Chuyen de

1. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUYÊN
PhÇn I:
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
A. Tãm t¾t lý thuyÕt.
1.Sè 2 lµ sè nghuyªn tè ch½n duy nhÊt.
2.Ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng f(x).g(x) = k víi f(x) vµ g(x) lµ c¸c ®a thøc hÖ sè
nguyªn. Ta ph©n tÝch k ra thõa sè nguyªn tè råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh.
( )
( )
f x m
g x n
=

=
víi m.n = k.
3.Ph¬ng tr×nh ®èi xøng c¸c Èn cña x, y, z.....Khi t×m nghiÖm nguyªn d¬ng ta cã
thÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤.....
4.Kh«ng tån t¹i sè chÝnh ph¬ng n»m gi÷a hai sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp.
B. c¸c d¹ng to¸n Thêng gÆp.
D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d.
Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi chia cho cïng mét sè cã sè d kh¸c
nhau th× ph¬ng tr×nh ®ã kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. 2 2
2x y= (1)
Gi¶i:
Râ rµng x = y = 0 lµ nghiÖm cña (1).
NÕu 0 0, 0x y ≠ vµ 0 0( , )x y lµ nghiÖm cña (1). Gäi 0 0( , )d x y= , suy ra 0 0
, 1.
x y
d d
 
= ÷
 
Ta cã:
2 2
2 2 0 0 0
0 02 2
x y x
x y
d d d
   
= ⇒ = ⇒ ÷  ÷
   
ch½n
2
0 0
2 4
y x
d d
 
⇒ ÷
 
M ch½n, v« lý.
VËy ph¬ng tr×nh (1) chØ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ (0,0).
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. 2 2
2 5x y− = (1)
Gi¶i:
1)NÕu 5xM th× ( ) ( )2 2 2 2
2 5 5 5 2 25y x y x y= − ⇒ ⇒ −M M M v« lý.
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 1

2. 2)NÕu 5x /M th× tõ 5y /M ta cã 2
1(mod5)x ≡ ± vµ 2
1(mod5)y ≡ ± suy ra 2 2
2 1, 3(mod5)x y− ≡ ± ± .
VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
VÝ dô 3: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn trong phÐp chia
cho 8 kh«ng thÓ cã d lµ 7 tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh 2 2 2
4 25 144 2007x y z+ + = kh«ng
cã nghiÖm nguyªn.
Gi¶i:
Gi¶ sö: 2 2 2
7(mod8)x y z+ + = mµ 0, 1, 2, 3 ,4(mod8)x ≡ ± ± ± ± nªn 2
0,1,4(mod8)x ≡ suy ra
2 2
7,6,3(mod8)y z+ = nhng 2 2
0,1,2,4,5,(mod8)y z+ = v« lý. VËy 2 2 2
7(mod8)x y z /+ + M
Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt: 2 2 2
(2 ) (5 ) (12 ) 6 125 7x y z+ + = × + Tõ ®ã suy ra ph¬ng
tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn: 4 4 4
1 2 7.... 2008.x x x+ + + =
Gi¶i:
1)NÕu x = 2k th× 16xM .
2)NÕu x = 2k + 1 th× 4 2
1 ( 1)( 1)( 1) 16,x x x x− = − + + M v× ( 1)( 1) 8x x− + M vµ 2
( 1) 2x + M .
VËy 4
0;1(mod16)x ≡ Do ®ã khi chia tæng
4 4 4
1 2 7....x x x+ + + cho 16 cã sè d kh«ng vît
qu¸ 7, trong khi ®ã 2008 8(mod16)≡ . Suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch.
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c ∈ Z ) (1)
Ta cã: (1)
2
( ) ( )
a a
cxy ay b y cx a cx a b
c c
⇔ − − = ⇔ − − − = +
2
( )( ) .cx a cy a a bc⇔ − − = +
Ph©n tÝch 2
.a bc m n+ = víi m, n ∈ Z, sau ®ã lÇn lît gi¶i c¸c hÖ:
cx a m
cy a n
− =

− =
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 2( ) 16 3x y xy+ + =
Gi¶i:
Ta cã: 2( ) 16 3 3 2 2 16x y xy xy x y+ + = ⇔ − − =
2 4
(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52
3 3
y x x x y⇔ − − − = + ⇔ − − =
Gi¶ sö: x y≤ khi ®ã 1 3 2 3 2x y≤ − ≤ − vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hÖ sau:
3 2 1
;
3 2 52
x
y
− =

− =
3 2 2
;
3 2 26
x
y
− =

− =
3 2 4
;
3 2 13
x
y
− =

− =
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 2

3. Gi¶i c¸c hÖ trªn ta ®îc c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh lµ: ( 1, 18);
( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2
(2 5 1)(2 ) 105.
x
x y y x x+ + + + + =
Gi¶i:
V× 105 lµ sè lÎ nªn 2 5 1x y+ + lÎ suy ra y ch½n mµ 2
( 1)x x x x+ = + ch½n nªn 2
x
lÎ ⇒ x =
0.
Víi x = 0 ta cã ph¬ng tr×nh ( 5y + 1 ) ( y + 1 ) = 21.5 Do ( 5y + 1, 5 ) =1 nªn
5 1 21
1 5
y
y
+ =

+ =
hoÆc
5 1 21
4
1 5
y
y
y
+ = −
⇒ =
+ = −
Thö l¹i ta thÊy x = 0, y = - 4 lµ nghiÖm nguyªn
cña ph¬ng tr×nh.
VÝ dô 3: T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ cã diÖn tÝch
b»ng chu vi.
Gi¶i:
Gäi x, y, z lµ c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng : 1 x y z≤ ≤ < . Ta cã:
2 2 2
(1)
2( )(2)
x y z
xy x y z
 + =

= + +
Tõ (1) ta cã: 2 2 2
( ) 2 ( ) 4( )z x y xy x y x y z= + − = + − + +
2 2
2 2
( ) 4( ) 4 4 4
( 2) ( 2)
x y x y z z
x y z
⇒ + − + + = + +
⇒ + − = +
2 2x y z⇒ + − = + do ( 2)x y+ ≥ Thay 4z x y= + − vµo (2) ta ®îc:
4 1 5
4 8 12
( 4)( 4) 8
4 2 6
4 4 8
x x
y y
x y
x x
y y
 − =  = 
  
− = =  − − = ⇔ ⇔
 − = = 
  
− = =   
vËy c¸c cÆp: ( , , ) (5,12,13);(6,8,10);x y z =
VÝ dô 4: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: ( ) .p x y xy+ = víi p lµ sè nguyªn tè.
Gi¶i:
Ta cã: ( ) ( )2 2 2
( )p x y xy xy px py p p x p y p p+ = ⇔ − − + = ⇔ − − =
Mµ 2 2 2
. ( ).( ) 1. ( ).( 1)p p p p p p p= = − − = = − − .Tõ ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho cã c¸c nghiÖm
nguyªn lµ: 2 2 2 2
( , ) (0,0);(2 ,2 );( 1, );( , 1);( , 1);( 1, );x y p p p p p p p p p p p p p p= + + + + − − − −
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng.
§Ó t×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®èi xøng ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤..... råi
chÆn trªn mét Èn.
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 3

4. VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: (1).x y z xyz+ + =
Gi¶i:
V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Tõ (1) suy ra:
2
1 1 1 3
1 1.x
xy yz zx x
= + + ≤ ⇒ =
Víi x = 1 ta cã
1 1 2
1 ( 1)( 1) 2
1 2 3
y y
y z yz y z
z z
− = = 
+ + = ⇔ − − = ⇔ ⇔ 
− = = 
.
VËy (1) cã nghiÖm nguyªn d¬ng ( x, y, z ) = ( 1, 2, 3 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã.
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 5( ) 10 2 (1).x y z t xyzt+ + + + =
Gi¶i:
V× x, y ,z cã vai trß nh nhau nªn ta gi¶ sö x ≥ y ≥ z ≥ t ≥1 . Tõ (1) suy ra:
3
15 5 5 10 30
2 .
2
t
txyz xzt xyt xyzt t
=
= + + + ≤ ⇒  =
*)Víi 1t = ta cã:
2
2
1
5 5 5 15 30
5( ) 15 2 2 15 2.
3
z
x y z xyz z z
xy yz xz xyz z
z
=
+ + + = ⇒ = + + + ≤ ⇒ ≤ ⇒ =
 =
1)Víi z = 1 ta cã:
2 5 65 35
2 5 1 3
5( ) 20 2 (2 5)(2 5) 65
2 5 13 9
2 5 5 5
x x
y y
x y xy x y
x x
y y
 − =  = 
  
− = =  + + = ⇔ − − = ⇔ ⇔
 − = = 
  
− = =   
Ta cã c¸c nghiÖm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, 1 ),( 9, 5, 1, 1 ) vµ c¸c ho¸n vÞ cña chóng,
2) Víi z = 2, z= 3, ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng.
*) Víi 2t = , ta cã:
2
2
5 5 5 20 35 35
5( ) 20 4 4 9
4
x y z xyz z
xy yz xz xyz z
+ + + = ⇒ = + + + ≤ ⇒ ≤ <
2.z⇒ = v× ( 2)z t≥ = .
Khi ®ã: 5( ) 30 8 (8 5)(8 5) 265.x y xy x y+ + = ⇔ − − =
Do 2x y z t≥ ≥ ≥ ≥ nªn 8 5 8 5 11x y− ≥ − ≥ , mµ 265 = 53.5 Trêng hîp nµy ph¬ng tr×nh
kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng.
VÝ dô 3: Mét tam gi¸c cã sè ®o ®é dµi cña ®êng cao lµ mh÷ng sè nguyªn d¬ng vµ
®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c cã b¸n kÝnh b»ng 1. Chøng minh tam gi¸c ®ã lµ tam
gi¸c ®Òu.
Gi¶i:
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 4

5. §Æt a = BC, b = CA, c = AB. Gäi ®é dµi c¸c ®êng cao øng víi c¸c c¹nh a, b, c cña
tam gi¸c.
B¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp b»ng 1 nªn x, y, z > 2. Gi¶ sö x ≥ y ≥ z > 2.
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC:
1 1 1
. . . (1)
2 2 2
S a x b y c z= = =
MÆt kh¸c:
1
( )(2)
2
AOB BOC AOCS S S S a b c= + + = + +
Tõ (1) vµ (2) Suy ra:
. . .
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
a x b y c z a b c a b c
x y z x y z
+ +
= = = + + ⇒ + + = = = =
+ +
1 1 1 3
1 3 3.z z
x y z z
⇒ + + = ≤ ⇒ ≤ ⇒ = Thay z = 3 vµo
1 1 1
1.
x y z
⇒ + + = ta ®îc:
2 3 9 6
( )
2 3 1 21 1 2
3( ) 2 (2 3)(2 3) 9
3 2 3 3 3
2 3 3 3
x x
Loai
y y
x y xy x y
x y x x
y y
 − =  = 
  
− = =  + = ⇒ + = ⇔ − − = ⇔ ⇔
 − = = 
  
− = =   
VËy x = y = z = 3, khi ®ã a = b = c. VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu.
D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ.
TÝnh chÊt: NÕu cã sè nguyªn m sao cho 2 2
( 1)m n m< < + th× n kh«ng thÓ lµ sè chÝnh
ph¬ng.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2
1! 2! 3! 4!.... ! .x y+ + + + =
Gi¶i:
Víi x ≥ 5 th× x! cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 nªn: 1! 2! 3! 4! 5!.... ! 33 5! ... !.x x+ + + + + = + + +
Cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3 nªn kh«ng thÓ lµ sè chinh, VËy x ≥ 5 th× ph¬ng tr×nh ®·
cho kh«ng cã nghiÖn nguyªn d¬ng.
Víi 1 ≤ x < 5, b»ng c¸ch thö trùc tiÕp x = 1, 2, 3, 4 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (1,1)
vµ (3,3).
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 6 3 4
3 1 .x x y+ + =
Gi¶i:
Râ rµng x = 0, y = ± 1 lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh.
+)Víi x > 0 ta cã:
3 2 6 3 6 3 4 3 2 3 2 3
( 1) 2 1 3 1 ( 2) 1 2x x x x x y x x y x+ = + + < + + = < + ⇒ + < < + ( v« lý ).
+)Víi x ≤ - 2 th× :
3 2 4 3 2 3 2 3
( 2) ( 1) 2 1x y x x y x+ < < + ⇒ + < < + ( v« lý ).
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 5

6. +)Víi x = - 1 th× : 4
1y = − , ( v« lý ).
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai cÆp nghiÖm ( 0; 1 ); ( 0; -1 ).
VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2 4 4
( 1) ( 1) .x x y y+ + = + +
Gi¶i:
Khai triÓn vµ rót gän hai vÕ ta ®îc:
4 3 2 2 2 2
2 2 2
( 1) 2 3 2 ( 1) 2 ( 1).
1 ( 1) (1)
x x y y y y x x y y y y
x x y y
+ = + + + ⇔ + = + + +
⇔ + + = + +
+)NÕu x > 0 th× tõ 2 2 2
1 ( 1) .x x x x< + + < + suy ra 2
1 x x+ + kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng nªn
(1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
+)NÕu x < - 1 th× tõ 2 2 2
( 1) 1x x x x+ < + + < suy ra (1) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
+)NÕu x = 0 hoÆc x = - 1 th× tõ (1) suy ra
2 0
1 1
1
y
y y
y
=
+ + = ± ⇔  = −
.
VËy ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm nguyªn ( x; y ) = ( 0; 0 ); ( 0; -1 ); ( -1; 0 ); (-1; -1 );
D¹ng 5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3 3 3
3 9 0.x y z− − =
Gi¶i:
Gi¶ sö ( )0 0 0, ,x y z lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh khi ®ã 0 3x M ®Æt 0 13 .x x= thay
0 13 .x x= vµo (1) ta ®îc:
3 3 3
1 0 0 09 9 0 3.x y z y− − = ⇒ M ®Æt 0 1 03 3,y y z= ⇒ M khi ®ã:
3 3 3 3 3 3
1 1 0 1 1 0 09 27 3 0 3 9 0 3.x y z x y z z− − = ⇒ − − = ⇒ M ®Æt 0 13z z= khi ®ã: 3 3 3
1 1 13 9 0x y z− − = .
VËy 0 0 0
, ,
3 3 3
x y z 
 ÷
 
còng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.
Qu¸ tr×nh nµy tiÕp tôc th× ®îc: 0 0 0
, ,
3 3 3k k k
x y z 
 ÷
 
lµ c¸c nghiÖm nguyªn cña (1) víi mäi k
®iÒu nµy chØ x¶y ra khi 0 0 0 0.x y z= = = VËy ( 0, 0, 0 ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña
ph¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2 2 2
2 (1).x y z t xyzt+ + + =
Gi¶i:
Gi¶ sö ( )0 0 0 0, , ,x y z t lµ nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh khi ®ã:
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 02 (1).x y z t x y z t+ + + = lµ sè ch½n nªn trong c¸c sè 0 0 0 0, , ,x y z t ph¶i cã sè
ch½n sè lÎ (0; 2 hoÆc 4 ).
+)NÕu 0 0 0 0, , ,x y z t ®Òu lÎ th× 2 2 2 2
0 0 0 0( ) 4x y z t+ + + M , trong khi ®ã 0 0 0 02 4x y z t /M .
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 6

7. +)NÕu trong c¸c sè 0 0 0 0, , ,x y z t cã hai sè lÎ th×
2 2 2 2
0 0 0 0( ) 2(mod 4)x y z t+ + + ≡ , trong khi
®ã 0 0 0 02 4x y z t M . VËy 0 0 0 0, , ,x y z t ph¶i lµ c¸c sè ch½n,
®Æt 0 12 .x x= , 0 12 .y y= , 0 12 .z z= , 0 12 .t t= ph¬ng tr×nh trë thµnh:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 18 (1).x y z t x y z t+ + + =
Lý luËn t¬ng tù ta cã: 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 28 (1).x y z t x y z t+ + + =
Víi 1 1 1 1
2 2 2 2, , , ,
2 2 2 2
x y z t
x y z t= = = = tiÕp tôc ta cã: 0 0 0 0
, , , ,
2 2 2 2
n n n nn n n n
x y z t
x y z t= = = =
Lµ sè nguyªn v¬i mäi n, ®iÒu nµy chØ x¶y ra khi 0 0 0 0 0.x y z t= = = = VËy ( 0, 0, 0, 0 )
lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh ®· cho.
D¹ng 6: H¹n chÕ tËp hîp chøa nghiÖm dùa vµo ®iÒu kiÖn cña c¸c Èn.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 50.x y+ =
Gi¶i:
Ta thÊy 0 , 50x y≤ ≤ tõ 50 .y x= − ta cã 50 2 50 50 10 2 .y x x x x= + − = + −
V× y nguyªn nªn 2 2
2 4 2 .( )x k x k k Z= ⇒ = ∈ víi 2 2
2 50 25.( )k k k Z k≤ ⇒ ≤ ∈ ⇒ chØ cã thÓ
nhËn c¸c gi¸ trÞ: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Lùa chän k trong c¸c sè trªn ®Ó tho¶ m·n ph¬ng
tr×nh ta ®îc c¸c nghiÖm: ( ; ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32;2);(50;0)x y = .
D¹ng 7: Mét sè d¹ng kh¸c.
VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2
3 5 12(1).x y+ =
Gi¶i:
Ta cã: (1) 2 2
3( 1) 5(3 ).x y⇔ + = − Do (3, 5) = 1 nªn 2
( 1) 5.x + M vµ 2
(3 ) 3.y− M
§Æt 2
1 5 .x k+ = , 2
3 3 .y l− = Ta cã: 3.5 5.3 ( , )k l k l k l Z= ⇒ = ∈ .
Do ®ã:
2
2
1
5 1 0
15
3 3 0 1
x k k
k l
y l l
 = − ≥ ≥ 
⇒ ⇒ = = 
= − ≥  ≤
. VËy x = ± 2, y = 0.
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn ( 2, 0 ); ( -2, 0 ).
VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2
4 5 16.x xy y− + =
Gi¶i:
Tac cã: 2 2 2 2
4 5 16 ( 2 ) 16x xy y x y y− + = ⇔ − + = .
V×: 2 2
16 4 0= + nªn
2 4
0
x y
y
− = ±

=
hoÆc
2 0
4
x y
y
− =

= ±
Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh trªn ta ®îc c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ:
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 7

8. ( ; ) (4;0);( 4;0);(8;4);( 8; 4);x y = − − −
VÝ dô 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 2 2
3( ) 8 .x xy y x y+ + = +
Gi¶i:
Ph¬ng tr×nh ®· cho ®îc viÕt l¹i lµ: 2 2
3 (3 1) 3 8 0(1)x y x y y+ − + − = .
Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi:
2 2 2
(3 1) 12(3 8 ) 0 27 90 1 0.y y y y y∆ = − − − ≥ ⇔ − + + ≥
Do y nguyªn nªn }{0 3 0;1;2;3y y≤ ≤ ⇔ ∈ .
+)Víi y = 0 ta cã x = 0.
+)Víi y = 1 ta cã x = 1.
+)Víi y = 2 vµ y = 2 ta cã kh«ng t×m ®îc x nguyªn.
VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn lµ ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ); ( 1 ; 1 );
PhÇn II: Bµi tËp
D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
a) 2 2
3 17x y− = . b) 2 2
5 17x y− = . c) 2 2
2 1x y− = .
d) 2 2 2
2 12 3x
y+ = − . e) 2 2
15 7 9x y− = . f) 2 2
2 4 37x x y+ + = .
D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
a)5( ) 2 3x y xy+ + = . b)2( ) 3x y xy+ = . c) 2 2
91x y− = .
d) 2 2
6x x y+ + = . e) 2 2
169x y− = . e) 2 2
1999x y− = .
D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh ®èi xøng.
T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a) 1x y xyz+ + = . b) 9x y z xyz+ + + + = . c) x y z t xyzt+ + + = .
d)
1 1
2
x y
+ = . e)
1 1 1 1
1
x y z t
+ + + = . f) 2 2 2 2
1 1 1 1
1
x y z t
+ + + = .
D¹ng 4: Ph¬ng ph¸p lo¹i trõ.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
a) 2 2
6 13 100x xy y− + = . b) 2 3 3
1 x x x y+ + + = . c) 2 3 4 2
1 x x x x y+ + + + = . d)
2
( 1)( 2)( 3)x y y y y= + + + . e) 4 4 3
( 2)x x y− − = . f) 2
( 1)( 7)( 8)x x x x y+ + + = . D¹ng
5: Ph¬ng ph¸p xuèng thang.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 8

9. a) 3 3 2
2 4 0x y z− − = . b) 4 4 4 4
8 4 2x y z u+ + = . c) 2 2 2
2x y z xyz+ + = .
D¹ng 6 vµ D¹ng 7.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
a) 2 2 2
( 1) 3( 1)x y x y+ + = + + . b) 2 2 2
2 2 2 2 2 4x y z xy yz z+ + − − − = . c)
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ − + − = + + .
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 9

10. a) 3 3 2
2 4 0x y z− − = . b) 4 4 4 4
8 4 2x y z u+ + = . c) 2 2 2
2x y z xyz+ + = .
D¹ng 6 vµ D¹ng 7.
Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn.
a) 2 2 2
( 1) 3( 1)x y x y+ + = + + . b) 2 2 2
2 2 2 2 2 4x y z xy yz z+ + − − − = . c)
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ − + − = + + .
Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 9