b

Els seus postulats bàsics són els següents:
1. Una variable a la qual se suma 0 dóna com a resultat ella mateixa:
a +0 = a

2. Una variable a la qual se suma 1 dóna com a resultat 1:
a +1=1

3. Una variable sumada a ella mateixa dóna la mateixa variable:
a+a=a

4. Una variable sumada a la seva inversa dóna com a resultat 1:
a + a =1

En conseqüència si a=0:
0+0=0 1+0=1
0+1=1 1+1=1



Taules de veritat

El producte
El producte lògic es representa amb el símbol · (i també amb l’absència de símbol entre dos
variables) de la manera següent: S= a·b o S=ab. Els postulats bàsics del producte són els
següents:
1. Una variable multiplicada per 0 dóna com a resultat 0:
a⋅0=0

2. Una variable multiplicada per + dóna com a resultat ella mateixa:
a ·1 = a

3. Una variable multiplicada per ella mateixa dóna com a resultat la mateixa variable:
a·a=a

4. Una variable multiplicada per la seva inversa dóna com a resultat 0:
a·a=0

En conseqüència si a=0:

0·0=0 1·0=0
0·1=0 1·1=1



Taules de veritat

La inversió o negació
La inversió lògica es representa amb el símbol – sobre la variable, de la manera
següent:
S =a

El seu postulat bàsic és que una variable negada i tornada a negar dóna com a resultat
la variable inicial:
a=a

En conseqüència:
0 =1 1= 0



Taules de veritat

Propietats de l’àlgebra de Boole

Commutativa Associativa

Suma Producte Suma Producte

a+ b = b + a a·b=b·a a + b + c = (a + b ) + c a·b·c=(a·b)·c

Si combinem les operacions de suma i producte es compleix la propietat

Distributiva

suma producte

a +(b · c ) = (a + b ) · (a + c ) a · (b + c ) = a b + a c



Taules de veritat

Teoremes De Morgan
Els teoremes de De Morgan o llei de l’equivalència, són uns dels més importants de
l’àlgebra de Boole. Els seus enunciats són els següents:

Primer teorema: la negació de la suma lògica és igual al producte lògic de les
variables negades: a+b = a · b

Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les
variables negades: a ⋅b = a + b



Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques.
Funcions i portes lògiques Circuits lògics
Taules de veritat
Taules de veritat

Funcions i portes lògiques. Taules de veritat

La funció lògica d’una variable binària és també una variable binària.

De manera que si a= variable binària d’entrada o senyal d’entrada, i
S = variable binària de sortida o senyal de sortida
podem escriure: , En general, els senyals
d’entrada es representen
i es llegeix: el senyal de sortida S és funció del senyal d’entrada , o
amb lletres minúscules (a,
simplement, S és funció d’a. b, c…) i els de sortida amb
majúscules (F, S, X…).

S = f (a)



Taules de veritat
Taules de veritat

Taules de veritat
a b F a b c F
Una funció lògica també es pot representar per la taula de
0 0 0 0 0 0 0
veritat, a partir de la qual i d’una manera molt senzilla s’analitzen
0 1 1 0 0 1 1
tots els estats possibles de les variables d’entrada i de l’estat de 1 0 1 0 1 0 1
la variable de sortida. 1 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1
Taula de
1 0 1 0
El nombre de combinacions possibles és de 2n, essent n el veritat de
dues 1 1 0 0
nombre de variables d’entrada. variables
1 1 1 1
d’entrada

Taula de
Exemple: si funció té dues variables d’entrada, seran 22 = 4 S =a+b
veritat de
si hi ha tres variables d’entrada, el nombre de tres
variables
combinacions és de 23 = 8 d’entrada

S= a+b+c



Taules de veritat
Taules de veritat

Forma canònica d’una funció lògica
A partir de qualsevol taula de veritat podem obtenir l’equació d’una funció booleana anomenades
CANÒNIQUES.
a b c F
La forma CANÒNICA vol dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.
0 0 0 0
Exemple: F: a.b+a.b+ab
0 0 1 1
MINTERNS : tots els termes són canònics i estan sumats entre ells.
0 1 0 1
Cada terme està multiplicat entre ells.
0 1 1 0
Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes de sortida dels
1 0 0 1
quals valgui 1. Perquè les diferents sortides valguin 1 és necessari que
1 0 1 0
Dos tipus de
totes les variables que intervinguin en el producte siguin 1, per tant 1 1 0 0
CANÒNIQUES
haurem de negar aquelles que valguin 0. 1 1 1 1
F= a . b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c
Taula de
veritat de
MAXTERNS: tots els termes són canònics i estan multiplicats entre tres
ells. Les variables que componen cada terme estan sumades entre elles. variables
d’entrada
Donada una taula de veritat seleccionarem tots els termes que donin a la
funció el valor 0. Les variables hauran de ser negades quan el valor
lògic sigui 1.
F= (a + b + c) . (a + b + c) . (a + b + c) .( a + b + c)


Taules de veritat
Taules de veritat

Mètodes de simplificació d’una funció lògica
Simplificar una funció lògica es trobar-ne una altre equivalent amb la qual hi hagi el nombre menor
de termes amb el nombre menor de variables possibles.

Aplicació de les LLEIS BOOLEANES: es basa en l’aplicació de tot el
conjunt de propietats postulats i teoremes de àlgebra de Boole. Té
dificultats en la seva aplicació ja que no existeix cap regla específica i per
tan cal un extraordinari domini d’aquests coneixements.
Dos tipus de
SIMPLIFICACIÓ

Mètodes tabulars: MAPES KARNAUGH (funcions 5 variables màxim).
N'existeixen d’altres, ex. Taules Quine McCluskey



Taules de veritat
Taules de veritat

Mètode Karnaugh
Qualsevol funció que s’hagi de simplificar mitjançant aquest mètode tabular haurà d’estar en forma CANÒNICA vol
a b c F
dir que qualsevol terme de l’equació haurà de tenir totes les variables.
0 0 0 0
Segons el nombre de variables (2n) hi haurà diferents mapes, tal com es mostra a continuació:
bc cd 0 0 1 0
00 01 11 10 00 01 11 10
a ab
0 1 0 0
0 00
0 1 1 1
1 10
1 0 0 0
11 1 0 1 1
1 1 0 0
01
1 1 1 1
Exemple:
1. Una vegada dibuixat el mapa de Karnaugh s’ha d'omplir: El procediment consisteix n posar un 1 F= a . b. c + a. b. c + a. b. c
en el quadre corresponent a les combinacions d’entrada de la forma canònica que donin 1.
2. Una vegada completat el mapa hem de fer agrupacions. Al ser dins el sistema binari questes només bc 00 01 11 10
a
podran ser de 2n quadrícules (1, 2, 4, 8,...) i sempre hauran de ser el més gran possible. 0
En el nostre cas podem fer 2 agrupacions de 2 variables en cadascuna
3. En cada agrupació mirem els valors de les variables d’entrada: 1 1 1 1
a) Si el valor de la variable és el mateix en tota l’agrupació, aquesta formarà part de l’expressió simplificada, bc
00 01 11 10
a
sent negada si el valor és 0 i sense negar si és 1.
0
b) Si el valor d’una variable d’entrada varia dins de l’agrupació l’eliminarem, ja que la sortida no depèn del
valor d’aquesta variable. 1 1 1 1
En el nostre cas F= b .c + a. c


Taules de veritat
Taules de veritat

Funcions i portes lògiques
Els sistemes digitals per dur a terme la seva tasca fan servir les funcions lògiques, i per obtenir
una funció lògica es necessiten uns dispositius que són els encarregats de processar o tractar els
senyals binaris d’entrada amb operacions lògiques per generar el corresponent senyal de sortida.

Els dispositius que efectuen directament les diferents funcions o
operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.

Diagrama de blocs d’una funció lògica

Es pot simular el funcionament d’una porta lògica amb un circuit elèctric anomenat circuit
elèctric equivalent.



Taules de veritat
Taules de veritat

Funció NO
Amb el circuit lògic que realitza la funció NO (també anomenada
inversió, negació o complement) s’obté a la sortida l’estat invers de la
variable d’entrada. Es representa amb el símbol – damunt de la variable.
Així:
a=0 a =1 a =1 a=0

Si i si
F =a

És una funció lògica d’una sola variable d’entrada i té l’expressió lògica,
que es llegeix: F igual a no a . El dispositiu que du a terme aquesta
funció és la porta NO (NOT) o porta inversora.
La funció NO dóna com a sortida l’estat invers de l’entrada. Esquema elèctric equivalent



Taules de veritat
Taules de veritat

Funció O (OR)
La funció O o suma lògica té dues o més variables d’entrada i es representa amb el símbol +. Una
funció de dues variables d’entrada té l’expressió lògica S = a + b , i es llegeix: S és igual a més b.
El dispositiu que du a terme la suma lògica és la porta O (OR).
La funció O dóna 1 a la sortida quan almenys una de les variables d’entrada val 1.

a b S

0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Esquema elèctric equivalent



Taules de veritat
Taules de veritat

Funció I (AND)
La funció I o producte és una funció de dues o més variables d’entrada i
es representa amb el símbol ·. Una funció I de dues entrades té
l’expressió lògica P = a · b i es llegeix: P és igual a per b. El
component que du a terme el producte lògic és la porta I (AND).
La funció I dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 1.
a b S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1




Taules de veritat
Taules de veritat

Funció NO-O (NOR)
És la negació de la suma lògica o funció O. Primer realitza la suma
lògica i després la nega. Una funció NO-O de dues variables té
l’expressió lògica S = a + b i es llegeix: S és igual a la negació d’a
més b. El component que du a terme la suma lògica negada és la porta
NO-O (NOR).
La funció NO-O dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada
valen 0.
a b S
0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0




Taules de veritat
Taules de veritat

Funció NO-I (NAND)
La funció NO-I és la negació del producte lògic o funció I. Primer realitza el
producte lògic i després la negació. Una funció NO-I de dues entrades té
l’expressió lògica P = a · b i es llegeix: P és igual a la negació d’a per b.
L’operador que du a terme el producte negat és la porta NO-I (NAND).

La funció NO-I dóna 1 a la sortida quan almenys una de les entrades val 0.

a b P
0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0




Taules de veritat
Taules de veritat

Tecnologia de les portes lògiques

Els circuits lògics digitals poden estar construïts amb tecnologia elèctrica, pneumàtica o electrònica.

En els automatismes elèctrics s’implementen les funcions lògiques amb interruptors, polsadors, commutadors,
relés, contactors, etc. De fet, ja hem vist el circuit elèctric equivalent de cada funció lògica.

En pneumàtica i oleohidràulica també es fan servir molt les portes lògiques per resoldre circuits automàtics que
han de funcionar amb aquestes tècniques.

Amb tot, l’electrònica és la tecnologia que fa servir més portes lògiques per elaborar circuits lògics digitals,
sobretot perquè permet fabricar portes de petites dimensions. Normalment, es fabriquen en circuits integrats
formats principalment per transistors. La indústria electrònica fabrica xips que apleguen diverses portes lògiques
(normalment quatre), totes iguals, que són les anomenades portes integrades.



Sistemes digitals Àlgebra de Boole Funcions i portes lògiques. Circuitslògics
Circuits lògics
Taules de veritat

Circuits lògics
Esquemes de circuits lògics
La representació gràfica d’un circuit digital utilitzant els símbols de les portes lògiques
s’anomena logigrama, o simplement esquema del circuit lògic.
Per obtenir el logigrama d’una funció lògica a partir de la seva expressió booleana només cal
utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol efectuar.
Per exemple, per representar gràficament la funció

F = a · (b + c )

primer es resolen els parèntesis, després els productes i finalment les sumes.



Circuits lògics
Taules de veritat

Obtenció d’una funció lògica a partir d’un logigrama
Per obtenir la funció lògica a partir de l’esquema del circuit e s parteix de les variables
d’entrada i s’escriu a la sortida de cada porta la funció que realitza.
Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan
connectades, i així successivament fins a arribar al final del circuit, en què obtindrem
l’expressió booleana o equació que defineix la funció lògica del circuit.



Circuits lògics
Taules de veritat

Obtenció i implementació d’una funció lògica a partir de la taula de veritat
Quan ja tenim la funció simplificada, només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que
es vol fer.
Exemple: per implementar el circuit de la funció F F = a b + b només necessitarem 2 portes
inversores, 1 porta I i una porta O de dues entrades.

a b F
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1


Ptt digital [modo de compatibilidad]

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Similar a Ptt digital [modo de compatibilidad]

Similar a Ptt digital [modo de compatibilidad] (17)

Último

Último (8)

Ptt digital [modo de compatibilidad]