1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ 3.2) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Αναλογία (Λήμμα Αντλήσης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Μη Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοίβας, Ντετερμινιστικό Αυτόματο Στοιβας) 5.1) Μηχανή Turing για αναλογία.

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ22
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
n
nf
nnf
nf
nf
nnf
n
n
n
2
5
loglog
4
)(log
3
log2
2
3/7
1
2)(
)(
2)(
2)(
5)(
3
=
=
=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 2
(Ασκηση 2) Να λύσετε τις αναδροµές:
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT log
5
2
2
)()1( +





+





=
4/7
4
128)()2( n
n
TnT +





=
n
n
TnT +





=
25
5)()3(
( ) 5
21)()4( nnTnT +−=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική
συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    
Υπόδειξη: )( 6
1
5
ni
n
i
Θ=∑=

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 1(0+1)*1(0+1)*(0+1)0
L2 = (110+01)*
L3 = 00*00+10*11*
L4 = 0*1*0*(0+01+011+0111)*0*
L5 = (00*1+11*0)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 4
Άσκηση 2:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας κανονική έκφραση που
παράγει τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆ωστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που
παράγει τις συµβολοσειρές της
}2||,{},2||,{ 21 ≥=≤= wwwLwwwL RR

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L = 0 | ≥ 0}
L = 0 1 2 3 | , ≥ 0}
L = | ≥ 1}
L = | ∈ 0,1}∗
, ∈ 0,1}∗
, | | ≤ 1}
L = ! " , , # ≥ 0}
L$ = " = + #}
L& = | < < 2}

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 6
Άσκηση 2
Έστω Σ το αλφάβητο Σ={0,1,b} και L η γλώσσα που σχηµατίζεται ακριβώς και µόνον µε τους κανόνες
• 11∈L
• Αν x∈L, τότε και 0xbb∈ L
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω ( µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ) (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε * ∈ ( µε |+| ≥ ) να
µπορεί να γραφεί στην µορφή * = ,-. όπου για τις συµβολοσειρές ,, - και . ισχύει:
|,-| ≤ )
- ≠ 0
,-1
. ∈ ( για κάθε φυσικό 1 ≥ 2

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 22 7
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, b, #, $, Y, N}, που να
αποφασίζει την γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1,b}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).