pratique du bael 91.pdf

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Pratique
du BAEL 91
Cours avec exercices corriges
Jean Perchât
Jean Roux

Jean Perchât, ingénieur ECP,
a, pendant plus de trenteans,
participé activement, au sein de
commissions nationales ou
internationales, à la rédaction
des textes normatifs relatifs au
béton armé, et enseigné les
méthodes de calcul
qui endécoulent.
Jean Roux, ingénieur ETP -
CHEBAP, pratique le calculdes
structures en béton sous une
double approche du fait deses
activités d'ingénieur à la SNCF
et de professeur à l'ESTP.
Pratique
du BAEL 91
Cours avec exercices corrigés Quatrièmeédition
Jean Perchât
Jean Roux
Pratique du BAEL 91 présente,
à partir des lois classiques de
la Résistance des Matériaux,
et après l'étude des méthodes
de calcul propres à chaque
sollicitation élémentaire(effort
normal, effort tranchant,
moment fléchissant, moment
de torsion) et au flambement,
le dimensionnement des
éléments de base d'une
structure (tirant, poteau,
poutre, dalle).
Chaque chapitre comporte
un rappel de cours suivi d'un
ou plusieurs exercices
d'application traités en détail.
Il y est tenu compte des
nouvelles règles de prise en
compte de la fissuration
définies par les Règles BAEL
91 modifiées 99 applicables
depuis le 15 février 1999.Les
exercices sont accompagnés
de nombreuses informations
utiles pour lescalculs.
Cette quatrième édition est enrichie
par :
O desformules plus précises pour
les pourcentages minimaux
d'armatures en flexion simple et
composée, basées sur des valeurs
plus réalistes des bras de levier
des forces élastiques,
O une formule approchée du
moment limite ultime au-delà
duquel des armatures
comprimées sont nécessaires dans
les sections rectangulaires, en
flexion simple, valables pour des
bétons de résistance
caractéristique allant jusqu'à
60 MPa,
Q descompléments portant sur les
effets de l'effort tranchant
permettant de mieux
appréhender les prescriptions des
Règles BAEL 91 modifiées 99,
O la distinction entre torsion
d'équilibre et torsion de
compatibilité définissantlescas
où une étude de la torsion des
éléments en béton arméest
nécessaire.
Code éditeur :G11049
ISBN: 2-212-11049-9
Cet ouvrage est extrait du cours de l'École spéciale des travaux
publics (ESTP) professéjusqu'à ces dernières années par Jean Perchât
et repris depuis par Jean Roux. Il s'adresse aux étudiants en bâtiment
et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux
d'acquérir lesmécanismes et ordres de grandeur couramment pratiqués
en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour leurs
connaissances dans ce domaine.
L
I a N/illettfi

)mpatibles avec la géométrie du tunnel pour un gabarit de véhicule donné, de réduire consi-
ârablement les coûts de « mise au gabarit » des tunnels de la SNCF.
e retour au Département des Ouvrages d'Art en 1983, il devient responsable des études tech-
es et informatiques de la Division des Tunnels, dans un domaine où la Résistance des
atériaux et la Mécanique des Sols sont si étroitement confrontées.
on expérience et ses compétences lui valent plusieurs missions à l'étranger pour des projets
rénovation de tunnels, auxquels il apporte toutes ses connaissances techniques et écono-
iques.
tégré à la SNCF dans une solide équipe d'ingénieurs émérites, tels que J. Gandil,
Trufandier, J. Eyraud, A. Rozière, Jean Roux garde le contact avec l'École Spéciale des
'ravaux Publics en tant que Maître assistant puis Professeur de béton armé. Il est aussi
ofesseur de Résistance des Matériaux au Centre des Hautes Études de la Construction depuis
983.
; présent ouvrage a trois objectifs :
- il est d'abord un vade-mecum de l'ingénieur par le rappel constant des bases de la Résis-
tance des Matériaux, fondement logique de toute réflexion sur la construction ;
- il est aussi l'image vivante d'un cours agréable. Certes il faut y trouver la trame de
l'exposé théorique et la rigueur de la formule car il s'agit bien là de règles et de normes,
mais l'exercice appliqué et expliqué y ajoute l'exemple, l'utile et le concret ;
- il est enfin un recours pour l'ingénieur confirmé, en lui présentant les dernières évolu-
tions, qui relèvent d'expérimentations ou de dispositions réglementaires dans une dyna-
mique d'actualité et de progrès.
Sous la double signature de Jean Perchât et de Jean Roux, qui furent dans la relation de maître
a élève avant d'œuvrer dans une fructueuse collaboration, cet ouvrage arrive à son heure pour
tous ceux qui participent à l'art d'édifier et de construire.
E. CHAMBRON
Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées
Directeur honoraire de l'Équipement de la SNCF
•
AVANT-PROPOS
Les dernières mises à jour des Règles de calcul des ouvrages en béton armé aux états-
limites dites Règles BAEL 91 modifiées 99 sont applicables depuis le 15 février 1999.
Cet ouvrage, extrait du cours de béton armé professé à l'École Spéciale des Travaux Publics
(ESTP) jusqu'à ces toutes dernières années par J. Perchât et maintenant par J. Roux, qui
intègre ces modifications, est destiné :
- aux projeteurs, élèves-ingénieurs, jeunes ingénieurs et étudiants ayant le béton armé à
leur programme d'études, désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur cou-
ramment pratiqués dans le domaine du calcul des structures de génie civil en béton armé,
- ainsi qu'aux ingénieurs confirmés qui souhaitent appliquer directement les derniers erre-
ments réglementaires.
Après quelques rappels sommaires de Résistance des Matériaux (matière qu'il est indispen-
sable de connaître avant d'aborder le calcul d'une construction en quelque matériau que ce
soit), puis des généralités concernant l'évaluation des sollicitations et des caractéristiques des
matériaux acier et béton, chaque chapitre est consacré aux méthodes de calcul propres à une
sollicitation élémentaire (traction simple, compression simple, flexion simple, ...)ce qui per-
met d'aborder dans les derniers chapitres les calculs relatifs aux éléments constitutifs d'une
construction simple (dalles, poutres, planchers,...).
Chaque chapitre est organisé en deux parties :
1) des rappels de cours présentant les méthodes de calcul et formules réglementaires avec
des démonstrations et des explications permettant de comprendre leur fondement scienti-
fique et expérimental ainsi que leur philosophie,
2) un ou plusieurs exercices d'application commentés et des compléments permettant de
visualiser les techniques et hypothèses en même temps que d'acquérir une expérience et de
« bonnes » habitudes dans le domaine du béton armé appliqué aux bâtiments et aux travaux
publics.
Si les Règles BAEL se prêtent bien aux calculs informatiques, il ne nous a pas paru néces-
saire, devant la multiplicité des langages de programmation (basic, C, turbo pascal,...), de don-
ner, chaque fois que l'usage d'un micro-ordinateur se justifiait, des programmes de calculs.
Nous avons préféré donner plutôt des organigrammes et enchaînements explicitant le déroule-
ment des processus de calcul que le lecteur pourra aisément transcrire sur son ordinateur.

Les nombreuses informations relatives au génie civil (valeurs des charges permanentes et
d'exploitation, contraintes limites des matériaux, caractéristiques géométriques des aciers en
barres, formulaires pour poutres isostatiques, tableaux de caractéristiques des sections,...) ren-
contrées en parcourant les divers chapitres faciliteront la tâche du technicien dans l'élaboration
de ses projets.
Cet ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et complet dans ce vaste domaine qu'est
le béton armé (ce n'est qu'un extrait du cours de l'ESTP). Il a pour seul objectif de bien faire
comprendre les méthodes de calcul propres au béton armé aux états-limites, de répondre aux
interrogations et de faciliter la tâche de l'ingénieur d'études qui appliquera les Règles
BAEL91.
AVERTISSEMENT
Dans cette nouvelle édition de « Pratique du BAEL 91 », les auteurs ont introduit les nou-
velles valeurs des contraintes limites de l'acier à l'état-limite de service, telles qu'elles sont
définies dans les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. La
nécessité d'atténuer, pour les bétons courants, la sévérité des valeurs résultant de l'application
stricte des Règles BAEL 91 s'est révélée à l'usage. Pour ces bétons, les nouvelles limites pro-
posées conduisent à des dimensionnements quasi identiques à ceux des Règles BAEL 83 en
cas de fissuration préjudiciable, mais légèrement plus favorables en cas de fissuration très pré-
judiciable.
Les modifications précitées étendent par ailleurs le domaine d'application des Règles aux
bétons de résistance comprise entre 60 et 80 MPa. Les modifications corrélatives des données
et formules de base sont nombreuses et importantes. En tenir compte, même en se bornant à
les mentionner, aurait exigé une refonte totale du présent ouvrage. Compte tenu du caractère
exceptionnel, actuellement, de l'emploi de tels bétons, ceux-ci restent hors du domaine visé
par Pratique du BAEL 91.
Les auteurs ont mis à profit cette nouvelle édition pour expliciter certains points comme,
par exemple :
- les formules relatives au pourcentage minimal d'armatures en flexion simple et compo-
sée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques que
celles figurant dans les commentaires des Règles BAEL 91,
- une formule approchée du moment limite ultime, pour les sections rectangulaires en
flexion simple, permettant d'en étendre le domaine d'application à des bétons de résis-
tance allant jusqu'à 60 MPa,
- des compléments concernant les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appré-
hender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99,
l'introduction des notions de torsion d'équilibre et de torsion de compatibilité afin de
définir les cas où il est nécessaire de faire une étude de la torsion des éléments en béton
armé.
Les auteurs.

SOMMAIRE
CHAPITRE 1 : RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1
I. RAPPELS DE COURS 1
1. Caractéristiques géométriques 1
2. Théorie des contraintes 6
3. Théorie des poutres 10
4. Éléments de réduction 12
5. Conditions générales d'appui des poutres 14
6. Systèmes isostatiques et hyperstatiques 15
7. Équations intrinsèquesdes poutres droites 16
8. Relations contraintes-efforts 18
9. Tronçons de poutres droites 24
IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES 34
CHAPITRE 2 : BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS 41
1. Unités 41
2. Actions et sollicitations 41
3. Caractéristiques des matériaux 50
4. Hypothèses et données pour le calcul du béton armé 55
II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS 57
CHAPITRE 3 :ASSOCIATION ACIER - BÉTON 65
1- Définitions 65
2. Disposition des armatures 66
3. Contrainte d'adhérence 67
4. Ancrage des barres
5. Jonctions par recouvrement 76

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL
CHAPITRE 4 :TRACTION SIMPLE - TIRANTS
I. RAPPELS DE COURS
1. Introduction
2. Dimensionnement des armatures
3. Vérification des contraintes
4. Détermination du coffrage
5. Condition de non-fragilité
6. Armatures transversales
IL EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PRÉJUDICIABLE
CHAPITRE 5 : COMPRESSION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS
1. Hypothèses
2. Élancement
3. Armatures longitudinales
4. Armatures transversales
5. Coffrage !
IL EXERCICE N° 1: POTEAU - ARMATURES MINIMALES
III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU
IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU - GRANDE DIMENSION IMPOSÉE
CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS
1. Introduction
2. Section rectangulaire - fissuration peupréjudiciable
3. Section rectangulaire - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable
4. Coffrage des sections rectangulaires
5. Sections en T
6. Pourcentage minimal d'armatures
7. Vérification des contraintes à l'E.L.S
8. Organigrammes récapitulatifs pour le dimensionnement des armatures
9. Vérification à l'E.L.U. d'une section rectangulaire dont on connaît les armatures..
II. EXERCICE N° 1: FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE -
SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS
III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE - SECTION À TABLE
DECOMPRESSION
80
85
85
85
85
87
87
87
88
90
93
93
93
93
94
97
98
99
102
105
113
113
113
113
129
133
133
138
140
143
146
147
152
TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE -
SECTION RECTANGULAIRE 158
V EXERCICE N° 4 :FISSURATION PEUPRÉJUDICIABLE -
' SECTION EN T(Mu>MTu).... 161
CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT 173
1. Définition
2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant
3. Vérification du béton
4. Calcul des armatures d'âme
5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 186
6. Zones d'application des efforts
7. Jonction hourdis-nervure
8. Poutres à talon
IL EXERCICE N° 1: POUTRE - EFFORT TRANCHANT 198
III. EXERCICE N° 2 :POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE -
ARMATURES D'ÂME INCLINÉES 205
CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217
I. RAPPELS DECOURS 217
1. Généralités - Introduction
2. Sections partiellement tendues
3. Sections entièrement tendues
4. Sections entièrement comprimées
5. Diagrammes d'interaction
H. EXERCICE N° 1:FLEXION - COMPRESSION -
SECTION PARTIELLEMENT TENDUE
III. EXERCICE N°2 :FLEXION - TRACTION -
SECTION ENTIÈREMENT TENDUE
IV. EXERCICE N° 3 :FLEXION - TRACTION -
SECTION PARTIELLEMENT TENDUE
244
251
254
CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITION
DES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME
I. RAPPELS DECOURS 259
1. Introduction
2. Répartition des armatures longitudinales

3. Répartition des armatures d'âme 267
CHAPITRE 10 : TORSION 269
1. Introduction 269
2. Rappels de Résistance des Matériaux 270
3. Vérification du béton 272
4. Armatures 274
IL EXERCICE : AUVENT 277
CHAPITRE 11 : FLAMBEMENT 285
1. Excentricités 285
2. État-limite ultime de stabilité de forme 287
3. Équations du problème 288
4. Méthode de l'équilibre - Méthode desdéformations internes 293
5. Utilisation des tables deFaessel - Robinson - Morisset 298
6. Corrections diverses 302
7. Utilisationdes abaques de Capra 307
II. EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE
PAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE)
III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE
ET PAR LES TABLES
IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE
PAR LES ABAQUES DE CAPRA
311
314
320
CHAPITRE 12: POUTRES CONTINUES - PLANCHERS 325
A. Poutres continues - Rappels - Adaptation 325
1. Rappels de Résistance des Matériaux 325
2. Essais de poutres en béton armé 326
3. Portées des poutres et portiques 328
4. Poutres de planchers 330
B. Planchers - Méthode forfaitaire 333
1. Domaine de validité 333
Principe de la méthode - Adaptation 334
3. Moments fléchissants „.,,.. 335
4. Efforts tranchants 337
5. Méthode Caquot « minorée »
C. Planchers - Méthode Caquot 338
1 Domaine de validité
2. Évaluation des moments
3. Efforts tranchants 343
4. Travées de rive avec console 347
D. Poutres continues - Dimensionnement 348
1 Conditionsde déformation 348
2. Résistance à la flexion 350
3. Vérification à l'effort tranchant 351
II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER - MÉTHODE FORFAITAIRE 351
III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT 370
CHAPITRE 13 : DALLES RECTANGULAIRES SUR APPUIS CONTINUS 383
1. Introduction
2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 384
3. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 386
4. Effort tranchant
5. Poinçonnement 390
6. Dispositions constructives
7. Arrêt des armatures
8. Autres critères pour les bâtiments
II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40) 394
CHAPITRE 14 : DESCENTE DE CHARGES 403
I. 'RAPPELS DE COURS 403
1. Principe 403
2. Valeurs des charges permanentes et des charges d'exploitation
3. Dégression des charges variables d'exploitation
4. Effet de la continuité sur les poteaux voisins de rive 406
II. EXERCICE :BÂTIMENT - DESCENTE DECHARGES 409
ANNEXE 1 : CALCUL MANUEL D'UNE SECTION RECTANGULAIRE
À ARMATURES SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PAR APPROXIMATIONS
SUCCESSIVES 427

ANNEXE 2 : VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIRE
DONT ON CONNAÎT LES ARMATURES 433
ANNEXE 3 : MOMENT LIMITE ULTIME EN FLEXION COMPOSÉE 435
NOTATIONS - SYMBOLES.
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
461
467
CHAPITRE 1
RAPPELS DE RESISTANCE
DES MATÉRIAUX
Ce chapitre rassemble les notions de base indispensables en Résistance des Matériaux pour
bien aborder les calculs de béton armé selon les Règles BAEL 91. Il se présente donc plutôt
sous laforme d'un aide-mémoire.
I. RAPPELS DE COURS
1. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES
1.1. MOMENT STATIQUE - CENTRE DEGRAVITÉ
• Pour unesurface S repérée parrapport auxaxes Oyet Oz:
—-t-

I On appelle AIRE d'une SURFACE, la quantité:
• On appelle MOMENTS STATIQUES de la surface I, par rapport aux axes (A)Oz etOy,
les quantités:
• On appelle CENTRE DE GRAVITÉ (ou BARYCENTRE) de la surface 2, le point G de
2 dont les coordonnées sont définies par les relations :
.dl
Z
G=-
f
dl
I La distance du centre de gravité G à l'axe (A) est définie par
Ô -
L
b
S
A
S
Jô.dZ
"I
If
2. MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE
• On appelle MOMENTS D'INERTIE de la surface I, par rapport aux axes (A), Oz etOy,
les quantités :
l On appelle PRODUIT D'INERTIE de la surface I par rapport aux axes Oz et Oy la quan-
tité :
y.z.dZ
'I.
l On appelle RAYONS DE GIRATION relatifs aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :
,2_Iz .
u
y~s~
• On appelle MOMENT D'INERTIE POLAIRE de la surface E par rapport au point O la
quantité :
1.3. REMARQUES
• Sile point O est choisi aucentre de gravité G:
ZG = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR
LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL.
• II estpossible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2 paraddition desmoments d'iner-
tie desaires 2j constituant l'aire 2 :

Si Ivz = 0, les axes Oz et Oy sont dits : AXES PRINCIPAUX D'INERTIE .
I Le produit d'inertie est nul si l'un des axes Oz ou Oy est axe de symétrie de l'aire £
= y.z.dZ+ U.z.dZ
• Comme r2
= y2
+ z2
, on peut exprimer le moment d'inertie polaire en fonction des
moments d'inertie :
1.4. CHANGEMENT D'AXE - THÉORÈME DE HUYGHENS
En posant :
A' = axe passant par le centre de gravité G de 2,
A = axe quelconque parallèle à A',
d = distance entre ces deux axes,
on a:
S = S'+d
d'où:
IA=
SA, = o
! 5. FORMULES USUELLES ï
.„, y
t
I*=- 12
36[B+b]
y
t
= 2R
y
t
v
vn —>z
72K
, h
=T
h[2B+b]
' 3[B+b]
, h[B+2b]
'~ 3[B+b]
v=v'=R
<:
'-:iH,L$
,- •:•( ,* I.S
(37T-4)R "''
, 4R
=
-
"uX!

2 .THÉORIE DES CONTRAINTES
2.1. PRINCIPE D'EQUIVALENCE
Z12 = surface à normale unique divisant le corps en deux domaines (DG) et (DD),
£ = section commune à (DG) et (DD), +
S(f) = système des forces de contact exercées par (DG) sur (DD) à travers Z12,
S(FG) et S(FD) = actions appliquées au domaine de gauche (DG) et de droite (DD).
En écrivant, d'une part, l'équilibre de la partie (DD) du solide et, d'autre part, celui de
l'ensemble du solide, puis en identifiant ces deux relations :
D'où:
il y a équivalence entre le système des forces appliquées au domaine de gauche (DG) et le
système des forces transmises par (DG) à (DD) à travers la surface Z12.
2.2. DÉFINITIONS
2.2.1. Vecteur contrainte
AI étant une surface élémentaire de Z12, de centre M, si Af est la résultante des forces de
contact transmises par (DG) à (DD) à travers AZ, on définit le VECTEUR CONTRAINTE
par :
t = lim
2.2.2. Facettes
• On appelle FACETTE unélément d'aire dl deL12.
• Ongrisera le côté de la facette situé du côté du matériauconservé.
• Onorientera la normale à la facette vers l'intérieur dudomaine conservé.
2.3. PRINCIPE ACTION-RÉACTION
Les facettes contiguës appartenant aux deux domaines (DG) et (DD) sont soumises à des
contraintes T opposées, mais de même nature (compressions, traction...) compte tenu de
l'orientation de la normale n à la facette.
2.4. PRINCIPE DE CONTINUITE
Les contraintesrelatives à deux facettes parallèles, infiniment voisines, distantes de dx, ne
diffèrent entre elles que d'un infinimentpetit du même ordre que dx.
2.5. FAISCEAU DES CONTRAINTES
2.5.1. Notations
Toute facette est définie par sa normale orientée.
Le vecteur contrainte agissant sur une facette dont la normale est parallèle à l'un des axes
Oxb Ox2 ou Ox3, se décompose en :
- une composante normale Oy portée par la normale O-t à la facette,
- deux composantes Ty et Tik portées par les deux autres axes Oxj et Oxk.

2.5.2. Réciprocité des cisaillements
• Pour le tétraèdre OABC repéré dans Ox!X2x3 (tétraèdre élémentaire), les aires des
facettes sont obtenues par :
=n2 .ds=-_-dx1 .dx3
=n^ .ds=-jdx2 .dx3
n; = cosinus directeur de la facette dont la normale est parallèle à Ox;.
La contrainte agissant sur la face ABC considérée comme n'appartenant pas au tétraèdre
I f ! •
vaut :
• Les facettes OBC, OACet ABCsont soumises aux contraintes représentées sur la figure
ci-après :
d'où, en multipliant les contraintes par l'aire des facettes, les composantes des efforts sui-
vant les axes valent :
Proj ect ion
sur
Facette
OBC
OÀC
OÀB
ABC
Ox
7
12n
lds
t2ds
Ox
7
13n
lds
ds
> -S ( f) dû aux f oxc.es
' agissant«à droite»
du tétraèdre.
et en écrivant que la projection des efforts suivant chacun des axes de coordonnées est
nulle, on obtient :
d'où:
I Pour la facette OAC dans le plan

Xinfiniment petit
devant dxi
'31n
3QS
>dx
Aux infiniment petits du second ordre près, les moments en O' donnent :
dx, dx,
or :
d'où:
HJ ds = —dx2 dx3 et n3 ds = —dxj dx2
soit, en simplifiantpar —dx l dx 2 dx3 : TB = T31
Cette démonstration étant valable dans les trois plans, on en déduit :
- = Ti quel que soit ixj
3. THÉORIE DES POUTRES
3.1. POUTRE
- Une POUTRE est un solide engendré par une aire plane (L) délimitée par un contour
fermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l'espace de telle sorte :
- que le plan de (Z) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C),
- que la trajectoire décrite par un point P quelconque de (Z) soit toujours parallèle à la
courbe (C).
Œ)
(C)
3.2. SECTION DROITE :
• L'aire plane (E) estappelée.: SECTION DROITE ouPROFIL.
• Elle peut être : *
•plane ou évidée,
•constante ou lentement variable, pour pouvoir résister notamment auxefforts au
voisinage des appuis.
• Les dimensions de la section droite doivent être petites relativement à la longueur par-
/! ',* t *-| '
courue par G sur la courbe (C).
3.3. FIBRE MOYENNE
- La courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite est dite : FIBRE ou
LIGNE MOYENNE de la poutre.
- Suivant la forme de la ligne moyenne, onobtient :
- unePOUTRE DROITE lorsque (C)estunedroite,
- unePOUTRE GAUCHE lorsque (C)est unecourbe gauche,
- unARClorsque (C)est unecourbe plane ouverte,
- unANNEAU lorsque (C)estunecourbe plane fermée,
- une POUTRE À PLAN MOYEN lorsque (C) est une courbe plane dans le plan de symé-
trie de la section droite (appelé PLAN MOYEN).
3.4. DOMAINE DE VALIDITÉ DES HYPOTHÈSES DE LA THÉORIE DES POUTRES
En désignant par :
ht = plus grande dimension transversalede la section droite,
b = pluspetite dimension transversale de la section droite,
R = rayon de courbure de la ligne moyenne,

T =rayon de torsion de la ligne moyenne,
L = longueur développée de la poutre,
il faut :
-^-110
b
1 ht 1
1
f—-< — : poutres
30 L 5
1 ht 1
1
< —£.< 4- :arcs
100 L 5
TIT> 5 :poutres courbes
r=R ou T
Rou-T
4. ELEMENTS DE REDUCTION
4.1. EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE
• Repère associé aucentre de gravité de la section droite (Z):
Gx, orienté de la gauche vers la droite sur la tangente à la ligne moyenne,
Gy et Gz, portés par les axes principaux d'inertie de la section droite.
B Remarque:
Pour les poutres à plan moyen, Gy est dans le plan moyen.
Le système des forces extérieures agissant sur la partie (DG) se réduit, au centre de gravi-
té G de la section droite, à :
/R(s) =RÉSULTANTE GÉNÉRALE
M(s) =MOMENT RÉSULTANT
• Dans le repère Gxyz, lié au centre de gravité G de (Z), la décomposition des efforts
s'écrit, pour la section d'abscisse curviligne s :
/R(s) = N . x + V y . y + V z . z
M(s) = T . x + M y . y + M z . z
I D'où :
• la résultante générale R se décompose en :
N = EFFORT NORMAL porté par Gx,
V = |y
y
= EFFORTS TRANCHANTS dans le plan de (Z).
le moment résultant M se décompose en :
T = COUPLE DE TORSION d'axe porté par Gx,
M =
| My = MOMENTS
FLÉCHISSANTS dans le plan de (Z).

4.2. EFFORT NORMAL ET TRANCHANT
Nous avons défini l'effort normal (resp. tranchant) relatif à la section (Z) de centre de
gravité G, d'abscisse curviligne s, comme étant égal :
- à la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forces
appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont les
centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DEGAUCHE),
- à l'opposé de la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante
des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections
droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCES
DE DROITE).
4.3. MOMENT FLÉCHISSANT ET COUPLE DE TORSION
De la même manière, le moment fléchissant (ou le couple de torsion) relatif à la section (£)
de centre de gravité G d'abscisse curviligne s est défini comme étant égal :
- à la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) du
moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble
des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à
s (FORCES DE GAUCHE),
- à l'opposé de la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la norma-
le Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par
l'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes
supérieures à s (FORCES DE DROITE).
5. CONDITIONS GÉNÉRALES D'APPUI DES POUTRES
5.1. APPUI SIMPLE
• Appui qui n'empêche le déplacement que dans le sens perpendiculaire à sa surface. Un
tel appui permet la translation suivant l'axe Ox et la rotation autour de l'axe Oz :
y
t
>
ou
,-'//,••'/•
• Uneseule composante delaréaction d'appui.
5 2. ARTICULATION
B Appui s'opposant à toute translation, mais autorisant les rotations :
• Deux composantes delaréaction d'appui.
5.3. ENCASTREMENT PARFAIT
• Appui interdisant toute translation ettoute rotation
l Deux composantes de la réaction d'appui et une du moment d'encastrement.
6. SYSTÈMES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES
• D'après le principe fondamental de la Statique, un solide est en équilibre si le système
S(F) des forces qui lui sont appliquées (charges et réactions d'appui) est équivalent à un
système de forces nul. Cela conduit, dans le cas général, à six équations :

16 PRATIQUE DU BAEL 91
• Par conséquent :
r = nombre de réactions et moments d'appui inconnus,
k - nombre d'équations fournies parla Statique (k<6),
si r - k, le système est dit ISOSTATIQUE et les équations de la Statique permettent de
déterminer toutes les réactionsd'appui,
si r > k, le système est dit HYPERSTATIQUE d'ordre r -k car il manque r - k équations
pour calculer toutes les réactions d'appui,
si r < k, le système est dit INSTABLE puisqu'il y a k - r équations d'équilibresurabondantes.
• Dans le casde forces agissant dans leplan moyen et de couples d'axes perpendiculaires à
ce plan, k < 3 (cf. Vz = My = T = 0).
7. ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DES POUTRES DROITES
7.1. CONVENTIONS DE SIGNE
• Onsebornera à l'étude despoutres à plan moyen chargées dans leur plan :
p(x) = densité de charge suivant Gx,
q(x) = densité de charge suivant Gy,
"y(x) = densité de couple d'axe normal au plan moyen.
Rappels de Kesismnce aes muienuiui
I Les conventionsde signe pour les charges sont indiquées sur ta figure ci-dessus
2 ÉQUILIBREDU TRONÇON ÉLÉMENTAIRE DE POUTRE
Le tronçon GG' limité par deux sections droites infiniment voisines (Z) et (£') d'abs-
cisses respectives x et x + dx est en équilibre sous l'action :
_ deschargesappliquées : p(x), q(x) et y(x), . , , , ' . ' &
- deséléments de réduction des forces de gauche : M, N et V, , f ^
_ des éléments de réduction des forces de droite : ,» -
dx dx dx
l Par projection, il vient :
>rm !,«
; <• um
dx
V - q(x) dx - v + dV dx 0
dx
M + V. ^L + Y(x) dx - (M+ M dx) + (v + dV ^ dx_ =0
! 1 dx / dx / 1
I Après simplification, il vient, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à 2 :
dN
dx
dV
' dx
dM
dx
- = p(x)
- = -q(x)
- = V(x) + Y(x)

8. RELATIONSCONTRAINTES-EFFORTS
8.1. LOI DE HOOKE
- Toute contrainte normale estaccompagnée d'une dilatation unitaire:
- demême direction quela contrainte,
- designe opposé à lacontrainte,
- proportionnelle à lacontrainte:
IE est appelé MODULE D'ÉLASTICITÉ ou MODULE D'YOUNG.
8.2. PRINCIPE DE NAVIER-BERNOULLI
• Les variations unitaires de longueur — sont des fonctions linéaires des coordonnées yet
z des fibres dans le plan de la section droite (déplacement simple = rotation +translation).
t
dx
AVANT APRES
DEFORMATION
l On a donc pour / = dx:
rotation/Gy et Gz
translation
d'où, la loi de Hooke s'écrit :
a = -E - =-E[a+by+cz]
m Cette équationtraduit le PRINCIPE DE PIGEAUD.
8 3.CHAMPDES CONTRAINTES NORMALES
• D'après le principe d'équivalence, le système des forces de contact est équivalent au sys-
tème des forces de gauche.
S(adZ)=S(FG )=(N,My ,Mz )
•'• <' €
l Nous obtenons donc :
adZ=N
aydZ=Mz
azdZ=-My
résultante générale
moment résultant
:»• •••"
D'après le principe de Pigeaud : a = - E[a + by + cz] = a + (îy + yz, d'oùle système
linéaire en a, p, y:
| zdZ =
'Z

a yzdl+r
z '
l Or, par définition du centre de gravité et des axes principaux d'inertie:
|jydZ=j|zdI=0 et |L2d2;=0
"z "z "z
l D'où, compte tenu de la définition des aires et des moments d'inertie :
aS=N
l On obtient donc :
N Mz.y My.z
• La contrainte normale, due à laflexioncomposée déviée, dans une section droite homo-
gène et élastique à plan moyen vaut :
a-N
a
s
Mz .y
Iz
My .z
!y
M
S=aire de la section z
droite,
Iy=moment d ' inertie/Gy, N-
Iz=moment d'inertie^Gz.
M
Dans lecas
d'une section rectangulaire,sur les fibres extrêmes :
S=bh
I =—
Iz 12
.hb
3
«É=>
,.±±
N
bh2 +
hb2 »M4
8.4. SOLLICITATIONS PARTICULIÈRES
8.4.1. Compression et traction simple
• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à un
effort normal :
• positif pour une compression,
• négatif pour une traction.
• Dans ces conditions, la contrainte normale et le déplacement dus à la compression ou àla
traction simple, dans une section droite d'une poutre homogène et élastique, valent :
-1
dl
dx "
0
E
N
ES H

8.4.2. Flexion simple
• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite àun
moment fléchissant Mz d'axe Gz.
• Dans ces conditions, la contrainte normale due à la flexion simple, dans une section droi-
te homogène et élastique, vaut :
I Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2) :
• Pour deux sections droites (1,^ et (£2), infiniment voisines, distantes de dx et soumises ;
l'action d'un moment fléchissant M, :
do;
•Vï'sU 'US;/] •
- i f ;i
"
• D'après la loi de Hooke, la déformation relative de la fibre d'ordonnée y vaut :
d/__ q ( y ) _ _ M z . y
dx~ ~ÊT:
" E.Iz
La rotation relative dœ entre les deux sections est :
d/ Mz , dx
l D'où la valeur de la courbure de la ligne moyenne :
1 dûJ Mz
J? dx EIZ
•:. ;< >Hï A'
-.-./•K> î.*f
; -• 5«
8
-4.3. Flexion déviée !J
• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à.
- unmoment fléchissant My d'axeGy,
- un moment fléchissant Mz d'axe Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et les déplacements relatifs dus à la flexion
déviée, dans une section droite homogène et élastique, valent :
V
t
Mz .y My.z
°~ Iz ly
dtfy My_
dx Ely
Hfl M
auz nz
dx EIZ
J
w+ ^ iH;
T
^
:::::::::SS
ma
& 4
r
.+
l Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2 et z - ± b/2) :
y
t
SI +
o- —
6M7
bh2 H
6MV
h
h b 2
•4|
9. TRONÇONS DE POUTRES DROITES
9.1. CHARGEMENT ENVISAGÉ
• On considère un tronçon de poutre droite limité par deux sections droites : (SA) (origine)
et (SB) (extrémité).
• Cetronçon depoutre est supposé sollicité par desforces situées dans sonplan moyen :
- densité de charge répartie p(Ç) d'abscisse £ depuis (SA),
- forces verticales concentrées P; d'abscisse xt depuis
_ VA et MA = éléments de réduction des forces de gauche en (ZA),
_ VB et MB = éléments de réduction des forces de droite en (SB).
V
A*
fp(€)
p
i
a
B
(SB)
;,- ,";
S »
'•'E
l Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus.
9.2.ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION DANS TOUTE SECTION (I) DU TRONÇON
DE POUTRE
9.2.1. Effort tranchant
Les forces de gauche donnent en G :
'0
9.2.2. Moment fléchissant
De la même façon :
x
0
9
-3. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION
•3.1. Éléments de réduction en fonction des éléments de réduction isostatiques
d'appui de la poutre isostatique associée
1
Pour une poutre sur deux appuis simples soumise aux mêmes charges et de mêmelon-
gueur que le tronçon de poutre étudié (POUTRE ISOSTATIQUE ASSOCIÉE) :

26 PRATIQUE DU BAEL 91
>K
Ri
• RA estobtenue en écrivant quele moment résultanten B est nul:
Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :
h
nous obtenons, par identification: *
soit :
MA -MB MB-MA
l La réaction RB est obtenue en écrivant que la résultante générale des forces est nulle :
,1
Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :
,1
nous obtenonspar identification :
soit :
M,-MR
, =VA -VB -RA avec RA = VA + B
Rappels de Résistance des Matériaux 27
d'où, il vient :
M - M
A MB-MA
b) Élémentsde réduction
• Dans toute section droite (Z) du tronçon depoutre étudié :
M=MA+VÀx-I Pitx-Si)-
l En remarquantque pour la poutre isostatique associée au tronçon étudié :
x
l Nous obtenons par identification :
>:- - . • . ; . ' .
d^i M A - M B
dx % /
HVA X +
^ /
f M
- 7 ,-MB)
^ A
/ J"
I Soit, après simplification :

9.3.2.Définition
On appelle éléments de réduction isostatiques (respectivement MOMENT et EFFORT
TRANCHANT ISOSTATIQUES), les éléments de réduction dans toute section droite (I)
d'un tronçon de poutre, lorsque ce tronçon de poutre repose à ses deux extrémités sur des
appuis simples.
9.3.3. Poutres droites isostatiques : éléments de réduction
a) Cas d'une chargeconcentrée
(E)
-H
1
RB=-vB
I Réactions d'appui :
MB = 0=>RA ./-P(/-a) = 0=>RA =P|l--
«=P-RA^RB=P-
Sollicitations :
0 < x < a :
M(x)=RA x=P|l --|x
V(x) = RA = 1
(forces de gauche) ;
|M(x)=RB(/-x) = p(l-x
-)a
a < x < l : / * l
' (forces de droite)
V(x) =-&,=-P-
Remarque :dans le casoù a = - onpose :
Cas d'une charge uniformément répartie
(Z) P
Réactions d'appui :
Sollicitations :
= RA .x-px^ = ^x-
x p/ px2 px (/
~ X)

I On pose :
Mr
Pl
c) Cas d'un couple concentré d'axe perpendiculaire au plan moyen
(I)
2J ^r
H (+• a®
RB=-^
Réactions d'appui :
=0 .RA ./ + r =o
R -
Sollicitations :
0 < x < c c :
M(x) =RA x = - F1
(forces de gauche)
M(x) = Rg (/ - x) =F 1 - 1
a < x < / : / '
|V(x)=-RB =-L
(forces de droite)
r
H
1
I Cas particulier des couples sur appuis
Pour a =
M»
^
•-1
i
•vM trx.
Pour a= l;r=-Mij:
.MB
i
4/
i-V--^ 4
9.3.4. Éléments de réduction dans un tronçon de poutre
• Les éléments de réduction dans un tronçon de poutre peuvent, d'après ce qui précède,
être évalués à partir des éléments de réduction de la travée isostatique associée, en opérant
par superposition :
ai
Xitu
•Pi
D'
©
Tronçon de poutre

I D'où par superposition :
Travée de référence sou-
mise aux mêmes charges(ou |
travée isostatique asso-
ciée) :
;M(X)=^(X)
mise à M :
mise à MB:
MR
V(x)=f
M -
4 APPLICATION AUXPOUTRES CONSOLES
• En dissociant les deux consoles de la travée centrale, on obtient la décomposition des
efforts suivante :
"
(
ï (S)
Mi=moment à gauche
À
d e A ,
MTD=moment à droite
de B.
l D'où le diagramme des moments :

T
IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES
1. CONVENTIONS
Les sens positifs adoptés pour les forces, les éléments de réduction et les déformations sont les
suivants.
FORCES APPLIQUÉES
P = charge appliquée concentrée,
p = charge appliquée répartie,
RA, RB = réactions d'appui.
<
ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION
• M =moment fléchissant,
V = effort tranchant,
N = effort normal.
f ibre fibre
H+
tendue tendue
forces de gauche forces de droite
• Lesefforts tranchants à gauche et à droite d'un appui I sont notés respectivement (indice
w pour ouest, indice e pour est) :
TT
"*
„! ©
DÉFORMATIONS
f = flèche,
(0 = rotation.
*.;:31
2. FORMULAIRE
SCHEMA RdM
(
I
)
Chargement : (
Diagrammes :
FORMULES
24
£=-
384EI

Diagrammes: (À) j==
SCHEMA RdM
Chargement : (À
Diagrammes :
FORMULES
MÀ=-P1
;
.
!
y,=P *ç**""
V
À F
^
f —
PI
3EI
3
Chargement:
®
1/2
Diagrammes :
f=-
pa
M
À=M
B=
~T
Mt=M0+MÀ
p!2
(512
-24a2
)
384EI
pa(!3
-6a2l-3a3
)
24EI
pl(!2
+6a2
)

SCHEMA
Charc
€
remen t
P
f
t'""-î
UR
A
Diagrammes :
- :V
^
v à
~^
, 1/2
(
Z
)
W
A_. 4-
h® N(
:
RdM
^'-•^
i) (
B
)
^
:
1
l V
Ae _ VBw ®
_
L à
3 >
h
. a
=
!
f
R
B
v
l?._
'
X
P
'
>
MB
FORMULES
VÀW=-VBe=-P
VAe=VBw=0
f-,Pal2
f
' BEI
Pa2
(4a+31)
fl
"~ 12EI
ûJ». ûJ = Pla
"
V "fe- 2EI
Chargement:
uummuww
Diagrammes:
V
2 1
SCHEMA RdM
Chargement :
®î
Diagrammes :
. :M
:V
Z
A
:
!
^
^
* _
FORMULES
MB=-Pa
V
Be=P
*
•&-^ w~>
'•* • •>.-,«
.*t «t. „

CHAPITRE 2
BÉTON ARMÉ : GÉNÉRALITÉS
I. RAPPELS DE COURS
1. UNITÉS
Longueurs en mètres (m).
Sous-multiple : 1cm = 10-2
m.
Forces en newtons(N).
Multiples : 1kN = 103
N (kilonewton),
1 MN = 106
N (méganewton).
Remarque : 1MN = 105
daN (décanewton) ~ 105
kg (kilogramme) = 1001(tonne).
Pressions, contraintes en pascals (Pa) : 1 Pa = 1N/m2
.
Multiple : 1MPa = KPPa (mégapascal) = 1N/mm2
.
Remarque : 1MPa = 10 daN/cm2
= 10bars = 10 kg/cm2
= 100 t/m2
.
• ACTIONS ET SOLLICITATIONS
2-1. TERMINOLOGIE
ACTION = toute cause produisant un état de contrainte dans la construction.
- Actions permanentes :
• poids propre,
• poids des superstructures,
• poussées des remblais,
•etc.

- Actions variables :
• charges d'exploitation,
• charges appliquées en cours d'exécution,
• action de la température,
• vent, neige,
• etc.
- Actions accidentelles :
• chocs de véhicules routiers ou de bateaux sur appuis des ponts,
• séismes,
• etc.
SOLLICITATIONS = forces et moments produits par les actions dans les éléments d'i
construction :
- effort normal : N,
- effort tranchant : V,
- moment fléchissant : M,
- couple detorsion : T.
2.2. VALEURS DES ACTIONS
La variabilité des actions agissant sur une structure est prise en compte en définissant pour
chacune d'elles des VALEURS REPRÉSENTATIVES déterminées :
- parexploitation statistique desdonnées nécessaires existantes,
- parestimation fondée surl'expérience.
La VALEUR DE CALCUL d'une action est obtenue par multiplication de sa valeur repré-
sentative à l'aide d'un COEFFICIENT DE PONDÉRATION y destiné à couvrir :
- les incertitudes résultant de la connaissance imparfaite des données de base,
- l'imprécision des hypothèses decalcul,
- les imperfections de l'exécution.
2.3. ÉTATS-LIMITES
2.3.1. Définition
Un ÉTAT-LIMITE est un état particulier dans lequel une condition requise pour une
construction (ou l'un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l'être en cas
de modification défavorable d'une action.
2.3.2. Différents états-limites
a) États-limites ultimes (E.L.U.)
Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes.
Ils correspondent à l'atteinte du maximum de la capacité portante de l'ouvrage ou de l'un
de ses éléments avant dépassement par :
_ perte d'équilibrestatique,
_ rupture de sections par déformation excessive,
_ instabilité de forme (flambement),
_ transformation de la structure en un mécanisme. •'' ^ ' '
Critères de calcul : / ( , ,,, ;
_ déformationsrelatives (ou courbure) limites, ,.(<s
_ calcul de type « rupture » avec lois contraintes-déformations des matériaux. feife,
•I i..
l États-limitesde service (E.L.S.)
Ils sont liés aux conditions normales d'exploitation et de durabilité.
Ils correspondent aux phénomènes suivants :
- ouverturesexcessives des fissures,
- compression excessive dubéton,
- déformations excessives deséléments porteurs,
- vibrationsexcessives et/ou inconfortables,
- perte d'étanchéité,
-etc.
Critères de calcul :
- contraintes (ou déformations) limites,
- calculs de type élastique (loi de Hooke, coefficient d'équivalence,...)-
2.3.3. Vérifications
a) États-limites ultimes (E.L.U.)
La SOLLICITATION AGISSANTE DE CALCUL est obtenue pour une combinaison
d'actions F, :
J - coefficient de sécurité partiel
S [S y. •j/. •Fjl avec pour l'action i : / i F{ - valeur représentative (cf. 2.2 et 2.4.1.)
j = 1 s'il s'agit d'une action permanente
La SOLLICITATION RÉSISTANTE est celle pour laquelle l'un des matériaux constitutifs
de la structure atteint soit une déformation limite, soit une résistance limite :
R
?">!
'u.-.
Ys Yb Yb
ou :
f
e.fcjetftj =
YsetYb =
résistances caractéristiques des matériaux acier et béton en compression et en
traction,
coefficients de sécurité partiels au moins égaux à 1 pour l'acier et le béton.

On doit vérifier :
b) États-limites de service (E.L.S.)
On doit montrer que la sollicitation de calcul agissante ne provoque pas le dépassement des
limites de l'E.L.S. considéré :
- pour les contraintes :
^CJHn
< T lim
- pour laflèche :
S = M et/ou N
S = V et/ou T
S = M ou M + N
2.4. COMBINAISONS D'ACTIONS
2.4.1. Notations
On désigne par :
'-•min
Qi
= ensemble des actions permanentes défavorables,
= ensemble des actions permanentes favorables,
= action variable de base (valeur caractéristique, y = 1),
Qi = action variable d'accompagnement (i>l) :
Voi-Qi=
valeur de combinaison,
Vn-Qi - valeur fréquente,
|/2i-Qi = valeur quasi permanente,
FA = action accidentelle.
On note :
G = valeur probable d'une charge permanente,
Qprc = charges d'exécution connues (en grandeur et en position),
Qpra =
charges d'exécution aléatoires,
Qr = charges routières sans caractère particulier (systèmes A, B et leurs effets
annexes, charges de trottoirs) obtenues par multiplication des charges figurant au
Fascicule 61-titre II par :
• 1,07 aux E.L.U., il
•1,20 aux E.L.S., - i ]
• 1,00 aux E.L.S. pour charges de trottoirs, il
On»
QB
Qex
W
= charges routières de caractère particulier (convois militaires et exceptionnels)
définies au Fascicule 61-titre II,
= charges d'exploitation des bâtiments,
= charges d'exploitation ferroviaires définies par le livret 2.01 du CPC (1)
de la
SNCF,
= action du vent définie :
- parleFascicule 61 - titre IIpour lesponts-routes,
- par les Règles NV 65 pour les autres constructions, les valeurs du vent normal
étant multipliées par :
. 1,20 aux E.L.U.,
- 1,00 aux E.L.S.,
= action du vent sur les ponts-rails à vide,
= action du vent sur les ponts-rails en cours d'exploitation,
= action de la neige pour les bâtiments définie par le Fascicule 61 - titre IV, sec-
tion II (Règles N 84),
= variations uniformes de la température,
- = gradient thermique prescrit par le marché (rapport de la différence A0 de
h
température entre les deux faces d'un élément à l'épaisseur h de celui-ci),
= effet des variations de température sur les ponts-rails :
- dilatation deslongs rails soudés,
- gradient de température,
- variation detempérature.
Dans ce qui suit, pour les COMBINAISONS D'ACTIONS, il faut :
- prendre la combinaison la plus défavorable pour l'effet recherché, une même action
n'intervenant au plus qu'une seule fois dans la combinaison,
- choisir une (ou aucune) action parmi celles se trouvant derrière une accolade ({),
- les valeurs entre crochets ([...]) ne sont généralement pas à prendre en compte.
2.4.2. États-limites ultimes (E.L.U.)
a) Combinaison fondamentale
- Formulation symbolique :
Qiv
Qiv
Sn
T
A0
Qe
• Cas des ponts-routes :
I situation d'exécution :
•amer des prescriptions communes applicables aux marchés de travaux d'ouvrages d'art.

w
|w
1,35[T]
1,OW
l,OQpra +1,3{[0,615T+0,50A6]
I[0,615T+0,30A0] J
- situation d'exploitation :
1,5
1 35
U5
W
Qr
1,3 {[0,615 T +0,50 A0]
I Cas des bâtiments :
• situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.
situation d'exploitation :
/
1
'3 5
-G
QB
1,5 ( W
sn
1,35[T]
'1
/0.77.W
0,77. Sn
/ Vo-Qfi
0,77.W + i|/0.QB
0,77.Sn + x)/0.QB
0,77. W +0,77. Sn
V|/0 = coefficient défini dans l'annexe à la norme NFP 06-001.
• Cas des ponts-rails :
- situation d'exécution :
1,35. Qe x + 1,5. Qpr;
pr;i
1,5
'w
+ 1,3 {W + 1,3 (0,615. Q,
_ situation d'exploitation :
l,35Gmax +G
Combinaisons accidentelles
• Formulation symbolique :
1,35. Qe
1,5
1,3(Qiv + 1,3 (0,615 .Qe
in +FÀ
+
Vii.Qi+2 V2i.
où :
= valeur fréquente d'une action variable,
^Qj = valeur quasi permanente d'une autre action variable.
Cas des ponts-routes :
- L F j.
max "•" min "t
"1
A"l
"
0,6 pont de 1re
classe
0,4 Qr pour / pont de 2e
classe
' ' pont de3e
classe
Q 7 W
0,5T
0,5 A0
I Cas des bâtiments :
0,75 .QB
0,20. W
0,15. Sn
0,50. T
> - ;••'»• J«
' • - ;.;
.' I d -
+ (0,65 . QB +1|/2.. T si le C.P.S. 0> le prescrit.
I Cas des ponts-rails :
0,8 1 voie
Gmax + Gmin + FA + { 0,6 Qex pour 2 voies + (0,6 Q0
i °'4
1> 3 voies
(D CoM r des prescriptions spéciales au marché.

2.4.3. États-limites de service (E.L.S.)
• Formulation symbolique:
• Cas des ponts-routes :
- situation d'exécution :
(Gmax +Qprc) + (G^ + Qprc) + ,
Qpra
W
T IW
Ae
0,6 T
0,5 . A9
0,6 . T + 0,5 . A0
- situation d'exploitation :
Qr
Qrp
Gmax +Gmin + / AO + ((0,6 . T + 0,5 . A0)
T
(w
Cas des bâtiments :
situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.
situation d'exploitation :
/QB
0,77 . W
0,77 . Sn
QB
W
+ { 0,77 . W + 0,77 . Sn
QB + 0,77 . W
QB + 0,77 . Sn
QB + 0,77 . W + 0,77 . Sn
(0,6 T
Cas des ponts-rails :
situation d'exécution :
e
+Qprcj + (Gmin + Qprc) + /w
Qe
{0,6 . Q@
.situation d'exploitation:
Gmax
(
+Gmin+
Qex
Qiv
Qe
),6 . Qe
2 4.4. Équilibre statique
H s'agit de cas délicats pour lesquels une analyse particulière est à faire. Par exemple :
_ pour une poutre-console, il faut considérer :
G+1,5QB 0 , 9 G
- pour les bâtiments, il faut faire un calcul avec le maximum de précision (densité moyen-
ne des aciers, poids minimal des cloisons stabilisatrices...).
2.4.5. Stabilité de forme
Voir chapitre 11 « FLAMBEMENT ».
2.5. REMARQUES
2.5.1. Combinaisons d'actions et cas de charge
Combinaisons d'actions et cas de charge constituent deux notions distinctes (le CAS DE
CHARGE correspondant à la répartition des actions de la combinaison d'actions sur la
structure).
Par exemple, pour une poutre-console, la combinaison avec Gmax et QB conduit aux cas de
charge suivantspour la détermination des sollicitations extrêmes :
;
max+1
-S
QB
0
Qg l,35Gmax+1.5QB
A
0
CÀSfï) donne MÀ
^^ ^ max
et M
min
( avec : Gmin+l, 5QB et Gmin)
A
1.35G.
0
CAS0
CAS0
donne Mitiax
donne Mmax

2.5.2. Origine et nature des actions
Gmax et Gmjn désignent des actions d'origine et de nature différentes. D'où : le poids propre
d'une poutre continue, dans toutes les travées :
- a la même valeur :Gmax (ouG^,,),
- entre dans les combinaisons avec le même coefficient : 1,35 (ou1).
2.5.3. Actions variables
Les actions variables sont à considérer les unes après les autres comme « action de base » et
doivent être introduites dans les combinaisons d'actions de la manière la plus défavorable.
2.5.4. Cas des bâtiments
Planchers-terrasses des bâtiments : considérer les charges d'exploitation ou les charges cli-
matiques, mais non les deux simultanément.
Pour les IGH (1
la dégression des charges d'exploitation s'effectue avant la prise en comp- J
te des coefficients : j/0i, i|/u et |/2i.
3. CARACTÉRISTIQUESDES MATÉRIAUX
3.1. VALEURS DES RÉSISTANCES
La variabilité de la résistance (et des autres propriétés) du béton et de l'acier est prise en!
compte en définissant sur une base statistique, à partir des mesures effectuées en laboratoi-
re sur éprouvettes, des RÉSISTANCES CARACTÉRISTIQUES.
La VALEUR CARACTÉRISTIQUE d'ordre p d'uncaractère déduit d'un ensemble dej
valeurs est la valeur de ce caractère telle que la population des valeurs qui lui est inférieurei
est égale à p (0 < p < 1).
On définit ainsi la valeur du caractère considéré qui a une probabilité p, acceptée a priori,
de ne pas être atteinte.
(1) Immeublesde grande hauteur.
0,5
Fonction de
répartition
'Fonction de
distributi Dn
x=valeur du
caractère
| moyenne
Valeur
caractéristique
d'ordre p
x=valeur du
caractère
On procède à la régularisation des courbes de répartition normales (gaussiennes) afin d'évi-
ter les trop fortes dispersions (surtout lorsque l'on dispose d'un petit nombre d'essais) :
Fonction
de
distribution

K, et K2 = « contraintes » fonction :
- dunombre d'échantillons essayés,
- de la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (voir paragraph
3.3.1.).
3.2. ACIERS
3.2.1. Caractéristiques géométriques
Les barres utilisées sont caractérisées par leur diamètre nominal : 
<|> (mm)
Section (cm2
)
Poids
(kg/m)
Ronds lisses
et barres HA
Fils HA (1)
Treillis
soudés
3
0.0/1
0,056
•
3.5
0,096
0,076
4
0.126
0,099
•
4,5
0,159
0,125
5
0,196
0,154
•
5,5
0,238
0,187
6
0,283
0,222
•
7
0,385
0,302
*
8
0,50
0,395
•
9
0636
0,499
*
10
0,79
0,616
•
12
1.13
0,888
•
14
1,54
1,208
16
2,01
1,579
20
3,14
2,466
25
4,91
3,854
32
8,04
6,313
40
12,57
9,864
(1) : diamètres 7 et 9 mmpour armatures préfabriquées seulement.
3.2.2. Caractéristiques mécaniques
fe= LIMITE D'ÉLASTICITÉ GARANTIE (résistance caractéristique).
On distingue:
- des ronds lisses :
FeE215 fe=215MPa
FeE235 fe=235MPa
- des barres àhaute adhérence (HA) :
FeE400 fe = 400MPa
FeE500 fe=500MPa
- desfils tréfilés HAet destreillis soudés formés de cesfils (TSHA) :
Fe TE 400 fe = 400 MPa : fils HA
FeTESOO fe = 500 MPa : fils HA et TSHA
- desfilstréfilés lisses quisont assemblés entreillis soudés (TSL) :
TSL 500 fe= 500 MPa
3.2.3. Diagramme contraintes-déformations
Le diagramme de calcul se déduit du diagramme caractéristique (idéalisé) par une affinité
parallèle à la droite de Hooke et de rapport l/ys.
f« ; ,
f
ed^"-
Diagramme caractéristique
•j Diagramme de calcul
;Es ='2.105
MPa
~J
sl
1,00 pourles combinaisonsaccidentelles
ed
Y '^s ( 1,15 dans les autres cas
l
ed
3.2.4. Caractères d'adhérence
a) Coefficient de fissuration î]
, -f-
•U. ; ,
1,0 pour ronds lisses et fils tréfilés lisses en treillis soudés
r = { 1,3 pour fils HA <ï>< 6 mm
1,6 pour barres HAet fils HA$ > 6mm
b) Coefficient de scellement
_ 1,0 pour ronds lisses
s
1,5 pour barres etfilsHA
3.3. BÉTONS
3
-3.1. Résistances
*c28 - résistance caractéristique à la compression,
f - •
I
t2s - résistance caractéristique à latraction,
f t 2 8 = 0 , 6 + 0 , 0 6 . f c 2 8 (MPa)

soit, dans les cas courants :
fc28(MPa)
25
30
35
40
f,28 (MPa)
2,10
2,40
2.70
3,00
3.3.2. Modules de déformation
Instantanée àj jours d'âge (avec j < 28):
3
000 /f
À long terme :
Pour j > 28 jours et fc28 < 40 MPa, on adopte (cf. § 3.4.2. chapitre « État limite de service
vis-à-vis des déformations » de l'ouvrage Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés) :
c28
3.3.3. Diagramme contraintes-déformations
Diagramme parabole-rectangle :
(7,
OS = parabole du 2e
degré
tangente en son sommet S à
l'horizontale.
',28
avec :
1,15 :combinaisons accidentelles
1,50 :autres cas
fonction de la durée t d'application de la combinaison d'actions considérée
11,00 :t>24heures
9 = ( 0,90 : 1heure < t < 24 heures
0,85 : t < l heure
3 3.4. Retrait du béton
1,5.10 4
dans lesclimats très humides
2,0 . 10~4
en climat humide, ce qui est le cas de la France métropolitaine
.1 j sauf dans le quart sud-est
3,0 . 10~4
en climat tempéré sec, tel que le quart sud-est de la France métropolitaine
4,0 .10" en climat chaud et sec
i 5,0 . 10"4
en climat très sec ou désertique
4. HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ
On distingue deux types d'états-limites pour le dimensionnement(armatures et béton) :
- états-limites ultimes (E.L.U.),
• de résistance,
• de stabilité de forme,
- états-limites de service (E.L.S.) atteints :
• par compression excessive du béton,
• par ouverture excessive des fissures,
• par déformation excessive.
4.1.HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES GÉNÉRALES VALABLES
POUR TOUS LES ÉTATS-LIMITES
Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs dimen-
sions (principe de Navier-Bernoulli).
La résistance du béton tendu est considérée comme nulle.
Par adhérence, les déformations relatives de l'acier et du béton au contact sont les mêmes.
4
-2. HYPOTHÈSE SUPPLÉMENTAIRE POUR LES E.L.S.
En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux déformations relatives :
Al

On définit le coefficient d'équivalence par la relation :
n = — = 15 (valeurconventionnelle)
E
b
4.3. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES POUR L'E.L.U.
Le raccourcissement relatif du béton est limité :
- à 3,5/1 000 en flexion,
- à 2/1000encompression simple.
L'allongement relatif de l'acier est limité :
- à 10/1 000.
Le dimensionnement à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagrammedes
déformations passe par l'un des trois pivots A, B ou C définis ci-dessous.
Allongements^Raccourcissements^
• Pivot ARégion 1
- Allongement de l'acier le plus tendu :es = 10.1Q-3
;
pièces soumises à la traction simple ou à la flexion simple ou composée.
• Pivot BRégion 2
- Raccourcissement de lafibrede béton la plus comprimée :e^ = 3,5.10~3
;
pièces soumises à la flexion simple ou composée.
• Pivot CRégion 3
- Raccourcissement de la fibre de béton à la distance 3h/7 de la fibre la plus comprimée :
ebc=2.10-3;
pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple.
II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS
— ÉNONCÉ —
©
^__Jàçrotère_
0
0
0
(RdC)
^^^^
(B)
18,00 m
Pour l'ossature de bâtiment figurée ci-
contre :
• Charges :
• surterrasse et lestrois planchers :
g = 17kN/m2
permanentes,
q = 17,83 kN/m2
variables
(VI/Q = 0,77).
• acrotères etfaçades :
G = 48 kN/m à l'E.L.S.,
•vent :
w = 5,60 kN/m2
à l'E.L.U.
• Onse propose :
1) de déterminer les charges globales
pour une longueur unitaire de bâti-
ment, en supposant pour simplifier :
• que les planchers sont simplement
appuyés sur les poteaux, au niveau
du plancher haut du rez-de-chaussée
(RdC) pour les charges verticales,
• que la base des poteaux est articulée
pour les charges horizontales.
2) de calculer les efforts normaux
extrêmes à l'E.L.U. dans le poteau A.
— CORRIGÉ —
1- CHARGES À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME
L
l- CHARGES VERTICALES
Pour 1mètre de longueur de bâtiment :
- Charges permanentes : g = (3 + 1).17 = 68 kN/m
- Charges variables : q = (3 + 1).17,83 = 71,32 kN/m
- Façades : G =48 kN/façade

1.2. CHARGES HORIZONTALES
W = w.h
appliquée à h/2 au dessus des fondations
W = 5,60. 18= 100,80 kN
appliquée à 9,00 m au dessus du niveau
2. COMBINAISONS D'ACTIONS A L'E.L.U.
La formule générale des combinaisons d'actions à considérer à l'E.L.U. s'écrit :
(0.77.W
0,77. Sn
l,jj . ^-*niax * min
•1
-3 + 1,3 {0,615 T
1,35 [T] o,77.Sn + V o .Q
0,77 W + 0,77. S„
Elle conduit à deux combinaisons d'actions lorsque l'onprend QB comme action variable
de base :
l,35.Gmax+Gmin+l,5.QB (1)
l,35.Gmax + Gmin+l,5.QB+W (2)
et à deux autres combinaisons d'actions lorsque l'on choisit W comme action variable de
base :
l,35.Gmax+ Gmin+ 1.5.W + U.VO.QB (3)
l,35.Gmax+Gmin+l,5.W (4)
Chacune de ces quatre combinaisons d'actions est à décomposer en cas de charge suivant
l'effet recherché (cas de charge = disposition des charges sur chaque travée de la structure).
3. COMBINAISON (1) : l,35.Gmax+ Gmin+ 1,5.QB
3.1. INTRODUCTION
Sous l'effet des charges verticales, l'étude du bâtiment se ramène au schéma statique suivant:
MB=
D'où:
L^
2
Pi . L - P 2 . J + PI — -P2 —
2 2
|p2et p2 mini
min IF, et pi mini
|P2et p2maxi
De la même manière :
M' VB . L = P2 (L + /) + pi — + P2 • /
3.2. RÉACTIOND'APPUI MAXIMALE EN A
a) Cas de charge
L +- =» VB =
P2(L + /) + Pi — + P 2 . / L + -
2 2
P=l,35g+l,5q p=1,35g
P
2~G
P^l, 35. 48= 64, 8QkN
F2=48kN
P1=l,35.68+l,5.71,32=198,78kN/'m
p =1,35. 68=91, 80kN/m
L=7,50m
1=2, 50m
b)Remarque
Le poids propre des planchers, g, intervient sur toute la longueur de ces derniers dans Gmax.
Le poids G des façades est tantôt multiplié par 1,35 et tantôt par 1,00 dans la mesure où ces
deux façades ne sont pas identiques ni composées des mêmes matériaux.
c
) Réaction d'appui
Pi.L-Pz / + P1^-P2^ 64,80.7,50-48.2,5 + 198,78^ -91,80^
7,50
VA
max
= 755,98 kN

3.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A
a) Remarque
Compte tenu du rapport des portées L// =3, la part de VA due au poids propre des planchers
est:
VA = (9.p1-P2)-/
^=4
-^^
I max
JVA
min
A
2 . L L
p = l , 3 5 . g
Cas fle charge
E,= P2=1,35G
P
l=48kN
P =68kN/m
p=68+1,5.71,32=174,98kNXm
L=7,50m
1=2,50m
c) Réaction d'appui
VA =
2 2 2 2
Pi . L- P2 . / +pi —- p2 — 48. 7,50- 64,8. 2,5 + 68 ^_ - 174,93 ^-
2 2 2 2
7,50
VAmin = 208,49 kN
4. COMBINAISON (2) : l,35.Gmax+ 0^ + 1,5.QB +W
4.1. INTRODUCTION
L'effet du vent au niveau des fondations se ramène au schéma statique suivant :
'B
v max_v _ W
- h
VA
~ V B
~ 2.L
vmax ^ Vent soufflant de B verg A
f "lin
<=> Vent soufflant de A vers B
Pour VB, c'est l'inverse qui seproduit.
4.2. REACTIOND'APPUI MAXIMALE EN A
a) Cas de charge
P1= l,35.G P! = 1,35.48 = 64,80 kN
P! = 1,35.68 + 1,5.71,32 = 198,78 kN/m
p2= 1,35.68 = 91,80kN/m
W = 100,80 kN
h =18,00 m
L = 7,50 m
1 = 2,50m
b) Réaction d'appui
VA = - 2.L
2 2
64,8 . 7,50 - 48. 2,5 + 198,78 ^°- - 91,8 2
^)
-
VA = ? 2
— + 100,80 -l^W-
7,50 2 . 7,50
VAmax _ 755,98 + 120,96 = 876,94 kN (voir 3.2.c)

4.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALEEN A
a) Cas de charge
(Compte tenu de la remarque du paragraphe 3.3.a avec p, = g) :
P -G P2 = 1.35.G
P2 = g+l,B.q
4.MUUU,
k
^
L
A
J
V
A
/ ssi/*/ J/^
t®
f
, ¥
r
l
A P2
2
P2
F W
?
B
1_
= tO Kl>
= 64,80 kN
= 68 kN/m
= 68+1,5.7
= 100,80 kî
1 O ft~ »-_
L = 7,50 m
1 = 2,50 m
b) Réaction d'appui
VA =
f
i ^ - r
2 - ^ F . Y - F 2 y w h
L 2.L
2
48 . 7,50 - 64,8. 2,5 +68 ^- - 174,98
2
2,50
- 100,80
7,50 2 . 7,50 s
VAmin= 208,49 -120,96 = 87,53 kN I
5. COMBINAISON (3) : l,35.Gmax+ Gmm+ 1,5.W + l,3.¥o.QB ]
5.1. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A :
4
Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.2. avec
P! = 1,35 . 68 + 1,3 . 0,77 . 71,32 et W = 1,5 . 100,80 donne :
t
VA
max
= 803,69 kN
! 5.2.RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A
I1
Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.3.avec p2 = 68 + 1,3 . 0,77.71,32 et
W= 1,5. 100,80 donne:
Vimin
= 41,91 kN
6 COMBINAISON (4) : l,35.Gmax + Gmm+ 1,5.W
Cette combinaisond'actions est moins « agressive » que la combinaison (3) qui comporte
en plus 1e
terme en 1,3.|/0.QB, donc qui fait intervenir les charges d'exploitation unique-
ment dans les sections où elles induisentl'effet recherché (maxi ou mini).
7 CONCLUSION - RÉACTIONS EXTRÊMESENA
On a le tableau récapitulatif:
REACTION
COMBINAISON
(1)
(2)
(3 )
Enveloppe
,Max
755,98
876,94
803,69
876,94
, min
208,49
87,53
41,91
41,91
NB. L'astérisque correspond à la combinaison d'action déterminante.

CHAPITRE 3
ASSOCIATION
ACIER-BÉTON
I. RAPPELS DE COURS
1. DÉFINITIONS
Dans une section droite d'une poutre rectiligne, on utilisera la terminologie ci-après :
r
0
0
0
0
£ 0
0 0
0 0
0
0
0
0
f ierlit i '
_ > lits supérieurs ,»,
— 2e
lit f ^ ' " '•'
^a,r,-
armatures d ' âme t
— 3e
lit) ". : . .
2e
lit > lits inférieurs
_l«lit ) ••'-^

Files verticales

2. DISPOSITION DES ARMATURES
2.1. ENROBAGE
C'est la distance du nu d'une armature à la paroi la plus proche.
c (ou ct)=Max
1cm
avec :
(5 cm : ouvrages à la mer ou exposés auxembruns,
3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives,
c - j parois exposées auxintempéries, auxcondensations ou en contact avec un liquide,
ouvrages à la mer avec béton protégé par un procédé efficace,
[ 1 cm : parois situées dans des locaux clos ou couverts, non exposées à des condensations.
<ï> = diamètre de l'armature considérée.
2.2. DISTANCES ENTRE BARRES
Les barres d'acier sont disposées :
- de manière isolée,
- enpaquet vertical (jamais horizontal) dedeux barres,
- enpaquet de trois barres (non considéré dans la suite).
2.2.1. Verticalement
2. MaK .
avec :
ev - distance libre verticale entre :
- deux barres isolées,
_ ou deux paquets de deux barres,
_ ou une barre isolée et un paquet de deux barres,
c = plus grosse dimension du granulat utilisé (2,5 cm en général).
2 2.2. Horizontalement
Max
*
l,5.Cg
>-3;!.t!^-i"
avec :
eh = distance libre horizontale entre :
- deux barres isolées, • • :jî
- oudeux paquets dedeux barres,
- ouunebarre isolée et un paquet de deux barres.
• •- • • '• ••&?•& e'TO ;-V' ? M' •
La distance entre axes des files verticales doit être telle que le bétonnage soit réalisécor-
rectement entre elles (ménager le passage des aiguilles de vibration du béton...) :
*
À titre indicatif et sans que cela soit une obligation réglementaire, on peut prendre
<î>w+<£e (8cm si <t><25mm
S
H = S
h+
2 ~)lOcm si $2;
3. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE
3.1. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE MOYENNE
La contrainte d'adhérence moyenne est égale au quotient de la variation d'effort axial par
dF
le périmètre de l'armature :
dF
dx

3.2. CONTRAINTE LIMITE D'ADHÉRENCE
Pour assurer un ancrage correct, c'est-à-dire empêcher le glissement de l'armature dans la
gaine de béton qui l'entoure, il faut limiter la contrainte d'adhérence à la valeur :
avec :
1 : ronds lisses,
1,5 : barres HA courantes.
ftj = résistance caractéristique à la traction du béton à j jours.
3.3. ANCRAGE DES BARRES DROITES TENDUES ISOLÉES
En supposant TS = constante entre deux sections droites A et B distantes de /AB et soumises
respectivement aux efforts FA et FB (> FA), on a :
L
ÀB
i =•
dF
dx
n.<ï>
dF = 7t. 4>. i . dx
d'où par intégration :
ce qui conduit à :
FB -FA =Ji.<D.Tc ./AB
" s - ' A B
ANCRER une barre, soumise dans une section B à un effort de traction Fs axial, c'est assu-
rer, à partir de cette section, la transmission intégrale de cet effort au béton par adhérence.
(c'est-à-dire si la contrainte en B vaut fe) on a un « ANCRAGE TOTAL ».
3.4. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROIT
C'est la longueur nécessaire pour assurer un ancrage total sous contrainte d'adhérence Ts = tsu :
71.
1
AB- ' s
n.®
d'où:
On peut prendre pour les barres HA :
fcj (MPa)
4
<t>
pour ys=1,5
FeE400
Fe E 500
20
41
51
25
35
44
30
31
39
35
27
34
40
25
31
45
22
28
50
21
26
55
19
24
60
18
22
Remarque : si Aréel > Acalculé, on substitue à Zs la longueur d'ancrage /„ définie par :
v
cal

d'où : 10. <
'réel
3.5.ADHÉRENCE DES BARRES COURBES
Considérons un tronçon de barre courbe tendue, infiniment petit, représenté par sa ligne
moyenne AB d'ouverture d6.
On suppose que l'on est à l'état-limite de glissement (xs = Tsu).
d6
dR */
F+dF
Le tronçon AB est soumis :
- aux forces de traction F en A et F + dF en B avec dF > 0,
- à la force dueà l'adhérence surl'arc AB= r.dG : dT,
- à la réaction transversale dubéton : dR.
Par projection des forces sur le rayon OB :
- F . s i n d e - d T . sin — + dR . cos — = 0
soit puisque d0 et dT sont des infinimentpetits :
dR = F.dG
En désignant par jo, le coefficient de frottement acier sur béton, l'effort dR développe une
force tangentielle :
de
de sens opposé au sens du glissement de la barre.
Par projection des forces sur la tangente en B à la barre :
F +dF - F .cos de- (i .F .d0 - dT . cos — = 0
dF - |a .F .de - n .<S .r .d0 .T =0
que l'on écrit :
>. r . T
F +
dF
=0
soit: 7t .«S.r. t
H 1
- =(i. de
F +
Pour un tronçon courbe de barre AB d'angle au centre 6 et soumis à ses extrémités aux
efforts FA et FB (> FA),
<î>
,-.>•.<:/MA fc
-•>.• <T'Yïjt.*>
, . -ilti» nO
1
..- , .'; s .-• ir-tt-
par intégration entre A et B, il vient :
B
Log|F+- 1B
J A
Log
7t. . r. t
soit:
expression que l'on écrit :
SU
avec:
=0,4
7l. «6 . r. TS.
T^y

Remarque :
Cette formule est à rapprocher de celle concernant les ancrages des barres droites isolées
la formule pour les ancrages courbes s'endéduisant :
1) en multipliant FA par t,
2) en multipliant 7t.<ï>.Tsu./ABpari|/',
3) en faisant /AB = r.
4. ANCRAGE DES BARRES
4.1. TYPES D'ANCRAGES D'EXTRÉMITÉ
On utilise le plus couramment :
- les«crochets normaux »:
- les«retours d'équerre »:
0 = 9 0 '
- les « ancrages à 45° » (0 = 135°) :
8 =135
l ies « ancrages à 60°» (0 = 120°) :
8 =120'
4 2. RAYONS DE COURBURE DE L'AXE DES BARRES
Ils résultent :
1) des conditions de façonnage des barres en posant r = p • <|) :
p=-(1)
0
Barres longitudinales
Armatures transversales
Ronds lisses
p > 3
p > 2
Barres HA
P>5,5
p > 3
2) de la condition de non-écrasement du béton :
l 0 , 2 0 . 0 (l+--)v
f
cj e
r
avec :
os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,
er = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche,
l + 2 m
r COUPE À_À
////////////////////////
-f-
L
^s mandrins decintrage respectifs ontdesdiamètres D>5etD>10* pour lesbarres longitudinales et D2 3 *
"> 5 <(> pour les armatures transversales.

m = nombre de lits courbés simultanément,
fq = résistance caractéristique à la compression du béton àj jours.
3) des conditions propres à certaines formes de barres ou d'ancrages :
- courbes sur toute leur longueur,
- constituant les boucles dejonction de barres tendues (épingles à cheveux)
Ll 2 . n.
r>0,35.<D. 1 + . v
avec :
fe = limite d'élasticité de l'acier,
n = nombre de barres composant un lit,
b = largeur de l'élément.
4.3.MÉTHODE DE CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE
Pour l'ancrage courbe ABCD ci-dessous, soumis en D à un effort :
-enA:FA =0
- en B :FB = FA + n . <ï> (À . O). tsu = À . n . &.isu
- en C : Fc = y . FB + y' . n . O . r. TSU = n . O2
. TSU (A,. v|/ + p . V|/')
p . v|/' . f
d'où, après division par 7t.3>.tsu :
r et 0 étant fixés, on a donc deux possibilités :
1) calcul de la longueur X.O du retour rectiligne d'extrémité si X,. est connu :
2) calcul de la profondeur d'ancrage la si l'on connaît L
soit :
/.-*
que l'on écrit :
l a =
4
-4. ANCRAGETOTAL DES CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES
Rayons de courbure des cadres, étriers et épingles :
=
p.O (diamètre du mandrin de cintrage (voir §4.2.) : D = 2r- O)
L ancrage des cadres, étriers et épingles est considéré comme total si on respecte :

u
Etrier Epingle Cadre
V
Cadre
10<t>
5=180' 0=135* 8=30'
5. JONCTIONS PAR RECOUVREMENT
Lorsque les longueurs des barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales, on
peut rétablir la continuité des différents tronçons en utilisant l'adhérence.
On fait alors chevaucher deux tronçons successifs sur une certaine longueur appelée
« LONGUEUR DE RECOUVREMENT ».
On a parfois aussi recours :
- ausoudage, lorsque l'acier est soudable,
- ou aumanchonnage, pour lesbarres HAuniquement.
5.1.RECOUVREMENTDES BARRES TENDUES
5.1.1. Transmission des efforts
Considérons deux barres parallèles :
- de même type,
- demême diamètre <|),
- dont les axes sont distants dec,
se chevauchant sur une longueur 1T,
soumises à deux forces égales et opposées.
. F 1
/ / / / /
/ / / / ,'V5
* ' F"
l *
On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression
de « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des
barres.
Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur :
5.1.2. Longueur de recouvrement lr
Chaque barre doit être totalement ancrée d'où :
• pour des barres rectilignes :
lr = ls + c si c > 5 <|>
/, = /, si c < 5 4 >
I pour des barres munies de crochets normaux :
-ELEVATIOH-
-VUE EH PLÀH-
• ronds lisses avec crochets CONSIDÈRE (p = 3) :
lt = la + c = 0,6 • /s + c si c> 5 <)>
si c<

- barres HAavec crochets « normaux » (p = 5,5):
lt = la +c - 0,4 • /s + c si c> 5 <
/r = /a = 0,4-/s si c < 5 <
Les plans des recouvrements doivent être cousus par des armatures transversales
(cf. § 6.1.3. du chapitre 4 « TRACTION SIMPLE »).
Remarque :
Si les deux barres ont des diamètres différents, la longueur de recouvrement/r doit être
évaluée à partir de la plus grande longueur de scellement droit ls.
5.1.3. Barres couvre-joints - Jonctions parchaînage
Les BARRES COUVRE-JOINTS sont utilisées pour transmettre les efforts entre deux
barres situées dans le prolongement l'une de l'autre. Leur longueur est au moins égaleà
2 - L .
2.1. A
,-P
Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continueset ne se dis-
tinguent plus des autres barres. On a un « CHAÎNAGE ».
Règle : un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de j
scellement droit est mécaniquement équivalent à (m - p) barres continues. Par exemple
pour :
- m=4 barres,
- p = 2 coupures parlongueur de scellement droit,
le nombre de barres utiles est de 2.
P=2
^ys^^s^y^Y^i^V^
T^ ' I I
fe
f
e
f e
1 1 1 1 1 1 Pr~r^,l,^f
n
"11
M
iïnk,
ton
1 1 1
4. F 3, 5. F 2,5
irTfTT
TîT>,
m
l "1
r
f
-
1 1
F 2 . F 2 . F
ri
r-
2
f!
^rTf
i
*-TTT
1
fflî!
£
e
*e
f e
i
, 5 . F 3, 5. F 4 . F
* *
, Efforts développés par les barres en présence (F=—j—fe)
a
5.2.ANCRAGE ET RECOUVREMENT DES BARRESCOMPRIMÉES ,.
EN PERMANENCE
Les ancrages de ces barres sont obligatoirement droits. =M »
5.2.1. Longueurs d'ancrage /a et de recouvrement /r
Les extrémités des barres prenant appui sur le béton et la dilatation transversale ayant pour
effet de plaquer la surface des barres contre la gaine de béton, la longueur nécessaire pour
1 ancrage d'une barre comprimée est inférieure à la longueur de scellement droit /s. On peut
prendre :
- pour l'ancrage d'une barre comprimée isolée :
pour le recouvrement de deux barres comprimées de même diamètre :
exception : pièces soumises à des chocs de direction axiale (exemples : pieux mis en
Place par battage, zones sismiques) pour lesquelles :

5.2.2. Armatures de couture à disposer sur 1T
Voir armatures transversales des poteaux (cf. § 4 du chapitre 5 « COMPRESSION
SIMPLE »).
II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL
— ENONCE —
On cherche à réaliser l'ancrage total d'une barre 32 HA à partir d'un point A situé à30
ICCe en t
mi
h
>eton arme
.
= 3 Ocm
de
•:-.-à
-paisseur « mi
*y:-:-x-:-x-:-:-x-:-x-:-:-
:
nie »
Si*
• Matériaux:
•béton : fc28 = 25MPa, ft28 = 2,10 MPa,
•acier : FeE500, r > 5,5.O.
• Enrobage des aciers :e = 3 cm.
• On se propose de déterminer les caractéristiques géométriques de l'ancrage
retour d'un crochet à 45° si nécessaire).
— CORRIGE —
1. TYPE D'ANCRAGE
Contrainte limite d'adhérence :
TSU = 0,6 . 1,52
. 2,10 = 2,84 MPa
1 : ronds lisses,
1,5 : barres HA.
•ur,
1
Barres HAÏ = 4> _*«_
FeESOO / s
4 tsu
/ > < / j => type d'ancrage
500
/s = 141cm > /, = 30 cm => ancrage courbe
2. CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE « À 45° »
2.1. RAYON DECOURBURE
a) Rayon minimal
r1= 5,5.$
b) Non-écrasement du béton
Enrobage :
c = Max
= 5,5 . 3,2 = 17,60 cm
e
'
1 cm. !
3cm
3,2cm
1 cm
Rayon de courbure (en fait, la vérification est inutile si on respecte r > 5,55». On ne fait
donc le calcul qu'à titre d'exemple) :
— .v
avec :
os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,
A
-f
e=A.Os+7I.O(?l1.<D)'Isu

1
d'où :
r>
0,20 .3,2 [SOO - ~ (30 - 3,2 - ^) 2,84J (1+ 0) 1
L £>f V ^ / J
25-0,8.2,84(1+0)1
r >r2 = 11,56 cm
soit puisque A =
7l .
c) Retenu
r > Max r = 17,60 cm = Max
117,60 cm
r2 111,60 cm
avec :
2.2. LONGUEUR 1= À.* DU RETOUR RECTILIGNE D'EXTRÉMITÉ
c = fc
c28 c = 25 MPa
Cr = distance ducentre decourbu redel
barre à la paroi la plus voisine,
1 _L O ™
V ~
^
a îpaiss
pièce
eur délai _^ e, infini et — = 0
infinie J ' ^
v - 1
avec * m ~~ nombre de lits cn|ir
^^e
cimnltatipmpnt
D'où:
r > 0 20
fe
<ï>
4
c][)
. $
/ i-c r
?
fcj
^su
d)
1 + y
1
.
- j
équation du 1er
degré en r :
r fcj - 0,20 . O . — TSU
<ï>
1 +°
Cr
v > 0,20. <D fe-
4
—
O
, O
' l - C
2
TSU 1 +°
Cr
V
!
qui donne :
0,20 .0
4
 - 3 0 3 2 — 176
1
2 ' ' 2 '
A,! O~76cm-238 <!>
0 fe 32 500
S
" 4 -T s u
/ s
~ 4 •2,84-14
°Cm
[/ = e^ j/ = e ' ~4~ = 2,566
iir' — ,.,» ' ^ 01 A
|i 0,4
d'où:
141-3,2(5,5.3,916 + 2,38)
> en — = /
/ = 25,1 cm => retenu / = 25 cm

CHAPITRE 4
TRACTION SIMPLE - TIRANTS
Û''f1
I. RAPPELS DE COURS
1. INTRODUCTION
Une pièce en béton armé est sollicitée en traction simple lorsque les forces agissant à
gauche d'une section droite S se réduisent au centre de gravité de la section à une force
unique N (effort normal) perpendiculaire à Xet dirigée vers la gauche.
Le béton tendu étant négligé, le centre de gravité de la section droite doit être confondu
avec celui de la section des armatures.
4
(X)
ï. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES
2
-l- ÉNONCÉ DU PROBLÈME
Données:
B=aire de béton,
Nu=effort de traction à l'E.L.U.,
Nser=
effort de traction à l'E.L.S.
Inconnue :
À=section d'aciers.

2.2. CAS OÙ LA FISSURATION EST PEU PRÉJUDICIABLE
Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L U
(le calcul à l'E.L.S. est inutile).
Fissuration peu préjudiciable : cas des pièces situées à l'intérieur des constructions etnon
exposées à des condensations.
En traction simple, la section est uniformément tendue.
En négligeant le béton tendu, les aciers équilibrent intégralement l'effort de traction N
avec un allongement unitaire maximal de 10/1 000.
Le diagramme de calcul os = g(es, fed) donne pour les aciers :
D'où la section d'armatures :
II faut en outre Au > A^,, (voir paragraphe 5).
2.3. CAS OÙ LA FISSURATION EST PRÉJUDICIABLE OU TRÈS PRÉJUDICIABLE
Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L.S.
(le calcul à l'E.L.U. est inutile).
>'/j^H
2.3.1. Contraintes limites des aciers tendus
Fissuration préjudiciable: cas des pièces exposées aux intempéries ou à des condensations :
limitation de la contrainte des aciers tendus.
• ronds lisses : o = ^r f
s 3 e
fô,5f
• barres HA : o~ = Max <
[
Fissuration très préjudiciable : cas des pièces placées en milieu agressif ou des éléments
devant assurer une étanchéité : limitation de la contrainte des aciers tendus.
• ronds lisses : a = 0,8 — f
s 3 e
• barres HA : o = Max <
32. Section des armatures
Nser
*ser
<J) _> 6mm si fissuration préjudiciable
4> 2 8mm si fissuration très préjudiciable
II faut en outre Aser > A^,, (voir paragraphe 5).
3. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES
3.1. DONNÉES
A=(m-p)/
'7/
=section utile d'aciers,
m=nombre total de barres,
p=nombre de coupures par longueur
de scellement droit,
B=section de béton,
Nu=effort de traction à l'E.L.U.,
de traction à l'E.L.S..
Avant tout calcul, il faut s'assurer que A > Amin (voir paragraphe 5).
3.2. VÉRIFICATION
Sans objet si la fissuration est peu préjudiciable.
AuxE.L.S. : os= — < os
4. DÉTERMINATION DU COFFRAGE
La section A d'aciers tendus est déterminée comme indiqué au paragraphe 2.
La section B de béton est obtenue en satisfaisant :
1) la condition de non-fragilité (cf. paragraphe 5),
2) le bon enrobage des aciers,
3) les conditions de jonction par recouvrement des barres réalisant la section A d'aciers.
CONDITION DE NON-FRAGILITÉ
La sollicitation fissurant le béton ne doit pas entraîner le dépassement de la limite d'élasti-
Clte
fe dans les aciers :

Bf
t28
6. ARMATURES TRANSVERSALES
6.1. EN ZONE DE RECOUVREMENT
6.1.1. Contrainte limite d'adhérence
Voir paragraphe 3.2. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».
7 s u = ° ' 6
- f - f
t j avec:
: ronds lisses,
: barres HA courantes.
6.1.2. Longueur de scellement droit
Voir paragraphe 3.4. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».
f
6.1.3. Armatures transversales
On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression des
« bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres.
.-V5
' t-
Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur : /s = /,.- c
Pour des barres rectilignes :
lr =ls +c si c >5.<J>
lr -ls si c < 5 .<
Considérons m barres de même diamètre se recouvrant avec m autres barres de part
d'autre d'un même plan P. '
m.Vf
e
X.
i
L* m . À . f g
*t
h n
B
n
H
Du fait de la transmission à 45°, l'effort transversal et l'effort longitudinal sont égaux, il
faut donc que la somme des sections ZA, rencontrées sur la longueurls soit telle que :
Z(At.fet) = m.A.fe
m . À .
Or sur la longueur /s, on a : ; ,
St
D'où, pour m barres de même diamètre en recouvrement de part et d'autre d'un même plan :
A
tI/ f _
s s et
~
/'=*.A
Par conséquent :
Les armatures transversales ainsi déterminées doivent être distribuées sur toute la longueur
'r(et non ls seulement ; nous n'avons /r = /s que si c < 5O).

6.2. EN ZONE COURANTE
a = plus petite dimensiontransversale de la pièce.
s
t * a
II. EXERCICE :TIRANT - FISSURATION PREJUDICIABLE
— ÉNONCÉ —
20 cm
•Sollicitations de traction:
NG=100kN
20 cm HQ =40kH
•Fissuration préjudiciable.
•Matériaux:
-Béton: fc 2 8 =25MPa,
-Aciers: Fe E 500 HA.
• On se propose :
1) de déterminer les armatures longitudinales,
2) de calculer les armaturestransversales.
— CORRIGE —
1. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX
1.1. BETON
1.2. ACIERS
fissuration
préjudiciable
fcg = 0,6 + 0,06.fc28 (MPa) f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa
_M
K
°'5 f
e
(MPa)
-M
~ X
/ °'5
'50
°= 25
°MPa
1 10 ^1,6.2,10 = 202 MPa
=> ô" = 250 MPa
2 SOLLICITATIONS
La fissuration étant préjudiciable,les calculs sont conduitsà l'E.L.S.
Nser=NG+NQ Nser=100 + 40=140kN Nser=0,140MN
3. CONDITION DE NON-FRAGILITÉ
A . fe > B . f,128 A > 2 0 . 20—=1,68 cm2
500
A > 1,68 cm
4. ARMATURESLONGITUDINALES
4.1. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE
Ns 0,140 4 2
'6 m
A, = 5 , 6 0 cm2
4.2. RETENU
Résistance :
Non-fragilité :
Conclusion :
A>Amin
fissuration I
préjudiciable j
<ï> > 6 mm
A = 5,60 cm2
5,60 cm2
> 1,68 cm2
O.K.
=> 4 $14HA
A =4 1,54 =6,16 cm2
5. ARMATURESTRANSVERSALES
s
-l. ZONEDE RECOUVREMENTS
^

Sur lr = /s, on va coudre le plan I-I. * ;
a) Longueur de recouvrement
tsu = 0,6.V|/s2.ft28 TSU = 0,6 . 1,52. 2,1 = 2,84 MPa
1 : ronds lisses.
1,5 : barres HA.
O
b) Armatures transversales
A
Pour un brin <D 8 HA : A, = 0,50 cm
At 1 ,7t. 1,4.2,84 1
st 500 40,03
cm /cm
d'où :
st =40,03. A,
5.2. ZONE COURANTE
s.= a
s, = 40,03. 0,5 =20 cm
cadres (B 8 HA :s, = 20 cm
cadres O 8 HA : st = 20 cm
6. SCHÉMA DE FERRAILLAGE
1*14 HA - E1ETATIOH - 14>14HA
62 cm ,, 62 o
-Jf- cadres <î> 8 HA st= 20 c»
^/
)
1

.
V •>!/
jx '

24>14
cadres <t> 8HA
HA
s^-2
. X
cadre
)CK
,
il, '
s4> 3 HA s
7^
s
cadre
. =20 c
f-
4
s
m
4>8 H
Vl-^14 H*
si/
-714> 14HA
)S 1
A st-20cm
CHAPITRE 5
COMPRESSION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS
1. HYPOTHESES
On considère conventionnellement comme soumis à une « COMPRESSION CENTREE »
tout poteau sollicité :
1) par un effort normal de compression N,
2) par des moments n'intervenant pas dans les calculs de stabilité et de résistance des élé-
ments qui lui sont liés lorsque les excentricités sont faibles (point d'application de l'effort
normal à l'intérieur d'une zone déduite du noyau central par une homothétie de rapport 1/2).
Dans un poteau sollicité en « compression centrée » le centre de gravité du béton et celui des
armatures sont confondus.
2. ÉLANCEMENT
2.1. LONGUEURS DE FLAMBEMENT lf
'77777 ù
= 2.1n
•77777-
^~J
encas-
trement
dans la
fondation;
sinon ln

2.2. ÉLANCEMENT
2.2.1. Cas général
avec :
1 = - = rayon de giration de la section transversale
r>
I = moment d'inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement,
B = aire de la section transversale.
Le plan de flambement mentionné plus loin est celui pour lequel À = ^max-
2.2.2. Cas particuliers
a) Section rectangulaire
II faut normalement envisager les deux possibilités : flambement dans le plan parallèleau
petit côté et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par /fa et /^ les
longueurs de flambement correspondant aux liaisons d'extrémité dans les sens a (parallèle
à la dimension a) et b (parallèle à la dimension b), on retiendra :
* J B=ba ; X
W>
.S&L • B=ba ; != -£=>
12
V12
b) Section circulaire
I=~
64 4.1*
B=-
3. ARMATURES LONGITUDINALES
3.1. INTRODUCTION - HYPOTHÈSES
Toute barre longitudinale de diamètre ^ non maintenue par des armatures transversales
telles que s,< 15.O, n'est pas prise en compte dans les calculs de résistance.
COUPE À A
V
0
=barre prise en compte
4)=barre non prise en compte
Si A, > 35, seuls sont à prendre en compte les aciers augmentant le plus efficacement la rigi-
dité dans le plan de flambement (pochées en noir sur la figure ci-dessous).
Plan de flambement
• 0 •
0 0
• o •
b l l , l . a
a
3.2. FORCE PORTANTE
À l'état-limite ultime, le raccourcissement du béton sous compression centrée est limité à
2/1 000. Le diagramme des déformations correspond à la verticale du pivot C (voir para-
graphes 3.3.3. et 4.3.chapitre 2 « BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), d'où:
^^^
X 1
XJ
• 9
y fij. j.uiiy cjiitîii L
X
^ï^l'vl
—ifj
5*
I^dLJL
(
f
f
/
B) y
'v
/—s
f
bu
O i
se2
O^ 0
^•O&
Section
0 2îi.
Déf ormat ions Contraintes

L'effort normal limite théorique est :
Nuiim,th=B.fbu -"- rt
-"sc2
L'effort normal résistant est obtenu par correction de la formule théorique avec :
- Br = section réduite de béton pour tenir compte de la sensibilité aux défautsd'exécution
notamment pour les poteaux de faible section transversale,
- 07(0,9.0,85) = facteur majorateur de la part de l'effort limite théorique relative au béton
pour tenir compte de la maturité de ce dernier à l'âge de sa mise en charge,
- a = facteur réducteur affectant Nulim th qui tient compte des effets du second ordre que
l'on a négligés,
- °sc2=
4d - fe/Ys Par simplification decalcul.
B
r-f
c28 . . fe
A .
D'où la condition à respecter :
En réintroduisant £ =0,85 y
Yh
0,9. v
avec 9=1 dans le cas des poteaux et f^, cette formule s'écrit:
u
bu +0,85.À.fe d
avec :
Br = section réduite obtenue en retirant 1 cm d'épaisseur de béton sur toute la périphérie du
poteau,
0,85
a
1 + 0 , 2 . — siA,<50
35 i
0,85.
1500
si 50 <A, < 70
1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée àj < 90 jours,
1,20 et } si la majeure partie des charges est
fc2g à remplacer par fcj j appliquée avant 28 jours,
1 dans les autrescas.
3.3. ARMATURES LONGITUDINALES
3.3.1. Armatures calculées
Le béton équilibre :
Br .fb u
0,9
Les aciers doiventéquilibrer :
B •£
k'|3-Nu -Nb
0,85
bu
0,9
0,85
D'où leur section :
3.3.2. Sections extrêmes
B = aire de la section de béton.
On doit vérifier :
À
min 1 A <.
Àmin=Max.
L4cm2
/m de périmètre
B
'0,2
100
max
Si A > Amax (en dehors des zones de recouvrement), il faut augmenter le coffrage.
3.3.3. Dispositions constructives
Sur chaque face, on doit vérifier :
±-*-+
<
c!Min<
<
40cni
1
a+lOcm
a=plus petite dimension
transversa1e
4- ARMATURES TRANSVERSALES
Les armatures transversales doivent maintenir :
1) toutes les barres prises en compte dans les calculs de résistance,
2) les barres de diamètre > 20 mm, même celles non prises en compte.
4
-l- DIAMÈTRE

C'est-à-dire hors recouvrements :
1min
a+lOcm
40cm
<— pour À_>Âmin
<— a=plus petite dimension transversale
dans le plan de flambement
4.3.1. Longueur de recouvrement
lr= ,
f 0,6.1S
' 1s
<— cas courants,
<— pièces soumises à des chocs.
Dans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :
> 3 nappes au moins sur
Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|> environ) des extrémités des barres
arrêtées par rapport aux nappes extrêmes.
Remarque : si lr est trop grand (ce qui est le cas lorsque /r = /s et non 0,6/s), on peut avoirun
espacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir
4 nappes et non 3 sur lr
5. COFFRAGE !
La formule de l'effort normal ultime limite donne :
_ k
' P ' N
u i
x
bu
On peut adopter par exemple : A/Br = 1
— f
bu
0,9 100
[
ed
Remarque : on peut chercher à atteindre À = 35 pour que toutes les armatures participent à
la résistance. Dans ce cas : (3 - 1,20.
[. EXERCICEN° 1 : POTEAU - ARMATURESMINIMALES
—
— ÉNONCÉ —
^20
cm
r
COUPE A À
lQ =2,50m
60 cm
• Sollicitations : Nu = 1200kN de durée > 24 heures.
• Moins de la moitié descharges agit avant 90 jours.
• Matériaux:
• béton : fc28 = 25 MPa,
• aciers :FeE 500 HA.
• Longueur deflambement : lf = 10 = 2,50 m.
• Enrobage des armatures : 3 cm.
• Onse propose :
2) de déterminer les armatures transversales.
— CORRIGE —
1-1. BÉTON
£ = 0 , 8 5 .
^28
'•ni 1.1,5
1
-2
- ACIERS
fed=-
Ys
—
1,15
20 cm
în.-'vtV.-xO
= 435MPa

C'est-à-dire hors recouvrements :
150, .
1min
a+lOcm
40cm
<— a=plus petite dimension transversale
dans le plan de flambement
4.3.1. Longueur de recouvrement
lr= .
J O , 6 . 1 S
[ 1s
<— cas courants.
<— pièces soumises à des chocs.
Dans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :
> 3 nappes au moins sur lr
Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|) environ) des extrémités des barres
arrêtées par rapport aux nappes extrêmes.
Remarque : si /r est trop grand (ce qui est le cas lorsque 1T - ls et non 0,6/s), on peut avoirun
espacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir
4 nappes et non 3 sur /r.
5.COFFRAGE
La formule de l'effort normal ultime limite donne :
k . p . N u
B >
bu
On peut adopter par exemple : A/Br = 1
0,9 100
Remarque : on peut chercher à atteindre X. = 35 pour que toutes les armatures participent à
la résistance. Dans ce cas : (3 =1,20.
EXERCICE N° 1 :POTEAU- ARMATURES MINIMALES
— ÉNONCÉ —
r
cm
COUPE À À
I0 =2,50m
60 cm
• Sollicitations :Nu = 1200kN dedurée > 24 heures.
• Moins de la moitié descharges agit avant 90jours.
• Matériaux:
•béton :fc28 = 25 MPa,
• Longueur de flambement : lf = 10= 2,50 m.
• Enrobage des armatures :3 cm.
• Onse propose :
— CORRIGE—
1-1. BÉTON
f
bu = °'85
•
~ f
bu -0,85.
l
-2
- ACIERS
e
Ys 1,15
20 c»n
= 14,2MPa

2. ARMATURESLONGITUDINALES
2.1. SECTION CALCULÉE
Élancement pour une section rectangulaire :
, If fÏ2
Coefficient P :
X<50=>P=1+0,2
N -B
^
N b
~ 0,9
Les aciers doivent équilibrer :
k . p . N u - N b
N =-
0,85
2.2. ARMATURES MINIMALES
u = 2(a + b) = périmètre (m)
B = a.b = aire béton (cm2
)
/ 2/
14 cm / m
A -Max'depérimètre
A
min - Max

0,2-?-
100
TJ
20
= 43,30
(0,60 - 0,02) (0,20 - 0,02) 14,2
0,9
Nb =l,65MN
k = 1 car moins de la moitié des charges est
appliquée avant 90 jours,
N = = - 0,09 MN
d'où:
Ns < 0 => Le béton est surabondant ; il suffit
de prévoir la section minimale.
u = 2(0,60 + 0,20) = 1,60 m
B = 60 . 20 = 1200 cm2
U. 1,60 = 6,40 cm2
g
/ 1 ^rvn
. = Max o,2 0
100
= 2,40 cm
A = Amin=6,40cm2
soit : 6 O 12HA: A= 6 .1,13 = 6,78 cm2
i
6,78 cm2
< 60 cm2
= 5
100
O.K.
ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONECOURANTE
CHOIX DES ARMATURESTRANSVERSALES
Armature minimale => on peut se contenter d'un cadre général :
-12 = 4 mm < <ï>t < 12 mm
=> 1 cadre 4> 6 HA
Pour 3 cm d'enrobage :
3 + 0,6 + — = 4,2 cm
2
60 - 2 . 4,2
=» c=- - =25,8 cm
2
c'= 20-2.4,2 =11,6cm
i cm
(40 i
c et c < Mm
(a + 10 cm
3.2. ESPACEMENT
st < Min ( 40cm
+ 10cm
c = 25,8 cm (40 cm
< 30 cm = Mm
c' = ll,6cm 20+10cm
{
sans objet car A =
40cm
20 +10 = 30 cm
=> cadres <S> 6 HA s, = 30 cm
4
ARMATURES TRANSVERSALES ENZONE DERECOUVREMENT
On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section.
Longueur de recouvrement :
barres HA Fe E500 => /s = 44 <ï> 12 HA : /s = 44 . 1,2 = 53 cm
aciers comprimés => /r = 0,6 /s lr = 0,6 . 53 = 31,8 cm

Nappes sur recouvrements :
• 3 nappes au moins 3 Cadres <£> 6 HA
, 31,8-2.2.1,2
s,- —^— -=13,5 «13 cm
soit s't = 13cm < st en zone courante.
5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE
2 * 12 HA
cadres § 6 HA
s,=30 cm
3 cadres <j> 6 HA
c, t 12 HA
2<1>12 HA
2 12 HA cadre <1> 6 HA
COUPE AA -
x 60cm x
20 I
6 <î> 12 HA
,13cm
"l3cm
31cm
25
cm
III.EXERCICE N°2 : FORCE PORTANTE D'UNPOTEAU
— ENONCE —
4 <£»16 HA
30 cm
30 cm
• Matériaux:
•béton :fc28 = 25MPa,
• Longueur deflambement : lf =2,80 m
• Moins de la moitié des charges appliquées
avant 90 jours.
• Charges de durée d'application supérieure à
24 heures.
• Ondemande:
1) de vérifier la section minimaled'armatures,
2) de calculer la force portante limite du poteau,
— CORRIGÉ —
1.1. BÉTON
£=0,85.
'c28
'bu
£ = 0 , 8 5 .
25
1.1,5
= 14,2 MPa
1.2. ACIERS
CAfl
- -
1,15
= 435 MPa
12. SECTION MINIMALE D'ARMATURES
u = 2(a + b) = périmètre (m) u = 2.2.0,30 = 1,20 m
B = a.b = aire béton (cm2
) B = 30.30 = 900 cm?
4cm /m
de périmètre
B
14. 1,20 = 4,80 cm
0,2
100
A >< Amax = 5
B
Toô
=> A = 4 . 2,01 = 8,04 cm2
> Amin = 4,80 cm2
C900 2
Amax = 5 — = 45cm
=> A = 8,04 cm2
< Amax = 45,00 cm2
O.K.
3- FORCE PORTANTE
Le béton équilibre: Br=(a-2cm)(b-2cm)

Les aciers équilibrent :
k .p.Nu -Nb
_
• î
~
0.85
D'où la force portante :
section | . _/f "(2
i —r Ai ^ —
rectangulaire | a
A,<50
30
p=1+0,2
32,33
35
=1,171
k = 1 car moins de la moitié des charges est
appliquée avant 90jours,
k.p.Nu = Nb + 0,85A.fed
4
N =
1,237+0,85.8,04.10 .435
1.1,171
>Nu =1310kN
4. ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE
4.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES
30 cm
1 cadre
5T ~*
•
.• •
30 cm
1 cadre pour tenir les 4 barres :
>t >- 16 = 5,3mm
> < 12 mm
t =6 mm
4.2. ESPACEMENT
/min
si A > A .
s, < Min/40cm
1 a+ 10cm
{15. 1,6 = 24cm carA>Amin
40cm
30+10 = 40 cm
=> cadres 6 HA s, = 24 cm
ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONEDE RECOUVREMENT
On arrête tous les aciers longitudinaux dans la mêmesection
Longueur de recouvrement:
barres HA Fe E 500 => /s = 44 O /s = 44 . 1,6= 70 cm
aciers comprimés => /r = 0,6 /s /r = 0,6 . 70 = 42 cm
Nappes surrecouvrements:
3 nappes au moins
sur lr-44
3 CadrCS <ï> 6 HA
42-2.2.1,6
' =17,8cm
soit < s, en zone courante.
IV. EXERCICE N°3 :POTEAU -
GRANDE DIMENSION IMPOSÉE
ÇjDT '
(b)
- s.
— ÉNONCÉ — ;
11,00m "':
' •>
-
^ t
Ùf70)) 1 , 4 0 m
• Actions sous plancher niveau 11,00.ni :*
- permanentes :NG =2355 kN
- variables :NQ = 534kN :
- plus de la moitié des charges appliquée
avant 90jours.
5, 40m «Matériaux : - i
•& - béton :fc28 =25MPa,
0 } - aciers :Fe E 500 HA,
- enrobage des armatures = 3 cm.
• Onse propose :
1) de dimensionner le poteau,
2) de calculer les armatures longitudinales et transversales.

— CORRIGÉ —
1.1. BÉTON
f,=0,85.
i
c28
'bu bu
1.2. ACIERS
fed=-
Ys
C-S-Bi
2. SOLLICITATION À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME
Nu= 1,35 . N0+ 1,5 . NQ Nu = 1,35 . 2 355 + 1,5 . 534
Nu =3 980,25 kN = 3,98 MN
3. COFFRAGE
3.1. DIMENSION IMPOSÉE
Épaisseur de la poutre du plancher b = 0,70 m
3.2. INTRODUCTION
Si l'on adoptait un poteau carré de 0,70 m de côté, la charge qu'il pourrait supporter, sans
armatures, serait :
Nb=a68^=7,,OMN
Longueur de flambement :
en supposant le poteau plus raide que les poutres du plancher :
k=lo l{= 11,00 -5,40 = 5,60 m
Élancement :
section |
carrée J
À = -
Coefficient P :
A<50=>p=l+0,2
560/12
A- 7Q -27,7
H..*«(^)°-M
Sollicitation agissante corrigée : î *'!> " " * '^m
;.-.; k P Nu • ;
"l
- k = 1.10 car plus de la moitié des charges est
i'.: '•''• appliquée avant 90 jours.
' • •• ••;
: •' k. p. Nu =1,10. 1,125. 3,98 = 4,93 MN
Conclusion
Nb x k . p .Nu Nb = 7,30 MN >4,93 MN = k . p . Nu
=3 b = est la grande dimension du poteau.
,,- ov i.l.
3.DIMENSIONNEMENT DANS L'HYPOTHÈSE OÙ b = 70 cm > a >
• '•;••' •'•«
Équation donnant a : ^
x=-
"!+
"'85
^
soit avec : Br = (a- 0,02)(b - 0,02) m2
:
a
=b^Ô2+0
'°2
L,
En partant de A = 35, nous avons a =
B. ^°'M
'9
L= 0.2248. P ^
0,9
0,2248 . p
' 0,70 - 0,02
'f
-0,85
435
Tôo
+ 0,02 = 0,33 . P + 0,02
V i^- 'f
= -rp-, d'où le tableau de calcul par approxima-
lions successives (mais voir remarque ci-après) :
a (m)
0,56
0,415
0,468
0,443
0,453
0,449
. 5,60 /Ï2"
a
34,64
46,75
41,45
43,79
42,82
43,20
P=l+0,2
,196
,357
,281
,313
-î
,35j
,299
,305
a = 0,33 . p + 0,02
0,415
0,468
0,443
0,453
0,449
0,451
Retenu :

Remarque : le dimensionnement que nous venons d'effectuer repose sur la formule du §«
des rappels de cours établie pour un pourcentage d'armatures A/Br = 1 %. En adoptantu
pourcentage d'armatures plus faible, on aboutit à une section de béton plus grande t
meilleure solution est celle conduisant au coût minimal de l'élément.
4. ARMATURES LONGITUDINALES
4.1. EFFORT NORMAL ULTIME
Charges sur plancher niveau 11,00 m :
Poids propre poteau :
1,35(25 kN/m3. 0,70 . 0,45 . 4,20)
4.2. SECTION RÉSISTANTE
Élancement :
= 3 980,25 kN
= 44,65 kN
Nu = 4 024,90 kN
• Nu = 4,02 MN
section ltfÎ2 560 /Ï2~
!=>A, = - A, = r^—=43,11
rectangulaire | a
Coefficient (3 :
NK = -^
= 1+0,2
35
45
P= 1+0,2
43,11
35
= 1,303=1,30
(0,70 - 0,02) (0,45 - 0,02). 14,2
0,9
Les aciers équilibrent :
k.p.Nu -Nb
0,9
Nb = 4,613 MN
0,85
D'où leur section :
N,
A =
'ed
k = 1,10 car plus de la moitié des charges est
appliquée avant 90 jours.
1,10. 1,30.4,02-4,613
Q85 -= 1,336 MN
1,336 4
A = —-— 10 =30,71 cm2
435
4 3. SECTIONS EXTRÊMES H ,,.
Î
4 cm2
/ m
de périmètre
02 —
°'2
100
. 2 (0,70 + 0,45) = 9,2 cm
A - S - -
100
A ^ A < Am
A =
max
100
= 157,5 cm
Arain = 9,20 cm2
< A = 30,71 cm2
< An
= 157,5 cm2
4.4. RETENU
4. 4,91 = 19,64 cm2
4. 3,14 =12,56cm2
30,7Icm2
< A = 32,20 cm*
5. ARMATURES TRANSVERSALES
5.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES
K > 35 => on ne prend en compte que les aciers longitudinaux augmentant le plus efficace-
ment la rigidité dans le plan de flambement, donc toutes les armatures puisqu'il n'y a pas
de barres intermédiaires sur les petits côtés :
c '
g
•
1 °
«J '
• •
•
•
. c L e ,
b=70cm>l, 1 .a=50cir
a=45 cm
<12mm
[40cm
c et c < Mm <
1 a+ 10cm
è < 12 mm
Y
t~
= 10mm
(40cm
cetc'<40cm = Mm

5,62
• 3 J
>2,5^t=2,5
V
0,88
Lj
n~"2~--2~J-2~'
[3,0-0,5-1,25]^-
Suivant b pour 3 cm d'enrobage avec
2 <|> 25 + 2 <)> 20 :
70 - 2 . 5,62
5,62 cm = 19,6cm
3.1,0
3 cm
c- 19 cm < 40cm
Suivant a pour 3 cm d'enrobage avec 2 <f> 25 :
5,62 cm => c' = 45 - 2 . 5,62 = 33,8 cm
c' = 33 cm < 40 cm
5.2. ESPACEMENT EN ZONE COURANTE
15. è, , si A>A .
T
/mm
st <Min{4 0 c m
a + 10cm
|15 .2 = 30 cm
st < Min/40cm
145 + 10 = 55 cm
cadre ()) 10 HA st=30cm
5.3. ZONES DE RECOUVREMENT
On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section
Longueurs de recouvrement :
barres HA Fe E 500 => /s = 44 <|>
aciers
=> /r = 0,6 . /s
comprimés
Nappés sur recouvrements :
<|> 25 HA: /s = 44.2,5= 110cm
<l>20HA:/s =44.2,0 = 88cm
0 25 HA : /r = 0,6 . 110 = 66 cm
(|)20HA: /r= 0,6.88 = 53 cm
recouvrement des <|> 20 :
3(2cadres<)>10HA):s't = - :
o ' ' = 22,5 cm
soit : s, en zone courante
r
> 3 nappes => recouvrement des <|> 25 :
I sur lr-4^i 4 (<t> 25) > /r (<)) 20) => On conserve le même espaj
cément que pour les <|) 20 :
soit : s't=22cm
SCHÉMA DE FERRAILLAGE
- KLHVA11UN -
•
2 </>25 HA
2 . 2 ^ 2 0 HÀ
3 . 2 cadres </>10 HA
2 . 2 £ 20 HA
^
1
1
-f
^
~--s
~~^..
/
•-LStî^
f '
^ '
• *
t f
4 *
Su^" ls
-
'^A.
] -flOcm
-f
X
2
I
.-JS*
cadres <^10 HA
tous les 30cm
2
-i •* "1
^>25 HA
4,5 '
22
22
4,5 '
r13
'
53
cm
66 cm
10 cm
F
1
j
1
5,60 m
COUPE TRANSVERSALE -
4 <fr 20 HA
HA
V V V V
2 cadres </>10 HÀ
d
»
Ç3
p O,
c1
•
b=70cm
a=45cm

CHAPITRE 6
FLEXION SIMPLE
I. RAPPELS DE COURS
1. INTRODUCTION
Une poutre à plan moyen est sollicitée en FLEXION PLANE SIMPLE lorsque l'ensemble
des forces ou couples appliqués à gauche d'une section droite S est réductible, au centre de
gravité G de E, à :
- uncouple M d'axe perpendiculaire au plan moyen (ouMOMENT FLÉCHISSANT),
- uneforce V située dans le plan de I, et dans le plan moyen (ou EFFORT TRANCHANT).
•V
( £ )
Les effets du moment fléchissant M et ceux de l'effort tranchant V sont étudiés séparé-
ment. Le présent chapitre est consacré à l'étude des effets du moment fléchissant M. Pour
l'étude de l'effort tranchant V, se reporter au chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ».
2
- SECTION RECTANGULAIRE - FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE
2
-l- SECTION SANS ACIERS COMPRIMÉS
*•!•!. Dimensionnement à l'E.L.U.
On démontre que lorsque le pivot est A ou B (cf. paragraphes 3.3.3 et 4.3.chapitre 2
« BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), le diagramme de contraintes parabole-rectangle est équi-
pent à un diagramme de contraintes rectangulaire :

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