L'insieme dei numeri reali

Appunti Metodi Matmatici e Statistici – L’insieme dei numeri reali

APPUNTI DI LEZIONI

Corso di Metodi Matematici e Statistici
C.d.L Scienze del Controllo Ambientale e Protezione Civile
a.a. 2011/2012
Dr. Enrico Smargiassi

Ancona, 4 ottobre 2011 1


ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Il concetto di insieme è un concetto “intuitivo” e non richiede ulteriori specificazioni.

Il concetto d’insieme si applica a classi di “oggetti” qualsiasi e non solo a numeri, come:
m
N = 1, 2, … Z = 0, ±1, ±2, … Q = q = ± , m, n ∈ ��, n ≠ 0
n

Possibili sinonimi di insieme: collezione, aggregato, famiglia, classe.

Nomenclatura: A,B,… insiemi aA

a,b,… elementi aA

Rappresentazione di un insieme estensiva (per elencazione)  N

Intensiva (enunciando una proprietà o legge
caratteristica  Q

DEFINIZIONE (di sottoinsieme)
A1 è un sottoinsieme di A, e si scrive A1 ⊆ A o A ⊇ A1 , se ogni elemento di
A1 appartiene anche ad A A
�� ∈ ��1 �� ∈ ��
A1

Se A ⊆ B e B ⊆ A allora diremo che i due insiemi coincidono A = B, ovvero
contengono gli stessi elementi

(questo è un modo per verificare che due insiemi coincidono)

Si usa la scrittura A ⊂ B , cioè A è strettamente incluso in B, ovvero A è un sottoinsieme
proprio di B, quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, ma esiste almeno un
elemento di B che non è un elemento di A.

A ⊂ B �� ( A ⊆ B e A ≠ B)

Dato un insieme A, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi si chiama insieme delle parti di A,
��(��). Il numero di elementi di �� è 2�� se n è il numero di elementi di A.

Es. �� = ��, ��, �� 3 �� → �� = , �� , �� , �� , ��, �� , ��, �� , ��, �� , ��, ��, ��
3
2 = 8 ��



Per evitare paradossi logici è bene parlare di insiemi solo dopo aver fissato un contesto,
cioè un “ambiente” o “universo”, all’interno del quale si opera con i sottoinsiemi di tale
insieme universo.

DEFINZIONI

Sia X l’insieme universo e A e B due suoi sottoinsiemi.

- L’insieme unione di A e B, A  B , è l’insieme degli elementi x  X che
appartengono ad A oppure a B, oppure ad entrambi B A

AB

- L’insieme intersezione di A e B, A  B , è l’insieme degli elementi x  X che
appartengono sia ad A e sia a B B A

AB

- L’insieme differenza di A e B, A B , è l’insieme degli elementi x  X che
appartengono ad A, ma non a B
B A

AB

- L’insieme complementare di A rispetto a X, Ac, oppure �� è l’insieme degli elementi
x  X che non appartengono ad A

A

Ac

Due insiemi che hanno intersezione vuota si dicono insiemi disgiunti.

Vale anche X A = Ac e X Ac = A



PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI  E  (proprietà duali)

 AA=A  AA=A idem potenza

 AB=BA  AB=BA commutatività

 (A  B)  C = A  (B  C)  (A  B)  C = A  (B  C)
associatività

 A  (B  C) = (A  B)  (A  C)  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
distributività

 A  (A  B) = A  A  (A  B) = A assorbimento

Legge di dualità: Da ogni proprietà scritta utilizzando l’unione e l’intersezione tra insiemi se
ne può dedurre un’altra scambiando tra loro i simboli di unione e intersezione.

Estensione: Le operazioni di unione e intersezione possono essere estese al caso di un
numero qualsiasi, anche infinito, di insiemi  ��∈ℱ �� ∈ℱ ��

1 1
Es. �� = ��: − ≤ �� ≤ ��1 = ��: − 1 ≤ �� ≤ 1
��

1 1
��2 = ��: − 2 ≤ �� ≤ 2

……
+∞

�� = ��: − 1 ≤ �� ≤ 1 = ��1
��=1

+∞

�� = 0
��=1

Esercizio 1 Provare la seguente relazione di De Morgan, rispetto all’insieme
universo X: �� ∪ �� = �� ∩ ��

S. Verifichiamo prima che �� ∪ �� ⊆ �� ∩ ��

Sia �� ∈ �� ∪ �� ⇒ �� ∉ �� ∪ �� ⇒ �� ∉ �� ∉ �� ⇒ �� ∈ �� ∈ ��

⟹ �� ∈ �� ∩ ��

Verifichiamo ora che �� ∩ �� ⊆ �� ∪ ��

Sia �� ∈ �� ∩ �� ⇒ �� ∈ �� ∈ �� ⇒ �� ∉ �� ∉ �� ⇒

⟹ �� ∉ �� ∪ �� ⟹ �� ∉ �� ∪ ��



Esercitazione 1 Verificare la relazione duale di De Morgan, rispetto all’insieme
universo X: �� ∩ �� = �� ∪ ��

ALCUNI SIMBOLI LOGICI

  “per ogni” “ xB xA” equivale dire AB

“ xA per cui xB” equivale dire A  B  { }
  “esiste almeno un”

quantificatori esistenziali

 : “tale che”

  “se … allora …” (implica logicamente) “ xA  xB” equivale dire A  B

“ xA  xB” equivale dire A = B
  “… se e solo se …” (equivalenza logica)

Esercizio 2 Negare la seguente affermazione: “xA yA : x < y”

S. xA : x  y yA

Esercitazione 2 Negare le seguenti affermazioni:

 “yR : x y xA”  “xA y,zA : y < x < z”



IL SISTEMA DEI NUMERI REALI
La definizione rigorosa dell’insieme dei numeri reali non è elementare e richiede sempre
una certa fatica intellettuale.

Vi sono diverse modalità di affrontare la problematica della definizione del numero reale.
In particolare:

- L’approccio genetico, dove, una volta caratterizzato N attraverso alcune sue
proprietà, si costruiscono con successivi ampliamenti gli insiemi Z, Q, R e C. tale
approccio prevede ampliamenti successivi che colmano alcune “lacune”,
creando così insiemi che godono sempre di maggiori proprietà dimostrate.
Il passaggio da Q e R può essere nota ad alcuni con il termine di sezione di
Dedekind.

- L’approccio assiomatico, invece, procede partendo da tutte le proprietà
“necessarie”, che assunte come assiomi, costituiscono la definizione stessa di
numero reale. Tale approccio è ovviamente non coerente storicamente ma
fornisce un metodo di sintesi e di ordine logico, richiedendo anche una maturità di
idee.

Qui si adotterà l’approccio assiomatico, parlando, quindi, di numero reale in termini degli
assiomi (proprietà) che lo definiscono.

Gli assiomi di R possono essere distinti in algebrici, di ordinamento e di completezza (o
continuità).

 ASSIOMI ALGEBRICI (relativi alle operazioni di calcolo – Struttura di Campo)

In R si definiscono due operazioni interne, l’addizione e la moltiplicazione, che ad ogni
coppia di numeri reali a, b associa rispettivamente la loro somma, a+b, e il loro prodotto,
ab, per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Associatività a + (b + c) = (a + b) + c
a(bc) = (ab)c  a,b,c  R

2. Commutatività a+b=b+a
ab = ba  a,b  R

3. Distributività a(b + c) = ab + ac  a,b,c  R
(della moltiplicazione rispetto alla somma)

4. Esistenza degli elementi neutri
Esistono in R, e sono unici, due numeri che indicheremo con 0 e 1 per cui
a + 0 = a e 1a = a  a  R

5. Esistenza degli elementi opposti
 a  R ! b  R : a + b = 0



b è detto opposto di a e si indica con –a

6. Esistenza dei reciproci
 a  R{0} ! b  R : a b = 1
b è detto reciproco di a e si indica con a-1 o 1/a

Questi assiomi strutturano R come un campo algebrico. Da essi discendono tutte le regole
di calcolo elementare note.

 ASSIOMI DI ORDINAMENTO (relazione d’ordine)

Nell’insieme R esiste un sottoinsieme non vuoto, detto dei numeri positivi, R+, i cui elementi
soddisfano le seguenti proprietà:

1. Chiusura di R+ rispetto all’addizione e alla moltiplicazione
a, b  R+ a + b  R+ e ab  R+

2. Tricotomia a  R+ oppure –a  R+ oppure a=0

Da questi assiomi discendono molte considerazioni che ci sembrano ovvie:

- I numeri  0 che non sono positivi si dicono negativi (a è negativo perché –a  R+)

Si scrive a > 0 per i numeri positivi e a < 0 per quelli negativi.
Inoltre si potrà scrivere a > b quando a + (-b) = a – b è positivo
oppure a < b quando a – b è negativo.
In particolare a < 0 significa –a > 0.

Si scrive anche a  0 quando a è positivo o nullo.

- abeab a=b

- Il prodotto di due numeri negativi è positivo (regola dei segni)

�� < 0 �� < 0 �� > 0

�� < 0 �� < 0 �� − �� > 0 �� − �� > 0
�� ′ �� + �� – �� −�� > 0
�� – �� −�� = ��,
�� à �� ′ �� – ��
�� ′ ��è �� .
��

�� + – �� = ��à �� − �� = 0 �� = 0

−�� −�� + −�� = ��à −�� −�� + �� = −�� 0 = 0



- Il numero 1 è positivo ( e quindi N)

- Valgono tutte le usuali regole di calcolo per le disequazioni.

NOTA. INTERVALLI NUMERICI in R (sottoinsiemi di R)

- ��; �� = �� ∈ ��: �� ≤ �� ≤ ��
- ��; �� = �� ∈ ��: �� < �� < ��
- ��; �� = �� ∈ ��: �� < �� ≤ ��
- ��; �� = �� ∈ ��: �� ≤ �� < ��
- −∞; �� = �� ∈ ��: �� ≤ ��
- −∞; �� = �� ∈ ��: �� < ��
- ��; +∞ = �� ∈ ��: �� ≥ ��
- ��; +∞ = �� ∈ ��: �� > ��
- −∞; +∞ = ��
- ��; �� = = ∅

 ASSIOMA DI COMPLETEZZA (o di continuità)

Tale assioma esprime la proprietà di “continuità” dei numeri reali, cioè l’idea che ci siano
abbastanza numeri per rappresentare grandezze che variano con continuità, quali, ad
esempio, tempo e posizione.

Dapprima procediamo con alcune definizioni.

DEFINIZIONE (insieme limitato superiormente)
Sia A  R, A è limitato superiormente se esiste M  R tale che M  a per ogni a  A.
M è detto maggiorante dell’insieme A.

DEFINIZIONE (insieme limitato inferiormente)
Sia A  R, A è limitato inferiormente se esiste m  R tale che m  a per ogni a  A.
M è detto minorante dell’insieme A.

DEFINIZIONE (insieme limitato)
Sia A  R, A è limitato se lo è superiormente e inferiormente. In tal caso è sempre possibile
trovare un numero reale positivo k tale che |a|  k per ogni a  A.

DEFINIZIONE (massimo di un insieme)
Sia A  R limitato superiormente, si dice che A ha un massimo se esiste un maggiorante
che appartiene ad A, cioè
M maggiorante di A e M  A  M = max A



DEFINIZIONE (minimo di un insieme)
Sia A  R limitato inferiormente, si dice che A ha un minimo se esiste un minorante che
appartiene ad A, cioè
m minorante di A e m  A  m = min A

NOTA.

Non tutti gli insiemi limitati hanno un min e max.

L’intervallo ]0; 1[, ad esempio, non ha massimo o minimo.

��−1
Consideriamo l’insieme �� = �� ∈ �� ∶ �� = , �� ∈ �� . Esso non ha massimo, poiché tutti i
��
maggioranti sono numeri maggiori o al più uguali ad 1, ma non appartengono ad A dato
��−1
che non sono esprimibili tramite una espressione ��
che rappresenta una frazione più
piccola di 1.

E’ naturale però considerare il numero 1 come quello che può giocare il ruolo del
massimo, pur non essendolo. Per questo si introduce un nuovo concetto , cioè quello di
estremo superiore ed inferiore di un insieme.

DEFINIZIONE (estremo superiore ed inferiore di un insieme)
Sia A  R non vuoto, il numero reale S si dice estremo superiore di A e si indica con
S = sup A se
- S è un maggiorante per A
-   > 0 S- non è maggiorante di A ( piccolo a piacere)

Analogamente, il numero reale I si dice estremo inferiore di A e si indica con I = inf A se
- I è un minorante per A
-   > 0 I+ non è un minorante di A ( piccolo a piacere)

OSSERVAZIONI

 Se sup A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche massimo
 Se inf A esiste ed esso appartiene ad A allora è anche minimo
 Se il sup A esiste allora esso è il minimo dell’insieme dei maggioranti (il più piccolo dei
maggioranti)
 Se il inf A esiste allora esso è il massimo dell’insieme dei minoranti (il più grande dei
minoranti)
 Se A non è superiormente limitato allora di definisce sup A = +
 Se A non è inferiormente limitato allora di definisce inf A = -



TEOREMA

Se A ammette sup allora esso è unico. (esiste un analogo teorema per l’estremo inferiore)

Dimostrazione (per assurdo): supponiamo per assurdo che esistano due sup distinti per A,
indicati con S e T.
Allora non può essere che S < T poiché T non sarebbe sup, così come T < S non può essere
poiché S non sarebbe sup.
Pertanto T=S (tricotomia)

��−1
Es. �� = �� ∈ �� ∶ �� = ��
, �� ∈ �� Verifichiamo che sup A = 1

��−1 ��−1
 1 è un maggiorante per A dato che �� = ��
<1 ��
<1 ⟹
�� − 1 − �� −1
⇒ <0 ⇒ < 0 ��!
��
 ∀�� > 0 1 − �� è �� , ��è �� ∈ ��
�� − 1
�� 1 − �� < ��, �� 1 − �� <
��
�� 1 − �� < �� − 1 ⟹ �� − �� − �� + 1 < 0 ⟹
1 1
⟹ 1 < �� ⟹ �� > ⟹ �� = + 1
��
= ��

DEFINIZIONE (insiemi separati)
Due sottoinsiemi non vuoti A e B  R si dicono separati se si ha a  b aA, bB

Es. ]-; 0] e [0; +[ [0; 1[ e [2; 3] [-2; -1] e N {0} e {3}

L’insieme dei maggioranti (o minoranti) di A ed A stesso sono separati

ASSIOMA DI COMPLETEZZA
Per ogni coppia A e B di sottoinsiemi non vuoti di R e separati, esiste almeno un elemento
separatore, cioè un numero reale  tale che a    b aA, bB

Questo assioma significa che è sempre possibile interporre un numero reale tra gli
elementi di due insiemi separati. “Tutti i buchi possono essere riempiti”.

Dall’assioma di completezza discende il teorema seguente.


TEOREMA
Sia A  R non vuoto e limitato superiormente, allora esiste S = sup A

(Questo teorema è di ampio uso e talvolta è considerato come il vero assioma dei numeri
reali. E’ ovvio che esista un analogo teorema per l’estremo inferiore)

Dimostrazione:

Se A è limitato superiormente allora l’insieme dei maggioranti, ℳ�� ≠ ∅
Per definizione di A e ℳ�� sono separati. Per l’assioma di completezza deve allora esistere un
numero reale S tale che a  S  b aA, ∀�� ∈ ℳ�� .
Tale elemento è il sup A
Infatti esso è un maggiorante per A e >0 S- non è un maggiorante per A, dato che se
lo fosse non sarebbe soddisfatta la disuguaglianza S  S- contrariamente alla conclusione
dell’assioma di completezza.
L’unicità del sup garantisce la conclusione.

�� 2 + 5��+1
Esercizio 3 Determinare inf e sup di �� = �� ∈ �� ∶ �� = , �� ∈ ��
�� 2

S. Dapprima poniamoci la domanda se A è limitato, ovvero se esiste un numero
�� 2 + 5��+1
kR per cui < ��.
�� 2

�� 2 + 5��+1 �� 2 + 5��+1
Essendo l’espressione �� 2
positiva possiamo scrivere solo �� 2
< �� ⟹

5 ∓ 21 + 4��
⟹ 1 − �� 2 + 5�� + 1 < 0 ⟹ ��1,2 =
2 �� − 1

5 + 21+4��
Scegliendo k>1 la disequazione sopra è soddisfatta per �� > >0
2 ��−1

5 + 29
Pertanto basta scegliere, ad esempio k = 2 per avere �� > ~ 5,2
2

Ciò significa che tutti gli elementi di A con n  6 soddisfano la condizione | | < k.

Quindi possiamo concludere che l’insieme A è limitato poiché tutti i suoi elementi
sono sempre inferiori ad un valore unico, che in base alle considerazioni sopra
può essere preso come 2 + max{x1, x2, x3, x4, x5}.



Ora troviamo gli estremi di A.

Come si può procedere? Una possibilità è quella di verificare se gli elementi di A
sono ordinabili (in senso decrescente o crescente).

Per far ciò vediamo se xn+1  xn (ovviamente si può partire anche dalla
disuguaglianza di verso contrario ).

Esplicitando xn+1 e xn si ottiene:

��+1 2 + 5 ��+1 +1 �� 2 + 5��+1 �� 2 + 7��+7 �� 2 + 5��+1
��+1 ≤ �� ⟹ ≤ ⟹ ≤ ⟹
��+1 2 �� 2 ��+1 2 �� 2

⟹ ��2 + 7�� + 7 ��2 ≤ ��2 + 5�� + 1 ��2 + 2�� + 1 ⟹ 5��2 + 7�� + 1 ≥ 0 ⟹

−7 ± 29
⟹ ��1,2 = ⟹ �� è ��
10
−7 − 29 −7 + 29
�� < ⋁ �� >
10 10
−7+ 29
Poiché 10
è una quantità negativa abbiamo il risultato che per ogni nN è
vero che ��+1 ≤ �� e quindi gli elementi di A sono ordinati in senso decrescente !

Da questo si deduce subito che sup A = x1 = 7. Tale sup è anche massimo.

Per l’estremo inferiore speculiamo per n  + (cioè per n molto grande): osserviamo
che il numeratore e denominatore nell’espressione di xn tendono a confondersi nel
loro valore, cioè che xn tende ad avvicinarsi al valore 1.

Quindi ipotezziamo che inf A = 1.

Verifichiamo tale ipotesi sulla base della definizione di inf:

�� 2 + 5��+1
- 1 è �� ⟹ �� ≥ 1 ∀�� ∈ �� ⟹ �� 2
≥ 1 ��!
Perchè il numeratore maggiore del denominatore ∀n ∈ ��

- ∀�� > 0 1 + �� è �� , ��è ��
�� < 1 + ��
��2 + 5�� + 1
�� < 1 + �� ⟹ < 1 + �� ⟹ ��2 − 5�� − 1 > 0 ⟹
��2
5 − 25 + 4�� 5 + 25 + 4��
⟹ �� < ⋁ �� >
2�� 2��
5 + 25 + 4��
��è �� è ��
2��
è �� + 1 ��
�� .



Esercitazione 3 Determinare l’inf e il sup del seguente insieme:

�� 2��−1
 �� = �� ∈ �� ∶ �� = −1 ��
, �� ∈ �� . �� = −2 �� = 2

OSSERVAZIONE: L’INSIEME Q NON E’ COMPLETO !

Consideriamo l’insieme �� = �� ∈ �� ∶ �� ≥ 0, �� 2 < 2

3 3 2
Tale insieme è ovviamente limitato (basta considerare 2 �� 2
> 2) , ma
non ha sup in Q. Supponiamo, per assurdo, che esista q = sup A con q  Q, cioè tale che q sia un
maggiorante per A e che ogni numero razionale inferiore a q non lo sia.

Dimostriamo innanzitutto che un tal numero deve essere necessariamente tale che �� 2 = 2.
Infatti non può essere �� 2 < 2 ��è ��
��
1 1 2 2�� 1 2�� 1 2��+1
�� + ��
∈ �� + ��
= �� 2 + ��
+ �� 2
≤ �� 2 + ��
+ ��
= �� 2 + ��
<2
2�� + 1 2�� + 1
�� < 2 − �� 2 ⟹ �� >
�� 2 − �� 2

2�� + 1
�� 1 ��
2 − �� 2
1
�� + �� è �� è ��
��
�� sup �� .

Ma non può essere neanche �� 2 > 2 dato che prendendo di nuovo un opportuno numero naturale n si
1 1 2
potrebbe avere �� − ��
∈ �� − ��
>2
2
1 2�� 1 2�� 2��
�� − = �� 2 − + 2 > �� 2 − > 2 ⟹ �� > 2
�� − 2
2��
�� 2 �� 1 ��
�� − 2
1
�� − è �� ù ��
��
�� > 2.
�� ò �� .

In conclusione, allora, può essere solo �� 2 = 2. Ma tale numero non esiste in Q, infatti se esistesse si
�� 2
avrebbe �� = ⟹ �� 2 = = 2 ⟹ ��2 = 2 ��2 ⟹ ��2 è �� ⟹ �� è �� ⟹
�� 2
⟹ �� = 2�� 4�� = 2��2 ⟹ 2�� 2 = ��2 ⟹ ��2 è �� ⟹ �� è �� ⟹
2

⟹ �� = 2�� ⟹ … … �� ′ ��
⟹ �� ‼ ��
�� = 2 �� è �� 2, ��



Un’altra proprietà importante dei numeri reali è quella archimedea, in quanto lo rende
utilizzabile per misurare grandezze; tale proprietà è espressa dal seguente teorema.

TEOREMA
∀ ��, �� ∈ ��+ �� < �� , �� ∈ �� > ��

CONCLUSIONE

R è un campo, ordinato, archimedeo e continuo.

APPENDICE A.1 – Sistema ampliato di numeri reali (aritmetica estesa)

Poiché è stato esteso il concetto di sup ed inf anche per i sottoinsiemi di R illimitati, è
possibile pensare di ampliare R con i simboli + e -, nel quale è definito un ordinamento
e un “pseudo” formalismo algebrico, utile per eseguire calcoli.
In particolare:
 −∞ < �� < +∞ ∀�� ∈ ��
 �� + +∞ = +∞ ∀�� ∈ �� + −∞ = −∞ ∀�� ∈ ��
 +∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞
 �� ±∞ = ±∞ ∀�� > 0 �� ±∞ = ∓∞ ∀�� < 0
 ±∞ ±∞ = +∞ ±∞ ∓∞ = −∞
��
 ±∞ = 0 ∀�� ∈ ��

APPENDICE A.2 – Principio d’induzione

Il principio d’induzione è uno strumento prezioso nella dimostrazione logica di affermazioni
che dipendono da indici. Esso discende direttamente dalla definizione dell’insieme dei
numeri naturali, N. Formuliamo il principio tramite il seguente teorema.

TEOREMA
Sia A  N un insieme definito da una certa proprietà p(n), cioè �� = �� ∈ �� ∶ ��(��) .
Se
- p(1) è vera, cioè 1  A
- p(n)  p(n+1) nN, cioè se n  A allora anche n+1  A
Allora
p(n) è vera nN, cioè A = N

Vediamo ora qualche applicazione importante.



Es.

2�� ≤ (�� + 1)! ∀�� ∈ �� ? dove n! = n(n-1)(n-2)…2 1 è il fattoriale

Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema:

 �� = 1 → 21 ≤ 2! ?
2 ≤ 2 ��!

 �� ⟹ �� + 1 ?
�� + 1 → 2��+1 = 2 2�� ≤�� ≤ 2 n+1 ! ≤
��(��)
≤ 2 + �� + 1 ! = n + 2 ! ��!

Es. ��2 ≤ 2�� ∀�� ∈ ��, �� ≥ 4 ?

Per applicare il principio d’induzione trasliamo l’indice n in n+3 così da avere l’affermazione
valida per tutto N: (�� + 3)2 ≤ 2��+3 ∀�� ∈ ��

 �� = 1 → 42 ≤ 24 ?
16 ≤ 16 ��!

 �� ⟹ �� + 1 ?
2 2 2
�� + 1 → �� + 4 = �� + 3 + 1 = �� + 3 + 2 �� + 3 + 1 ≤��
��
2 2
≤ �� + 3 + 2 �� + 3 + �� + 3 = �� + 3 + 3 �� + 3 ≤��
��
≤ �� + 3 2 + �� + 3 �� + 3 = �� + 3 2 + �� + 3 2 =
= 2 �� + 3 2 ≤�� ≤ 2 2��+3 = 2��+4 ��!
��(��)

Es. SERIE GEOMETRICA
��
0 1 2 ��
�� ∈ �� + �� + �� + … + �� = ��
��=0

Se x = 1 la sommatoria si riduce a 1+1+…+1, cioè sommare 1 n+1 volte, dando come risultato
n+1.

�� 1− �� +1
Se x  1 verifichiamo con il principio d’induzione che vale ��=0 �� = 1−��

1 �� 1+�� (1−��) 1− �� 2
 �� = 1 → ��=0 �� = 1 + �� =�� = 1−��
= 1−��
��!

 �� ⟹ �� + 1 ?
��+1 ��
�� +1
�� + 1 → �� = �� + �� =�� =
��=0 ��=0 ��
1− �� +1 �� +1 − �� +2 + 1− �� +1 1− �� +2
= �� +1 + 1−��
= 1−��
= 1−��
��!



Es. DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI (utile per il calcolo dei limiti)
1 + �� ≥ 1 + �� ∀�� ∈ �� ?

Applichiamo il principio d’induzione verificando le due ipotesi del teorema:
1
 �� = 1 → 1 + �� = 1 + �� !

 �� ⟹ �� + 1 ?
��+1 ��
�� + 1 → 1 + �� = 1 + �� 1 + �� ≥�� ≥
��
≥ 1 + �� 1 + �� = 1 + �� + �� + ��2 ≥�� ≥
≥ 1 + �� + �� = 1 + �� + 1 �� !

Esercitazione 4 Verificare tramite il principio d’induzione che valgono le
seguenti affermazioni per ogni nN:

�� (��+1)
 ��=1 �� = 2
��
 ��=1 �� 3 = ��=1 ��
2
��+1 6��+1
 9 + 2 è �� 11

APPENDICE A.2 – Struttura Topologica di R

L’insieme dei numeri reali, oltre a possedere, come abbiamo visto, una struttura algebrica
di campo e una struttura di ordine, possiede una struttura topologica o metrica. Essa si
basa sul concetto d’intorno, che rende l’idea di quanto due o più numeri reali siano
“vicini”.
Procediamo a descrivere i termini in oggetto ponendo delle definizioni.

DEFINIZIONE (intorno)
Si chiama intorno (completo) del numero (o punto) aR, qualunque intervallo aperto del
tipo �� − ��; �� + �� ∈ ��+.
a si dice centro e  semiampiezza o raggio dell’intorno.

Per intorno destro/sinistro, conseguentemente intervalli numerici del tipo
��; �� + �� − ��; ��

Si potrà parlare anche di intorno del punto all’infinito, intendendo indicare intervalli
illimitati del tipo ��; +∞ �� −∞; �� ∈ ��



DEFINIZIONE (punto di accumulazione)
Sia A  R e aR, a è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di a contiene
almeno un punto di A diverso da a stesso, cioè �� − ��; �� + �� ∩ �� ≠ �� ∀�� > 0
Osserviamo che un punto di accumulazione non necessariamente appartiene all’insieme
A.
1
Es. �� = �� ∈ �� ∶ �� = ��
�� ∈ �� = 0 è ��
1
�� ∀�� > 0 −��; �� ∩ �� 0 ≠ ��. �� = + 1 ��
��
1 1 1
�� = < �� < �� ⟹ �� >
��

Osserviamo che 0 è anche l’unico punto di accumulazione per A.

OSSERVAZIONI:

 Si chiama insieme derivato di A l’insieme dei suoi punti di accumulazione
A’ = {xR : x pt di accumulazione per A}

 La definizione di punto di accumulazione è equivalente richiedere che ogni intorno di a abbia
infiniti punti di A.

 Se A contiene un numero finito di punti allora non ha punti di accumulazione.

 Ogni insieme limitato e infinito A  R ammette almeno un punto di accumulazione (Teorema di
Bolzano)

DEFINIZIONE (punto isolato)
Sia A  R e aA non di accumulazione, a si dice isolato, ovvero esiste almeno un intorno
di a che non contiene punti di A diversi da a.

DEFINIZIONE (punto interno)
Sia A  R e aA, a si dice interno ad A se esiste un intorno di a tutto contenuto in A, cioè
tutti i suoi punti appartengono ad A.
A

a

DEFINIZIONE (punto esterno)
Sia A  R e aR, a si dice esterno ad A se esiste un intorno di a che ha intersezione vuota
con A, cioè tutti i suoi punti non appartengono ad A.
A
a



DEFINIZIONE (punto di frontiera)
Sia A  R e aA, a si dice di frontiera per A se ogni intorno di a contiene punti che
appartengono d A e punti che non vi appartengono.
A

a

Ovviamente un punto è sempre caratterizzato come interno, esterno o di frontiera rispetto
ad un insieme.
DEFINIZIONE (insieme aperto)
Sia A  R, esso è aperto se non contiene alcun punto di frontiera, cioè ogni suo punto è
interno.

DEFINIZIONE (insieme chiuso)
Sia A  R, esso è chiuso se contiene anche la sua frontiera.

OSSERVAZIONI:

 Se A è aperto allora RA è chiuso e viceversa.

 R e  sono contemporaneamente aperti e chiusi.

 Un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi eventuali punti di accumulazione :
�� = �� = �� ∪ ��′ �� ′ è ��

Es.

 ]0, 1[ è un insieme aperto
 ]0, 1] né aperto né chiuso
 [0, 1] chiuso
1
 �� = ��
�� ∈ �� è �� è �� ; ��
�� .
1 1
�� = �� ≤ ��
�� + 1
�� ′ �� − ��, �� + �� , ��
1 1 1
− =
�� + 1 ��(�� + 1)


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