Modul ini membahas tentang derivatif fungsi siklometri, logaritma, eksponensial, dan parameter. Pembahasan mencakup rumus-rumus dasar dan contoh soal derivatif terhadap fungsi-fungsi tersebut seperti arc sin, ln, e^x, dan fungsi koordinat dalam bentuk parameter. Contoh soal memberikan penjelasan langkah-langkah penyelesaian masalah derivatif pada berbagai fungsi.

1. MODUL 6
DERIVATIVE FUNGSI SIKLOMETRI
Oleh: Muchammad Abrori
A. DERIVATIVE FUNGSI SIKLOMETRI
Fungsi siklometri adalah invers dari fungsi trigonometri misalkan y = sin x, maka dapat
ditulis sebagai x = arc sin y sedangkan x = sin y, dapat ditulis sebagai y = arc sin x.
Supaya y = arc sin x berharga satu maka –1 x 1 dan - y .
2 2
Diberikan : y = arc sin u, dengan u adalah fungsi dari x
u = sin y
du
= cos y
dy
1
u
y
2
1 u
dy dy du 1 du 1 du
dx du dx du dx cos y dx
dy
1 du
=
2
1 u dx
Rumus-rumus :
dy 1 du
1. y = arc sin u
2
dx 1 u dx
dy 1 du
2. y = arc cos u
2
dx 1 u dx
dy 1 du
3. y = arc tg u 2
dx 1 u dx
1

2. dy 1 du
4. y = arc ctg u 2
dx 1 u dx
dy 1 du
5. y = arc sec u
2
dx u u 1 dx
dy 1 du
6. y = arc cosec u
dx 2
u u 1 dx
Beberapa contoh soal :
dy
1. y = arc sin 2x, tentukan
dx
dy
2. y = arc cos (x2 – 5), tentukan
dx
dy
3. y = arc sec 1 x 2 , tentukan
dx
1 x dy
4. y = arc ctg , tentukan
1 x dx
dy
5. y = (9 + x2) arc tg (1/3x) – 3x, tentukan
dx
1 3 dy
6. y = arc tg ( tg x ) , tentukan
15 5 dx
dy
7. y2 sin (x + y) = arc tg x, tentukan
dx
x dy
8. y = arc sin x a , tentukan
2 2
a x dx
dy
9. y = x (arc sin x)2 – 2x + 2 (arc sin x) 1 x 2 , tentukan
dx
B. DERIVATIVE FUNGSI LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONENSIAL
a. Pandang Fungsi Logaritma y = alogu, dengan a > 0, a 1 dan u fungsi dari x
y+ y = alog(u + u )
y = alogu -
y = alog(u + u ) - alogu
2

3. u u u
y = alog = alog(1 + )
u u
dy lim it y lim it y lim it u
dx x 0 x u 0 u x 0 x
u
a log (1 )
lim it u lim it u
=
u 0 u x 0 x
lim it u 1 lim it u 1u du
= a log (1 ) a log e
u 0 u u x 0 x dx
1 du ln e du
= a log e
u dx u ln a dx
1 du
=
u ln a dx
Khususnya apabila diambil a = e, maka diperoleh y = ln u derivative pertamanya adalah :
dy du
1 u
dx dx
b. Pandang Fungsi Eksponensial : y = au, dengan u fungsi dari x
y = au, maka u = alogy
du 1
dy y ln a
dy dy du 1 du 1 du du
y ln a
dx du dx du dx 1 dx dx
dy y ln a
du
= a u ln a
dx
Khususnya apabila diambil a = e, maka diperoleh y = ae dan derivative pertamanya
adalah :
dy u du
e
dx dx
Rumus-rumus :
3

4. dy 1 du
1. y = alogu, a 0 dan a 1
dx u ln a dx
dy du
2. y = ln u 1 u
dx dx
dy du
3. y = au, a > 0 a
u
ln a
dx dx
dy du
4. y = eu e
u
dx dx
Beberapa contoh soal :
dy
1. y = ln (2x – 5), tentukan
dx
dy
2. y = ln2 (2 + 3x), tentukan
dx
2 3
(1 x ) dy
3. y = ln 5
2 4
, tentukan
(1 x ) dx
dy
4. y = ln (x + 1 x 2 ), tentukan
dx
dy
5. y = esin x, tentukan
dx
dy
6. y = 10sin x, tentukan
dx
dy
7. y = ex. ln x, tentukan
dx
dy
8. y = (x2 + 2)3(1 – x3)4, tentukan
dx
9. y = e-2x(sin 2x + cos 2x), carilah hubungan antara y, y , dan y
dy
10. Tentukan dari : a. y = xx
dx
2
b. y = x x
2 dy
11. Jika y = a arc tg 3 x , tentukan
dx
4

5. dy
12. y = cossin x, tentukan
dx
C. DERIVATIVE FUNGSI PARAMETER
Bentuk umum fungsi dalam parameter adalah :
x f (t )
dengan t sebagai parametern ya
y g (t )
Untuk mendifferensialkan fungsi dalam bentuk parameter ini, ambil :
dx
x = f (t) maka = f (t)
dt
dy
y = g (t) maka = g (t)
dt
Menurut pembicaraan di muka berlaku :
dy dy dt dy dy dt f ' (t )
atau
dx dt dx dx dx dt g ' (t )
Rumus :
x f (t ) dy dy dt
y g (t ) dx dx dt
Beberapa contoh soal :
x r cos t
1. Diketahui :
y r sin t
2
dy d y
Hitunglah : a. b. 2
dx dx
x t
2. Diketahui : 2
y 2t t
2
dy d y
Hitunglah : a. b. 2
dx dx
dy dy dt
3. Apabila diketahui :
dx dx dt
5

6. 2 2
dx d y dy d y
2
d y dt dt
2
dt dt
2
Buktikan bahwa : 2 3
dx dx
dt
2
x 2t t
4. Diketahui 5
y t t
2
dy d y
Dengan rumus hitunglah : a. b. 2
dx dx
6