Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ9
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Οι διαφορετικές δεκαδικές συµβολοσειρές µήκους n µε k (ακριβώς) µηδενικά είναι:
1. ( 1, )C n k k+ −
2. 10 9n n k−
−
3. 9 ( , )n k
C n k−
⋅
4. Όσες ο συντελεστής του !n
x n στην παράσταση 10x
e .
(2) Θεωρούµε 50 διακεκριµένους επιβάτες ενός τραίνου που πρόκειται να κατέβουν στις επόµενες 4 στάσεις. Οι
διαφορετικοί τρόποι που µπορεί να συµβεί αυτό είναι:
1. 504
, αν δεν έχει σηµασία η σειρά µε την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
2. 450
, αν δεν έχει σηµασία η σειρά µε την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
3. (53,50)C , αν δεν έχει σηµασία η σειρά µε την οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
4. Όσοι ο συντελεστής του 50
50!x στην παράσταση 2 3 4
(1 )x x x+ + + +L , αν έχει σηµασία η σειρά µε την
οποία οι επιβάτες κατεβαίνουν από το τραίνο.
(3) ∆ίνεται το πλήρες διµερές γράφηµα Κn,n µε ετικέτες στις κορυφές του (δηλαδή θεωρούµε ότι όλες οι κορυφές
του είναι διακεκριµένες):
1. Σε αυτό υπάρχουν (2 )!n απλά µονοπάτια µήκους 2 1n −
2. Σε αυτό υπάρχουν 2
( !)n απλά µονοπάτια µήκους 2 1n −
3. Το συµπληρωµατικό γράφηµα του Κn,n έχει ( 1)n n − ακµές
4. Ο αριθµός των κύκλων µήκους 3 στο Κn,n είναι
2
3
n 
 
 

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 2
(4) Στις παρακάτω προτάσεις τα ϕ και ψ είναι προτασιακοί τύποι και το Τ σύνολο προτασιακών τύπων.
1. Η δήλωση « { }|T ϕ ψΠΛ∪ ¬ − ¬ αν και µόνο αν { }|T ψ ϕΠΛ∪ − », προκύπτει άµεσα από το Θεώρηµα
Αντιθετοαναστροφής*.
2. Ο τύπος ( ) (( ) )ϕ ψ ϕ ψ ϕ→ ¬¬ → → ¬ → ¬ προκύπτει άµεσα από το Αξιωµατικό Σχήµα 3 (ΑΣ3)* µε
συντακτική αντικατάσταση.
3. Η µη συνέπεια του T συνεπάγεται την µη συνέπεια του { }T ϕ∪ .
4. Αν το { , }ϕ ψ είναι ικανοποιήσιµο τότε το { , }ϕ ψ¬ ¬ δεν είναι ικανοποιήσιµο.
(*Σηµείωση: Το ΑΣ3 είναι το ( ) (( ) )ϕ ψ ϕ ψ ϕ¬ → ¬ → ¬ → → . Το Θεώρηµα της Αντιθετοαναστροφής λέει ότι «
{ }|T ϕ ψΠΛ
∪ − ¬ αν και µόνο αν { }|T ψ ϕΠΛ
∪ − ¬ », όπου Τ, φ, ψ όπως παραπάνω.)
(5) Ερµηνεύουµε την πρωτοβάθµια γλώσσα στους φυσικούς αριθµούς µε το διµελές κατηγορηµατικό σύµβολο
P(x, y) να δηλώνει ότι «το x είναι µικρότερο του y».
1. Η πρόταση ( )( , )x y x y P x y∃ ∀ ≠ → αληθεύει σε αυτή την ερµηνεία.
2. Η πρόταση ( )( , )x y x y P y x¬∀ ∃ ≠ ∧ ¬ αληθεύει σε αυτή την ερµηνεία.
3. Η πρόταση ( )( , ) ( , )x y P x y P y x∀ ∀ ¬ → αληθεύει σε αυτή την ερµηνεία
4. Η πρόταση ( )( , ) ( , )x y x y P x y P y x∀ ∀ ≠ → ∨ αληθεύει σε αυτή την ερµηνεία
(6) Στο διπλανό σχήµα εικονίζονται οι ετικέτες των κορυφών (οι
αριθµοί στους αντίστοιχους κύκλους) µετά τα πρώτα βήµατα της
εκτέλεσης του αλγόριθµου του Dijkstra για τον υπολογισµό του
συντοµότερου µονοπατιού από την κορυφή s στην κορυφή t. Σε
αυτό το βήµα, οι κορυφές s και v1 (και µόνον αυτές) έχουν
αποκτήσει µόνιµη ετικέτα και οι ετικέτες των γειτόνων τους
έχουν ενηµερωθεί. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις σχετικά
µε την εξέλιξη του αλγόριθµου είναι αληθείς;
1. Το συντοµότερο s – t µονοπάτι έχει µήκος 8
2. Όταν η κορυφή t αποκτά µόνιµη ετικέτα, η ετικέτα της
κορυφής v3 είναι 5
3. Σε κάποιο από τα επόµενα βήµατα του αλγόριθµου, η ετικέτα της κορυφής t θα γίνει 10.
4. Ο αλγόριθµος πρώτα θα µονιµοποιήσει τις ετικέτες των κορυφών v2 και v3, και έπειτα θα µονιµοποιήσει
την ετικέτα της κορυφής v4

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 3
(7)Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;
1. Μπορεί δύο οµοιοµορφικά γραφήµατα να έχουν διαφορετικό αριθµό ακµών.
2. Υπάρχει γράφηµα του οποίου όλες οι ακµές είναι γέφυρες.
Υπενθύµιση: Μια ακµή ενός συνδεόµενου γραφήµατος ονοµάζεται γέφυρα αν η αφαίρεσή της καθιστά το
γράφηµα µη συνδεόµενο.
3. Υπάρχει επίπεδο γράφηµα µε n κορυφές και µέγιστο βαθµό κορυφής ίσο µε n – 1.
4. Υπάρχει αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα µε 10 κορυφές.
(8) Θεωρούµε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες
όχι;
1. Υπάρχει γράφηµα µε n κορυφές και n – 1 ακµές το οποίο περιέχει κύκλο
2. Αν για κάποιο γράφηµα G, τόσο το G όσο και το συµπληρωµατικό του έχουν κύκλο Euler, τότε το G
πρέπει να έχει περιττό πλήθος κορυφών
3. Κάθε γράφηµα που έχει κύκλο Euler έχει άρτιο πλήθος ακµών
4. Κανένα γράφηµα που έχει κύκλο Euler δεν περιέχει κύκλους περιττού µήκους
(9) Έστω G απλό µη κατευθυντικό γράφηµα, και H ένα αυθαίρετα επιλεγµένο επαγόµενο υπογράφηµα του G.
1. Το G είναι συνδεδεµένο αν και µόνο αν το Η είναι συνδεδεµένο.
2. Ο χρωµατικός αριθµός του H είναι µικρότερος ή ίσος του χρωµατικού αριθµού του G.
3. Αν το G είναι επίπεδο, και το H είναι επίπεδο
4. Αν το G είναι πλήρες γράφηµα, και το H είναι πλήρες γράφηµα
(10)Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Για κάθε n ≥ 2, η αναζήτηση κατά βάθος παράγει το ίδιο δέντρο αν εφαρµοστεί στο K2n και στο Kn,n.
2. Για κάθε n ≥ 2, η αναζήτηση κατά πλάτος παράγει το ίδιο δέντρο αν εφαρµοστεί στο K2n και στο Kn,n.
3. Για κάθε n ≥ 3, η αναζήτηση κατά βάθος παράγει το ίδιο δέντρο αν εφαρµοστεί στο Kn και στο Cn (Cn είναι
ο απλός κύκλος µε n κορυφές).
4. Σε κάθε γράφηµα µε n ≥ 5 κορυφές που έχει κύκλο Hamilton, η αναζήτηση κατά βάθος παράγει πάντα
δέντρο µε ύψος n – 1.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
Στο γυµναστήριο της γειτονιάς είναι διαθέσιµα πρακτικά απεριόριστα βάρη του 1 κιλού και των 2 κιλών, 1 µόνο
βάρος των 5 κιλών και 2 µόνο βάρη των 10 κιλών.
(α) Ένας αθλητής πρόκειται να επιλέξει 10 βάρη. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η επιλογή, αν επιλέξει
µόνο βάρη του 1 κιλού και των 2 κιλών.
(β) Ένας αθλητής πρόκειται να επιλέξει 10 βάρη. Με πόσους τρόπους µπορεί να γίνει η επιλογή, αν δεν
επιλέξει το βάρος των 5 κιλών.
(γ) Ένας αθλητής θέλει να τοποθετήσει 50 κιλά στη µιά άκρη µιας µπάρας. Να γράψετε γεννήτρια συνάρτηση
που να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους ο αθλητής µπορεί να
επιτύχει το στόχο του. Ποιας δύναµης το συντελεστή πρέπει να υπολογίσουµε;
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ5,5 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(γ) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;
(δ) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
α) Έστω , ,ϕ χ ψ προτασιακοί τύποι για τους οποίους δίνεται ότι ϕ |= ψ , ψ |-ΠΛ χ¬ και χ¬ |= ϕ . ∆είξτε ότι οι τύποι ϕ
και ψ είναι ισοδύναµοι.
β) ∆ώστε τυπική απόδειξη του τύπου ( ) ( )ϕ χ χ ϕ→ → ¬ → ¬ . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα γνωστά θεωρήµατα
εκτός από τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας και Πληρότητας.
(Ερώτηµα 2)
α) Θεωρούµε τη γλώσσα της κατηγορηµατικής λογικής που ορίζεται σε
συνδεόµενα κατευθυντικά (κατευθυνόµενα) γραφήµατα, όπου το σύµπαν
είναι οι κορυφές του γραφήµατος, και το διµελές κατηγορηµατικό
σύµβολο Q(x, y) δηλώνει ότι «υπάρχει κατευθυντική διαδροµή από την
κορυφή x στην κορυφή y». Στο διπλανό γράφηµα για παράδειγµα, το
Q(u1, u8) αληθεύει και το Q(u8, u1) δεν αληθεύει. Να βρείτε όλες τις τιµές
του x για τις οποίες αληθεύουν οι παρακάτω τύποι στο διπλανό γράφηµα:
(i) 1( ) ( ( , ) )x y Q x y x yϕ ≡ ∀ → =
(ii) 2 ( ) ( ( , ))x y y x Q x yϕ ≡ ∀ ≠ →
β) Στην ερµηνεία του (β), να διατυπώσετε:
(i) Τύπο ψ1(x) που δηλώνει ότι η κορυφή x είναι αποµονωµένη. Υπενθύµιση: Μια κορυφή είναι αποµονωµένη αν δεν έχει
ακµή εισερχόµενη από ή εξερχόµενη προς κάποια άλλη κορυφή.
(ii) Τύπο ψ2(x) που δηλώνει ότι η κορυφή x ανήκει σε κύκλο (που δεν είναι ανακύκλωση).
(iii) Πρόταση ψ που δηλώνει ότι καµία αποµονωµένη κορυφή δεν ανήκει σε κύκλο (που δεν είναι ανακύκλωση).

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Θεωρούµε απλό (µη κατευθυντικό) γράφηµα G(V, E) µε χρωµατικό αριθµό ίσο µε k (δηλ. k είναι το ελάχιστο πλήθος
χρωµάτων µε τα οποία το G µπορεί να χρωµατιστεί νόµιµα).
α) Έστω Vi και Vj τα σύνολα κορυφών χρώµατος i και j αντίστοιχα, 1 ≤ i ≠ j ≤ k, σε κάποιο νόµιµο χρωµατισµό του G µε k
χρώµατα. Να δείξετε ότι το σύνολο Vi ∪ Vj δεν είναι σύνολο ανεξαρτησίας.
β) Βασιζόµενοι στο (α), να δείξετε ότι το G έχει τουλάχιστον k (k – 1) / 2 ακµές.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 9 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Ένα δυωνυµικό δέντρο Bk τάξης k ≥ 0 είναι ένα δέντρο µε
ρίζα που ορίζεται ως εξής:
♦ Το δυωνυµικό δέντρο Β0 είναι το δέντρο µε µία µόνο
κορυφή.
♦ Για κάθε k ≥ 0, το δυωνυµικό δέντρο Bk+1, τάξης k+1,
αποτελείται από δύο δυωνυµικά δέντρα Bk, τάξης k,
όπου η ρίζα του πρώτου γίνεται η ρίζα του Bk+1, και η
ρίζα του δεύτερου γίνεται παιδί της ρίζας του Bk+1.
Στο σχήµα, µπορείτε π.χ. να δείτε τα δυωνυµικά δέντρα Β0, Β1, Β2, και Β3.
α) Να κατασκευάσετε το Β4.
β) Σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να δείξετε µε µαθηµατική επαγωγή στην τάξη k του δυωνυµικού δέντρου
ότι για κάθε k ≥ 0: Το ύψος του δυωνυµικού δέντρου Bk είναι ίσο µε k.
B0 B1 B2 B3
B2
B2