Solicitarea de forfecare

1. STUDIUL SOLICITĂRII DE FORFECARE
1. Definiție
2. Tensiuni si deformații
3. Deducerea relațiilor pentru calculele de rezistenta
4. Calcule bazate pe criteriul de rezistenta
A. Calculul îmbinărilor sudate
Exemplu de calcul
B. Calculul forțelor tehnologice la operația de taiere
Exemplu de calcul
C. Calculul penelor longitudinale
Exemplu de calcul
D. Calculul îmbinărilor prin nituri (sau șuruburi)
Exemplu de calcul
1. Definiţie
Forfecarea este solicitarea produsă de două forţe, de mărimi egale şi de sensuri opuse
(numite forţe tăietoare), care acţionează de o parte şi de alta a unei bare, într-o aceeaşi secţiune
transversală, pe direcţie perpendiculară pe axa ei longitudinală.
Efectul produs în bară este dislocarea părţilor de corp separate de respectiva secţiune
transversală, care devine aria de forfecare a barei.
Atenţie: Pentru a se putea produce forfecarea, adică lunecarea reciprocă a celor două
feţe ale ariei de forfecare, este necesar să existe o distanţă infinit mică (e->0) între
direcţiile celor două forţe (care deci nu pot fi coliniare)!
Acest lucru este uşor de remarcat în construcţia foarfecilor sau a ghilotinei, ale căror lame
tăietoare nu se pot afla într-un acelaşi plan.

2. 2. Tensiuni şi deformaţii
Se consideră o bară prismatică de lungime L (fig. 7.1), pe a cărei suprafaţă se trasează o
reţea de linii echidistante.
Aplicând asupra barei două forţe de forfecare, conform definiţiei de mai sus, se observă
efectele acestei solicitări, astfel:
În secţiunea solicitată apare un plan de dislocare, pe care cele două feţe ale secţiunii se
deplasează reciproc. Rezultă că în bară (mai precis în secţiunea de forfecare) se produc
deformaţii specifice de lunecare, adică lunecări specifice (g), cărora le corespund
tensiuni de tip tangenţial (t).
Cu excepţia acestei dislocări, forma şi dimensiunile barei nu suportă modificări.
Dacă se măresc forţele, atunci dislocarea continuă, până la ruperea barei, aria de rupere
fiind egală cu aria secţiunii de forfecare.
Fig. 7.1.
3. Deducerea relaţiilor pentru calculele de rezistenţă
Fig. 7.2.
În principiu, pe suprafeţele de forfecare din barele uzuale particulele de material nu
participă în mod egal la preluarea solicitării, adică tensiunile de forfecare nu se distribuie
uniform pe secţiuni.
Totuşi, având în vedere că este o solicitare tipică elementelor de îmbinare, care au
dimensiuni relativ mici, se admite o distribuţie aproximativ uniformă a tensiunilor, pentru toate
punctele secţiunii de forfecare (fig. 7.2), ceea ce permite un calcul simplu al mărimii efective a
tensiunilor.
Secţiunea de forfecare trebuie să se afle în echilibru, sub acţiunea forţei F şi a forţei produse
prin sumarea efectelor tensiunilor tangenţiale, ceea ce se exprimă printr-o ecuaţie de
echivalenţă de forma (1.18), astfel:

3. Deoarece tensiunile t(x) sunt considerate constante, factorul respectiv poate fi extras în afara
integralei din membrul drept, iar integrala va reprezenta chiar mărimea ariei secţiunii pe care
se produce solicitarea. Prin urmare, relaţia pentru calculul tensiunilor se va scrie sub forma
următoare:
(7.1)
Cu alte cuvinte, tensiunile tangenţiale de forfecare se calculează ca raport între forţa care
produce solicitarea şi mărimea ariei de material pe care se produce dislocarea.
Deoarece acest mod de lucru se bazează pe o aproximare (grosieră, pentru piesele de
dimensiuni mari) a realităţii, el se numeşte calcul convenţional la forfecare. Pentru
categoriile de aplicaţii care vor fi prezentate în acest capitol, calculul convenţional este întru
totul acceptabil. Pentru alte cazuri de solicitare, aşa cum sunt lunecările longitudinale care apar
la încovoierea grinzilor compuse, se recomandă metode de calcul riguroase.
4. Calcule bazate pe criteriul de rezistenţă
Pentru orice bară solicitată la forfecare, valorile tensiunilor tangenţiale nu trebuie să
depăşească rezistenţa admisibilă (taf) a materialului său. Această caracteristică se calculează, de
obicei, în funcţie de rezistenţa la tracţiune a materialului (înmulţită cu un factor subunitar,
cuprins între 0,5 şi 0,8), sau se extrage din tabelele incluse în cărţile de specialitate.
În funcţie de scopul urmărit în diverse aplicaţii, calculele de rezistenţă pot fi folosite sub trei
forme:
a). Verificarea corectitudinii proiectării piesei, adică a respectării inegalităţii
(7.2)
Dacă sensul inegalităţii nu se respectă, atunci trebuie să se mărească dimensiunile secţiunii
de calcul, sau să se fabrice piesa dintr-un material cu rezistenţa la forfecare mai mare decât a
celui adoptat iniţial.
b). Aflarea forţei maxime de forfecare (forţa capabilă) ce poate fi suportată de bara
studiată:
(7.3)
c). Dimensionarea piesei, adică stabilirea dimensiunilor minime necesare ale secţiunii de
forfecare, după relaţia:
(7.4)
Problema cea mai importantă în calculele de forfecare este definirea corectă a forţei care
produce solicitarea, respectiv a suprafeţei secţiunilor unde are loc forfecarea. Exemple tipice
de producere a acestei solicitări sunt diferitele tipuri de îmbinări întâlnite în practică (între
două sau mai multe foi de tablă, între arbori şi piesele pe care le pun în mişcare ș.a.m.d.), dar şi
procesele tehnologice de tăiere a materialelor, pe diferite contururi.

4. A. Calculul îmbinărilor sudate
Sudurile sunt îmbinări de tip nedemontabil, având ca element principal “cordonul” din
material de adaos care realizează efectiv solidarizarea elementelor metalice asamblate.
Distrugerea sudurilor se produce, în general, sub acţiunea unor solicitări de forfecare.
Se consideră, ca exemplu, un cordon tipic de sudură “de colţ”, având formă de prismă
dreaptă, cu baza un triunghi dreptunghic isoscel, folosit pentru îmbinarea a două table
suprapuse, solicitate prin forţe de tracţiune (fig. 7.3). Se poate admite, pe baza observaţiilor
experimentale, că ruperea prin forfecare a cordonului se produce de-a lungul planului său
longitudinal care conţine înălţimea (a) a
triunghiului de bază.
Cu alte cuvinte, aria de forfecare a
cordonului de sudură are formă de dreptunghi,
cu o latură reprezentată de lungimea sudurii
(Ls), iar cealaltă egală cu , în care (g)
este grosimea celei mai subţiri dintre tablele
îmbinate.
În ideea de a se ţine seama de posibilele
imperfecţiuni ale capetelor cordonului, se
recomandă ca pentru lungimea reală a cordonului să se adopte o valoare ceva mai mare decât
lungimea de calcul a sudurii, ceea ce se exprimă prin relaţia L = Ls + 2a.
Pentru efectuarea calculelor de rezistenţă în legătură cu îmbinările prin sudură, rezistenţele
admisibile ale cordoanelor se aleg din cărţi de specialitate, în funcţie de materialul de adaos
utilizat şi de parametrii tehnologici ai îmbinării.
Exemplu de calcul
Fig. 7.4.
7.1. Pentru îmbinarea din figură, realizată în condiţiile de mai sus, se cunosc lăţimea
b=300mm, grosimea tablei mai subţiri g=5mm, rezistenţa admisibilă a materialului tablelor, la
tracţiune, satb=150MPa şi aceea a cordoanelor de sudură, la forfecare, tas=80MPa.
Se cer:
a) Forţa maximă care poate fi aplicată tablelor.
b) Dimensionarea sudurii, pentru ca forţa capabilă a îmbinării să fie egală cu a tablelor.
Rezolvare
Trebuie remarcat că, în privinţa celor două table îmbinate, este suficient a se face calculul
de rezistenţă pentru tabla de lăţime mai mică (aceea de deasupra, în desenul alăturat),
rezistenţa celeilalte fiind garantată implicit, datorită dimensiunilor mai mari ale secţiunii ei
transversale.
Fig. 7.3.

5. Acest raţionament se va regăsi întotdeauna, pentru ansamblurile care conţin mai multe piese
de acelaşi fel: calculul lor se face o singură dată, pentru piesa cea mai sensibilă, sau care este
solicitată cel mai puternic.
a) Tensiunea de calcul, la tracţiune, pentru table, este:
Cum această mărime nu trebuie să depăşească rezistenţa admisibilă a tablelor, rezultă că
forţa capabilă a tablelor se va calcula astfel:
b) Calculul la forfecare pentru cele două cordoane de sudură se face, după cum s-a arătat
mai sus, cu relaţia următoare:
Mărimea necunoscută din această formulă este lungimea Ls a cordoanelor de sudură, care se
va determina după cum urmează:
Pe baza acestui calcul şi ţinând seama de observaţiile făcute anterior, se adoptă o valoare
convenabilă a lungimii reale a cordoanelor, cum ar fi, de exemplu, L=42cm.
B. Calculul forţelor tehnologice la operaţia de tăiere
Ca principiu, tăierea metalelor sau a altor materiale prelucrate sub formă de table sau de foi
se poate realiza în două moduri distincte:
din aproape în aproape, pe contururi formate din linii drepte, cu ajutorul unor utilaje
de tip foarfece (ghilotine);
pe un contur de formă complexă, dintr-o singură apăsare cu forţa activă, prin
intermediul unor utilaje numite ştanţe, care pot fi de retezare, de decupare (pe un
contur deschis) sau de perforare (pe un contur închis).
Pentru a se realiza tăierea tablei este necesar să fie depăşită, prin solicitarea aplicată,
rezistenţa la rupere prin forfecare (trf) a materialului. Dacă se notează cu (g) grosimea tablei,
iar cu (LC) lungimea totală a conturului tăiat, la o singură aplicare a forţei active, atunci forţa
necesară pentru tăiere va fi:
Fnec = LC × g × trf
De obicei, mai ales în cazul producţiei de serie, operaţiile de tăiere se execută prin montarea
ştanţelor pe maşini de presare (prese), care dezvoltă forţe suficient de mari pentru prelucrarea
simultană a mai multor piese, sau pentru tăierea tablelor de grosimi mari.
Pentru realizarea corectă şi în condiţii de siguranţă a operaţiei, se consideră că forţa
dezvoltată de presă (forţa tehnologică) trebuie să fie cu cel puţin 30% mai mare decât forţa
necesară, ceea ce se scrie sub forma:
Ft min = 1,3 × Fnec

6. Pe baza acestui calcul se poate alege maşina (presa) pe care se va executa operaţia
respectivă.
Exemplu de calcul
7.2. Să se determine forţa tehnologică necesară pentru fabricarea, prin perforare, a unei
şaibe de tipul celei prezentate, în secţiune transversală, în figura 7.5, având diametrele d=8mm
şi D=20mm. Piesa se prelucrează din tablă de oţel, cu grosimea g=2,5mm şi rezistenţa la
forfecare trf =280MPa.
Fig. 7.5.
Să se precizeze câte şaibe pot fi prelucrate simultan, folosind o presă cu forţa maximă de
50tf.
Notă: Kilogramul-forţă şi tona-forţă sunt unităţi vechi de măsură pentru forţe, care în
prezent nu mai sunt acceptate în Sistemul Inter-naţional. Totuşi, ele se mai regăsesc, de
exemplu, în exprimarea neoficială, informală, a unor caracteristici ale maşinilor-unelte.
Transformările de unităţi se fac astfel: 1tf=103kgf=9,81×103N»104N.
Rezolvare
Lungimea conturului prelucrat la o apăsare, pentru o şaibă, va fi:
LC = pd + pD
Relaţia pentru calculul forţei tehnologice minime se va scrie sub forma:
Ft min = 1,3 p (D + d)×g×tr f
iar datele numerice ale problemei conduc la următorul rezultat:
Ft min = 1,3 p (20mm + 8mm)×2,5mm×280N/mm2 = 8×104N
Din aceste calcule rezultă că pe o presă de 50tf se pot prelucra simultan un număr de şase
şaibe.
C. Calculul penelor longitudinale
Penele longitudinale sunt folosite pentru îmbinarea, de tip demontabil, a arborilor de
transmisie cu piesele pe care le pun în mişcare, aşa cum sunt roţile dinţate.
Desenul din figura 7.6 prezintă, în două vederi secţionale, o astfel de îmbinare, în care
arborele are diametrul d, iar pana are formă de paralelipiped şi dimensiunile L, b şi h.
Fig. 7.6.

7. Pentru a se determina forţa care solicită pana, se scrie ecuaţie de echilibru pentru momentele
care apar în îmbinare, calculate în raport cu axa longitudinală a arborelui.
Se consideră că momentul transmis de arbore are mărimea Mt(x), iar forţa de reacţiune care
acţionează asupra penei, notată cu F, are – în raport cu axa luată ca reper – braţul (d/2). Rezultă
că:
Penele longitudinale trebuie să suporte două categorii de solicitări:
a) Forfecare – pentru care aria de rupere (Af) este secţiunea mediană longitudinală a
penei, având lăţimea b şi lungimea L, adică
Af = b × L.
b) Strivire – care se produce pe suprafaţa laterală de contact dintre pană şi arbore, de
formă dreptunghiulară şi dimensiuni L şi h/2, adică
Astr = L × h/2.
Cunoscând aceşti parametri, caracteristicile de rezistenţă ale materialului, precum şi calculul
forţei F, se pot stabili dimensiunile necesare ale penei.
Deoarece penele longitudinale sunt normalizate printr-un standard, în corespondenţă cu
diametrul arborelui de destinaţie, rezultă că ultima etapă a unei asemenea probleme de
proiectare este adoptarea din standard a penei cu dimensiuni imediat superioare celor calculate
mai sus.
Observaţie: Este interesant să fie remarcat modul cum sunt orientate ariile de rupere ale
pieselor de tip bară în diferite cazuri de solicitare. De pildă, la solicitările axiale (inclusiv la
strivire) s-a observat că ruperea se produce în plane perpendiculare pe direcţia forţei active,
pe când la forfecare (a se vedea şi cazul penelor longitudinale) aria de rupere se află într-un
plan care include şi forţa de forfecare (dislocarea şi ruperea se produc pe direcţia forţei).
Aceste concluzii pot să simplifice raţionamentele care conduc la stabilirea solicitărilor pe
care trebuie să le suporte o piesă dată.
Exemplu de calcul
7.3. Să se determine momentul maxim Mt cap care poate fi transmis de un arbore cu
diametrul d=40mm, prin intermediul unei pene cu dimensiunile b=8mm, h=7mm şi L=50mm.
Se cunosc rezistenţele admisibile ale oţelului din care este făcută pana, cu
valorile ta=85MPa şi pa str=200MPa.
Rezolvare
Se va calcula forţa maximă pe care o poate prelua pana, pentru fiecare dintre cele două
solicitări, astfel:
a) pentru forfecare
b) pentru strivire

8. Forţa care poate fi admisă este cea mai mică dintre cele două valori, adică Fcap=34kN, astfel
încât momentul maxim transmisibil de către arborele considerat va fi:
D. Calculul îmbinărilor prin nituri (sau şuruburi)
Niturile sunt elemente de îmbinare nedemontabile, de formă cilindrică, utilizate pentru a se
împiedica deplasarea relativă a pieselor (de obicei sub formă de foi sau table) pentru a căror
asamblare sunt destinate. Este important de semnalat că niturile nu sunt destinate să realizeze
şi strângerea între ele a tablelor, astfel că ele nu trebuie calculate şi la solicitare axială.
Ca şi alte organe de îmbinare, niturile sunt standardizate, aşa încât diametrul lor se adoptă
din standarde, dar şi din cataloage ale firmelor producătoare, la valori imediat superioare celor
rezultate din calculele de rezistenţă. Ca principiu, se consideră drept unică solicitare de calcul
forfecarea niturilor, socotindu-se implicită rezistenţa lor la celelalte solicitări determinate de
încărcările pe care le preiau tablele îmbinate.
Exemplu de calcul
7.4. Să se dimensioneze îmbinarea cu nituri din figura 7.7. Două dintre cele trei foi de tablă
sunt fixate (încastrate) pe laturile lor din partea stângă, iar tabla intermediară, prinsă de
celelalte prin intermediul a trei nituri, trebuie să preia forţa F. Se cunoaşte forţa F=4×104N, dar
şi rezistenţele admisibile satb=160MPa, tatb=120MPa, pa str=180MPa – pentru table,
respectiv ta nit=90MPa – pentru nituri.
Notă: Vederea de sus a fost reprezentată la nivelul feţei superioare a tablei din mijloc, deci
cu tabla de deasupra îndepărtată.

9. Fig. 7.7
Rezolvare
Dacă se analizează reacţiunile din încastrare, se observă că acestea sunt forţe orizontale,
simetrice şi egale cu jumătate din F.
Rezultă că cea mai solicitată dintre table este cea intermediară, încărcată cu forţă dublă faţă
de celelalte.
Prin urmare, toate calcu-lele de rezistenţă referitoare la foile de tablă se vor face pentru
tabla din mijloc.
Pe de altă parte, se observă că în îmbinarea abordată se produc mai multe tipuri de solicitări
simultan. Se recomandă (pentru orice problemă de acest fel) a se gândi rezolvarea prin analiza
succesivă a modurilor în care se pot distruge elementele constructive ale îmbinării, dacă una
dintre dimensiunile ei ar fi insuficient de mare.
După ce se identifică solicitarea care conduce la efectul respectiv, se scriu relaţiile de calcul
corespunzătoare acelei solicitări. Se obţine astfel un sistem de inecuaţii (în număr egal cu al
necunoscutelor), pe baza căruia se calculează şi apoi se adoptă valorile efective ale
dimensiunilor îmbinării.
Pentru problema de faţă, se începe analiza cu elementele de îmbinare, făcând observaţia că,
dacă diametrul lor (d) ar fi mai mic decât cel necesar, ele s-ar rupe pe direcţia suprafeţelor de
separaţie dintre table (a se vedea liniile ondulate subţiri de pe desen).
Altfel spus, pentru fiecare nit ar exista două suprafeţe de rupere, paralele între ele şi
paralele cu forţa F, cea care produce solicitarea. După cum s-a precizat mai sus, această
direcţie a secţiunilor de rupere indică apariţia unei solicitări de forfecare, iar aceasta va trebui
luată în considerare pentru calculul niturilor.
Dacă se trece la observarea efectelor unei eventuale dimensionări incorecte a tablelor, se pot
remarca următoarele posibilităţi:
 valoare prea mică a lăţimii (b) a tablei (din mijloc) conduce, la limită, la ruperea ei pe
direcţie perpendiculară pe forţa F, ceea ce corespunde unei solicitări de tracţiune.
Secţiunea periculoasă va fi cea mai mică dintre secţiunile transversale efective ale
tablei (cea care se află pe axa diametrală a celor trei nituri).
 Dacă dimensiunea (e) (distanţa niturilor până la marginea tablei) nu este suficient de
mare, atunci se produce, la limită, “sfâşierea” tablei, pe direcţia forţei F, la fiecare

10. extremitate a unui nit. Rezultă că se produce forfecare, pe câte două secţiuni de rupere
(marcate cu linii subţiri ondulate pe desen) pentru fiecare dintre nituri.
 Dimensiunea (g) este hotărâtoare pentru rezistenţa tablei la strivire, solicitare care se
produce pe suprafeţe semi-cilindrice, la contactul dintre tablă şi nituri (câte o suprafaţă
de rupere pentru fiecare nit).
Dimensionarea îmbinării presupune următoarele operaţii:
a) Calculul niturilor la forfecare
Din ultima relaţie rezultă inecuaţia
(1)
b) Calculul tablelor la tracţiune
De aici rezultă condiţia
(2)
c) Calculul tablelor la forfecare
Rezultă că
(3)
d) Calculul tablelor la strivire
S-a dedus din relaţia (5.18) că aria de strivire este, pentru suprafeţele semi-cilindrice,
produsul dintre diametrul şi înălţimea cilindrului, adică:
Din ultima inegalitate rezultă
(4)
S-a obţinut în acest fel un sistem de patru inecuaţii cu patru necunoscute, din care se vor
obţine valorile necesare ale dimensiunilor îmbinării. Aceste valori se vor rotunji, prin adaos,
ţinând seama şi de alte considerente referitoare la aspectul şi la poziţiile reciproce ale
elementelor constructive respective.
Din inecuaţia (1) rezultă valoarea minimă a diametrului niturilor:
Pe această bază se adoptă, de exemplu, valoarea dad = 10 mm.
Inecuaţia (4) conduce la stabilirea grosimii minime a tablelor:

11. Se poate adopta gad = 8 mm.
Introducând aceste valori în inecuaţia (3), rezultă:
Distanţa obţinută este foarte mică (mai mică decât diametrul nitului), astfel încât se va
adopta o valoare de câteva ori mai mare (urmărind, de pildă, indicaţiile dintr-un îndrumar de
proiectare), cum ar fi ead = 25 mm.
În fine, lăţimea tablelor se va calcula pe baza inecuaţiei (2), astfel:
Această valoare a lăţimii este şi ea foarte mică, astfel că dimensiunea efectivă se va putea
adopta pe baza altor cerinţe (funcţionale, estetice sau de standardizare dimensională) pe care
trebuie să le îndeplinească tablele.

12. Forfecarea
1. Rezistenta la forfecare (rezistenta tangentiala - sau efortul unitar tangential), ia nastere intr-o
sectiune a unei bare supusa la o forta taietoare T, care actioneaza pe axa longitudinala. Ea este data de
relatia:
in care:
T = forta taietoare (daN)
A = sectiunea barei (cm2)
1. Dimensionare :
2. Verificare, (cunoscute)
3. Calculul deformatiei:
A= sectiunea piesei(cm2)
T = forta de forfecare(daN)
τa= solicitatrea admisibila la forfecare(daN/cm2)
τ = solicitarea la forfecare(daN/cm2)
cauta solicitarea la intindere
Δt = deplasarea sub sarcina T(cm)
G = modulul de elasticitate transversala(daN/cm2)
cauta modulul de elasticitate
L = lungimea piesei(cm)
2. Rezistenta admisibila la forfecare tfa trebuie sa satisfaca relatia:
In cazul materialelor omogene si in special la metale:
tfa= 0,6 - 0,8 σa
in care: σa = rezistenta admisibila la tractiune.
3. Dimensionarea la forfecare trebuie facuta astfel incat:
in care:
Anec= sectiunea necesara (cm2)
T = forta taietoare care actioneaza in sectiunea A
tfa= rezistenta admisibila la forfecare (daN/cm2)
4. Deformatia elastica ( deplasarea) unei piese supuse la forfecare este data de relatia:

13. in care:
Δs= deplasare (cm)
T = forta taietoare care actioneaza in sectiunea A (daN)
l = lungimea piesei (cm)
G = modulul de elasticitate transversala (daN/cm2)