1. VALJAK I KUPA
• Valjak ili cilindar je konveksno • Kupa je geometrijsko telo. Može se
geometrijsko telo. Može se definisati definisati kao geometrijsko mesto tačaka
pomoću jedne kružnice i duži u koje čini sve duži između kružnice, koja
prostoru. Ukoliko se jedno teme date se nalazi u jednoj ravni, i tačke, koja se
duži postavi u centar date kružnice, a nalazi izvan te ravni.
kružnica neprekidno umnožava duž nje,
dobijeno telo će biti upravo valjak T
n
s
r
c=l
h=H
h
b=r
O

2. ELEMENTI VALJKA I KUPE
s n
r
H c= =H
b=

3. VALJAK
• Karakterističan deo površini valjkastih tela je takozvana
cilindrična ili valjkasta površ.
• Telo ograničeno delom cilindrične površi i sa dva kruga
normalna na osu ove površi, naziva se prav valjak ili
cilindar.
• Deo cilindrične površi koji pripada valjku je omotač
valjka, a dva kruga su osnove ili baze valjka.

4. Primer 1.
1
• Pravougaonik stranica a = dm i b = 6 cm obrće se oko
stranice a) b); b) a).
• Odredi prečnik osnove i visinu valjka, koji se dobija ovim
obrtanjem.

5. Rešenje.
• a) Prema slici levo, visina je stranica b, tj. H = 6
cm. Poluprečnik osnove je stranica a, pa je prečnik
2r = 2a = 2 dm.
• b) H = 10 cm i 2r = 12 cm.

6. POVRŠINA VALJKA
• Možemo ceo valjak “ispraviti” u ravan i dobićemo mrežu
valjka.

7. Formule
• Površina valjka: P = 2B + M
• Površina osnove valjka: P = r2π
• Površina osnove valjka: P = 2rπH
• Prema tome, površina valjka je:
2
P = r2π + 2rπH
Ili
2
P = r π(r + H)
• Površina ravnostranog valjka: P = 6r2π

8. Primer 2.
• Kvadrat stranice 5 cm obrće se oko jedne svoje stranice.
Kolika je površina dobijenog valjka? Broj π računaj na dve
decimale.
• Rešenje. Poluprečnik osnove je r = 5 cm, koliko i visina H,
što se jasno vidi na slici dole. Prema tome, P = 2r2π + 2rπH
= 2 · 52 · 3,14 + 2 · 5 · 3,14 · 5 = 100 · 3,14 cm2 = 314 cm2.

9. ZAPREMINA VALJKA
• Valjak je telo slično prizmi. Zapremina valjka se
računa po formuli koja važi za prizmu:
V=B·H
• Zapremina valjka: V = r2πH
• Zapremina ravnostranog valjka: V = 2r³π

10. Primer 3.
• Izračunaj zapreminu valjka kome je prečnik osnove 20 cm
i visina 50 cm. (Računaj π = 3,14).
• Rešenje. Poluprečnik osnove je r = 10 cm, pa je zapremina
V = r2πH = 102 · 3,14 · 50 cm³ = 15 700 cm³ = 15,7 dm³.

11. KUPA
• Tačka A opisuje kružnu
liniju sa centrom O .
• Svaka tačka hipotenuze AS
opisuje kružnu liniju sa
centrom na duži SO.
• Na taj način kateta AO
opiše krug,a hipotenuza
AS opise oblu površ-
KONUSNU POVRŠ sa
vrhom S i osom OS.

12. Prava kupa je oblo telo koje je ograničeno jednim krugom
i delom konusne površi,između tog kruga i vrha.Pritom je
osa konusne površi normalna na ravan kruga i prolazi
kroz centar kruga.
H:x=r:r₁ ; B= r2π ; Q=k2 B
Osni presek kupe je jednakokraki trougao površine
Q=r ·H
Ravnostrana kupa je kupa kojoj je osni presek
jednakostranični trougao.
S=2r H=r √3

13. Primer 1:Osni presek kupe je trougao u kome je 1
unutrasnji ugao 120,a visina 5dm.Odredi izvodnicu I
poluprecnik osnovice.
Prikazan je osni
presek.U
pravouglom trouglu
AOS kateta
OS=H=5dm je
polovina
hipotenuze
AS=s.Dakle,AS=10d
m =2H,a
poluprecnik osnove
je r=AO=SO₃=53

14. POVRŠINA KUPE
• P=B + M
• B= r2π
• M=Pi M=πrs
• Odnosno, P= r2π+πrs
ili P=πr(r+s)

15. Primer 2:Jednakokraki trougao PQR,osnovice
PQ=16cm I kraka 2dm se obrće oko svoje
simetrale.Odredi površinu omotača ove kupe.
• Izvodnica kupe je krak trougla,s=20cm,a
poluprečnik osnove je r=PQ:2=8cm.
• Površina omotača je: M=πrs=502,4 cm2

16. ZAPREMINA KUPE
Zapremina kupe se računa po istoj formuli kao i
zapremina za piramidu.
V=(BH):3
ili
V =1/3. r²π ·H

17. Primer 3:Izračunaj V kupe kojoj je prečnik osnove
12cm i visina 25 cm.
• Poluprečnik osnove je r=6cm
• Tražena zapremina je V=(r2πH) :3
V=942 cm
Marta Marjanović
Sofija Čabarkapa