правила перевода чисел в позиционных системах счисления

1. Долинин А.А., учитель информатики и ИКТ
МБОУ «Уренская СОШ № 1»
Правила перевода
чисел в позиционных
системах счисления.

2. Позиционные
системы счисления

3. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение)
цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.
Позиция цифры в числе называется
разрядом.
Разряд числа возрастает справа налево,
от младших разрядов к старшим.
Основанием позиционной системы
счисления называется целое число,
которое равно количеству цифр,
используемых для изображения чисел в
данной системе счисления.
Основание показывает, во сколько раз
изменяется количественное значение
цифры при перемещении её в младший
или старший разряд.

4. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОСНОВАНИЕМ
Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание
которых равно или больше 2.
В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в
развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания q с
коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, …, q-1.
или




1n
mi
i
q
i
a
q
A
-m
-m
-
-
n-
n-
n-
n-q ·qa·qa·qa·qa·qaA  1
1
0
0
2
2
1
1
Aq – число в q-ичной системе счисления,
q – основание системы счисления,
Ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n – число целых разрядов числа,
m – число дробных разрядов числа.
Коэффициенты ai - цифры числа, записанного в q-ичной системе счисления.
-m-n-n- aaaaaaA  10121 ,Свернутая форма записи числа:
Свернутой формой записи чисел мы пользуемся в повседневной жизни,
её называют естественной или цифровой.
Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней
основания.

5. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 10.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
-m
-m
-
-
n-
n-
n-
n- ·a·a·a·a·aA 1010101010 1
1
0
0
2
2
1
110 
-m-n-n- aaaaaaA  1012110 ,Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры десятичного числа.
Например, число 123,4510 в развернутой форме будет записываться следующим
образом:
21012
10 10510410310210145,123 --
····· 
Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к
перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо
или влево. Например: 123,4510 · 10 = 1234,510;
123,4510 : 10 = 12,34510.

6. ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 2.
Алфавит: 0, 1.
-m
-m
-
-
n-
n-
n-
n- ·a·a·a·a·aA 22222 1
1
0
0
2
2
1
12 
-m-n-n- aaaaaaA  101212 ,Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры двоичного числа (0 или 1).
Например, число 101,012 в развернутой форме будет записываться следующим
образом:
21012
2 212021202101,101 --
····· 
Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к
перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо
или влево. Например:
101,012 · 2 = 1010,12;
101,012 : 2 = 10,1012.

7. ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 8.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
-m
-m
-
-
n-
n-
n-
n- ·a·a·a·a·aA 88888 1
1
0
0
2
2
1
18 
-m-n-n- aaaaaaA  101218 ,Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры восьмеричного числа.
Например, число 123,678 в развернутой форме будет записываться следующим
образом: 21012
8 878683828167,123 --
····· 
Умножение или деление восьмеричного числа на 8 (величину основания) приводит к
перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо
или влево. Например:
123,678 · 8 = 1236,78;
123,678 : 8 = 12,3678.

8. ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
-m
-m
-
-
n-
n-
n-
n- ·a·a·a·a·aA 1616161616 1
1
0
0
2
2
1
116 
-m-n-n- aaaaaaA  1012116 ,Свернутая форма записи числа:
Развернутая форма записи числа:
Коэффициенты ai - цифры шестнадцатеричного числа.
Например, число 2BC,DE16 в развернутой форме будет записываться следующим
образом:
21012
16 16161616162,2 --
E·D·C·B··DEBC 
Умножение или деление шестнадцатеричного числа на 16 (величину основания)
приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один
разряд вправо или влево. Например:
2BC,DE16 · 16 = 2BCD,E16;
2BC,DE16 : 16 = 2B,CDE16.

9. Перевод целых чисел из
десятичной системы в двоичную,
восьмеричную и
шестнадцатеричную

10. ВЫВОД АЛГОРИТМА ПЕРЕВОДА
Разложим целое десятичное число Ацл в ряд по основанию 2.
Получим запись в развернутой форме двоичного целого числа, так как в
этой записи отсутствуют отрицательные степени основания, т.е. числа 2:
0
0
1
1
2
2
1
1 2222 ·a·a·a·aA n-
n-
n-
n-öë 
011 aaaA n-öë 
На первом шаге разделим число Ацл на основание двоичной системы, т.е. на 2.
Частное от деления будет равно: ,
а остаток равен .
1
3
2
2
1 22 a·a·a n-
n-
n-
n- 
0a
На втором шаге целое частное опять разделим на 2, остаток от деления
будет равен .1a
После n-го шага получим последовательность остатков: ,110 ,...,, n-aaa
которая совпадает с обратной последовательностью цифр
целого двоичного числа, записанного в свернутой форме:
Чтобы получить искомое двоичное число, достаточно
записать остатки в обратной последовательности.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для перевода целых
десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

11. АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В
ДВОИЧНУЮ, ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Получить искомое двоичное, восьмеричное или
шестнадцатеричное число, для чего записать полученные
остатки в обратной последовательности.
Последовательно выполнять деление исходного целого
десятичного числа и получаемых целых частных на основание
системы (на 2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим частное
равное нулю.

12. КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Перевод целого десятичного числа в целые двоичное,
восьмеричное и шестнадцатеричное числа
Десятичное целое /
целое частное
Делитель (основание
системы)
Остаток Цифры двоичного
числа
19 2 1 а0
9 2 1 а1
4 2 0 а2
2 2 0 а3
1 2 1 а4
0
Десятичное целое /
целое частное
Делитель (основание
системы)
Остаток Цифры двоичного
числа
19 8 3 а0
2 8 2 а1
0
Десятичное целое /
целое частное
Делитель (основание
системы)
Остаток Цифры двоичного
числа
19 16 3 а0
1 16 1 а1
0
А2=а4а3а2а1а0=100112
А8=а1а0=238
А16=а1а0=1316

13. Перевод дробей
из десятичной системы в
двоичную, восьмеричную и
шестнадцатеричную

14. ВЫВОД АЛГОРИТМА ПЕРЕВОДА
Разложим десятичную дробь Адд в ряд по основанию 2.
Получим запись в развернутой форме двоичной дроби, так как в этой записи
отсутствуют положительные степени основания, т.е. числа 2:
·a·aA -
-
-
-ÄÄ  2
2
1
1 22
 21àaA -ÄÄ
На первом шаге умножим число АДД на основание двоичной системы, т.е. на 2.
Произведение будет равно:
Целая часть равна - значению первого дробного разряда двоичного числа.
·aa -
--  1
21 2
1a
На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умножим на 2.
Получим целую часть, равную - значению второго дробного разряда
двоичного числа.
2a
Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для перевода дробных
десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.
Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате
умножения не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута
требуемая точность вычислений.
Последовательность полученных чисел совпадает с последовательностью
цифр дробного двоичного числа, записанного в свернутой форме:

15. АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА дробных ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В
ДВОИЧНУЮ, ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Получить искомую двоичную, восьмеричную или
шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части
произведения в прямой последовательности.
Последовательно выполнять умножение исходной десятичной
дроби и получаемых дробей на основание системы (на 2, 8
или 16) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть
или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

16. ПРАКТИКУМ
Перевод десятичной дроби в двоичную,
восьмеричную и шестнадцатеричную дроби
Десятичная дробь /
др. часть произв.
Множитель
(основание системы)
Целая часть
произв.
Цифры
двоичного числа
0,65625 2 1 а-1
0,3125 2 0 а-2
0,625 2 1 а-3
0,25 2 0 а-4
0,5 2 1 а-5
0
Десятичная дробь /
др. часть произв.
Множитель
(основание системы)
Целая часть
произв.
Цифры
двоичного числа
0,65625 8 5 а-1
0,25 8 2 а-2
0
Десятичная дробь /
др. часть произв.
Множитель
(основание системы)
Целая часть
произв.
Цифры
двоичного числа
0,65625 16 10 (А) а-1
0,5 16 8 а-2
0
А2=0,а-1а-2а-3а-4а-5=0,101012
А8=0,а-1а-2=0,528
А16=0,а-1а-2=0,А816

17. Перевод чисел
из двоичной системы в
восьмеричную и
шестнадцатеричную и обратно

18. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
Для записи двоичного числа используются две цифры.
Определим количество информации, которое содержит один двоичный разряд:
N=2I; 2 = 2I, так как 2 = 21, то I = 1 бит.
Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит.
Для записи восьмеричного числа используются восемь цифр.
8 = 2I, так как 8 = 23, то I = 3 бита.
Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита.
Для перевода двоичного числа в восьмеричное двоичное число нужно разбить
на группы по три цифры (триады).
Двоичные
триады 000 001 010 011 100 101 110 111
Восьмеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7

19. ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
Для перевода двоичного целого числа в восьмеричное двоичное число нужно
разбить на группы по три цифры, справа налево; если в последней группе
окажется меньше чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями.
Затем надо преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру.
Двоичные
триады 000 001 010 011 100 101 110 111
Восьмеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
1010012 101 0012 = 518
110012 011 0012 = 318

20. ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно разбить
двоичное число на триады, слева направо; если в последней группе окажется
меньше чем три разряда, то необходимо дополнить её справа нулями.
Затем надо триады заменить на восьмеричные цифры.
Двоичные
триады 000 001 010 011 100 101 110 111
Восьмеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
0,1010012 0,101 0012 = 0,518
0,110012 0,110 0102 = 0,628

21. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Для записи шестнадцатеричного числа используются шестнадцать цифр.
16 = 2I, так как 16 = 24, то I = 4 бита.
Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.
Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно
разбить на группы по четыре цифры (тетрады).
Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Шестнадцатеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестнадцатеричные
цифры
8 9 A B C D E F

22. ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Для перевода двоичного целого числа в шестнадцатеричное двоичное число
нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево; если в
последней группе окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо её
дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в
шестнадцатеричную цифру.
101010012 1010 10012 = А916
110012 0001 10012 = 1916
Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Шестнадцатеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестнадцатеричные
цифры
8 9 A B C D E F

23. ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ
Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное
число нужно разбить на тетрады, слева направо; если в последней группе
окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо дополнить её справа
нулями. Затем надо тетрады заменить на шестнадцатеричные цифры.
0,101010012 0,1010 10012 = 0,А916
0,110012 0,1100 10002 = 0,С816
Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Шестнадцатеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестнадцатеричные
цифры
8 9 A B C D E F

24. ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ
И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ В ДВОИЧНУЮ
Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо
преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду),
а при преобразовании шестнадцатеричного числа –
в группу из четырех разрядов (тетраду).
Двоичные триады 000 001 010 011 100 101 110 111
Восьмеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
АВ,4716 = 10101011,010001112
Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Шестнадцатеричные
цифры 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичные тетрады 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Шестнадцатеричные
цифры
8 9 A B C D E F
0,478 = 0,1001112

25. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
111101,1
233,5
59,В
Заполнить таблицу, в каждой строке которой одно и
то же произвольное число должно быть записано в
различных системах счисления: