Ορισμός Ασυμπτωτικών Συμβολισμών Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί

1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΟΡΙΣΜΟΙ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ
Ορισµοί Ασυµπτωτικών Συµβολισµών
αν και µόνο αν ∀ 0, ∃ 0: 0 ∙ για κάθε
αν και µόνο αν ∃ 0, 0: 0 ∙ για κάθε
αν και µόνο αν ∃ 0, , 0: ∙ ∙ για κάθε
αν και µόνο αν ∃ 0, 0: ∙ για κάθε
αν και µόνο αν ∀ 0, ∃ 0: ∙ για κάθε
Σύµβολο
∆ιαβάζουµε:
«Η f έχει ….. την g»
«Η g είναι …. της f»
Ασυµπτωτικά
! " γνήσιο άνω φράγµα "
# " άνω φράγµα "
Θ " άνω και κάτω φράγµα "
Ω " κάτω φράγµα f≥g
& " γνήσιο κάτω φράγµα f>g
Παράδειγµα: Να αποδείξετε ότι: 2n=O(n3)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=2n, g(n)=n3. Επιλέγουµε n0=1, c=2.
που ισχύει για κάθε n≥1 (n0=1)
2
3
1
22
)()(
n
nn
ncgnf
≤
⇒≤
⇒≤
Παράδειγµα: Να αποδείξετε ότι: 2n=ο(n2)
Απόδειξη:
Έστω c>0:
Άρα επιλέγουµε ως n0 το  c/2
nc
cn
cnn
ncgnf
<
⇒<
⇒<
⇒<
/2
2
2
)()(
2

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΟΡΙΑ και ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ
Ορισµός Ορίων για Απόδειξη Ασυµπτωτικών Συµβολισµών
lim
*→,
- *
. *
/
0 0 1ό13 Θ "
0 1ό13 ! "
4∞ 1ό13 & "
Και ισχύουν και τα ακόλουθα:
• Λήµµα 1: Θ " αν και µόνο αν Ο " και Ω "
• Λήµµα 2: Αν ο " τότε Ο "
• Λήµµα 3: Αν ω " τότε Ω "
..και ανάποδα:
" lim
*→,
- *
. *
0 ! " αλλά και Ο "
" lim
*→,
- *
. *
0 0 Θ " αλλά και Ω " και Ο "
" lim
*→,
- *
. *
4∞ & " αλλά και Ω "
Παράδειγµα: Αποδείξτε ότι 2*
Ο 3*
Λύση:
lim
*→,
- *
. *
lim
*→,
;
<; lim
*→, <
*
0
Άρα: 2*
ο 3*
άρα και 2*
Ο 3*