1. Good Sequences
(Div1 B, Div2 D)
DEGwer

2. 問題概要
• good sequenceとは、狭義単調増加な自然数列で
どの隣り合う2項も互いに素でないものとします
• 10^5以下の自然数からなる集合が与えられます
• すべての要素がこの集合に含まれるようなgood
sequenceのうち最長のものの長さを求めてくだ
さい

3. 想定TLE解法
• DP
• dp[i]を自然数iを最後に使ったときのgood
sequenceの最大長としてDP
• dp[k]を求めるのにdp[1]からdp[k-1]までのうち
GCD(k,i)!=1であるようなdp[i]の最大値を求める
必要がある

4. 想定TLE解法
• dp[k]を求めるのに最大で10^5個の組のGCDを
求めなければいけない
• これを10^5回繰り返す
• n=10^5としてO(n^2 log n)
• TLE

5. 想定解法
• やはりDP
• ただし、先ほどとはちょっと違うDP

6. 想定解法
• newdp[k]をkを約数にもつような自然数iに対す
るdp[i]の最大値と定義
• dp[k]を計算するときは、kがiの倍数であるよう
なiに対してnewdp[i]の最大値をとって1をたす
• その後、そのnewdp[i]たちをdp[k]の値で埋める

7. 想定解法
• ぱっと見O(n^2)
• しかし実は、1からnまでの約数の個数の総和は
ならしでO(n log n)
▫ 各約数ごとに、1からnまでにそれぞれn/2,n/3…回
ずつ現れる
▫ これは調和級数
• よって、DPは全体でO(n log n)で処理できる！
• 約数を求めるところも同様にO(n log n)で前処理
できる

8. コーナーケース
• 与えられた集合が{1}の場合、答えは1
▫ 約数でDPするとどこにも属さない
• pretestに入ってる

9. Statastics
• First acceptance: Petr