1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας) 3.1) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑ 3.2) (01*11)*: Κανονική Έκφρασε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ 3.3) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Μη Κανονικών Γλωσσών 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Αυτόματα Στοίβας 4.3) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών που δεν είναι Χωρίς Συμφραζόμενα 5.1) Μηχανή Turing για έλεγχο ανισότητας

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ27
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 2
(Ασκηση 2) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
46 26
625
5)()2(
4
4)()1( n
n
TnTn
n
TnT +





=+





⋅=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 1*0(0+1)* 111(0+1)*1(0+1)(00+11)
L2 = 01(1+01+001)*00
L3 = 0(0+1)*0+1(0+1)*1
L4 = (111+10+0)*010(1+00+010)*
L5 = (11*0*0+00*1*1+0*(0+1)1*11)*

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 4
Άσκηση 2:
∆ίδεται η κανονική έκφραση: (01*11)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 5
Άσκηση 3:
Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα.
A = {1m
0n
| n=m, n,m ≥ 0}
B = {1m
0n
| n=3m, n,m ≥ 0}
Γ = {1m
0n
| n≥1, m≥2}
∆ = {1m
0n
| n=1, m≤2}

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 6
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 1 0 1 0 | , 0
L 001 0 | 0
L !!"| ! ∈ 0,1 ∗
L ! ∈ 0,1 ∗| ! %ί'() *(+)',-./)0ή
L2 345 | 3, 5 ∈ 6, 7 ∗
, |3| |5| 8 3
L: 345 | 3, 5 ∈ 6, 7 ∗
, 3|3| 2|5|
L< 67 64 4= | , 0
L> 6 7 4?
@ A B 8

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 7
Άσκηση 2
∆ώστε Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα στοίβας για τις γλώσσες (µόνο σχήµατα):
L 6 7 | 0
L 6 7 | 0
L 6 7 | 0
L 6 7 | 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 8
Άσκηση 3
∆ίδονται οι ακόλουθες γλώσσες εκ των οποίων η µία είναι χωρίς συµφραζόµενα και η άλλη δεν είναι. Για την
γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα, να δώσετε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις
συµβολοσειρές της, ενώ για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα, να το αποδείξετε µε το λήµµα της
άντλησης.
L 6 7 4?
@ C C A
L 6 7 4?
@ ή A
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω D µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ D µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή F GH!35 όπου για τις συµβολοσειρές
G, H, !, 3 και 5 ισχύει:
|H!3| I
|H3| B 0
GH !3 5 ∈ D για κάθε φυσικό 0

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 27 9
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, $, Y, N}, που να αποφασίζει
την γλώσσα L={w|w έχει λιγότερα 0 από 1}
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).