Συνδυαστική

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 2 1
ΠΛΗ20 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 2
Συνδυαστική (∆ιανοµές - Πιθανότητες)
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Συνδυαστική – Μάθηµα 2: Συνδυασµοί (ξανά)
• Συνδυαστική – Μάθηµα 3: ∆ιατάξεις (ξανά)
• Συνδυαστική – Μάθηµα 4: ∆ιανοµές σε Υποδοχές
• Συνδυαστική – Μάθηµα 7: Πιθανότητες
Ιδιαίτερα προσπαθήστε να κάνετε καλή επανάληψη στις µεθοδολογίες για την επίλυση των ασκήσεων
του µαθήµατος 4.
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Σηµειώνεται ότι οι ασκήσεις αφορούν πλέον όλην
την ύλη της βασικής συνδυαστικής (Μαθήµατα 1 εώς 5 και µάθηµα 7), ώστε να πρέπει να εντοπίσετε
από την εκφώνηση στο σύνολο της ύλης της συνδυαστικής.
Κάθε οµάδα ερωτήσεων (Σ/Λ) πρέπει να έχει απαντηθεί εντός 7 και όλες οι ασκήσεις εντός του
συνιστώµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Μελέτης των Μαθηµάτων: 1.00’
Χρόνος Απάντησης Ερωτήσεων : 28’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 2.00’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 2 2
Ερωτήσεις
Ερωτήσεις 1
Ο αριθµός των τρόπων να τοποθετήσουµε n διακεκριµένα αντικείµενα σε m διακεκριµένες υποδοχές,
όταν έχει σηµασία η σειρά των αντικειµένων στις υποδοχές, είναι ίσος µε:
1. mn
2. Τον αριθµό των διατάξεων n αντικειµένων από n + m - 1.
3. Τον αριθµό των συνδυασµών n αντικειµένων από n + m - 1.
4. Τον συντελεστή του xn
στην παράσταση (1 + x + x2
+ x3
+…)m
.
Ερωτήσεις 2
Οι ακέραιες λύσεις 1, 1, ,6ix i≥ = K της εξίσωσης
6
1
7i
i
x
=
=∑ είναι:
1. Όσες τα διαφορετικά αποτελέσµατα της ρίψης δύο ζαριών στο τάβλι
2. Όσες τα διαφορετικά αποτελέσµατα της ρίψης ενός νοµίσµατος (κορώνα-γράµµατα) 5 φορές
όταν δεν παίζει ρόλο η σειρά των αποτελεσµάτων
3. 7
4. Όσες ο συντελεστής του x στη παράσταση 6
(1 )x+
Ερωτήσεις 3
Θεωρούµε τα αποτελέσµατα της ρίψης δύο ίδιων ζαριών (ένα ζάρι µπορεί να φέρει 1,2,3,4,5,6 όλα τα
ενδεχόµενα είναι ισοπίθανα). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι?
1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 36.
2. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 21.
3. Η πιθανότητα το άθροισµα των αποτελεσµάτων ζαριών να είναι ίσο µε 7 είναι 1/6
4. H πιθανότητα τουλάχιστον ένα ζάρι να φέρει 6 είναι 9/36
Ερωτήσεις 4
Θεωρούµε την κλήρωση ενός αριθµού από το 1 εώς το 10 από 4 διακεκριµένες κληρωτίδες. Ποιες από
τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι?
1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 104
.
2. Η πιθανότητα να ερθει άρτιος αριθµός σε όλες τις κληρώσεις είναι 1/16
3. Η πιθανότητα να έρθει άρτιος αριθµός σε τουλάχιστον µία κλήρωση είναι (9/10)4
.
4. Η πιθανότητα να µην έρθει άρτιος αριθµός είναι (9/10)4

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 2 3
Ασκήσεις
Άσκηση 1
10 επιβάτες που θεωρούνται διακεκριµένοι, βρίσκονται µέσα σε ένα λεωφορείο και αποµένουν 3
στάσεις (ΣτΑ, ΣτΒ, ΣτΓ)
1. Με πόσους τρόπους µπορούν να αποβιβαστούν όλοι οι επιβάτες από το λεωφορείο µε
δεδοµένο ότι σε κάθε στάση µπορούν να αποβιβάζονται από κανένας έως και 10 επιβάτες;
2. Με πόσους τρόπους µπορούν να αποβιβαστούν όλοι από το λεωφορείο αν πρέπει να κατέβουν
από 4 σε δύο οποιεσδήποτε στάσεις και 2 στην άλλη;
Για όλα τα ερωτήµατα θεωρήστε ότι δεν έχει σηµασία η σειρά µε την οποία αποβιβάζονται οι επιβάτες
στις στάσεις.
Άσκηση 2
Υποθέτουµε ότι έχουµε ένα κυκλικό τραπέζι n θέσεων. Με πόσους τρόπους µπορούν να κάτσουν καλεσµένοι k
διακεκριµένοι άνδρες και m διακεκριµένες γυναίκες αν δεν µπορούν να κάθονται άνδρες σε διπλανές θέσεις
(Θεωρήστε ότι k+m=n);
Σηµείωση: Θεωρούνται όµοιοι δύο τρόποι, αν κινούµενοι δεξιόστροφα γύρω από το τραπέζι συναντήσουµε µε
την ίδια σειρά τα ίδια άτοµα.
Άσκηση 3
Το χρωµατολόγιο µιας εταιρίας χρωµάτων αποτελείται από 8 βασικά χρώµατα από τα οποία
παράγονται όλα τα υπόλοιπα αναµιγνύοντάς τα µε συγκεκριµένη δοσολογία ((δόσεις)).
1. Πόσα χρώµατα παράγονται µε ανάµειξη το πολύ τριών από τα βασικά αν µπορούµε να
χρησιµοποιήσουµε µια µόνο δόση από το κάθε ένα?
2. Αν έχουµε µία µόνο δόση από κάθε βασικό χρώµα και θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα χρώµα
των 4 δόσεων, ένα χρώµα των 3 δόσεων και ένα χρώµα της 1 δόσης µε πόσους τρόπους
µπορεί να γίνει αυτό?
3. Αν έχουµε µία µόνο δόση από κάθε βασικό χρώµα και θέλουµε να κατασκευάσουµε δύο
χρώµατα των 3 δόσεων και ένα χρώµα των δύο δόσεων µε πόσους τρόπους µπορεί να γίνει
αυτό?
Άσκηση 4
Ο Γιάννης και η Μαρία παίζουν το εξής παιχνίδι ρίχνοντας ταυτόχρονα 4 διακεκριµένα ζάρια: Αν τουλάχιστον
ένα ζάρι φέρει τον αριθµό 6 κερδίζει ο Γιάννης. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις κερδίζει η Μαρία. Ποια η
πιθανότητα του κάθε παίκτη να κερδίσει το παιχνίδι. Θα αλλάξει κάτι στο συλλογισµό σας αν τα ζάρια δεν είναι
διακεκριµένα;

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επανάληψη 2 4
Άσκηση 5
(1) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο γράφηµα έχει το K100;
(2) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο γράφηµα έχει το Κ200;
(3) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο γράφηµα έχει το Κ300;
Άσκηση 6
Σε ένα εκλογικό κέντρο 300 ψηφοφόρων υπάρχουν 3 υποψήφιοι δήµαρχοι, ο Α, ο Β και ο Γ. Έχουν
ψηφίσει 200 ψηφοφόροι και ο Α έχει πάρει 90 ψήφους, ο Β 60, ο Γ 40, 5 είναι άκυρα και 5 λευκά.
Πόσοι δυνατοί τρόποι ψηφοφορίας των υπόλοιπων 100 ψηφοφόρων εξασφαλίζουν στον Α εκλογή
από τον πρώτο γύρο (42%+1 επί των εγγεγραµµένων ψηφοφόρων, δηλαδή 127 ψήφους και άνω) µε
την προϋπόθεση ότι και οι 100 ψηφοφόροι θα προσέλθουν στο εκλογικό κέντρο;