1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας) 3.1) Κανονικές Εκφράσεις 3.2) Διάκριση Κανονικών Γλωσσών και Μη Κανονικών Γλωσσών 4.1) Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα 4.2) Αυτόματα Στοίβας 4.3) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών που δεν είναι Χωρίς Συμφραζόμενα 5.1) Μηχανή Turing για έλεγχο ανισότητας

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ 28
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 10+10)
Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
2 5

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 2
(Β) Να υπολογίσετε την λύση των αναδροµικών σχέσεων:
n
n
TnTn
n
TnT 5
4 2
8 4
log
48
7)()2(log
5
5)()1( +





=+







⋅=
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 3
ΘΕΜΑ 3.A: (Μονάδες 5+15)
Κατασκευάστε Κανονικές Εκφράσεις και ΜΠΑ για τις Γλώσσες του αλφαβήτου {0,1}:
L1={ w | w αρχίζει µε 0 και τελειώνει µε 0 }
L2={ w | w αρχίζει µε 01 περιέχει το 001 και τελειώνει µε 00}
L3={ w | w αρχίζει µε 0 και περιέχει δύο τουλάχιστον φορές το 11}
L4={ w | w δεν αρχίζει µε 1}
L5={ w | w δεν περιέχει 0}
L6={ w | τα 0 της w είναι πολλαπλάσιο του 3}
L7={ w | w δεν περιέχει το 11}

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 4
ΘΕΜΑ 3.B: (Μονάδες 5+15)
Για κάθε µία από τις παρακάτω γλώσσες προσδιορίστε αν είναι κανονικές ή όχι.Για µία µη
κανονική γλώσσα χρησιµοποιήστε το λήµµα της άντλησης για να αποδείξετε ότι δεν είναι
κανονική. Για µία κανονική γλώσσα δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {1m
0n
| n<m<2}
B = {1m
0n
| n>m>1}
Γ = {1m
0n
| n=2m+2}
∆ = {1m
0n
| 0<m<3, 1<n<4}

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 5
ΘΕΜΑ 4.A: (Μονάδες 10)
∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 1 0 | 0
L 1 0 0 1 | , 0
L ! " | , 0
L 0 1 | 0
L# $"!!$%| $ ∈ , ! ∗
L( 111 000 | 0
L) ! " | 0
L* ! " | , 0
L+ ! " | , 0
L , ! | -
L ! | .

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 6
ΘΕΜΑ 4.B: (Μονάδες 10)
∆ώστε Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα στοίβας για τις γλώσσες (µόνο σχήµατα):
L ""! | 0
L ""! | 0
L ""! | 0
L ""! | 0

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 7
ΘΕΜΑ 4.Γ: (Μονάδες 5)
∆ίδονται οι ακόλουθες γλώσσες εκ των οποίων η µία είναι χωρίς συµφραζόµενα και η άλλη δεν είναι. Για την
γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα, να δώσετε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις
συµβολοσειρές της, ενώ για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα, να το αποδείξετε µε το λήµµα της
άντλησης.
L ! " | 1
L ! "/
0 1, 2
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω 2 µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ 2 µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή 4 56$78 όπου για τις συµβολοσειρές
5, 6, $, 7 και 8 ισχύει:
|6$7| 9
|67| - 0
56 $7 8 ∈ 2 για κάθε φυσικό 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 28 8
ΘΕΜΑ 5
Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {0, 1, #, $, Y, N}, που να αποφασίζει
την γλώσσα L={w | τα 0 της w είναι τουλάχιστον όσα τα 1}
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{0,1}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).