1. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 1
Лекц № 1 Магадлалын онол, Комбинаторик
1. Комбинаторик
1.1 Хосын тухай теорем
Теорем 1.1 A=a1,a2,...,am, B=b1,b2,...,b n хоёр олонлог өгөгдсөн байг.Олонлог тус бүрээс нэг
нэг элемент авч үүсгэсэн(ai,bk) хэлбэртэй өөр өөр бүххосын тоо нь m n болно.
Теорем 1.2 r>2 ба натурал тоо болог.
A={ a1,a2,...,an1},{ b1,b2,...,b n 2,},...,T= {t1,t2,...,t n k } гэсэн олонлог өгсөн байг.Олонлог тус
бүрээс нэг нэг элемент агуулсан (ai1,bi,...,tik)хэлбэртийн өөр өөр хослолыг үүсгэх бүх
боломжын тоо нь n1,n2,...,n k болно.
1.2 Түүвэр
{ a1,a2,...,an} Гэсэн үндсэн олонлог авч үзье.Бид энэ тохиолдолд үндсэн олонлог гэхийн
оронд тогтсон заншлыг дагаж эх олонлог гэсэннэр томъёог хэрэглэх болно.Бүр
тодорхойгоор хэмжээтэй эх олонлог ч гэж хааяа ярих болно.Эх олонлогоос авсан r
хэмжээтэй түүвэр гэж (aj 1,aj 2,...,aj r ) гэсэн эрэмбэлэгдсэндараалыг хэлнэ.Энд
эрэмбэлэгдсэн гэдэг үг нь дарааллуудын олонлогт ямар нэг эрэмбийн харьцаа байна гэсэн
үг биш, харин (aj 1,aj 2,...,aj r ) гэсэн r тооны элементүүдийн байрлал буюу эрэмбэ нь
тэдгээрийг ялгахад үүрэгтэй гэсэн үг болой.Ийм дарааллыг эх олонлогоос r тооны
элементийг цувуулан авсан гэж сэтгэж болно.Энэ схемд нэгэнт авсан элементийг буцааж
хийх,эс хийх гэсэн хоёр янзын тохиолдол байна.Эхний тохиолдлыг буцаалттай
түүвэр,сүүлчийнхийг нь буцаалтгүй түүвэр хэмээн ярьдаг.
Буцаалтгүй түүвэр хийхэд түүврийн элемент бүрийг эх олонлогоос r янзаар сонгон авч
болох тул хослолын теорем ёсоор бүгд nr
(n1=n,...,nr=n) янзын r хэмжээтэй буцаалттай
түүвэр хийх болно. Буцаалтгүй түүвэрийг схемд (1<r<n байх нь мэдээж) нэгдүгээр
элементийг n янзаар, хоёрдугаар элетентийг n-1 янзаар гэх мэтчилэн сүүлчийн r дугаар
элетентийг n-r+1 янзаар тус тус сонгон авах боломжтой.Ийм n хэмжээт эх олонлогоос
авсан хэмжээт буцаалтгүй түүврийн тоо n(n-1)...(n-r+1)* n(n-1)...(n-r+1) гэсэн үржвэр
олон удаа дайралдах тул дараах тусгай тэмдэглэл оруулах нь тохиромжтой.
An
r
={ n(n-1)...(n-r+1), хэрэв 1<r<n
0 хэрэв r>0
Дээрх өгүүлснийг дүгнэх аваас үнэн хэрэгтээ бид дараах теоремыг батлав.
Теорем 1.3 n Элементтэй эх олонлогоос авсан r хэмжээтэй буцаалттай түүврийн тоо nr
.Мөн n элемент бүхий эх олонлогоос авсан r(1<r<n) хэмжээтэй буцаалтгүй түүврийн тоо
An
r
. r=n байх тухайн тохиолдлыг тусгайлан авч үзье.Түүврийн хэмжээ эх олонлогийн

2. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 2
хэмжээтэй тэнцүү байх энэ тохиолдолд буцаалтгүй түүврийн эх олонлогийн
элементүүдийн сэлгэмэлтэй адилтган үзэж болох нь ойлгомжтой.
Мөрдөлгөө. Элементүүдээс зохиож болох бүх сэлгэмлийн тоо
n!=n(n-1)...2*1
1.3 Эх олонлогийг дэд олонлогуудад хуваах тухай
Нэг түүвэр нөгөө түүврээс нэгдүгээрт,тухайн элемент хэддүгээрт авагдав,хоёрдугаарт
түүврийн элементүүдийн бүрэлдэхүүн ямар байв гэдэг хоёр зүйлээр ялгагдана.Бидний авч
үзсэн байх r=n тохиолдол,өөрөөр хэлбэл,сэлгэмэл бол өөр хоорондоо гагцхүү эх
олонлогоос авсан эрэмбээр л ялгагдах түүврүүд юм.Элементүүдийн бүрэлдэхүүн бүгд
ижил.Нөгөө талаар сэлгэмлийг эх олонлогийн элементүүдийг янз янзаар байрлуулж буй
байдлууд гэж сэтгэж болох нь илэрхий.Ийм ч учраас түүнд сэлгэмэл гэдэг тусгай нэр
өгчээ.Одоо зөвхөн элементүүдийн бүрэлдэхүүнээрээ л ялгагдах тийм түүврүүдийн тоог
сонирхъе.
Ийм түүвэрт сонголт гэсэн нэр өгье.
Теорем 1.4 n хэмжээтэй эх олонлогоос авсан r(1<r<n) хэмжээтэй сонголтын тоо
n(n-1)...(n-r+1)
r!
Теорем 1.1.4 –ийг дараах хэлбэрт дахин томъёолж болно.
N Элемент бүхий эх олонлогийг r(1<r<n) элемент бүхий нэг дэд олонлог, n-r гэсэн хоёр
дэд олонлог болгон хуваах боломжийн тоо
Cn
r
=Cn
n-r
=n!/r!(n-r)!;
Теорем 1.5 r1,r2,...,rk нь сөрөг бус бүхэл тоонууд ба
r1,r2,...,rk =n
байг.Энэ нөхцөлд эх олонлогийг r 1 элементтэй нэгдүгээр дэд олонлог, r2 элементтэй
хоёрдугаар дэд олонлог гэх мэтчилэн rk элементтэй k дугаар дэд олонлог гэсэн k дэд
олонлогууд болгон хуваах бүх боломжийн тоо
n!/ r1 !,r2 !,...,rk! ;
нь олон гишүүнтийн задаргааны коэффициент болох тул тэдгээрийг полином
коэффициент гэж нэрлэдэг .
Теорем1.6. Үл ялгагдах ширхэг юмсыг хайрцагт хийхэд байж болох бүх байрлалын тоо
Ar,n=Cr
n+r-1=Cn-1
n+r-1

3. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 3
Ганц ч хайрцаг хоосон биш байхаар хайрцагт r(r<n) ялгаагүй юмсыг байрлуулах
боломжийн тоо Cr-1
n-1 болно. Бидний авч үзэж буй хайрцгийн схемд “хайрцагт юмсыг
байрлуулна ,хийнэ “гэдэг нь ердийн амьдралын ихээхэн ойлгомжтой үйлдэл боловч эл
үйлдлийг туйлын олон янзаар тайлбарлаж болох юм. Өөрөөр хэлбэл ,” хайрцаг” гэдгийг
ямар нэг сав,” юм” гэдгийг гараар барьж , нүдээр үзэж болох эд юм. Жишээ нь , ном
дэвтэр бөмбөг гэх мэт,” хийнэ “гэдгийг самны амсарыг нь нээгээд дотор нь уг юмыг
оруулна гэсэн хэрэг гэж ямагт үзэж болохгүй .Энэ гурван ухагдахуун абстракт утгаар
яригдаж байна .
1.4.Хайрцгийн схем
n хайрцагт r юмсыг санамсаргүйгээр байрлуулах модель олон зүйлд хэрэглэгдэнэ .n
хайрцгаа 1,2,...,n гэсэн тоонуудаар дугаарлав. Ширхэг юмсаа эдгээр хайрцгуудад
санамсаргүйгээр байрлуулахад (хийхэд) I дугаар хайрцагт орсон юмсын тоог ri гэж
тэмдэглэвэл r1+r2+...+rn = r, ri<0, i=1,2,…,n гэсэн харьцаа биелэгдэнэ. Юмсаа хоорондоо
ялгаатай, ялгаагүй гэсэн хоёр янзаар үзэж болох ба тэдгээрт харгалзан хоёр янзын модель
гарна.
а) Ялгаатай юмсыг байрлуулах .
n хайрцагт r(r<0) ялгаатай юмсыг байрлуулж болох бүх боломжийн тоо nr
.үнэхээр
нэгдүгээр юмыг янзаар, хоёрдугаар юмыг мөн л n янзаар гэх мэтчилэн r дугаар юмыг n
янзаар байрлуулж болох тул нийт байрлалын тоо хослолын теорем ёсоор n*n…*=nr
болно.
б) Ялгаагүй юмсыг байрлуулах.
Юмс үнэн хэрэгтээ ялгаатай (хоёр ив ижилхэн шарик байвч үнэндээ хоёр өөр шарик байх
бөгөөд хооронд нь ялгаж чадахгүй тохиолдолд тэдгээрийг өөр өөр өнгөөр будвал бид
ялгаж чаддаг болно.) боловч тэдгээрийг ялгаагүй хэмээн хийсвэрлэн ухаарах нь ашигтай
болохыг тодорхой жишээнүүдээс мэдэхэд төвөггүй . Юмс хоорондоо ялгаагүй байх
тохиолдолд ( r1,r2,...,rn )( r1
!
,r2
!
,...,rn
!
) гэсэн хоёр байрлал өөр өөр байрлал байна гэдэг нь
ядаж нэг i(1<i<n) индекс олдож байна гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, ядаж нэг хайрцагт өөр өөр
тооны юмс орсон байх тохиолдолд хоёр байрлалыг ялгаатай гэж үзнэ.
2.Санамсаргүй үзэгдэл түүний магадлал
Магадлалын онолын асуудал бүхэн мөн чанартаа ямар нэгэн санамсаргүй
туршилттай холбоотой байдаг тодорхой нөхцлүүдийг зориуд бүрдүүлэн ямар нэгэн

4. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 4
үзэгдлийг ажиглахаас гадна биднээс үл хамааран явагдаж буй аливаа үзэгдлийг ажиглахыг
бас туршилт гэж үздэг.
Магадлалын онолын үндсэн ойлголт нь санамсаргүй үзэгдэл юм. Ямар нэгэн
туршилтын үр дүнд эсвэл явагддаг , эс явагддаггүй үзэгдлийг санамсаргүй үзэгдэл гэнэ.
Жишээ 1:байг буудахад түүнийг онох нь санамсаргүй үзэгдэл юм.
Жишээ2: Мөнгийг хаяхад сүлдээрээ буух эсэх мөн санамсаргүй үзэгдэл юм.
Цаашид үзэгдлийг АВС…гэх мэт үсгээр тэмдэглэнэ. Хоорондоо үл хамаарах
байдлаар туршилтыг n* удаан давталт хийхэд А үзэгдэл m* удаан явагдсан байг. Энэ үед
m*/n* харьцааг санамсаргүй үзэгдлийн харьцангуй давтамж p* гээд P*(A)=p*=m*/n*
гэж тэмдэглэдэг.
Янз бүрийн үзэгдлийг ажиглах явцад , хэрэв туршилтын цөөхөн бол A үзэгдлийн
явагдах давтамж шат бүхэнд бие биеэсээ их ялгаатай бөгөөд харин туршилтын тоог
олшруулах тутам харьцангуй давтамжийн хэлбэлзэл бага болдог байна.
Мөн Английн математикч статистикч философич Карл Пирсон (1857-1936) 24000
удаа мөнгө хаяж туршихад 12010 удаа сүлд буужээ. Энэ тохиолдолд p*=0,5005 болно.
Ингэж ихэнх тохиолдолд , туршилтын тоог маш их олшруулахад A үзэгдлийн явагдах
харьцангуй давтамж ямар нэг тогтмол тоо p урвуу маш их ойртдог болохыг туршилтаар
тогтоожээ . Энэ туршилтын баримтыг гэж тэмдэглэнэ. Тоо санамсаргүй үзэгдэл явагдах
магадлал гэж нэрлээд P(A)=p тэмдэглэдэг.
Магадлал p нь өгсөн туршилтын үед A үзэгдлийн явагдах боломжийн бодит
үзүүлэлт юм. Харьцааг үүгээр томъёолвол: туршилтын тоо n* -г хязгааргүй олшруулахад
үзэгдлийн харьцангуй давтамж энэ үзэгдлийн явагдах магадлал p- урвуу нийлнэ.
Магадлал нь ямар нэг үзэгдлийн явагдах боломжийн бодит тодорхойлогч учраас
цэрэг дайны хэрэг, үйлдвэрийг удирдах, эдийн засаг гэх мэтчилэнд авч үздэг олон
процессын явцын шинж чанарыг урьдчилах хэлэхийн тулд ямар нэг төвөгтэй нарийн
үзэгдлийн явагдах магадлалыг тодорхойлж чаддаг байх хэрэгтэй.
Өгөгдсөн төвөгтэй үзэгдлийг тодорхойлогч элементар үзэгдлүүдийн магадлалаар
уг үзэгдлийн явагдах магадлалыг илэрхийлэх , янз бүрийн санамсаргүй үзэгдлийн
магадлалын зүй тогтлыг тогтоох нь магадлалын онолын судлах зүйл болно.
Лекц № 2 Санамсаргүй үзэгдэл,түүний магадлал
Классик тодорхойлолт

5. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 5
1. Санамсаргүй үзэгдэл,түүний магадлал
Магадлалын онолын асуудал бүхэн сөн чанартаа ямар нэгэн санамсаргүй
туршилттай холбоотой байдаг. Тодорхой нөхцөлүүдийг зориуд бүрдүүлэн ямар нэгэн
үзэгдлийг ажиглахаас гадна, биднээс үл хамааран явагдаж буй аливаа үзэгдлийг
ажиглахыг бас туршилт гэж үздэг.
Магадлалын онолын үндсэн ойлголт нь санамсаргүй үзэгдэл юм. Ямар нэгэн
туршилтын үр дүнд эсвэл явагддаг, эсвэл явагдахгүй үзэгдлийг санамсаргүй үзэгдэл гэнэ.
Жишээ1. Байг буудахад түүнийг онох нь санамсаргүй үзэгдэл юм.
Жишээ2. Мөнгийг хаяхад сүлдээрээ буух эсэх сөн санамсаргүй үзэгдэл юм.
Жишээ3. Янз бүрийн өнгөтэй бөмбөг бүхий хайрцгаас таамгаар нэг бөмбөг авахад улаан
бөмбөг байх нь санамсаргүй үзэгдэл юм.
Цаашид үзэгдлийг A,B,C…….. гэх мэт үсгээр тэмдэглэнэ. Хоорондоо үл хамаарах
байдлаар туршилтыг n* удаа давтан хийхэд А үзэгдэл m* удаа явагдсан байг. Энэ үед
m*/n* харьцааг А санамсаргүй үзэгдлийг харьцангуй давтамж p* гээд
P*=(A)=p*=m*/n* (1)
гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ4. Нэгэн ижил нөхцөлд, өгсөн буугаар 6 шаттай буудлага хийсэн байг.
1-р шатанд:5 буудхад 2 оносон
2-р шатанд:10 буудхад 6 оносон
3-р шатанд:12 буудхад 7 оносон
4-р шатанд:50 буудхад 27 оносон
5-р шатанд:100 буудхад 49 оносон
6-р шатанд:200 буудхад 102 оносон
Байг онохыг А үзэгдэл гэвэл шат болгонд онох харьцангуй давтамж:
1-р шатанд: 2/5=0.40
2-р шатанд: 6/10=0.60
3-р шатанд:7/12=0.58
4-р шатанд:27/50=0.54
5-р шатанд:49/100=0.49
6-р шатанд:102/200=0.51 болно.

6. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 6
Янз бүрийн үзэгдлийг ажиглах явцад, хэрэв туршилтын тоо цөөхөн бол А
үзэгдлийн явагдах давтамж шат бүхэнд бие биеэсээ их ялгаатай бөгөөд харин туршилтын
тоог олшруулах тутам харьцангуй давтамжийн хэлбэлзэл бага болдог байна. Жишээлбэл
Францын математикч байгаль судлагч Жорж Бюффон мөнгийг 4040 удаа хаяхад 2048 удаа
сүлд нь дээшээ харж унасан байна.
Иймд: p*=m*/n*=0.508.
Мөн английн математикч статистикч, философич Карл Пирсон (1857-1936) 24000 удаа
мөнгө хаяж туршихад 12012 удаа сүлд буужээ. Энэ тохиолдолд p*=0.5005 болно. Ингэж
ихэнх тохиолдолд, туршилтын тоог олшруулахад А үзэгдлийн явагдах харьцангуй
давтамж ямар нэг тогтмол тоо p уруу маш их ойртдог болохыг туршилтаар тогтоожээ. Энэ
туршилтын баримтыг
∞n
m
n
lim
→
p:=
(2)
гэж тэмдэглэнэ. Тоо p-г санамсаргүй үзэгдэл А-ын явагдах магадлал гэж нэрлээд
p(A)=p (3)
гэж тэмдэглэнэ.
Магадлал p нь өгсөн туршилтын үед А үзэгдлийн явагдах боломжийн бодит
үзүүлэлт юм. (2) харьцааг үүгээр томъёолбол: Туршилтын тоо n*-г хязгааргүй
олшруулахад А үзэгдлийн харьцангуй давтамж энэ үзэгдлийн явагдах магадлал p уруу
нийлнэ. Магадлал нь ямар нэг үзэглийн явагдах боломжийн бодит тодорхойлогч учраас
цэрэг дайны хэрэг, үйлдвэрийг удирдах, эдийн засаг гэх мэтчилэнд авч үздэг олон
процессын явцын шинж чанарыг урьдчилан хэлэхийн тулд ямар нэг төвөгтэй нарийн
үзэгдлийг явагдах магадлалыг тодорхойлж чаддаг байх хэрэгтэй.
Өгөгдсөн төвөгтэй үзэгдлийг тодорхойлогч элементар үзэгдлүүдийн магадлалаар
уг үзэгдлийн явагдах магадлалыг илэрхийлэх янз бүрийн санамсаргүй үзэгдлийн
магадлалын зүй тогтлыг тогтоох нь магадлалын онолын судлах зүйл болно.
2. Магадлалын классик тодорхойлолт, магадлалыг шууд бодох
Олон тохиолдолд авч үзэж буй туршилтыг задлан шинжлэх замаар уг санамсаргүй
үзэгдлийн магадлалыг шууд бодож болно. Цаашдын ойлголтыг хялбарчлахын тулд эхлээд
жишээ авч үзье.

7. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 7
)Жишээ 1. нэгэн төрлийн шоог хаяхад дээшээ харж унах тоо i 1 i≤ 6≤( санамсаргүй үзэгдэл
болно. Шоо симметр учир 1-с 6 хүртлэх тоо гарах үзэгдэл ижил боломжтой бөгөөд
тэдгээрийг тэнцүү боломжит үзэгдэл гэдэг. Шоог хаяхад тоо n их байх үед i болон 1-с 6
тооны аль нэг нь унах тоо ойролцоогоор n/6 байдаг.
Үүнийг туршилтаар тогтоосон.
Харьцангуй давтамж мөн p*=1/6 тоонд ойрхон байдаг. Иймд i тоо унах магадлал 1/6-тэй
тэнцүү байна.
Тодорхойлолт 3.1. өгсөн туршилтын үед, ямарч хоёр санамсаргүй үзэгдэл хамт
явагдахгүй бол уг үзэгдлийг нийугүй гэнэ.
Лекц № 3 Магадалыг нэмэх ба үржих,
нөхцөлт магадлал Байесын томъёо
Тодорхойлт 4.1 Хоёр үзэгдлийн нийлбэр үзэгдэл гэж эдгээрийн ядаж нэг нь явагдахад
явагддаг үзэгдлийг хэлнэ.Бид цаашид нийцгүй гэсэн хоёр үзэгдлийг авч үзнэ.
Эдгээрийн нийлбэрийг
21, АА
21 АА + буюу ВА∪ гэж тэмдэглэнэ.
Теорем 4.1 Өгсөн туршилтанд санамсаргүй үзэгдэл1А ( )1АР магадлалтайгаар үзэгдэл
магадлалтайгаар явагддаг бөгөөд хоорондоо нийцгүй үзэгдэлүүд байг. Тэгвэл
нийлбэр үзэгдлийн магадлал
2А
( 2АР )
( ) ( ) ( )2121 АРАРААР +=+ (1)
томъёогоор бодогддог.Энэ теоремыг магадлалыг нэмэх теорем гэдэг.
Энэ теоремыг дурын тооны нэмэгдэхүүний хувьд өргөтгөж болно.Өөрөөр хэлбэл
( ) ( ) ( ) )(...... 2121 nn APАРАРАААР +++=+++ буюу байна.∑∑ ==
=
n
i
i
n
i
i APAP
11
)()(
Жишээ 1. Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүйгээр тавигддаг 15 номын 5 нь хатуу
хавтастай. Таамгаар 3 ном авахад ядаж нэг нь хатуу хавтастай ном байх магадлалыг ол.
Бодолт. Ядаж нэг ном хатуу хавтастай байх гэсэн шаардлага нь дараах гурван нийцгүй
үзэгдлийн аль нэг нь явагдахад биелэгдэнэ. Үүнд:
B-нэг ном хатуу хавтастай, 2 нь хавтасгүй

8. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 8
С-хоёр ном хавтастай, нэг хавтасгүй
D-гурвуулаа хатуу хавтастай байх үзэгдлүүд болог.
Тэгвэл бидний сонирхож буй үзэгдэл А дараах нийлбэрээр тавигдана.
А=B+C+D
Теорем 5.1 Хэрэв хоёр үзэгдэл хамааралтай бол
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ABPAPBAPBPABP // ⋅=⋅= (1) томъёо хүчинтэй байна.
Энэ томъёоноос үндэслэн нөхцөлт магадлалыг
( ) ( )
( )BP
ABP
BAP =/ гэсэн томъёогоор бодно.
Жишээ 1. Нэгэн нутагт 7-р сард дундажаар 6 өдөр бүрхэг байдаг бол 7-р сарын 1,2-нд
хоёуланд цэлмэг байх магадлалыг ол.
Бодолт.
A-7сарын 1 цэлмэг өдөр байх
В-7сарын 2 цэлмэг өдөр байх үзэгдлийг тус тус тэмдэглэе.
Тэгвэл 7-р сарын 1-ний өдөр цэлмэг байх магадлал
( )
31
25
=AP
учир бидний олох магадлал ( ) ( ) ( )
30
24
31
25
/ ⋅=⋅= ABPAPAВP болно.
Дурын n үзэгдлийн хувьд (1) томъёог өргөтгөж болно.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )12112312121 ../..///.. −= nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP
Жишээ 2. Оюутан шалгалтын 25 асуултын 20-г мэднэ. Шалгагч багш 3 асуулт тавихад
бүгдийг мэдэх магадлалыг ол.
Бодолт. Үзэгдлийг тэмдэглэе:
А-Эхний асуултыг мэдэх
В-2 дахь асуулт мэддэг
С-3 дахь асуулт мэддэг
Тэгвэл эхний асуултыг мэдэх магадлал:
( )
5
4
25
20
==AP
Эхний асуултыг мэдсэн үед 2 дахь асуултыг мэдэх магадлал:

9. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 9
( )
24
19
/ =ABP
Эхний 2 асуултыг мэдэх үед 3 дахь асуултыг мэдсэн байх магадлал:
( )
23
18
/ =ABCP
учраас олох гэж буй 3 асуултыг бүгдийг мэдэх магадлал:
( ) ( ) ( ) ( )
115
57
23
18
24
19
5
4
// =⋅⋅== ABCPABPAPABCP гэж гарна.
Теорем 5.2 Бүтэн группыг үүсгэдэг, нийцгүй үзэгдлүүдийн нэг нь явагдах
зөвхөн тэр үед л А үзэгдэл явагддаг бол А үзэгдлийн магадлалыг
иВBB ,...,, 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn BAPBPBAPBPBAPBPAP /...// 2211 +++= (2) томъёогоор боддог.
Энэ томъёог гүйцэт магадлалын томъёо гэдэг.
Теорем 4.2 Нийцтэй үзэгдлийн нийлбэрийн магадлал
( ) ( ) ( ) ( )ABPBPAPBAP −+=+ томъёогоор бодогдоно.
Заримдаа магадлалыг олох бодлого нь геометр дүрсийн талбайг олох
бодлого руу шилждэг. Бидэнд ямар нэг D муж өгөгдсөн бөгөөд талбай нь S байг. Мөн D
дотор орших d муж аваад талбайг S гэе. Тэгвэл D муж руу цэгийг шидэхэд d мужид унах
магадлал нь
S
S
p = -тэй тэнцүү байна.Үүнийг геометр магадлал гэдэг.
Жишээ 3. R радиустай дугуй руу цэг хаяхад түүнд багтсан зөв гурвалжинд унах
магадлалыг ол.
Бодолт. Дугуйн талбай ; батсан зөв гурвалжны талбай2
RS π= 2
4
33
RS = байна.
Иймд
π4
33
==
S
S
p болно.
Тодорхойлт 4.4 Хэрэв А үзэгдлийн явагдах магадлал В үзэгдлийн явагдсан эсэхээс үл
хамаарч байвал А-үзэгдлийг В-ээс үл хамаарах үзэгдэл гэнэ.
Теорем 4.3 Хэрэв А,В үзэгдлүүд үл хамаарах бол ( ) ( ) (BPAPBAP )⋅=⋅ байна.

10. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 10
Жишээ 4. Хоёр хайрцагт тус бүр 10 ширхэг бүтээгдэхүүн байв.1-р хайрцагт 8, т 2- р
хайрцагт 7 бүтээгдэхүүн гологдол биш бүтээгдэхүүн бол хайрцаг бүрээс нэг нэг
бүтээгдэхүүн стандартын байх үзэгдэл гэвэл
( ) 8,0
10
8
==AP
( ) 7,0
10
7
==BP
Мэдээж А,В үзэгдлүүд үл хамаарах учир ( ) ( ) ( ) 56,0=⋅=⋅ BPAPBAP байна.
Хэрэв үзэгдэлүүд үл хамаарах байвалnААA ,...,, 21
( ) ( ) ( ) ( )nn APAPAPААAP ...,...,, 2121 ⋅= томъёо хүчинтэй байна.
Лекц № 4 Тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийтархалтын хууль
Тодорхойлолт 7.2 Санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х ба түүний математик дундаж хоёрын
ялгаврын квадратаас математик дундаж авсныг уг санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс
гэдэг.
[ ] ( )[ ]2
xmXMXD −=
[ ] ( )
n
k
kxk pmxXD
1
2
=
∑ −=
байна.
Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадраттай ижил хэмжээстэй байдаг. Заримдаа
санамсаргүй хэмжигдэхүүний сарнилтыг түүний хэмжээстэй ижил хэмжигдэхүүнээр
тодорхойлох нь тохиромжтой байдаг. Тийм хэмжигдэхүүнийг дундаж квадратлаг хазайлт
гэдэг.

11. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 11
Тодорхойлолт 7.3 Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсээс квадрат язгуур авсныг түүний
дундаж квадратлаг хазайлт гэдэг.
[ ] [ ]XDX =σ
буюу дэлгэрэнгүй бичвэл
[ ] ( )( )∑=
−=
n
k
kxk pmxX
1
2
σ
байна. Дундаж квадратлаг хазайлтыг мөн ох гэж тэмдэглэдэг.
Дисперсийг бодоход (5) томъёог дараах байдлаар хувиргах нь тохиромжтой байдаг.
[ ] ( )( ) ∑ ∑∑∑ =+−=−=
=
kxxxkkk
n
k
kxk pmpmxpxpmxXD 22
1
2
2
Гарна. Дунджаар 1,2 ононо гэсэн үг.
Бином тархалтын хувьд математик дундаж нь
М[Х]=n*p (4)
байдаг. Хэрэв (4) томъёонд n- буудах тоо, р-онох магадлал гэж авбал жишээ 2
М[X]=n*p=3*0.4=1.2
онох гэж гарна. Хэрэв (4) томъёонд М[X] ба з өгөгдсөн бол
n=
p
XM ][
гэж олно.
Жишээ 3.санамсаргүй хэмжигдэхүүний Х-ийн тархалтын хууль

12. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 12
x 1 2 3 ....... k .......
p k
p (1-p)p (1-p) p2
....... (1-p) p1−k
...........
гэж өгөгдсөн бол түүний математик дунджийг ол.
Бодолт.(1) томъёо ёсоор (1-p=q)
Mx=1*p+2qp+3q2
p+………..+kqk-1
p+…=p(1+2q+3q2
+…+kqk-
1
+…)’=p(
q
q
−1
)’=p 2
)1(
1
q
qq
−
+−
= 2
)1( q
p
−
= 2
p
p
=
p
1
Иймд
Mx=
p
1
болно. Эндээс харвал
р → 1 үед mx 1→
p → 0 үед mx → α
болох нь ажиглагдана. Энэ нь бодлогын агуулгаас хамаарч дараахь байдлаар
тайлбарлагдана. Хэрэв туршилт бүрт А үзэгдлийн явагдах магадлал нэгд ойрхон (p 1)
бол А үзэгдлйин туршилтанд
Лекц № 5 Тасралттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний
математик дундаж дисперс
Тасралттай санамсаргүй хэмжээний Х
x x1 x 2
..... x k
...... x n
P(X=x )k
p1 p 2
...... p k
....... p n
гэсэн тархалтын хуультай байг.

13. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 13
Тодорхойлолт 7.1 Тасралттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний Х-ийн бүх боломжит утгыг
харглзах магадлалаар нь үржүүлээд нэмсэн нийлбэрийг уг санамсаргүй хэмжээний
математик дундаж гэж нэрлээд M[X] буюу mx гэж тэмдэглэдэг.
өөрөөр хэлбэл,
M[X]=x1p1+x2p2+……+xnpn
= x2
kpk-2mx xkpk+m2
x∑ ∑ ∑ pk=M[X2
]-2mx* mx+m2
x*1=M[X2
]-m2
x
Ингэж
D[x]=M[X2
] -m2
x
болно. Өөрөөр хэлбэл дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын математик
дунджаас түүний математик дундажын квадратыг хассантай тэнцүү байна.
Жишээ 4. Байг нэг удаа бууджээ. Онох магадлал р бол математик дундаж , дисперс ба
дундаж квадратдаг хазайлтыг ол.
Бодолт. Хүснэгт зохиовол
X 1 0
pk p q
(q=1-p)болно. Иймд
M[X]=1*p+0*q=p
D[X]=(1-p)2
p+(0-p)2
q=q2
p+p2
q=pq
o[X]=
байна.
Жишээ5. санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х дараах тархатын хуультай.
Х 1 3 5
рк 0,3 0,4 0,3
бол түүний математик дундаж , дисперс ба дундаж квадратлаг хазайлтыг ол.

14. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 14
Бодол. Тодорхойлолт ёсоор
M[X]=2*0.3+3*0.4+4*0.3=3
D[X]=(2-3)2
*0.3+(3-3)2
*0.4+(4-3)2
*0.3=0.6
o[X]=
[ ]
77.0=
XD
гарна.
M [x] M[X]→
болно.
Санамж. Хэрэв бид n1 бөмбөг нь х1 гэсэн тоон тэмдэгтэй n2 бөмбөг нь x2 гэсэн тооны
тэмдэгтэй гэх мэтчилэн N бөмбөгтэй хайрцгийн схемийг авч үзээд, таамгаар нэг
бөмбөгийг авахад ”хүлээж буй тоо ” (2) томъёогоор бодогдоно. өөрөөр хэлбэл -тэй
тэнцүү байна.
х 0,21 0,54 0,61
Р 0,1 0,5 0,4
Жишээ1.
Тархалтын хуультай Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик дундажийг ол.
Бодолт. (1) ёсоор
M[X]=0,21*0,1+0,54*0,5+0,61*0,4 =0,535 болно.
Жишээ2.Буудах бүрт онох магадлал р=0,4 бол 3 удаа буудахад онох Х санамсаргүй
хэмжигдэхүүний математик дунджийг ол.
Бодолт. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь х1=0 ,х2=1, x3 =2, x4=3 гэсэн утгыг авна. Эдгээр
утгыг авах магадлалууд нь давталттай турширтын теорем ёсоор (n=3,p=0.4,q=0.6)
P(X=0)=C0
3(0.6)3
=0.216
P(X=1)=C1
30.4*(0.6)2
=0.432
P(X=2)=C2
3(0.4)2
*0.6=0.288
P(X=3)=C3
3(0.4)3
=0.064
гэж гарна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгт
х 0 1 2 3
Р(X=xk) 0.216 0.432 0.228 0,064
болох ба математик дунджийг бодвол

15. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 15
mx=0*0.216+1*0.432+2*0.228+3*0.064=1.2
буюу товчоор
М[X]= ∑ xkpk
α
k
болно. Энэ үед дээр дурдсанаар
∑ pk=1
α
k
байна. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь төгсгөлгүй утгыг авдаг бол
mx= ∑ xkpk
α
k
бөгөөд энэ цуваа нийлдэг байх санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бид цаашид авч үзнэ.
Туршилтыг маш олон хий үед санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик дундаж ба
арифметик дунджын хоорондын холбоог тогтоож болно. Чухамдаа туршилтын тоог
хязгааргүй өсгөхөд санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик
дундаж уг санамсаргүй хэмжээний математик дундаж руу нийлдэг. Үл хамаарах
туршилтыг N удаа хийсэн гэж үзье. Энэ үед
х1 утга n1 удаа гарсан
х2 утга n2 удаа гарсан
………………………..
хv утга nv удаа явагдсан
гэж үзье. Санамсаргүй хэмжээний Х нь х1 ,х2,..... хv утгыг авч байна. Х санамсаргүй
хэмжигдэхүүний гарсан утгыг арифметикдунджыг M [x] буюу m гэж тэмдэглээд
бодвол:
x
xm =
N
nxnxnx vv+++ ...........2211
=x1
N
n
x
N
n
x
N
n v
v..........2
2
1
++
гарна. Туршилтын тоо N маш их үед 2-ын (2) томъёо ёсоор

16. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 16
lim
N
nk
=p k
N α→
учир
∑∑ ==
≈
v
k
kk
k
v
k
k px
N
n
x
11
Лекц № 6 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Бай буудахад сум байн төвөөс хазайх хазайлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх
ба [ завсрын аль ч утгыг хүлээн авч мэднэ.Энэ жишээн дэх санамсаргүй
хэмжигдэхүүн шиг ямар нэг завсрын (зайдгай , битүү, хагас задгай )бүх утгууудыг авч
болох санамсаргүй хэмжгдэхүүнийг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
гэнэ.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний ерөнхий тодорхойлолтыг авч үзье.
[+∞,0
Тодорхойлолт 1: ),,( PℑΩ магадлалын огторгуй
( ) Ω∈= ωω ,XX
бодит функц өгөдсөн байг.Хэрэв х бодит тоо бүрийн хувьд
( ){ } ( )1: ℑ∈< xX ωω
байвал ( ) Ω∈= ωω ,XX функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэнэ.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
(1) дэх ( ){ ℑ∈< xX }ωω : олонлог (үзэгдлийг)-ийг цаашид товчоор гэж тэмдэглэнэ.xX <
Тодорхойлолт 2: ( ) Ω∈= ωω ,XX санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол бүх бодит тоонуудын
олонлог дээр
(2)( ) ( ) 1
, RxxXPxF ∈<=
Томъёогоор тодорхойлогдох функцийг Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын
функц гэнэ.

17. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 17
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга [ ) ( )2121 ,,, xxxx интервалд байх гэсэн { }21 xXx <≤
үзэгдлүүдийн магадлалыг түүний тархалтын функцийн утгуудаар илэрхийлж болох
дараахи томъёо хүчинтэй.
( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP −=<≤ (3)
Үнэхээр ( ) { } { }{ 1221 xXxXxXx }<−<=<≤ ба үүний баруун гар тал дахь олонлогууд
үзэгдэл (ℑ -ийн элемент) учраас тэдгээрийн ялгавар нь үзэгдэл болно.Өмнөх тэнцэтгэлийн
2 талаас магадлал авбал
( ) ( ) ( )1221 xXPxXPxXxP <−<=<≤
буюу (3) томъёо гарна.
Теорем F(x) нь ямар нэгэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц бол дараах
чанаруудтйа байна.
1. Монотон чанар:Хэрэв 21 xx ≤ бол ( ) ( )21 xFxF ≤
2. ( ) ( ) 1lim,0lim ==
+∞→−∞→
xFxF
xx
3. Зүүн өрөөсгөл тасралтгүй чанар
( ) ( )0
00
lim xFxF
xx
=
−→
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт
Тодорхойлолт 3 Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол түүний тархалтын функц
нь хэлбэртэй байх f(x) гэсэн сөрөг бус функц оршин байх бөгөөд түүнийг
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэж нэрлэнэ.
( ) ( )∫∞−
=
x
dttfxF
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт дараах чанаруудтай.
1. ( ) 1
,0 Rxxf ∈≥
2. ( ) 1=∫
∞
∞−
dxxf
3. f(x) функцийн тасралтгүйн цэг х бүрийн хувьд ( ) ( )xfxF =' .Нөгөө талаас 1-3
чанарууд ыг хангасан f(x) функц бүрийг ямар нэг тасралтгүй санамсаргүй
хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэж үзэж болно.
Бие даан судлах сэдэв: Тархалтын хуулиуд

18. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 18
Лекц № 7 Зарим нэр бүхий тас-гүй тархалтууд,с-гүй вектор хамтын тархалт
),, PℑТодорхойлолт 1: (Ω магадлалын огторгуй
( ) Ω∈= ωω ,XX
бодит функц өгөдсөн байг.Хэрэв х бодит тоо бүрийн хувьд
( ){ } ( )1: ℑ∈< xX ωω
байвал ( ) Ω∈= ωω ,XX функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэнэ.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
(1) дэх ( ){ ℑ∈< xX }ωω : олонлог (үзэгдлийг)-ийг цаашид товчоор гэж тэмдэглэнэ.xX <
Тодорхойлолт 2: ( ) Ω∈= ωω ,XX санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол бүх бодит тоонуудын
олонлог дээр
(2)( ) ( ) 1
, RxxXPxF ∈<=
Томъёогоор тодорхойлогдох функцийг Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын
функц гэнэ.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга [ ) ( )2121 ,,, xxxx интервалд байх гэсэн { }21 xXx <≤
үзэгдлүүдийн магадлалыг түүний тархалтын функцийн утгуудаар илэрхийлж болох
дараахи томъёо хүчинтэй.
( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP −=<≤ (3)
Үнэхээр ( ) { } { }{ 1221 xXxXxXx }<−<=<≤ ба үүний баруун гар тал дахь олонлогууд
үзэгдэл (ℑ -ийн элемент) учраас тэдгээрийн ялгавар нь үзэгдэл болно.Өмнөх тэнцэтгэлийн
2 талаас магадлал авбал
( ) ( ) ( )1221 xXPxXPxXxP <−<=<≤
буюу (3) томъёо гарна.
Теорем F(x) нь ямар нэгэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц бол дараах
чанаруудтйа байна.
4. Монотон чанар:Хэрэв 21 xx ≤ бол ( ) ( )21 xFxF ≤
5. ( ) ( ) 1lim,0lim ==
+∞→−∞→
xFxF
xx

19. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 19
0
00
lim xFxF
xx
=
−→
6. Зүүн өрөөсгөл тасралтгүй чанар
( ) ( )
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт
Тодорхойлолт 3 Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол түүний тархалтын функц
нь хэлбэртэй байх f(x) гэсэн сөрөг бус функц оршин байх бөгөөд түүнийг
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэж нэрлэнэ.
( ) ( )∫∞−
=
x
dttfxF
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт дараах чанаруудтай.
4. ( ) 1
,0 Rxxf ∈≥
5. ( ) 1=∫
∞
∞−
dxxf
6. f(x) функцийн тасралтгүйн цэг х бүрийн хувьд ( ) ( )xfxF =' .Нөгөө талаас 1-3
чанарууд ыг хангасан f(x) функц бүрийг ямар нэг тасралтгүй санамсаргүй
хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэж үзэж болно.
Бие даан судлах сэдэв: Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үл хамаарах чанар,хамаатсан
функц
Лекц № 8 Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үл хамаарах чанар,хамаарсан функц
Нэгэн ижил магадлалын огторгуй дээр Х1 ,Х2 ,...,Хn санамсаргүй хэмжигдэхүүн
өгөдсөн байг.Хэрэв х1 ,х2 ,...,хn гэсэн n тоо бүрийн хувьд
( ) ( ) ( ) ( )nnn xFxFxFxxxF ,...,,,...,, 221121 = (1)
харьцаа биелэж байвал Х1 ,Х2 ,...,Хn санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах
санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд гэнэ.
Энэ тодорхойлолт нь В1 ,В2 ,...,Вn гэсэн борелийн n олонлог бүрийн хувьд
( ) ( ) ( )nnnn BxPBxPBxBxBxP ∈∈=∈∈∈ ,...,,...,, 112211 (2)
тэнцэтгэл биелэгдэнэ гэдэгтэй эквивалент болохыг харуулж болно.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй
нөхцөл нь дараах теорм харуулна.
Th 1

20. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 20
Хэрэв (Х1 ,Х2 ,...,Хn) нь тасралтгүй маягийн санамсаргүй вектор бол Х1 ,Х2 ,...,Хn
санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах байх зайлшгү бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
санамсаргүй векторын тархалтын нягт нь компонентуудын тархалтын нягтуудын
үржвэртэй тэнцүү байх буюу Ө.х
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,...,, 221121 =
харьцаа
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,,...,, 221121
функцүүдийн тасралтгүйн бүх цэгүүд дээр биелэх явдал юм.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
(1) дэх ( ){ ℑ∈< xX }ωω : олонлог (үзэгдлийг)-ийг цаашид товчоор гэж тэмдэглэнэ.xX <
Тодорхойлолт 2: ( ) Ω∈= ωω ,XX санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол бүх бодит тоонуудын
олонлог дээр
(2)( ) ( ) 1
, RxxXPxF ∈<=
Томъёогоор тодорхойлогдох функцийг Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын
функц гэнэ.
1. Монотон чанар:Хэрэв 21 xx ≤ бол ( ) ( )21 xFxF ≤
2. ( ) ( ) 1lim,0lim ==
+∞→−∞→
xFxF
xx
3. Зүүн өрөөсгөл тасралтгүй чанар
( ) ( )0
00
lim xFxF
xx
=
−→
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт
Тодорхойлолт 3 Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол түүний тархалтын функц
нь хэлбэртэй байх f(x) гэсэн сөрөг бус функц оршин байх бөгөөд түүнийг
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт гэж нэрлэнэ.
( ) ( )∫∞−
=
x
dttfxF
Бие даан судлах сэдэв: Тасралтгүй сан-гүй хэмжигдэхүүний дисперс,Ковариац,Коррляци
коэффициент

21. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 21
Лекц № 9 Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс,
Ковариац,Коррляци коэффициент
Е туршилтын дүн нь үл мэдэгдэх ( )xF тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х байг.
( )xF функцийг үнэлэхийг тулд эх олонлог ( )xΩ -ээс n хэмжээт санамсаргүй түүвэр
зохиовол байна.Энэхүү түүврээр дараах хүснэтийг зохиож болно.nxxx ,...,, 21
Туршилтын
дугаар
1 2 ... n
Туршилтын
дүн
1x 2x nx
Энэ хүснэгтийг энгийн статистик эгнээ гэж нэрлэнэ.Түүврийн утгыг бүлэглэж
болно.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлаж байгаа бол туршилтын дүнг өсөх
дарааллаар байрлуулж ижил утгын давталт эсвэл давтамжim
n
mi
-ийг тооцоолно.
Бүлэглэсэн статистик эгнээнүүдийг дараах хүснэгтээр дүрсэлнэ.
ix 1x 2x kx...
im 1m 2m km nm
k
i
i =∑=1
...
ix 1x 2x kx...
n
mi
n
m1
n
m2
...
n
mk
1
1
=∑=
k
i
i
n
m
Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал ажиглалтын утгыг
гэсэн о завсарт хувааж ,linebreak завсар тус бүр дэх утгын давталт
эсвэл давтамжийг тооцож болно.ихэвчлэн завсрын тоо к-г
[ [ [ [ [ kk xxxxxx ,,...,,,, 12110 − [
155 ≤≤ k байхаар
авдаг.туршилтын дүнгээр дараах завсрын статистик эгнээг байгуулна.
Ажиглалтын утгын
завсар
[ [10 ;xx [ [21;xx ... [ [kk xx ;1−

22. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 22
n
mi
n
m1
n
m2
...
n
mk
Тодорхойлолт1:С.х-ийн Х-ийн ажиглалтын утга түүнд харгалзах давтамж
n
mi
-ийн
жагсаалтыг түүний статистик тархалт гэнэ.
Хэрэв (Х1 ,Х2 ,...,Хn) нь тасралтгүй маягийн санамсаргүй вектор бол Х1 ,Х2 ,...,Хn
санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах байх зайлшгү бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
санамсаргүй векторын тархалтын нягт нь компонентуудын тархалтын нягтуудын
үржвэртэй тэнцүү байх буюу Ө.х
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,...,, 221121 =
харьцаа
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,,...,, 221121
функцүүдийн тасралтгүйн бүх цэгүүд дээр биелэх явдал юм.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
(1) дэх ( ){ ℑ∈< xX }ωω : олонлог (үзэгдлийг)-ийг цаашид товчоор гэж тэмдэглэнэ.xX <
Тодорхойлолт 2: ( ) Ω∈= ωω ,XX санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол бүх бодит тоонуудын
олонлог дээр
(2)( ) ( ) 1
, RxxXPxF ∈<=
Томъёогоор тодорхойлогдох функцийг Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын
функц гэнэ.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга [ ) ( )2121 ,,, xxxx интервалд байх гэсэн { }21 xXx <≤
үзэгдлүүдийн магадлалыг түүний тархалтын функцийн утгуудаар илэрхийлж болох
дараахи томъёо хүчинтэй.
( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP −=<≤ (3)

23. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 23
Үнэхээр ( ) { } { }{ 1221 xXxXxXx }<−<=<≤ ба үүний баруун гар тал дахь олонлогууд
үзэгдэл (ℑ -ийн элемент) учраас тэдгээрийн ялгавар нь үзэгдэл болно.Өмнөх тэнцэтгэлийн
2 талаас магадлал авбал
( ) ( ) ( )1221 xXPxXPxXxP <−<=<≤
буюу (3) томъёо гарна.
Бие даан судлах сэдэв: Нөхцөлт тархалт ,нөхцөлт математик дундаж, Их тооны хууль
Лекц № 10 Нөхцөлт тархалт ,нөхцөлт математик дундаж,
Их тооны хууль
Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик үнэлэлт
Үл мэдэгдэх F(x) тархалт бүхий эх олонлог Х –ээс зохиосон ( )nxxx ,...,, 21 түүврээр с.х Х-
ийн тархалтын хуулийг сонгон олох шаардлага гардаг.Гистограмм,полигон болон өөр
бусад шинж тэмдэгт тулгуурлан шинжээч тухайн с.х-ний тархалт харъяалагдах функцийн
ангийг сонгосон гэж үзье.Тухайлбал:
( )
( )
∫∞−
−
−
=
x at
dteaxF
2
2
2
2
1
,, σ
πσ
σ
σ,a параметр бүхий хэвийн тархалтын функцийн ангийг
( ) λλ
λ −
<
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= e
x
x
xF
xx i
i
i
!
,
нь λ параметр бүхий Пауссоны тархалтын функцийн анги үүсгэнэ.
Практик хэрэглээнд хэвийн тархалтын функцийн анги нь сайтар судлагдсан ,олон
тархалтын хязгаарын тархалт байх чанараараа өргөн хэрэглэгдэнэ.Тархалтын функцийн
ангийг сонгож авсны дараа түүний үл мэдэгдэх параметрийг үнэлэх асуудал гарна.
Хэвийн тахалтанд σ,a ; Пауссоны тархалтанд λ параметрийг үнэлэнэ.
Тархалтын функцийн ангийн үл мэдэгдэх параметрийг θ гэе.Үүний дор хэд хэдэн
параметр байж болно.Параметрийг үнэлэх нь ( )nxxu ,...,,1 x2≈θ томъёог олоход оршдог.
функцийг түүврийн статистик эсвэл түүврийн функц гэж нэрлэдэг.Энэ
функцийн утгыг
( nxxxu ,...,, 21 )
θ параметрийн үнэлэлт гээд тэмдэглэхдээ ( )nxxxu ,...,, 21
ˆ =θ .

24. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 24
)
Ямар ч түүвэр санамсаргүй бөгөөд төгсгөлөг байдаг.Иймд түүврийн функц
мөн санамсаргүй байх ба тухайн түүвэрт харгалзах утга нь түүний зөвхөн ганц биелэл
болно.Параметрийн үнэлэлтийг цэгэн ба завсрын гэж ангилдаг.Цэгэн үнэлэлт нь
гэсэн тоогоор ,завсрын үнэлэлт нь
( )nxxxu ,...,, 21
( nxxxu ,...,,ˆ
21=θ θ параметрийн утгыг дотроо агуулах
завсрын эхлэл 1θ ба төгсгөл 2θ гэсэн 2 тоогоор тодорхойлогддог.
Е туршилтын дүн нь үл мэдэгдэх ( )xF тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х байг.
( )xF функцийг үнэлэхийг тулд эх олонлог ( )xΩ -ээс n хэмжээт санамсаргүй түүвэр
зохиовол байна.Энэхүү түүврээр дараах хүснэтийг зохиож болно.nxxx ,...,, 21
Энэ хүснэгтийг энгийн статистик эгнээ гэж нэрлэнэ.Түүврийн утгыг бүлэглэж
болно.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлаж байгаа бол туршилтын дүнг өсөх
дарааллаар байрлуулж ижил утгын давталт эсвэл давтамжim
n
mi
-ийг тооцоолно.
Бүлэглэсэн статистик эгнээнүүдийг дараах хүснэгтээр дүрсэлнэ.
Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал ажиглалтын утгыг
гэсэн о завсарт хувааж ,linebreak завсар тус бүр дэх утгын давталт
эсвэл давтамжийг тооцож болно.ихэвчлэн завсрын тоо к-г
[ [ [ [ [ kk xxxxxx ,,...,,,, 12110 − [
155 ≤≤ k байхаар
авдаг.туршилтын дүнгээр дараах завсрын статистик эгнээг байгуулна.
Тодорхойлолт1:С.х-ийн Х-ийн ажиглалтын утга түүнд харгалзах давтамж
n
mi
-ийн
жагсаалтыг түүний статистик тархалт гэнэ.
Хэрэв (Х1 ,Х2 ,...,Хn) нь тасралтгүй маягийн санамсаргүй вектор бол Х1 ,Х2 ,...,Хn
санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах байх зайлшгү бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
санамсаргүй векторын тархалтын нягт нь компонентуудын тархалтын нягтуудын
үржвэртэй тэнцүү байх буюу Ө.х
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,...,, 221121 =
харьцаа
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,,...,, 221121

25. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 25
функцүүдийн тасралтгүйн бүх цэгүүд дээр биелэх явдал юм.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
Бие даан судлах сэдэв: Математик статистик,түүний судлах зүйл
Лекц № 10 Математик статистик,түүний судлах зүйл
Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик үнэлэлт
Үл мэдэгдэх F(x) тархалт бүхий эх олонлог Х –ээс зохиосон ( )nxxx ,...,, 21 түүврээр с.х Х-
ийн тархалтын хуулийг сонгон олох шаардлага гардаг.Гистограмм,полигон болон өөр
бусад шинж тэмдэгт тулгуурлан шинжээч тухайн с.х-ний тархалт харъяалагдах функцийн
ангийг сонгосон гэж үзье.Тухайлбал:
( )
( )
∫∞−
−
−
=
x at
dteaxF
2
2
2
2
1
,, σ
πσ
σ
σ,a параметр бүхий хэвийн тархалтын функцийн ангийг
( ) λλ
λ −
<
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= e
x
x
xF
xx i
i
i
!
,
нь λ параметр бүхий Пауссоны тархалтын функцийн анги үүсгэнэ.
Практик хэрэглээнд хэвийн тархалтын функцийн анги нь сайтар судлагдсан ,олон
тархалтын хязгаарын тархалт байх чанараараа өргөн хэрэглэгдэнэ.Тархалтын функцийн
ангийг сонгож авсны дараа түүний үл мэдэгдэх параметрийг үнэлэх асуудал гарна.
Хэвийн тахалтанд σ,a ; Пауссоны тархалтанд λ параметрийг үнэлэнэ.
Тархалтын функцийн ангийн үл мэдэгдэх параметрийг θ гэе.Үүний дор хэд хэдэн
параметр байж болно.Параметрийг үнэлэх нь ( )nxxu ,...,,1 x2≈θ томъёог олоход оршдог.
функцийг түүврийн статистик эсвэл түүврийн функц гэж нэрлэдэг.Энэ
функцийн утгыг
( nxxxu ,...,, 21 )
θ параметрийн үнэлэлт гээд тэмдэглэхдээ ( )nxxxu ,...,, 21
ˆ =θ .

26. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 26
)
Ямар ч түүвэр санамсаргүй бөгөөд төгсгөлөг байдаг.Иймд түүврийн функц
мөн санамсаргүй байх ба тухайн түүвэрт харгалзах утга нь түүний зөвхөн ганц биелэл
болно.Параметрийн үнэлэлтийг цэгэн ба завсрын гэж ангилдаг.Цэгэн үнэлэлт нь
гэсэн тоогоор ,завсрын үнэлэлт нь
( )nxxxu ,...,, 21
( nxxxu ,...,,ˆ
21=θ θ параметрийн утгыг дотроо агуулах
завсрын эхлэл 1θ ба төгсгөл 2θ гэсэн 2 тоогоор тодорхойлогддог.
Е туршилтын дүн нь үл мэдэгдэх ( )xF тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х байг.
( )xF функцийг үнэлэхийг тулд эх олонлог ( )xΩ -ээс n хэмжээт санамсаргүй түүвэр
зохиовол байна.Энэхүү түүврээр дараах хүснэтийг зохиож болно.nxxx ,...,, 21
Энэ хүснэгтийг энгийн статистик эгнээ гэж нэрлэнэ.Түүврийн утгыг бүлэглэж
болно.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлаж байгаа бол туршилтын дүнг өсөх
дарааллаар байрлуулж ижил утгын давталт эсвэл давтамжim
n
mi
-ийг тооцоолно.
Бүлэглэсэн статистик эгнээнүүдийг дараах хүснэгтээр дүрсэлнэ.
Х тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байвал ажиглалтын утгыг
гэсэн о завсарт хувааж ,linebreak завсар тус бүр дэх утгын давталт
эсвэл давтамжийг тооцож болно.ихэвчлэн завсрын тоо к-г
[ [ [ [ [ kk xxxxxx ,,...,,,, 12110 − [
155 ≤≤ k байхаар
авдаг.туршилтын дүнгээр дараах завсрын статистик эгнээг байгуулна.
Тодорхойлолт1:С.х-ийн Х-ийн ажиглалтын утга түүнд харгалзах давтамж
n
mi
-ийн
жагсаалтыг түүний статистик тархалт гэнэ.
Хэрэв (Х1 ,Х2 ,...,Хn) нь тасралтгүй маягийн санамсаргүй вектор бол Х1 ,Х2 ,...,Хn
санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд үл хамаарах байх зайлшгү бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь
санамсаргүй векторын тархалтын нягт нь компонентуудын тархалтын нягтуудын
үржвэртэй тэнцүү байх буюу Ө.х
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,...,, 221121 =
харьцаа
( ) ( ) ( ) ( )nnn xfxfxfxxxf ,...,,,,...,, 221121

27. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 27
функцүүдийн тасралтгүйн бүх цэгүүд дээр биелэх явдал юм.
Дээрх тодорхойлолтоос үзвэл эгэл үзэгдлийн огторгуй дээр тодорхойлогдсон функц бүр
санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх нь алба биш байна.
Харин нь огторгуйн бүх дэд олонлгуудынℑ Ω σ алгебр бол энэ үед дээр
тодорхойлолгдсон бодит функц бүр санамсаргүй хэмжигдэхүүн болно.
Ω
Лекц №13.
Статистик таамаглалыг шалгахад гарах алдаа.
статистик таамаглал шалгах явцад буруу шийд гарах боломж байна энэ нь түүврийн
хэмжээ төгтсөглийг үүнээс уламжлан тархалтын функцийн хэлбэр түүний Статистик
шинжүүрийн учир холбоглын түвшин түүврийн өгөгдөлөөр праметрийг тодорхойлох
боломжгүй статистик шалгалтийг дахин давтан хийснээр худал шийд гарах магадлалыг
үнэлэх боломжтой. Хэрэв энэ магадлал өчүүхэн бага бол хулал шийд гарахыг үнэлхэд
бэрх болно. Дараах хоёр төрлийн алдаа гарч болно. Тодорхойлолт 1: Зөв тэг таамаглал
няцаахыг нэгдүгээр төрлийн алдаа гэнэ. Тодорхойлолт 2: нэгдүгээр төрлийн алдаа гарах
магадлалыг статистик шинжүүрийг учир холбогдлын түвшин гэнэ. Худал таамаглал
хүлээн авахийг хоёрдугаар төрлийн алдаа гэнэ. Энэ алдаа хийх магадлалыг β-р тэмдгэлдэг.
Тодорхойлолт 3: хоёрдугаар төрлийн алдаагүй байх магадлалыг К шинжүүрийн чадал гэж
нэрлээд М үсгээр тэмдэглэнэ. n шинжүүрийн чадал нь худал таамаглалын
Н0 –г няцаах магадлал юм. Өөрөөр хэлбэл М=1-р

28. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 28
Энэ зурагаас харвал К1- α квантилийг зүүн тийш шилжүүлбэл ( 1-р төрлийн алдааг
багасгавал ) 2-р төрлийн алдаа ихэснэ. 2-р төрлийн алдаа үүсэх магадлал нь хэмжилтийн
тоо n , учир холбоглын түвшин α , өрсөлдөх магадлал На –н шинж. Хэрэглэж буй шинжүүр
К –с функцэн хамааралтай. Дараах хязгаарын харьцаа биелэнэ.
=0 [1]
[2]
[3] 1 ба 2 томъёо нь Н0 ба На таамаглалын статистик зөв байхын баталгаа нь зөвхөн
төгсгөлгүй их хэмжээтэй түүврийн дохиолдолд гарцаагүйг харуулна. Эндээс үзвэл дээр
дурьдсан 2 төрлийн алдааш нэгэн зэрэг багасгахдаа түүврийн хэмжээг эхэсгэх
шаардлагатай 3 томъёо нь 1-р төрлийн алдааш тэг болтол багасгахад 2-р төрлийн алдаа
гарах нь зайлшгүйг харуулна статистик шалгалтын учир холбогдлын түвшинг хэрхэн
сонгох нь 1 ба 2-р төрлийн алдааны улмаас үүсэх хохирлоос хамаарна. Хэрэв 1-р төрлийн
алдаа гарахад 2-р төрлийн алдаа гарахаас үлүү их хохиролтой бол α-г бага хэмжээтэй авч
болно гэхдээ α байж болохгүй. Хэрэв α=0 бол β=1 болж буруу ба зөвийг нь үл ялгах
тэг таамаглалыг ямагт хүлээн авахад хүрнэ.

29. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 29
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдхүүний математик дундажын тухай
таамаглал шалгах.
Ν(α,δ) хэвийн тархалтай санамсаргүй хэмжигдхүүн χ-г авч түүний математик дундаж
а0={H0,a=a0} ийм байх тухай таамаглалыг шалгая. Эх олонлогуудын праметрийн талаарх
мэдээлэлээс хамаарч дараах 2 үндсэн загварыг томъёолон тус бүрд нь тохирох статистик
шинжүүрийг байгуулна. , . Загвар 1: Эх олонлог Ν(α,δ) тархалттай δ
дундаж квадратлаг хаүайлт өгөгдсөн гэж санья. Дээр дурьдсан эх олонлогоос зохиосон
санамсаргүй түүврийн утга x1x2...xn эдгээрийг ашиглан Н0 таамаглал болон α α0
Учир холбогдлын шинжүүрт түүврийн статистик.
υ= хэрэв X€N(α,δ) харьялагддаг бол x дээгүүрээ зурайстай (α, )
харьяалагдана улмаар Н0 үнэн бол υ (0,1) хамааралтай. Учир холбогдлын түвшин χ-г
сонгон авч норомчлогдсон хэвийн тархалт N(01)-н таблицаас U1-α/2=-Uα/2 эдгээр
квантилуудыг олно.|U| Uα/2 энэ муж нь υ шинжүүрийн шижшгт муж байна. Зурагаар
харуулбал

30. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 30
U-н
ажиглалтын утга υ ажиг -г 1 томьёогоор олж |Uα/2| Uажиг жишэхэд тодулиараа их буюу
тэнцүү байвал ажиглалтын утгаар Н0 –г няцаах үндэс алга байна хэмээн түүгийг хүлээж
авна.Санамж: өрсөлдөх таамаглал На а<а0 байвал зүүн шижигт мужтай шинжүүрээр
таамаглалаа шалгана. Зураг а: энэ дохиолдолд P(U -Uα)=α нөхцөлөөс Ν(0,1) тархалтын
квантил хасах Uα –г олно. Uажиг<U ийм байвал Н0 таамаглал гяцаагадана.
Загвар 2: χ€Ν(α,δ) α ба δ үл мэдэгдэх праметрүүд Эх олонлогоос Ν хэмжээт (X1X2...X n)
түүврээр Н0:а=а0 тэг таамаглалыг На: а а0 өрсөлдөх таамаглалтайгаар авч шалгах
шаардлагатай болно. А ба δ-н цэгэн үнэлэлтүүд ά=х=1/n
δ=S=
Лекц№14.Статистик шалгалт хийх шинжүүр.
T= =
t гэсэн түүврийн статистик дэвшүүлсэн тэг таамаглал Н0 зөв байхад ‫=ץ‬n-1 чөлөөний зэрэг
бүхий student –н тархалттай санамсаргүй хэмжигдхүүн байна. Учир холбогдлийн түвшин
α-г сонгон авч student-н тархалтын таблицаас tα/2 ;n-1 нэсэн квантилийн утгийг харж болно

31. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 31
Хэвийн тархалттай 2 санамсаргүй хэмжигдхүүний математик дундаж ижил байх тухай
таамаглал шалгах.
Практик санамсаргүй хэмжигдхүүнийг Х-р тодорхойлох туршилтийн үр дүнг
боловсруулхад жишилтийн бодлого бодох хэрэгцээ гарна жишээ нь: ямар нэг бүтээгдхүүн
үйлдвэрлэх шинэ ба хуучин технологийг харьцуулах 2 үйлдвэрийн хөдөлмөрийн
бүтээмжийг харьцуулах гэх мэт. Ийм төрлийн бодолгийг магадлалийн туршилтын загвар
ΩхΒx F(x,ө) үүнийг байгуулсанаар шийднэ. Ихэнхдээ санамсаргүй хэмжигдхүүнийн Х-г
хэвийн тархалттай технологийн өөрчлөлтөд зөвхөн түүний математик дундажыг өөрчилнө
гэж үздэг.ийд хэмжилтйин эхэнх хэвийн тархалт бүхий 2 санамсаргүй хэмжигдхүүний
математик дундаж ижил байх таамаглал шалгахад хүргэнэ. Өгсөн мэдээллээс хамаарч
дараах үндсэн 2 арга байдаг. Загвар1: x (a1,δ1) Y N(a2; δ2)
X,Y-н хэмжигдрүүнийг судлах бөгөөд δ1, δ2 нь өгөгдсөн харин a1, a2 нь үл мэдэгдэх байг.
Хэвийн тархалтай эх олонлогоос харгалүан n1 ба n2 хэмжээст түүвэр хийж Н0: а=а0
таамаглалыг өрсөлдөгч На таамаглалтайгаар шалгана. Тэгвэл түүврийн дундажууд ; бол
эдгээр нь харгалзан x (a1; ) Y (a2; ) nab тархалттай. Түүврүүд үл хамаарах
учир тэдгээрийн дундажууд ; -д мөн хамааралгүй иймд D( + )=D( )+D( ) ийм байна.
Хэрэв Н0: а1=а2 зөв байвал M( - )=M( )-M( )=0 ийм болно. Математик дундажын
ялгаврийн норомчилж U-р тэмдэглэвэл U= [3] ийм хэлбэртэй болно.

32. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 32
Энэ хэмжигдхүүн норомчлогдсон хэвийн тархалт N(0,1) захирагдана. Харин U (0,1) U-
статистикийг дэвшүүлсэн таамаглалаа шалгах. Учир холбогдлын түвшин α-г сонгон авч
P(|U|≥U α/2)= α энэ нөхцөлийг хангах квантиль нь U α/2 –г N(0;1) тархалтын таблицаас
олно. U ажиглалтыг 3 томъёогоор тооцоолж олж |uажиг| α/2 ийм байвал тэг таамаглалыг
няцааж өрсөлдөх таамаглалыг хүлээн авч харин |Uажиг|< α/2 ийм бол тэг таамаглалыг
туршилтын дүнгээр няцаах үндэслэлгүй хэмээн хүлээн авна.
Загвар 2 X€N(a1 σ1) Y€N(a2 σ2)
a1 a2 σ1 σ2 -д үл мэдэгдэх бөгөөд σ1= σ2 ийм гэж үзээд эх олонлог бүрээс харгалзан N1 ба N2
< 30 ийм хэмжээт үл хамаарах түүвэр зохиож тэг таамаглалтыг H0 : a1= a2
таамаглалтайгаар шалгах бодлогийг шийдий. Таамаглал шалгах статистик шинжүүрт n1
t = [4] xi
ийм 4 гэсэн хэмуигдхүүн авна. Энд түүврийн дундажууд S1
2
= )2
S1
2
= )2
дэвшүүлсэн тэг таамаглал үнэн бол түүврийн статик t нь =n1+n2-2
ийм чөлөөний зэрэг бүхий student-н тархалтанд захирагдана. Учир холбогдлын түвшин α-г
сонгон авч харгалзах t α/2; n1+n2-2 гэсэн квантилийнг student-н тархалтын таблицаас
тодорхойлно. Түүврийн утгуудаар 4 томъёоноос t ажиглалтыг олж t α/2; n1+n2-2 квантилтай
жишихэд |tажиг | t α/2; n1+n2-2 ийм байвал өрсөлдөх таамаглал На зөв эсрэг тохиолдолд тэг
таамаглалыг үнэн хэмээн хүлээн авна.
Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдхүүний дисперсийн тухай таамаглал
шалгах.
Практикт машиний ажилгааны нарийвчлал хэмжих багажны заалтын алдаа үйлдвэрлэлийн
жигд ажижгаа автомат шугамын тогтворжилт зэрэг технологын болон хийцийн чухал
үзүүлэлтийг санамсаргүй хэмжигдхүүн дисперс илэрхийлнэ. Иймд эх олонлогын үл
мэдэгдэх дисперсийг үнэлэх загвар авч үзье. Загвар : санамсаргүй хэмжигдхүүн Х нь а ба
σ праметр бүхий хэвийн тархалт мөн а ба σ үл мэдэгдэх байг эх олонлогоос зохиосон
n хэмжээт түүврийн тоон үзүүлэлтүүдийг дээрх праметрийн цэгэн үнэлэлт болгон авна.
Тэгвэл 2
=S2
ийм байна. Эдгээр мэдээлэлд тулгуурлан тэг таамаглалыг өрсөлдөх

33. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 33
таамаглалтайгаар тэвшүүлэн статистик таамаглал хие. Учир холбогдлийн шинжүүрт
2
= = 2
[1]
Хий квадрат гэсэн түүврийн статистик авна. Тэг таамаглал үнэн байх дохиолдолд 1
томъёогоор тооцоологдох хий квадрат хэмжигдхүүн ‫=ץ‬n-1 чөлөөний зэрэг бүхий хий
квадрат тархалтай тухайн шинжүүрийн учир холбогдлын түвшин α-г өгч хий квадратийн
таблицаас 2
α/2;n-1; 2
1- α/2;n-1 эдгээр квантилыг олно. Дараа нь түүврийн утга ашиглан 1
томъёогоор 2
ажиглалтыг олж дараах квантилуудтай жишдэг. хэрэв 2
ажиг
2
эсвэл
2
ажиг< 2
ийм байвал тэг таамаглалыг няцааж На таамаглалын хүлээн авна. Харин 2
1- α/2;n-
1< 2
ажиг< 2
α/2;n-1 ийм байх юм бол дэвшүүлсэн таамаглалыг няцаах үндэслэлгүй хэмээн
хүлээн авна зурагаар дүрсэлбэл
Санамж : хэрэв өрсөлдөх таамаглал На:σ2
<σ2
ийм бол зүүн сэжэгт муж бүхий 2
шинжүүр
хэрэглэх энэ дохиолдолд P( < 2
1-α;‫ע‬)=α энэ нөхцөлөөс 2
1-α;‫ע‬ гэсэн квантилыг олж
2
ажиг
2
1-α;‫ע‬ бол тэг таамаглалыг няцаана.
Лекц №15Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлах

34. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 34
)( σ,aN хэвийн тархалттай эх олонлог авч үзье.
a) Эх олонлогийн дисперс ( ) 2
σ=x тодорхой хэмжигдэхүүн өгөдсөн тохиолдол.D
“E” туршилт нь Х с.х-ээр тодорхойлогдох ба түүний математик загвар ( )( )xFBxx ,,Ω
байг.Энд эгэл үзэгдлийн огторгуй xBR,≡Ω -тоон шулууны Борелийн σ -алгебр
( )
( )
∫∞−
−
−
=
x at
dteaxF
2
2
2
2
1
,, σ
πσ
σ болно.
Энэ тархалтын математик дундач a үл мэдэгдэх параметр юм.Түүний цэгэн үнэлэлтийг
байгуулахын тулд R≡Ω -ээс n хэмжээт түүвэр зохиож ,ажиглалтын утгаар
∑== ix
n
xa
1
ˆ -ийг бодож олно.
aˆ үнэлэлтийн тоон үзүүлэлтийг олно.Эндээс үзвэл
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∈
n
aNx
σ
, тархалттай.
Математик дундажийн завсран үнэлэлтйг олохын тулд түүврийн статистик u-г
( )
σ
nax
u
−
= гэж авна.Энэхүү u статистик ( )1,0Nu ∈ тархалттайг харуулж
болно.С.х u өөрийн дундачаас
2
αu хэмжээгээр хазайх магадлал
∫∫
−
−
−
==
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
−
<−
2
2
2
2
2
0
22
22 2
2
2
1
αα
α
ππσ αα
u
t
u
u
t
dtedteu
n
ax
uP
гэж олдоно.Итгэх магадлал α−=1p гэж сонгон авч
α
π
α
α
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ=∫
−
1
2
2
20
2
2
2
udte
u
t
Тэгшитгэлийг бодож
2
αu квантилийг тодорхойлно.
b) Эх олонлогийн дисперс 2
σ үл мэдэгдэх тохиолдол.
тохиолдолд Натаамаглалыг зөв хэмээн хүлээж авна.
: Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлах
( )σ,aN хэвийн тархалттай эх олонлог авч үзье.

35. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 35
a) Эх олонлогийн дисперс ( ) 2
σ=x тодорхой хэмжигдэхүүн өгөдсөн тохиолдол.D
“E” туршилт нь Х с.х-ээр тодорхойлогдох ба түүний математик загвар ( )( )xFBxx ,,Ω
байг.Энд эгэл үзэгдлийн огторгуй xBR,≡Ω -тоон шулууны Борелийн σ -алгебр
( )
( )
∫∞−
−
−
=
x at
dteaxF
2
2
2
2
1
,, σ
πσ
σ болно.
Энэ тархалтын математик дундач a үл мэдэгдэх параметр юм.Түүний цэгэн үнэлэлтийг
байгуулахын тулд R≡Ω -ээс n хэмжээт түүвэр зохиож ,ажиглалтын утгаар
∑== ix
n
xa
1
ˆ -ийг бодож олно.
aˆ үнэлэлтийн тоон үзүүлэлтийг олно.Эндээс үзвэл
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∈
n
aNx
σ
, тархалттай.
Математик дундажийн завсран үнэлэлтйг олохын тулд түүврийн статистик u-г
( )
σ
nax
u
−
= гэж авна.Энэхүү u статистик ( )1,0Nu ∈ тархалттайг харуулж
болно.С.х u өөрийн дундачаас
2
αu хэмжээгээр хазайх магадлал
∫∫
−
−
−
==
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
−
<−
2
2
2
2
2
0
22
22 2
2
2
1
αα
α
ππσ αα
u
t
u
u
t
dtedteu
n
ax
uP
гэж олдоно.Итгэх магадлал α−=1p гэж сонгон авч
α
π
α
α
−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Φ=∫
−
1
2
2
20
2
2
2
udte
u
t
Тэгшитгэлийг бодож
2
αu квантилийг тодорхойлно.
b) Эх олонлогийн дисперс 2
σ үл мэдэгдэх тохиолдол.
c) Параметрийн таамаглал шалгах
d) Параметрийн цэгэн ба завсран үнэлэлтийг олох нь магадлалын туршилтын
урьдчилсан шат юм.Судалгааны эцсийн зорилт нь технологийн процессуудыг
бүтээмжээр,нарийвчлалаар ,эсвэл хэмнэлтээр нь жишиж үнэлэх,багаж төхөөрөмж ,

36. Магадлалын онол хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Н.Одон Page 36
бүтээгдэхүүний шинж чанарыг жиших явдал байдаг.Ийм төрлийн бодлогыг
жишилтийн бодлого гэнэ.Жишилтийн бодлогын математик загвар нь тархалтын
параметрийн тухай таамаглал шалгах статистик бодлого болдог.Тархалтын
параметрүүдийн өөрчлөлт нь практикт багаж,хийц технологийн процессын ялгааг
тусгадаг.Жишилтийн бодлогыг шийдэхийн тулд эх олонлогоос “n” хэмжээт түүвэр
)nx зохиож гистограмм ,полигон болон бусад дүгнэлтээс үүдэн с.х Х-ийн
тархалтын хэлбэрийн талаар шинжээч таамаглал дэвшүүлж ,түүний параметрийг
үнэлэн магадлалын туршилтын загвар
( xx ,...,, 21
( )( )xFBxx ,,Ω -ийг байгуулсан гэе.
e) Тодорхойлолт 1:
f) Тархалтын функцийн хэлбэрийн талаар дэвшүүлсэн таамаглалыг параметрт биш
статистик таамаглал гэнэ.
g) Таамаглал дэвшүүлсний дараа түүнийг шалгах ,Ө.х магадлалын загвар бодит
байдалд хэр зэрэг тохирч байгааг шалгах асуудал тавигддаг.Энэ таамаглалыг
шалгахдаа янз бүрийн статистик шинжүүр хэрэглэдэг.Статистик шинжүүрийн
тусламжтайгаар судлаач загвар сайн бөгөөд туршилтын өгөгдөл түүнд харшлахгүй
байгааг тогтоожээ гэж саная.
h) Ажиглалтын статистик эгнээний магадлалын загвар ( )θ,xF -ийн параметр θ -г үл
хамаарах 2 түүврээр үнэлбэл ,олдсон 2 үнэлэлт 21
ˆ,ˆ θθ нь с.х-үүд болох тул
хоорондоо ялгаатай байна.Тэгвэл 21
ˆˆ θθ нь магадлалын завсрын цэгэн параметр θ -
ийн үнэлэлт мөн үү эсвэл параметр өөрчлөгдсөн үү гэдэг асуудал гардаг.
i) Ийм төрлийн бодлого нь жишилтийн ердийн бодлого юм.
j) Тодорхойлолт 2: Өгсөн тархалтын функцийн параметрийн утгын тухай тамаглалыг
параметрт статистик таамаглал гэнэ.