BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
Β
Materi Aljabar Fungsi Pecahan Rasional
1. MAKALAH FUNGSI RASIONAL
DISUSUN OLEH :
1. Wiwin Ria Utami (06081381419056)
2. Diana Putri Puspita Dewi (06081381419057)
3. Sri Utami (06081381419058)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKANMATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2. FUNGSI RASIONAL
Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasilbagi dua fungsi suku banyak
(polinom). Mislanya
1. π¦ =
2
(π₯+1)3
2. π¦ =
2π₯+2
π₯2β4π₯+8
Fungsi 1 dan 2 dinamakan fungsi rasioanal sejati karena derajat pembilang kurang
dari derajat penyebut. Sedangkan fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai
jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati . Misalnya:
π¦ =
π₯5
+ 2π₯3
β π₯ + 1
π₯3 + 5π₯
= π₯2
β 3 +
14π₯ + 1
π₯3 + 5π₯
Hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut.
Dalam makalah ini akan dibahas beberapa jenis fungsi rasional dan cara menggambar
grafiknya.
1. Fungsi π =
π
π
Fungsi ini tidak memiliki titik potong , nilai dari variable tergantung pada x dan c
Jika : π = +, π₯ = +, ππππ πππππ π¦ = +
π = +, π₯ = β, ππππ πππππ π¦ = β
π = β, π₯ = +, ππππ πππππ π¦ = β
π = β, π₯ = β, ππππ πππππ π¦ = +
Contoh soal: Buat grafik fungsi π₯ =
9
π¦
Penyelesaian : π₯ =
8
π¦
π¦ = + , π₯ = +
π¦ = β, π₯ = β
πππ‘ππ ππππ‘π’ βΆ π¦ = Β±2 , π₯ = Β±4
π¦ = Β±1 , π₯ = Β±8
3. π΄π ππ ππ‘ππ‘ ππ¦π πππ ππ (0,0)
πΊπππππ ππ’πππ π π₯ =
8
π¦
βΆ
2. Fungsi π¦ =
π
π₯ 2
Fungsi ini tidak memenuhi untuk menentkan titik potong. X akan selalu positif karena
merupakan dalam bentuk kauadrat yang menentukan adalah nilai dari C
Jika: π = +, π¦ = +
π = β, π¦ = β
Contoh soal :
Buat grafik fungsi π¦ =
25
π₯2
Penyelesaian: π¦ =
25
π₯2
π½πππ βΆ π₯ = +, π¦ = + πππ π₯ = β, π¦
= + ππππππ‘π ππππππ ππππππ ππππ ππ’πππππ ππ πΌ πππ πΌπΌ
πππ‘ππ ππππ‘π’ π₯ = Β±1, π¦ = 25 πππ π₯ = Β±5, π¦ = 5
Gambar π₯ =
8
π¦
4. πΊπππππ ππ’πππ π π¦ =
25
π₯2 βΆ
3. Fungsi π¦ =
ππ₯+π
ππ₯+π
π β 0, jika π = 0 maka bentuk ini disebut fungsi linier .
π
π
β
π
π
, jika
π
π
=
π
π
maka pecahan
tersebut harus disederhanakan. Langkah dalam membuat grafik dengan menentukan:
ο· Titik potong sumbu x , π¦ = 0
ππ₯ + π = 0
π₯ =
βπ
π
(
βπ
π
, 0)
ο· Titik potong sumbu y, π₯ = 0
π¦ =
0 + π
0 + π
π¦ =
π
π
(0,
π
π
)
ο· Asimtot datar
π¦ =
π
π
Gambar π¦ =
25
π₯2
7. 4. Fungsi y =
ax2
+bx+c
px+q
Fungsi π¦ =
ππ₯2+ππ₯+π
ππ₯+π
merupakan bentuk yang ke empat dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Bentuk fungsi ini sedikit berbeda dari bentuk fungsi sebelumnya, karena fungsi ini
tidak memiliki asimtot datar. Pada fungsi ini hanya memiliki asimtot tegak dan asimtot
miring. Cara mencari asimtot tegak dapat dengan menggunakan rumus ππ₯ + π = 0, dimana
akan didapatkan nilai x dengan rumus π₯ =
βπ
π
, selain itu cara mencari nilai dari asimtot
miring ialah dengan menggunakan rumus π¦ =
ππ₯2+ππ₯+π
ππ₯+π
dimana π¦ = ( ππ₯ + π) +
π
ππ₯+π
dari
rumus itu yang menjadi asimtot miringnya adalah π¦ = ππ₯ + π. Misalkan π¦ =
4π₯2β20π₯+49
4π₯β12
Harga pembilang positif untuk tiap harga x, maka fungsi tidak mempunyai titik nol, lalu
dapat dicari asimtot tegaknya, dari soal itu dapatkan nilai asimtot tegaknya yaitu π₯ = 3 cara
mencarinya juga menggunakan rumus asimtot tegak. Tititk potong fungsi dengan sumbu y
adalah (0 , 4
1
2
). Sedangkan asimtot miringnya dapat dicari dengan membagi antara
pembilang dengan penyebut, setelah itu akan didapatkan persamaan π¦ = π₯ β 2 +
25
4π₯β12
dari
persamaan itu didapatkan asimtot miringnya yaitu π¦ = π₯ β 2 , apabila R itu sesuatu titik pada
garis lengkung yang absisnya x, tentulah ordinatnya π₯ β 2 +
25
4π₯β12
, apabila S menyatakan
asimtot miringnya adalah π¦ = π₯ β 2 yang absisnya sama tentulah ordinat S sama dengan π₯ β
2. Hanya 2 asimtot itu sajalah yang ada pada bentuk keempat dari fungsi pecahan. Adapun
sebab-sebabnya adalah agar supaya titik π = (π₯, π¦) dapat bergerak melalui garis lengkung
ketempat yang jauhnya tak terhingga, mestilah x atau y menjadi besar tak terhingga. Harga π¦
hanyalah tak berhingga, apabila harga pembilang fungsi yang ditentukan itu menjadi tak
berhingga, ataupun jika penyebutnya mendekati nol tak bersyarat. Bagaimanapun juga, harga
π₯ mestilah menjadi besar tak berhingga, ataupun mendekati 3 tak bersyarat. Dalam hal yang
pertama jarak R terhadap asimtot miring mendekati harga nol dan dalam hal yang kedua,
jarak R terhadap asimtot tegak π₯ = 3, selain itu tidak akan ada lagi asimtot yang lainnya.
Selain asimtot hal yang harus dicari adalah harga-harga ekstrim. Yang dapat digunakan untuk
mencari harga-harga ekstrim itu ialah bahwa dikatakan bahwa sesuatu harga x yang riil yang
menghasilkan harga y tersebut, bahwa y umpamanya tidak mungkin sama dengan nol. Harga-
8. harga x yang dalam hal ini menghasilkan harga-harga y yang ditanyakan itu, dapat dicari
dengan persamaan
4π₯2β20π₯+49
4π₯β12
= π¦ persamaan ini ekivalen dengan
4π₯2β20π₯+49βπ¦(4π₯β12)
4π₯β12
= 0 dan oleh karena 4π₯2
β 20π₯ + 49 tidak dapat dibagi dengan
π₯ β 3 , persamaan itu ekivalen pula dengan persamaan
4π₯2
β 4( π¦ + 5) π₯ + 12π¦ + 49 = 0 ........................................ (1)
Akar-akar persamaan ini riil, apabila dipenuhi syarat :
1
16
π· = (π¦ + 5)2
β (12π¦ + 49) =
π¦2
β 2π¦ β 24 = ( π¦ β 6)( π¦ + 4) β₯ 0 ππππ πππππππ π¦ β₯ 6 ππ‘ππ’ π¦ β€ β4.Untuk π¦ =
6 ππππππππβ π₯ = 5
1
2
, sedangkan untuk π¦ = β4 diperoleh π₯ =
1
2
. Untuk harga y ini
diskriminan D dari persamaan (1) sama dengan nol, sehingga yang perlu dihitung hanyalah
separuhnya dari hasil jumlah akar-akar pada persamaan (1). Untuk β4 < π¦ < 6 persamaan
(1) tidak menghasilkan akar-akar yang riil. Dengan demikian ruang diantara garis π¦ =
β4 πππ π¦ = 6 tidak mengandung titik-titik garis lengkung. Dari situ diperoleh bahwa titik
yang serendah-rendahnya adalah (5
1
2
, 6) semua titik yang lain pada cabang atasnya terletak
diatas garis π¦ = 6, dan yang tertinggi adalah (
1
2
, β4) semua titik yang lain pada cabang
bawahnya terletak dibawah garis π¦ = β4. Itulah yang merupakan titik ekstrim dari
persamaan yang telah dibuat tadi.
Contoh Soal:
Gambarkan sketsa grafik π¦ =
π₯2β2π₯β3
2π₯β9
Penyelesaian :
ο· Titik potong sumbu x
Untuk π¦ = 0
ππ₯2
+ ππ₯ + π ππππ π₯2
β 2π₯ β 3 = 0 diperoleh akar-akarnya ( π₯ β 3) πππ (π₯ + 1) jadi x1 =
3 dan x2 = -1, maka (3,0) πππ (0,β1)
ο· Titik potong sumbu y
Untuk π₯ = 0
10. 5. Fungsi
ax2
+bx+c
px2+qx+r
Fungsi π¦ =
ππ₯2+ππ₯+π
ππ₯2+ππ₯+π
merupakan bentuk yang ke lima dari macam-macam bentuk fungsi
pecahan. Pada fungsi ini memiliki asimtot datar dan asimtot tegak, namun selain itu bentuk
fungsi ini juga memiliki titik potong asimtot datar. Cara mencari asimtot tegak ππ₯2
+ ππ₯ +
π = 0, selain itu cara mencari nilai dari asimtot datar π¦ =
π
π
. Titik-titik nol π¦ =
ππ₯2+ππ₯+π
ππ₯2+ππ₯+π
diperoleh dengan jalan mencari harga-harga x dari persamaan ππ₯2
+ ππ₯ + π = 0 dengan
demikian mungkin terdapat dua titik nol yang berlainan dan mungkin juga dua titik nol yang
berimpit, tapi mungkin pula perhitungan sama sekali tidak menghasilkan titik nol. Ordinat
titik potong sumbu y ialah
π
π
π’ππ‘π’π π = 0 πππ π β 0 titik itu terletak pada tempat yang
jauhnya tak berhingga maka dalam hal ini sumbu y merupakan asimtot dari pada fungsi.
Berbicara mengenai kutub berimpit, apabila penyebut fungsi mempunyai bentuk (ππ₯ + 1)2
hal itu sesuai dengan pengertian titik berimpit (titik singgung dengan sumbu-x), yang
dipergunakan apabila pembilang fungsi merupakan kuadrat dari pada suatu bentuk linear
dalam x.
Fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk :
π =
π+
π
π₯
+
π
π₯2
π+
π
π₯
+
π
π₯2
π’ππ‘π’π | π₯| β β πππππ‘ππ¦π π πππ ππππππ
π
π
apabila x itu melukiskan
suatu absis yang tertentu, maka selisih diantara ordinat pada garis lengkung yang
bergandengan dan
π
π
sama dengan
1
π2
.
1
π₯
.
ππβππ+
ππβππ
π₯
1+
π
ππ₯
+
π
ππ₯2
untuk | π₯| β β mempunyai limit nol.
Dengan demikian π¦ =
π
π
πππππβ ππ πππ‘ππ‘ πππ‘ππ.
Pada fungsi ini, garis lengkung ittu pada umumnya dipotong pula oleh asimtot datar
π¦ =
π
π
. Absis titik potong itu dapat ditemukan dari persamaan
ππ₯2+ππ₯+π
ππ₯2+ππ₯+π
=
π
π
ππ‘ππ’ βΆ
( ππ β ππ) π₯ + ππ β ππ = 0. Sebelum grafik digambar, hendaklah ditetapkan dahulu
dititik nol, titik potong dengan sumbu y, asimtot-asimtot, titik potog dengan asimtot datar,
kemudian tempat garis lengkung disekitar asimtot-asimtot itu, dan tidak lupa menghitung
harga dari titik ekstrimnya.
11. Contoh Soal :
Gambarkan grafik dari fungsi π¦ =
3π₯2β18π₯β21
2π₯2β17π₯+30
Penyelesaian :
π¦ =
3π₯2
β 18π₯ β 21
2π₯2 β 17π₯ + 30
ο· Titik potong sumbu x
Untuk y = 0
ππ₯2
+ ππ₯ + π = 0 maka 3π₯2
β 18π₯ β 21 = 0 untuk memudahkan mencari akar-akarnya
maka bilang tersebut harus dibagi 3 hingga diperoleh π₯2
β 6π₯ β 7 maka akar-akarnya adalah
( π₯ β 7) πππ (π₯ + 1) jadi diperoleh x1 = 7 dan x2 = -1
ο· Titik potong sumbu y
Untuk x = 0
π¦ =
π
π
ππππ ππππππππβ π¦ =
β21
30
ππ‘ππ’
β7
10
ππππ (0,β
7
10
)
ο· Asimtot tegak
2π₯2
β 17π₯ + 30 = 0 ππππππππβ ππππ β ππππππ¦π π¦πππ‘π’ (2π₯ β 5)( π₯ β 6) dengan x1 =
5
2
atau x2 = 6
ο· Asimtot datar
π¦ =
π
π
ππππ ππππππππβ π¦ =
3
2
ο· Titik potong asimtot datar
3π₯2
β 18π₯ β 21
2π₯2 β 17π₯ + 30
=
3
2
ππππ ππππππππβ
6π₯2
β 36π₯ β 42 = 6π₯2
β 51π₯ + 90 ππππ’ ππππππππβ
13. LATIHAN
1. Sketsakan grafik π¦ =
16
π₯2
2. Gambarkan grafik fungsi π¦ =
β2π₯+7
3π₯β5
, kemudian tentukanlah titik-titik potong
grafik itu dengan garis 2π₯ + 3π¦ = 13
3. Tentukan Asimtot dari π¦ =
2π₯2
β20π₯+32
π₯2β16π₯+60
4. Gambarkan grafik π¦ =
π₯2
β6π₯β7
π₯2β7π₯+6
5. Gambarlah grafik π¦ = 2π₯ + 3 dan π¦ =
18
π₯
; pada salib sumbu itu juga gambarlah
grafik π¦ = 2π₯ + 3 +
18
π₯
6. Gambarlah sketsa grafik π¦ =
π₯2
+3π₯+6
π₯+5
7. Carilah asimtot-asimtot dari fungsi π¦ = π₯ +
1
π₯
dan gambarkan grafiknya
8. Gambarlah sketsa grafik π¦ =
1
(π₯β5)2
9. Grafik π¦ =
2π₯2
+5π¦β10
ππ₯2+ππ₯+π
berasimtot garis y=2, x=1, x=-2 . hitunglah nilai p, q, dan r
serta gambar sketsa grafiknya?
10. Gambarlah sketsa grafik π¦ =
2π₯2
β21π₯+52
2π₯β9
19. DAFTAR PUSTAKA
Kuipers.L dan Rawuh.1963.Aldjabar Rendah.Jakarta.:Pradnjaparamita
Purcell.Edwin J. dan Dale Varberg. 1987.Kalkulus dan Geometri Analitik.Jakarta:Erlanggai
Irawan.Rully.2014.Grafik Fungsi Rasional. http://soulmath4u.blogspot.com/2013/10/grafik-
fungsi-rasional.html (online).diakses 13 mei 2015