1) Προτασιακή Λογική 1.1) Προτασιακή Γλώσσα 1.2) Προτασιακοί Τύποι 1.2.1) Προτεραιότητα Συνδέσμων 1.2.2) Δενδροδιάγραμμα Τύπου 1.3) Αποτίμηση Τύπου 2) Χαρακτηρισμός Τύπων 2.1) Ταυτολογία 2.2) Αντίφαση 2,3) Ικανοποιήσιμος Τύπος 3) Κανονική Διαζευκτική Μορφή Μεθοδολογία - Ασκήσεις

1. 20
2:
2.1:
!
!"
# $%& $
' $% % ( !"' $% % ( !"
) # # !"
* # !" $
!
$ + #
) , $ !"
) - $ $ ' . +
- $ # #
/
) /+ &
. " #
$%
&'(
) #
! ! *$# + #
$% ,
(-)(-)
$%
(-)
B. -$.
&
!
& $ ! $ ! ! $' #! $
:
! ( ! &'( , #! " .
" $ ! #!%# * # $ $ )$ $ /! # !
$0 & # $ # $ .
$ /! # ! $ $#) $ # " (% ' ) ") , $# * ! $
% &'( $ # ! ! ! $' #! ' /!
$ ' $ % / # $ ' & , '' $ & + #
" #:
'( ( 0- '( , 0) $ ! ' ' & #
! $' $ $ # $ ! (' $ ) ($#%/ ).
'( & & ( 1- '( , 1) $ !
). /! ' & # $ ! ! $' $ $ ' $
$ .! (!.
…. ''/ " # $ ! $ " ' ….

2. B. -$.
1. &
1. '(
"
B. -$.
1. &
2.
#
)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬
B. -$.
1. &
2. (1. $ " #!%/ .!)
$
*$ $ " .! ' & (! $'$ (!, ( $ ! ! $ !
! & ' $! $ .! (! .!:
%$ & :
1. $ 1 ! $ " .! #!%/ .! $! $ $ :
2. $ 1 ! $ " .! #!%/ .! $! $ $ :
3. $ 1 ! $ " .! #!%/ .! $! $ $ .
$0 :
qp ∧¬ ))(( qp ∧¬
rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→
rqqp ¬∨↔¬∧
( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧
B. -$.
1. &
2. (2. $!% % & # #)
%
$ " .! ' & (! #!%/ .! # %$ ! $ $
%$!% % & # # # # %$ ! $ ! $ " .!
'"& (! 0$.!.
: $# $ %$!% % & # #: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
%$!% % & $ $ $ 1 «% ()! # $» !
' & " !%$ $ ! ) '" $ $ " .
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→
p q¬ rp → q¬
qq p r

3. B. -$.
1. &
3. #
&
.! $ 1' (! $ ! ! ! / # $ / (= ' $ ) (= / )
/ $ 1' / $!" #. ! % ' % #! #
% !$ / / $ 1' / :
$!" # $ ! % % # $+ "* # $ $ /! # !
' 0 # $ " /! $ ! ' $#% ! ' & $ !
},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa
$ .! $ 1' (!, $ ! # $ /! !
" , $ 1 ! ' ! .! (! #!%/ .!:
' 0 # $ " /! $ ! ' $#% ! ' & $ !
.! (! $ 1' (!.
' ' ' ' ' '
' '
' ' ' '
' ' '
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
B. -$.
1. &
3. #
2 $ $ & ! ' ! .! #!%/ .!:
' ' ' ' ' '
' '
' ' ' '
' ' '
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
2 $ $ & ! ' ! .! #!%/ .!:
/)$ ! ! $ " !
$ ! "! " !
$ ! ! / . /! " $ !
$ ! "! " !
$ ! ! / . /! " $ !
$ ! "! " ! (% ' % )
$ ! $ $ '' $ . ) #!:
$ ! " ! (/) #! ! % )
$ ! " ! (/) #! % + $ )
φ¬ φ
ψφ ∧ Α==ψφ
ψφ,
ψφ ∨ Ψ==ψφ
ψφ,
ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α
Α=→Ψ ... Α=Α→...
ψφ ↔ ψφ =
ψφ ≠
B. -$.
1. &
3. #
$ ) # ! ' $ .! (! #!%/ .! $ !
# $ !% $ " , " ! /) # $ &!(
.! (! $ 1' (!:
2 + !$ $ " .! $'$ (! / ( $ ! ! # $
. ! $ .! ' & (! 0$.!:
1: $ : # " ! .!
$ 1' (!:
:
2: $ : # " ! .!
$ 1' (!:
:
rqqp ¬∨→¬∧
Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp
rqqp ¬∨→¬∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp
Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa
B. -$.
2. 2 " .!
3! " ) *$ :
# ' & : ! $ ! ' & $
! + : ! $ ! $#% & $
! : ! # )$ & ! $ ! ' .

4. B. -$.
2. 2 " .!
1. # ' &
! $0 1( # $ " /! $ ! # ' & , / $ :
$ ! $# # $ ! ! ' $ .
- / $ ! $ ! $ $ & : (' )
" :
3! " $ ! # ' & ! $ ! ' & "'$
$ .! $ 1' (!.
- / $ ! $ ! $ $ & : (' )
$ ! ) $ & ! % # #
: $'$ $ ! $ ! # ' &
’ " :
$# * # $ ! ! ' $ # #:
#!$ ( $ ! # ' &
,’ " : $ " $ ! ! , $ ! $ !
! '
( ) qpp →¬∧
' '
'
'
( ) qpp →¬∧qp
( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧
( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧
( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ
( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
( )pp ¬∧ ...→Ψ
B. -$.
2. 2 " .!
2. ! +
!
! $0 1( # $ " /! $ ! ! + , / $ :
$ ! $# # $ ! ! ' $ .
- / $ ! $ ! $ $ & : ($#% )
" :
3! " $ ! ! + ! $ ! 4$#% & "'$
$ .! $ 1' (!.
- / $ ! $ ! $ $ & : ($#% )
$ ! ) $ & ! % # #
: $'$ $ ! $ ! ! +
’ " :
$# * # $ ! ! ' $ # #:
#!$ ( $ ! ! +
,’ " :
! p= , " $ $ !
! p=A, " $ $ ! . ‘ $ ! ! + .
( )pqp →¬∧
' '
'
'
qp ( )pqp →¬∧
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α
( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ
( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
Ψ=∧Ψ ...
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q
B. -$.
2. 2 " .!
3. !
"
! $0 1( # $ " /! $ ! ! , / $ :
$ ! $# # $ ! ! ' $ .
- / $ ! $ ! $ #' ) ! & : (' )
$ ! ) $ & ! % # #
" : 3! " $ ! ! ! $ ! ' &
#' ) ! .! (! $ 1' (!.
$ ! ) $ & ! % # #
: $'$ $ ! $ ! !
:
$# * # $ ! ! ' $ # #:
5 $ ! /! ! (& .). ! $ $ ! p=A, q=A)
( )qpp →→
' '
'
'
qp ( )qpp →→
( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp
! "! $ # ' & $ ! ! !
B. -$.
3. ! ! *$# +
#
" :
3! $ ! $ ! ! % *$# + ( ), ! $ ! + :
" # $ 4i $ ! + :
xij $ ! $ 1' / ! $ (! $ 1' (!
nψψψ ∨∨∨ ...21
1 2
... mi i ix x x∧ ∧ ∧
$ & +$ $ ! ! % *$# + $ ! $0 % % :
xij $ ! $ 1' / ! $ (! $ 1' (!

5. B. -$.
3. ! ! *$# +
, 1: $# ' !
$
: 1 $ $ . . . # #:
:
$# * # $ ! ! ' $ # #:
( )rqp →¬→
' ' '
' '
qp ( )rqp →¬→r
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
! ' $ $ ! 2 , ! 5 , ! 6 , ! 7 ! 8 & .
' '
' '
'
' '
'
'
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
B. -$.
3. ! ! *$# +
, 2-3: 0 &.& ! ! *$# +
%
(… #!/)$ …)
+ # $ $ & # ' $ $ ! *$#0 :
• 2 & :
• 5 & :
• 6 & :
rqp ¬∧∧
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧∧¬
• 6 & :
• 7 & :
• 8 & :
#!$ ( ! ! % *$# + # # $ ! :
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧¬∧¬
rqp ¬∧¬∧¬
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧
( )rqp →¬→
. $ % ' &
1. !. / +/ .!
&() *)
. $ % ' &
1. !. / +/ .!
() *)

6. . $ % ' &
1. !. / +/ .!
() *)
. $
5 !" 1
1. $ :
$% /! (p)=A, (q)= , (r)=
2. $ :
)( qrpp ¬→↔¬∧
2. $ :
$% /! (p)= , (q)= , (r)=
)()( rqqp ∧¬∨∧¬
. $
5 !" 2
$# $ $ ! ! ' $ .! .!:
)
,)
)()(1 qpqp ∨↔∧=φ
))(()(2 ppqpp →→→→=φ
)
$ 1 ! ! ' $ ! $0$ $ $ & $ , ! $ !
# ' & , ! + ! .
)()(3 qrrp →∨¬∧=φ
. $
5 !" 3
!
$0$ $ $ ! "' # $ ! # ' & , ! +
! $# * ! ! ! ' $ #:
( )rqp →→=1φ

7. . $
5 !" 4
"
1 $ $ ! ! ! % *$# + # #:
qpqp ∧→∨=1φ
. $
. $ 1
#
. $ ! # ' & $ .
1. 1 2 1( )p p p∨ →
2.
3.
4.
1 1 2( )p p p→ ∨
1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧
1 1 2( )p p p→ →
. $
. $ 2
$
# . # p1, p2 $ ! / $ 1' /
1.1. $ ! # ' &$ ! # ' &
2.2. $ !$ ! # ' &# ' &
1 2 1( )p p p∨ →
1 2 1( )p p p∧ →2.2. $ !$ ! # ' &# ' &
3.3. $ !$ ! # ' &# ' &
4.4. $ ! # ' &$ ! # ' &
1 2 1( )p p p∧ →
1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨
( )212 ppp →→
. $
+ & 1
%
( ) $ " . $ + $ $ ! :
i) (p → ¬q) → (p¬q)
ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q
iii) p → (¬q → r ∨ q)
iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))
v) p → q → r
vi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)
(,) / " $ + $ # $ . 1 # $ ! , $ !
+ : i) → , ii) → ( → ). $ $ " $ ( $ , $0 &$ $
$ ! ! ) , , 4.

8. . $
+ & 2
&
, $ $ # ! ! $ ! "
' & $' & $ ! ! .! ! .
3 3 1 1 1 2 1 2 3 4
1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5
(( ) ) (( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p
∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →
∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬
' & $' & $ ! ! .! ! .