1. Concurso de Secundaria 2014 - 2015
Segunda etapa
Nivel III
Bienvenido a la Segunda Etapa del Concurso de Secundaria de la Olimpiada de
Matemáticas del Distrito Federal.
✄ Contesta el examen en la hoja de respuestas anexa.
✄ Cada respuesta correcta vale 5 puntos, cada respuesta en blanco vale 1 punto, y
cada respuesta incorrecta vale 0 puntos.
✄ Tienes 90 minutos para resolver el examen.
✄ Recuerda que no puedes usar calculadoras, teléfonos celulares, tablas, libros, apun-
tes, etc.
1. El número N cumple la ecaución:
2 + 3 + 4
3
=
2012 + 2013 + 2014
N
. ¿Cuál es el valor de
N?
a) 3 b) 2012 c) 2013 d) 2014
2. Isabel, Leo, Alejandra, Alicia, Ian y Toño se sentaron alrededor de una mesa circular
en un restaurante. Ni Isabel, ni Alicia, ni Toño se sentaron junto a otro de ellos tres.
Además, los nombres de cualesquiera dos personas que estaban sentadas juntas
empezaban con letras distintas. ¿Quién estaba sentado en el lado contrario de la
mesa de donde estaba Toño?
a) Alejandra b) Alicia c) Leo d) Toño
3. Si se multiplican cinco números enteros consecutivos, ¿cuál es el dígito de las uni-
dades del producto?
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5
1

2. 4. Los triángulos BCD y AEF son isósceles e iguales. El perímetro del rectángulo
ABDE es 28, CF = 12, DE = 6. ¿ Cuánto vale área del hexágono ABCDEF?
A
B
C
D
E
F
a) 48 b) 60 c) 72 d) 80
5. Si A es el 30 % de C, C es el 20 % de D y B es el 50 % de D, ¿cuánto vale A
B ?
a) 3
25 b) 1 c) 6
5 d) 4
5
6. El cuadriátero ABCD tiene área 10, si K, L, M, N son los puntos medios de AB, BC, CD, AD
respectivamente, ¿cuál es el área del cuadrilátero KLMN?
A
B
C
D
K
L
M
N
a) 5
2 b) 10
3 c) 5 d)
√
2 · 5
2

3. 7. La altura de un rectángulo es cinco cuartos de la base, el área del rectángulo es 500.
¿Cuánto mide el perímetro?
a) 20 b) 25 c) 45 d) 90
8. Un número se llama pentagonal si es múltiplo de 5 o la cifra de las decenas es 5.
¿cuántos números pentagonales menores a 2014 hay?
a) 402 b) 562 c) 570 d) 602
9. En el quinto grado todos tienen hermanos. La tercera parte de los chicos tiene 2
hermanos, el resto tiene solo un hermano. Si vienen todos los chicos de quinto
grado con sus hermanos hay un total de 91 chicos. ¿Cuántos chicos hay en quinto
grado?
a) 13 b) 26 c) 35 d) 39
10. El triángulo ABC cumple que AB = BC = 10. Se toman puntos D, E, F sobre AB,
AC y BC de forma que BDEF es un paralelogramo. ¿Cuál es el perímetro del para-
lelogramos BDEF
A
B
C
D
E
F
a) 10 b) 17,5 c) 20 d) 22,5
11. Sea S = 9 − 16 + 23 − 30 + 37... + 695 − 702. ¿Cuál es el valor de S?
a) −1532 b) −350 c) −7 d) 0
3

4. 12. Luis, Gerardo, Alejandro, Fernández y Roberto están en la fila de la cafetería en
ese orden. En la cafetería solo quedan 5 sandwiches y es posible que alguno de
ellos pida más de un sandwich y por ende que a alguno de ellos ya no le toque
sandwich. Además se sabe que cada que le toque pasar a alguno de ellos, si todavía
hay sandwiches, él pedirá al menos uno. ¿De cuántas formas se pueden hacer los
pedidos?
a) 10 b) 15 c) 16 d) 20
13. En la siguiente figura están marcados los ángulos a, b, c y d. ¿Cuánto vale a+b+c+d?
a
b
c
d
a) 180◦ b) 270◦ c) 360◦ d) 540◦
14. Se sabe que a y b son números enteros positivos. Sabemos que b2 + ab + 5(a + b) =
10b + 50, ¿cuál es el valor de a + b?
a) 5 b) 10 c) 50 d) No se puede determinar
15. Decimos que un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de
derecha a izquierda. ¿Cuántos números capicuas se pueden formar reordenando
los dígitos del número 1314113422?
a) 60 b) 120 c) 168 d) 240
4

5. 16. En la siguiente figura el triángulo ABC es equilátero y uno de sus lados mide 2.
También se sabe que A es punto medio de BP, que B es punto medio de CQ y que
C es punto medio de AR. ¿Cuál es el área de el trángulo PQR?
A
B
C
P
Q
R
a) 7
√
3 b) 21 c) 14
√
3 d) 63
√
3
4
17. Inicialmente, las casillas 1 y 3 del tablero mostrado están pintadas de blanco, mien-
tras que las casillas 2 y 4 están pintadas de negro. Cada determinado tiempo, una
de las casillas cambia su color al color opuesto. Si las casillas cambian en el or-
den: 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, . . . ¿Cuál será el aspecto del tablero después del cambio núme-
ro 2005?
1 2
4 3
a) b)
1
4 c) d)
5

6. 18. En la junta internacional hay 5 personas, se sabe que no hay dos personas que se-
pan todos los idiomas oficiales de la junta. Además, entre cualesquiera tres perso-
nas saben hablar todos los idiomas oficiales. ¿Cuál es el mínimo número de idio-
mas oficiales que debe haber para que esto sea posible?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 16
19. Hay 2014 luciérnagas apagadas formadas en una fila. En el primer movimiento, to-
das las luciérnagas se encienden por un instante y se vuelven a apagar, para el
movimiento 2, se encienden y apagan todas las que están en posición par, en ge-
neral, en el movimiento n se encienden todas las que estén en posición múltiplo
de n. El proceso continúa hasta el movimiento 2014. ¿Cuántas veces se encendió la
luciérnaga que se encuentra en el lugar 2014?
a) 8 b) 10 c) 15 d) 2010
20. Se cumple la igualdad 2a = 3b = 36. ¿Cuánto vale 1
a + 1
b ?
a) 1
2 b) 5
6 c) 2 d) 6
6