Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
2. Vamos Começar?
A trigonometria é utilizada em várias áreas, como a engenharia civil,
naval, elétrica, de telecomunicações e na astronomia. E no dia a dia de
profissionais como costureiras, eletricistas, mestre de obras. Por isso,
nesta aula, estudaremos a trigonometria do triângulo retângulo, pois ela
nos permitirá realizar facilmente cálculos como:
- altura de um prédio através de sua sombra;
- distância a ser percorrida em uma pista circular de atletismo;
- largura de rios, montanhas etc.
No curso de telecomunicações estuda-se muito eletricidade e sinais
digitais. Logo, você terá de lidar com potências elétricas, não é mesmo?
Mas,
então,
trigonometria?
qual
será
a
relação
entre
eletricidade,
potência
e
3. Já aconteceu de estar assistindo sua TV e quando é ligado um motor elétrico
(liquidificador, secador de cabelo ) a TV ficar com ruídos na imagem? Pois é,
esta é uma amostra das interferências que acontecem a rede elétrica recebe
cargas muito elevadas.
É aí que entra a trigonometria. Então, vamos ver essa aula para entender
melhor como isso funciona?
5. Observe os triângulos retângulos na figura, nos quais AB // MN // PQ // RS
B
5
N
5
Q
10
12
9
6
C
8
P
4
M
4
A
O Teorema de Tales nos garante que os triângulos formados são semelhantes:
ABC ~ MNC
~ PQC
6. Podemos então, estabelecer três importantes razões:
1. Razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo α e a medida da hipotenusa
PQ = _6 = 3
QC 10
5
MN = _9 = 3
NC 15
5
15
10
6
9
As razões encontradas são
AB = 12 = 3
BC 20
5
constantes 3
20
5
12
e são chamadas de
seno de α
7. O Teorema de Tales nos garante que, para um triângulo retângulo qualquer,
sendo C um ângulo agudo de medida α, podemos escrever:
B
B1
A
A1
C
Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo
agudo é a razão entre a medida do cateto oposto
a esse ângulo e a medida da hipotenusa:
sen=
cateto oposto a
hipotenusa
=
A1 B1
B1 C
AB
=
BC
8. 2. Razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo α e a medida da hipotenusa
CP = _8 = 4
QC 10
5
CM = 12 = 4
NC 15
5
10
8
15
12
As razões encontradas são
CA = 16 = 4
BC 20
5
constantes 4
20
5
e são chamadas de
16
cosseno de α
9. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um
ângulo agudo é a razão entre a media do cateto
adjacente a esse ângulo e a medida da
hipotenusa:
A
B
C
10. 3. Razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo α.
QP = 6
PC 8
=3
4
NM = 12
MC 15
=3
4
6
12
8
15
As razões encontradas são
constantes 3
BA = 12 = 3
AC 16
4
12
16
4
e são chamadas de
tangente de α
11. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um
ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto
oposto e a medida cateto adjacente a esse
ângulo.
A
B
C
12. Podemos verificar que dada as definições de
seno e cosseno de um ângulo, também
podemos escrever a relação da tangente como:
13. Alguns ângulos, por aparecerem com muita freqüência nos problemas de
trigonometria são chamados de ângulos notáveis. São eles: 30 , 45 e 60 .
Para facilitar a consulta, colocaremos os valores das razões trigonométricas
desses ângulos em uma tabela.
α
30°
45°
60°
sen α
1
_
2
2
_
2
3
_
2
cos α
tg α
3
_
2
2
_
2
1
1
_
2
14. Esses valores da tabela são obtidos a partir das relações trigonométricas dos
triângulos retângulos obtidos pela diagonal do quadrado (45°) e pela
divisão do triângulo equilátero (30° e 60°) como você pode conferir nas
próximas figuras.
45°
l
l
45°
l
15. E no triângulo eqüilátero, temos:
A
30° 30°
l
l
h
60°
B
60°
H
l
C
2
Depois, é só aplicar as razões trigonométricas nos catetos
e hipotenusa para obter os valores da tabela.
Experimente!
16. Assista ao vídeo explicativo
mostrando problemas práticos
envolvendo a trigonometria e suas
soluções.
https://www.youtube.com/watch?v=HkTlT5oN8g8
17. Os problemas em trigonometria
também podem envolver outros
ângulos. E, para isso, podemos
consultar uma tabela
trigonométrica ou utilizar uma
calculadora científica.
Também usamos as tabelas e
calculadoras para fazer o caminho
inverso: dado o valor do cosseno ou
seno, qual o valor do ângulo?
Na calculadora, isso se faz com as
teclas das funções inversas arcsen
(ou sin-¹), arccos (ou cos-¹) e arctg
(tan-¹).
19. Outras relações entre seno e cosseno:
O seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do complemento desse ângulo e
vice-versa.
Essas propriedades podem ser facilmente
verificadas no triângulo retângulo. Experimente!
20. E a relação entre a eletricidade e a trigonometria, como fica?
A trigonometria é a base do estudo teórico da eletricidade e uma
das relações aonde isso aparece é a do fator de potência.
Mas...
O que é fator de potência?
21. E a relação entre eletricidade, potência e trigonometria sobre a
qual falamos anteriormente, como fica?
A trigonometria está na base do estudo teórico da eletricidade e um
exemplo disso é o fator de potência.
Mas...
O que é fator de potência?
22.
23. Nas instalações elétricas, é considerado
bom um fator de potência maior ou igual
a 0,85 ou 85% porque, quanto menor o
fator de potência, maior a corrente. Se o
fator de potência não for adequado,
haverá perdas por aquecimento e
desgaste nas instalações.
Matematicamente, o fator de potência é a relação entre a
potência real e a potência aparente e é o valor do cos α no
triângulo retângulo.
24. Analise prática do fator de potência.
Nos sistemas em que o cos ϕ é reduzido a baixos valores, a corrente nos
condutores não é toda aproveitada como seria desejável.
Vejamos um caso concreto:
Imaginemos duas fábricas consumindo a mesma potência de 400 kW a
uma tensão de 5 KV (quilo volt= 1000volts) mas com fatores de potência
distintos:
cos ϕ na fábrica 1 = 1
e cos ϕ na fábrica 2 = 0,5.
Ao fim de igual tempo de funcionamento, os dois sistemas terão consumido
a mesma energia. Calculemos as correntes utilizadas por cada um:
P = U.I . cos ϕ
Onde:
P= potência
U= tensão
I = corrente elétrica
cos ϕ = fator de potência
Fábrica 1 :
I1 = P1 / (U1 . cos ϕ1) = 400 / (5x 1) = 80 A
Fábrica 2 :
I2 = P2 / (U2 . cos ϕ2) = 400 / (5x 0,5) = 160 A
25. Na segunda instalação, para a mesma
potência, há necessidade do dobro da
intensidade de corrente da primeira
Isso traz consequências tanto para produtores como para consumidores. Dessa
forma produtores e distribuidores de energia terão de dispor de alternadores com
potências mais elevadas para poderem fornecer a corrente, o que provocará um
dimensionamento de toda a aparelhagem, linhas de transporte e distribuição
para maiores intensidades.
Logo, em relação aos sistemas, é melhor disporem de um elevado fator de
potência porque, se isso não ocorrer, terão de superdimensionar a
aparelhagem de proteção, o que resultará em maiores custos.
26. Veja outro exemplo
O gráfico a seguir representa a tensão U (volts) aplicada a
um resistor versus a corrente i (ampères) obtida. Calcule o
valor da resistência:
Solução:
θ
A resistência será dada pela tangente do ângulo formado entre o eixo da corrente
e a reta do gráfico, ângulo θ na figura anterior.
27. Acompanhe outro
exemplo!
Em um campo magnético B de intensidade 10²T, uma
partícula com carga q=0,0002C é lançada com velocidade v=
200000 m/s, em uma direção que forma um ângulo de 30°
com a direção do campo magnético, conforme indica a figura:
Qual a intensidade da força magnética que age sobre a
partícula?
Para calcularmos a força magnética que age sobre
esta partícula devemos lembrar da equação do
campo magnético, generalizado para direções
arbitrárias de "lançamento". Ou seja:
28. Acompanhe outro
exemplo.
Em um campo magnético B de intensidade 10²T (tesla), uma
partícula q com carga 0,0002C (coulomb) é lançada com
velocidade de 2.10 6m/s, em uma direção que forma um
ângulo de 30° com a direção do campo magnético, conforme
indica a figura:
Qual a intensidade da força magnética que age sobre a
partícula?
Para calcularmos a força magnética que age sobre
esta partícula, devemos usar a equação do campo
magnético generalizado para direções arbitrárias de
"lançamento". Ou seja:
29. Navegando ...
Assista a animação abaixo e veja como a trigonometria está em vários
campos e atividades.
http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria/index.html
Veja um vídeo sobre corrente elétrica em: https://www.youtube.com/watch?v=tZLnsyPuohs
Entenda mais sobre potência e energia potencial em:
https://www.youtube.com/watch?v=XU2n8Dl_MC8
30. Agora é sua vez!
-14
1. Em um campo magnético de intensidade B= 100T, uma partícula com carga q= 3.10 é lançada
com velocidade v= 10³ (em m/s), em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do
campo magnético. Qual a intensidade da força que atua sobre a partícula? Use a equação da
intensidade da força magnética.
31. 2. Em um circuito RL, (circuito constituído por uma bobina real), temos o triângulo
das tensões e o triângulo das impedâncias como nas figuras a seguir:
Determine, os valores de cosφ e
senφ em função de Z, R e XL.
Lembrete:
U = tensão em volts; XL = reatância indutiva em Ohms; R = resistência em Ohms,
Z= é a impedância (U/I) também em ohms
