Salah satu materi kuliah Aljabar Elementer dengan kode mata kuliah PMAT 4133 (4 SKS) - Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. C
SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DUA
VARIABEL

2. Pengertian Sistem Persamaan Linear DuaVariabel
Misalkan diketahui persamaan x + y = 5 dan 2x – y = 4. Pada kedua
persamaan itu, jika x diganti dengan 3 dan y diganti dengan 2,
diperoleh:
x + y = 3 + 2 = 5 merupakan kalimat benar
2x – y = 2(3) – 2 = 4 merupakan kalimat benar
Ternyata, pengganti x = 3 dan y = 2 memenuhi persamaan x + y = 5
maupun 2x – y = 4. Jadi, kedua persamaan itu mempunyai penyelesaian
yang sama.
Dalam hal ini, x + y = 5 dan 2x – y = 4 disebut sistem persamaan linear
dua variabel (SPLDV), karena memiliki penyelesaian yang sama.

3. Sistem persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dengan dua
cara yaitu:
1. x + y = 5 dan 2x – y = 4
2.
x + y = 5
2x − y = 4

4. Perbedaan Persamaan dan Sistem Persamaan
Linear DuaVariabel
Persamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang tak
berhingga banyaknya, sedangkan sistem persamaan linear dua
variabel pada umumnya hanya mempunyai satu pasangan nilai
sebagai penyelesaiannya.
PLDV adalah sebuah persamaan yang mandiri, artinya
penyelesaian PLDV itu tidak terkait dengan PLDV yang lain,
sedangkan SPLDV terdiri dari dua PLDV yang saling terkait, dalam
arti penyelesaian dari SPLDV harus sekaligus memenuhi kedua
PLDV pembentuknya.

5. Tunjukkan perbedaan antara persamaan-persamaan berikut:
x + y = 7 dengan
x + 2y = 8
2x + 3y = 13
Jawab:
(i) Persamaan x + y = 7 memiliki banyak penyelesaian, misalnya:
x = 0 dan y = 7, x = 1 dan y = 6, x = 2 dan y = 5, dan seterusnya.
Persamaan x + y = 7 adalah persamaan linear dua variabel.

6. (ii) Pada persamaan x + 2y = 8 dan 2x + 3y = 13 kita substitusikan x
dengan 2, dan y dengan 3 diperoleh:
x + 2y = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8 (benar)
2x + 3y = 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 (benar)
Karena persamaan x + 2y = 8 dan 2x + 3y = 13 memiliki satu
penyelesaian yang sama yaitu x = 2 dan y = 3, maka kedua
persamaan itu disebut sistem persamaan linear dua variabel.

7. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Substitusi berarti memasukkan atau menempatkan suatu
variabel ke tempat lain. Hal ini berarti, metode substitusi
merupakan cara untuk mengganti satu variabel ke variabel lainnya
dengan cara mengubah variabel yang akan dimasukkan menjadi
persamaan yang variabelnya berkoefisien satu.

8. Tentukan penyelesaian sistem persamaan 3x – y = 10 dan x – 2y = 0
dengan metode substitusi.
Jawab:
Cara 1: Mengganti (mensubstitusi) y
Untuk mengganti y, kita nyatakan salah satu persamaan dalam
bentuk y dalam x.

9. Persamaan 3x – y = 10 dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.
3𝑥 − 𝑦 = 10
 −𝑦 = 10 − 3𝑥
 𝑦 =
10−3𝑥
−1
 𝑦 = 3𝑥 − 10
Pada persamaan x – 2y = 0 gantilah y dengan 3𝑥 − 10, diperoleh:

10. 𝑥 − 2𝑦 = 0
 𝑥 − 2(3𝑥 − 10) = 0
 𝑥 − 6𝑥 + 20 = 0
 −5𝑥 + 20 = 0
 −5𝑥 = −20
 𝑥 =
−20
−5
 𝑥 = 4

11. Kemudian substitusikan x = 4 pada persamaan 𝑦 = 3𝑥 − 10,
diperoleh:
𝑦 = 3𝑥 − 10
𝑦 = 3(4) − 10
𝑦 = 12 − 10
𝑦 = 2
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4 dan y = 2.

12. Cara 2: Mengganti (mensubstitusi) x
Untuk mengganti x , kita nyatakan salah satu persamaan dalam
bentuk x dalam y.
Persamaan 3x – y = 10 dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.
3𝑥 − 𝑦 = 10
 3𝑥 = 10 + 𝑦
 𝑥 =
10 + 𝑦
3
Pada persamaan x – 2y = 0 gantilah x dengan
10 + 𝑦
3
, diperoleh:

13. 𝑥 − 2𝑦 = 0
 (
10 + 𝑦
3
) − 2𝑦 = 0

10 + 𝑦−6𝑦
3
= 0
 10 + 𝑦 − 6𝑦 = 0
 −5𝑦 = −10
 𝑦 =
−10
−5
 𝑦 = 2

14. Kemudian substitusikan y = 2 pada persamaan 𝑥 =
10 + 𝑦
3
,
diperoleh:
𝑥 =
10 + 𝑦
3
𝑥 =
10 + 2
3
𝑥 =
12
3
𝑥 = 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4 dan y = 2.

16. Mengeliminasi variabel x, diperoleh:
2𝑥 + 𝑦 = 5 × 3  6𝑥 + 3𝑦 = 15
3𝑥 − 2𝑦 = 11 × 2  6𝑥 − 4𝑦 = 22
7𝑦 = −7
𝑦 = −1

17. Mengeliminasi variabel y, diperoleh:
2𝑥 + 𝑦 = 5 × 2  4𝑥 + 2𝑦 = 10
3𝑥 − 2𝑦 = 11 × 1  3𝑥 − 2𝑦 = 11
7𝑥 = 21
𝑥 = 3
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = -1.

18. 1. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari
persamaan 2x + 4y = 8 untuk x  {0, 1, 2, 3, 4, 5}
dan y  bilangan bulat.
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan 2x – 3y = -13 dan x + 2y = 4.

21. Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian sistem persamaan
x + y = 6 dan 2x – y = 0 untuk x, y  R.
Jawab:
Untuk memudahkan dalam melukis grafik dari masing-masing
persamaan dapat, dibuat tabel berikut:

22. x + y = 6
x y (x,y)
0 6 (0,6)
1 5 (1,5)
6 0 (6,0)
2x – y = 0
x y (x,y)
0 0 (0,0)
1 2 (1,2)
3 6 (3,6)

23. Grafik dari sistem persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar
berikut:
X
Y
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
(6,0)
(1,2)
(2,4)
(1,5)
(3,6)
(0,6)
x + y = 6 2x – y = 0
Koordinat titik potong kedua
persamaan adalah (2,4). Jadi,
penyelesaiannya adalah x = 2 dan y =
4.
Karena grafik-grafik saling
berpotongan disatu titik dan sistem
persamaanya mempunyai satu solusi
maka sistem persamaan linear dua
tersebut juga disebut dengan sistem
persamaan yang konsisten dan saling
lepas.

24. Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian sistem persamaan
x + y = 3 dan x + y = 7.
Jawab:
Untuk memudahkan dalam melukis grafik dari masing-masing
persamaan, dapat dibuat tabel berikut:
x + y = 3
x y (x,y)
0 3 (0,3)
3 0 (3,0)
x + y = 7
x y (x,y)
0 7 (0,7)
7 0 (7,0)

25. Grafik SPLDV seperti pada gambar
disamping, termasuk dalam
persamaan yang tidak konsisten,
karena garisnya saling sejajar. Hal ini
berarti sistem persamaan tersebut
tidak mempunyai solusi dan HP-nya
adalah Ø atau { }.
X
Y
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
(7,0)
(0,3)
(3,0)
(0,7)
x + y = 7
x + y = 3
Grafik dari sistem persamaan tersebut
ditunjukkan pada gambar berikut:

26. Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian sistem persamaan
y = 2x + 1 dan 3y – 6x = 3
Jawab:
Untuk memudahkan dalam melukis grafik dari masing-masing
persamaan, dapat dibuat tabel berikut:
y = 2x + 1
x y (x,y)
0 1 (0,1)
1 3 (1,3)
3y – 6x= 3
x y (x,y)
0 1 (0,1)
1 3 (1,3)

27. Karena grafik persamaan disamping
berimpit maka sistem ini disebut
dengan sistem yang saling tergantung.
Oleh karena itu, solusinya adalah
semua titik pada garis tersebut, dan
HP-nya adalah:
HP = {(x,y)  y = 2x + 1, x  R dan y  R}X
Y
-2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
(1,3)
(0,1)
3y – 6x = 3
y = 2x + 1
Grafik dari sistem persamaan tersebut ditunjukkan pada gambar
berikut:

28. Sistem Persamaan Linear DuaVariabel dengan
Pecahan
Dalam sistem persamaan, jika pada salah satu atau kedua
persamaan terdapat pecahan, maka persamaan yang
mengandung pecahan itu harus dijadikan persamaan lain yang
ekuivalen tetapi tidak lagi mengandung pecahan. Pengubahan
itu dapat dilakukan dengan cara mengalikan setiap persamaan itu
dengan KPK dari bilangan penyebut masing-masing pecahan.
Setelah persamaan-persamaannya tidak lagi memuat pecahan
maka bisa diselesaikan dengan salah satu metode yang telah
dipelajari.

29. Tentukan penyelesaian sistem persamaan
𝑥+2
2
− 3𝑦 = 12 dan
2𝑥
3
+
2𝑦−1
2
= −
5
6
.
Jawab:
𝑥+2
2
− 3𝑦 = 12
 2
𝑥+2
2
− 2(3𝑦) = 2 × 12 kedua ruas dikalikan 2
 𝑥 + 2 − 6𝑦 = 24

30.  𝑥 + 2 − 6𝑦 − 2 = 24 − 2 kedua ruas dikurang 2
 𝑥 − 6𝑦 = 22 ....................(1)
2𝑥
3
+
2𝑦 − 1
2
= −
5
6
 6
2𝑥
3
+ 6
2𝑦−1
2
= 6 × −
5
6
kedua ruas dikalikan 6
 2(2𝑥) + 3 2𝑦 − 1 = −5
 4𝑥 + 6𝑦 − 3 = −5
 4𝑥 + 6𝑦 − 3 + 3 = −5 + 3 kedua ruas dikurang 3
 4𝑥 + 6𝑦 = −2 .................(2)

31. 𝑥 = 4 substitusi ke persamaan (1)
𝑥 − 6𝑦 = 22
4 − 6𝑦 = 22
4 − 6𝑦 − 4 = 22 − 4
−6𝑦 = 18
𝑦 =
18
−6
𝑦 = −3
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
(1) 𝑥 − 6𝑦 = 22
(2) 4𝑥 + 6𝑦 = −2
5𝑥 = 20
𝑥 =
20
5
𝑥 = 4
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 4 dan y = -3

32. Penerapan Sistem Persamaan Linear DuaVariabel
Sebuah agen perjalanan bus antar kota menjual tiket untuk kelas
ekonomi dan kelas eksekutif untuk jurusan kota A. Harga tiket
ekonomi Rp50.000,00 dan harga tiket eksekutif Rp110.000,00.
Suatu hari, agen perjalanan itu dapat menjual 34 buah tiket
dengan hasil penjualan sebesar Rp2.600.000,00. tentukan banyak
masing-masing tiket yang terjual pada hari itu!

33. Misalkan:
Banyak tiket ekonomi yang terjual = x buah
Banyak tiket eksekutif yang terjual = y buah
Banyak tiket yang terjual seluruhnya: x + y = 34
Jumlah hasil penjualan tiket: 50.000x + 110.000y = 2.600.000
Sistem persamaannya adalah:
x + y = 34 dan 50.000x + 110.000y = 2.600.000

34. Eliminasi variabel x:
𝑥 + 𝑦 = 34
50.000𝑥 + 110.000𝑦 = 2.600.000
50.000𝑥 + 50.000𝑦 = 1.700.000
50.000𝑥 + 110.000𝑦 = 2.600.000
−60.000𝑦 = −900.000
𝑦 =
−900.000
−60.000
𝑦 = 15
Jadi, banyak tiket ekonomi yang terjual adalah 19 dan banyak tiket
kelas eksekutif yang terjual adalah 15
𝑥 + 𝑦 = 34
𝑥 + 15 = 34
𝑥 = 34 − 15
𝑥 = 19

35. Jumlah uang Andre ditambah tiga kali uang Aril
adalah Rp64.000,00, sedangkan dua kali uang
Andre ditambah empat kali uang Aril adalah
Rp100.000,00. T entukan besar uang Andre dan
Aril.