Matemática - Módulo 01

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Matemática
Matemática I
Aritmética em N .......................................................3
Conjunto dos Números Racionais ...........................8
Conjunto dos Números Reais ................................13
Unidades de Medida .............................................16
Cálculo Algébrico...................................................18
Matemática Comercial ..........................................23
Função...................................................................32
Função do 1º grau .................................................41
Função do 2º grau .................................................46
Função Modular.....................................................51
Matemática II
Geometria Plana
Ângulo ...................................................................56
Polígonos ..............................................................61
Triângulo ................................................................63
Quadriláteros.........................................................67
Circunferência e Círculo ........................................70
Teorema de Thales ...............................................74
Semelhança de Triângulos ....................................75
Relações Métricas no Triângulo Retângulo ...........78
Relações Métricas num Triângulo Qualquer..........80
Relações Métricas na Circunferência....................82
Área das Figuras Planas .......................................84
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
Areproduçãoporqualquermeio,inteiraouemparte,venda,
exposiçãoàvenda,aluguel,aquisição,ocultamento,
empréstimo,trocaoumanutençãoemdepósitosem
autorizaçãododetentordosdireitosautoraisécrimeprevisto
noCódigoPenal,Artigo184,parágrafo1e2,com
multaepenadereclusãode01a04anos.

Tecnologia ITAPECURSOS
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33333Matemática - M1
ARITMÉTICA EM N
1- SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Desde o momento em que o homem necessitou
contar quantos elementos uma certa coleção possuía,
ele se preocupou em registrar de algum modo essa
contagem.
Inicialmente usou pedras, cordas, até mesmo
pedaços de madeira para fazer esses registros.
Com o passar do tempo, percebeu que o uso de
símbolos tornava essa tarefa mais fácil.
Foram os Hindus os criadores da representação
mais útil de todas. Usando dez símbolos, hoje
representados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e
algumas regras, inventaram um modo prático e
eficiente de representar os números, que usamos
até hoje.
Os símbolos 0, 1, 2, ..., 9 são chamados algarismos.
Chamamosdesistemadenumeraçãoatodoconjunto
de símbolos e regras que nos possibilita escrever
qualquer número. A quantidade de símbolos usados
no sistema determina a base do sistema.
2- SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Baseia-se na propriedade a seguir:
“Se um algarismo está escrito à esquerda de outro,
seu valor é 10 vezes mais que esse outro.”
Desse modo, no número 352, o algarismo 2 vale 2
unidades, pois não está escrito à esquerda de
nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3
vale 300 unidades. Como o valor do algarismo
depende da posição que ele ocupa no numeral,
dizemos que esse é um sistema posicional.
3- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EM OUTRAS BASES
A base de um sistema de numeração não precisa
ser necessariamente 10. O fato de usarmos o
sistema decimal é uma “fatalidade” anatômica: temos
10 dedos nas mãos. Mas nada impede de usarmos
outras bases.
Assim, por exemplo, no sistema binário, ou seja, de
base 2, usaríamos apenas os algarismos 0 e 1, e a
propriedade:
”Se um algarismo está escrito à esquerda de outro,
seu valor é 2 vezes mais que esse outro.”
Portanto, no sistema binário, no número (111)2, o
primeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2
ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa
1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto no
sistema decimal o valor 7.
De um modo geral, se b é a base do sistema e pqr
representa um número desse sistema, temos:
(pqr)b = r + q . b + p . b2
4- MUDANÇA DE BASE
4.1- Passar um número da base 10, para uma base qualquer
Regra: Para escrever um número que está no sistema decimal, num outro sistema de base b, efetuamos sucessivas
divisões do número dado e dos quocientes obtidos por b, até que se encontre um quociente menor que b.
Exemplos:
a) Escreva o número 13 na base 2.
Solução:
13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
Resp.: 13 = (1101)2
b) Escreva o número 75 na base 6.
Solução:
Resp.: 75 = (203)6
Observe que:
- Para formar o número, usamos os restos e o último quociente obtido.
- A leitura é feita da direita para a esquerda.
75 6
3 12 6
0 2

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44444 Matemática - M1
4.2- Passar um número do sistema de base b, para o sistema decimal
Regra: Basta decompor o número dado em seus valores relativos.
Exemplos:
a) Passe para a base 10, o número (1011)2.
Solução:
(1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0 . 22 + 1 . 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11
b) Escreva na base 10 o número (314)5.
Solução:
(314)5 = 4 + 1 . 5 + 3 . 52 = 4 + 5 + 75 = 84
5- DIVISÃO EUCLIDEANA
Sejam a e b números naturais com b ¹ 0. Então, existe um único par de números naturais (q, r) tal que:
a) a = b . q + r
b) r < b
Representamos a divisão por:
O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q o quociente e r é o resto. Se r = 0, dizemos que a divisão é
exata e teremos a = b . q. Nesse caso, diz-se também que a é múltiplo de b, ou a é divisível por b ou ainda b
é divisor de a.
a b
r q
6- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
Definição 1: Um número natural n é primo, se ele tiver apenas dois divisores.
Definição 2: Um número natural n é composto, se n ¹ 0 e possuir mais de dois divisores.
Observe que de acordo com essa definição, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Os números primos formam a sucessão
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
que o matemático Euclides, que viveu no século III A.C., provou ter infinitos elementos.
7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Todo número composto é igual a um produto de números primos.
Quando escrevemos um número composto como um produto de números primos, nós dizemos que o número
dado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o número foi fatorado.
Exemplo: Decompor em fatores primos os números 72, 540 e 1800.
Solução:
Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor número primo que divide o número dado. Continue
procedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, até encontrar o quociente 1.
Veja:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1 Logo: 72 = 23 x 32

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8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra:
a) Decomponha o número em seus fatores primos.
b) Coloque à direita e acima do primeiro fator primo o número 1.
c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os números à direita e acima deles (valores repetidos
não precisam ser colocados).
Exemplo.: Ache os divisores do número 72.
Solução:
1
72 2 2
36 2 4
18 2 8
9 3 3, 6, 12, 24
3 3 9, 18, 36, 72
1
9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Regra:
a) Decomponha o número dado em fatores primos.
b) Acrescente uma unidade aos expoentes.
c) Multiplique as somas obtidas em b.
Exemplo.: Determine quantos divisores tem o número 60.
Solução:
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Resp.: 12 divisores.
360 = 22 . 3 . 5. Logo o nº de divisores de 60 é
n = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12
Quando um número termina em zeros, podemos cancelá-los e substituí-los pelo produto 2n x 5n, onde n é a
quantidade de zeros cortados. Observe:
540 2 . 5
54 2
27 3
9 3 Resp.: 540 = 22 . 33 . 5
3 3
1
1800 22 . 52
18 2
9 3
3 3
1 Resp.: 1800 = 23 . 32 . 52

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10- REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE
Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se ele
contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais.
Exemplo.:
a) O número 23 . 32 . 7 é divisível por 3 . 7.
b) O número 34 . 52 . 7 é divisível por 32 . 52
c) O número 25 . 32 . 5 não é divisível por 23 . 35.
d) O número 32 . 5 . 73 não é divisível por 2 . 3 . 72.
11- MÁXIMO DIVISOR COMUM
Definição
Se a e b são dois números naturais, tal que um deles pelo menos é diferente de zero, chama-se maior divisor
comum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a, b), ao maior número que divide simultaneamente a e b.
Exemplo.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do número n, teremos:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Daí temos que: D(8) D(12) = {1, 2, 4}, e então m.d.c. (8, 12) = 4.
É importante observar que:
a) Se um dos números é divisível pelo outro, o menor deles será o m.d.c.
Exemplo: 36 é divisível por 12; então m.d.c. (36, 12) = 12.
b) Pode acontecer do m.d.c. (a, b) = 1. Nesse caso dizemos que a e b são primos entre si.
Exemplo: m.d.c. (4, 9) = 1, logo 4 e 9 são primos entre si.
c) Os divisores comuns a dois números são divisores do seu m.d.c.
Exemplo: O m.d.c. (54, 72) = 18. Logo os divisores comuns a 54 e 72, são os divisores de 18 ou seja, 1,
2, 3, 6, 9 e 18.
12- CÁLCULO DO M.D.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Regra:
a) Fatore os números.
b) Forme o produto com os fatores comuns aos números, tomados com o menor expoente.
Exemplo: Calcule o m.d.c. (72, 90).
Solução:
Fatorando os números, teremos:
72 = 23 . 32
90 = 2 . 32 . 5
Logo: m.d.c. (72, 90) = 2 . 32 = 18
13- CÁLCULO DO M.D.C. PELO ALGORITMO DE EUCLIDES
Daremos um exemplo. Seu professor explicará como o cálculo é feito. Seja calcular m.d.c. (228, 180).
Solução:
1 3 1 3
228 180 48 36 12
48 36 12 0 Resp.: m.d.c. (228, 180) = 12

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14- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Definição
Sejam a e b dois números naturais não nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por
m.m.c. (a, b), ao menor dos múltiplos, não nulos, comuns aos números a e b.
Exemplo: Se M(n) representa o conjunto dos múltiplos do número natural n, então:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ...}
M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36,...}
Portanto m.m.c. (a, b) = 12
Observe que:
a) Se um dos números for divisível pelo outro, o maior deles será o m.m.c.
Exemplo: 18 é divisível por 6. Logo m.m.c. (18, 6) = 18
b) Se dois números são primos entre si, o m.m.c. entre eles é igual ao seu produto.
Exemplo: 4 e 9 são primos entre si; então m.m.c. (4, 9) = 36
c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c. (a, b)
d) m.d.c. (a, b) x m.m.c.(a, b) = a.b
Exemplo: m.d.c. (4, 6) = 2 e m.m.c. (4, 6) = 12
Observe que m.d.c. (4, 6) x m.m.c. (4, 6) = 4.6
e) Os múltiplos comuns a dois números a e b, são múltiplos do seu m.m.c.
Exemplo: Como vimos, m.m.c. (4, 6) = 12. Logo os múltiplos comuns a 4 e 6 são os múltiplos de 12 ou 12,
24, 36, 48, ... (múltiplos positivos)
15- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Regra:
a) Fatore os números.
b) Forme o produto com os fatores comuns e não comuns aos números, tomados com o maior expoente.
Exemplo: Calcule o m.m.c. (12, 15)
Solução:
Fatorando os números, obtemos:
12 = 22. 3
15 = 3 . 5
Logo, aplicando a regra, achamos:
m.m.c. (12, 15) = 22. 3 . 5 = 60
16- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Veja o exemplo: m.m.c. (9, 12, 15).
Solução:
9, 12, 15 2
9, 6, 15 2
9, 3, 15 3
3, 1, 5 3
1, 1, 5 5
1, 1, 1 Resp.: m.m.c. (9, 12, 15) = 22 . 32. 5 = 180

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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
1- O QUE É UMA FRAÇÃO?
Definição: Chama-se fração todo número representado pelo símbolo , onde a e b são números inteiros,
com b ≠ 0.
Exemplos: etc.
Geralmente, a fração representa partes de um inteiro. Na representação , o número a é chamado de
numerador da fração e b é o denominador.
O denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador, quantas dessas partes foram
tomadas.
2- O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Seja Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o conjunto dos números inteiros. Chama-se conjunto dos números racionais,
e representa-se por Q, o conjunto definido por:
Q = Observe que N Ì Z Ì Q.
3- TIPOS DE FRAÇÃO
A) Fração própria
É aquela cujo numerador é menor que o denominador
Exemplos:
B) Fração imprópria
É aquela cujo numerador é maior que o denominador.
Exemplos:
Obs.: Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos que a fração é aparente. Observe que uma fração
aparente é, na verdade, um número inteiro.
Exemplos:
4- IGUALDADE DE FRAÇÕES
Definição: Sejam duas frações. Então:
Exemplo: pois 3 . 10 = 5 . 6
Como conseqüência dessa definição, pode-se concluir que:
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma fração por um mesmo número (não nulo), encontra-se uma fração
igual à fração dada.
Com isso, pode-se simplificar uma fração, ou seja, podemos achar uma fração igual à fração dada, e cujos
termos sejam primos entre si. Uma tal fração se diz na forma irredutível, e para obtê-la basta dividir os termos
da fração pelo m.d.c. deles.
Exemplo:
b
a
b
a
3
4
;
10
2
;
5
5
;
7
3
*ZbeZa/
b
a
4
1
,
7
2
,
5
3
5
10
,
3
4
,
2
3
,
5
7
d
c
e
b
a

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5- OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Recordaremos, sucintamente, as principais operações com frações.
A) Adição e Subtração
Caso os denominadores sejam iguais, conservamos o denominador e somamos ou subtraímos os numeradores.
Se os denominadores forem diferentes, nós reduzimos as frações ao menor denominador comum e procedemos
como no primeiro caso.
Exemplos:
a) b)
B) Multiplicação
Na multiplicação de duas ou mais frações, o produto é encontrado multiplicando-se os numeradores e os
denominadores. Sempre que possível, devemos utilizar o cancelamento, visto que com isso os cálculos se
simplificarão.
Exemplos:
a) b)
C) Divisão
Para dividir duas frações, nós repetimos a primeira e a multiplicamos pelo inverso da segunda.
Exemplos:
a) b) c)
D) Potenciação
Se é uma fração e n é um número natural, teremos:
6- FRAÇÃO DECIMAL
Se o denominador de uma fração é uma potência de 10, ela se diz uma fração decimal. Assim, as frações
etc... são frações decimais.
Uma simples extensão do sistema de numeração decimal nos permite representar uma fração decimal numa
outra forma, que chamaremos de número decimal.
Desse modo, teremos:
De modo geral, para converter uma fração decimal em número decimal, nós:
- escrevemos o numerador da fração.
- colocamos a vírgula de modo que o número de casas decimais coincida com a quantidade de zeros do
denominador.
b
a

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Já para passarmos um número decimal para fração decimal, nós:
- eliminamos a vírgula e escrevemos o número obtido no numerador.
- colocamos no denominador uma potência de 10, com tantos zeros quantas forem as casas decimais.
Exemplos:
7- OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
A) Adição e Subtração
Coloca-se a vírgula debaixo de vírgula e opera-se como se fossem inteiros.
Exemplos:
13,72 + 8,493 3,48 - 2,374
Solução: Solução:
13,72 3,480
+ 8,493 -2,374
22,213 1,106
B) Multiplicação
Ignoram-se as vírgulas. Ao produto damos um número de casas decimais igual à soma das casas decimais
dos fatores.
Exemplos: 2,3 x 0,04
Solução:
2,3
0,04
0,092
C) Divisão
Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e efetuamos a divisão.
Exemplo: 31,05 : 9 9,54 : 1,8
3105 900 954 180
4050 3,45 540 5,3
4500 0
0
8- SURGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS
Como vimos, toda fração decimal pode ser representada na forma decimal. Frações como e não são
decimais, porém são equivalentes a uma fração decimal. Logo, podem também ser representadas como
número decimal. Veja:
= 0,6 = 0,90

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Observe que obteremos a mesma representação se
fizermos a divisão do numerador pelo denominador.
Assim:
30 5
0 0,6
De modo geral, se o denominador da fração,
fatorado, só contiver os fatores 2 e 5, a fração será
equivalente a uma fração decimal, podendo ser
representada como número decimal. Já uma fração
como , por exemplo, jamais será equivalente a
uma fração decimal, pois seu denominador contém
outro fator além do 2 ou 5. Logo, se quisermos
representar essa fração na forma decimal, teremos
que admitir que essa fração representa uma divisão.
Obteremos então:
50 6
20 0,8333...
20
20
2
Surgem assim as dízimas periódicas.
Resumindo:
- Toda fração decimal ou equivalente a uma fração
decimal é representada por um número decimal
exato.
- Se uma fração não for equivalente a uma fração
decimal, sua representação decimal será uma dízima
periódica.
A fração que “gerou” a dízima periódica será
chamada de fração geratriz.
Na dízima periódica, a parte que se repete é
chamada de período. Assim, em 0,2525... o período
é 25. É usual representar essa dízima na forma
, onde um traço é colocado sobre o período.
Se entre o período e a vírgula não existir nenhum
outro algarismo, a dízima é simples. Caso exista
entre o período e a vírgula algum outro algarismo, a
dízima é composta.
Exemplo:
0,1616... dízima simples
3,444... dízima simples
0,54242... dízima composta
9 - CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ
A) A Dízima Periódica é Simples
A geratriz tem como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos
forem os algarismos do período.
Exemplo:
Calcule a fração geratriz das dízimas:
a) 0,121212... b) 1,333...
Solução:
a)
b)
B) A Dízima Periódica é Composta
A geratriz terá para numerador a parte não periódica, seguida do período menos a parte não periódica, e
para denominador um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de
tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Exemplo: Ache a fração geratriz das dízimas
a) 0,5333... b) 0,42666...
a) b)

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10 - PRINCIPAIS MÉDIAS
Chamaremos de média ao valor para o qual devem “tender” os valores de um conjunto numérico. Assim,
quando dizemos que o salário médio dos empregados da indústria X é R$ 650,00, isto significa que os
salários reais giram em torno desse valor. É importante observar que a média de um conjunto numérico pode
sofrer uma influência muito forte de valores ou muito altos ou muito baixos. Por isso, temos vários tipos de
médias. Veremos as três mais usadas.
A) Média Aritmética Simples
Definição: Sejam x1, x2, ... , xn, n números. Chama-se média aritmética simples entre eles ao número
m.a.s. =
Exemplo: Cinco pessoas, pesando 70 kg, 80 kg, 30 kg, 20 kg e 120 kg estão num elevador. Qual o peso
médio dessas pessoas?
Solução: m.a. =
Resp.: 64 kg.
B) Média Aritmética Ponderada
Suponha que você vai fazer um concurso para ingressar no Banco do Brasil, e que para isso, precise fazer
provas de Português, Conhecimentos Gerais e Técnicas Bancárias. Pode acontecer que à prova de Técnicas
Bancárias seja dada uma maior relevância. Isso é feito atribuindo-se “pesos” às notas obtidas em cada prova.
Desse modo temos a seguinte:
Definição: Sejam x1, x2, ..., xn um conjunto de valores aos quais foram atribuídos os pesos p1, p2, ..., pn
respectivamente. Então sua média, chamada de média aritmética ponderada é:
m.a.p. =
Observe que a média aritmética simples é um caso particular da média ponderada
(p1 = p2 = ... = pn = 1).
C) Média Geométrica
Definição: Se x1, x2, ..., xn são números, sua média geométrica é:
m.g. =
Exemplo: Ache a m.g. entre 4 e 9.
Solução: m.g. =

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CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1 - A NECESSIDADE DE NOVOS NÚMEROS
À medida que um conjunto numérico mostrava alguma deficiência, novos conjuntos numéricos iam surgindo.A
resolução de equações semelhante a x2 = 2 levou ao aparecimento dos números reais, pois pode-se provar que
não existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. A solução de x2 = 2, que representa-se por
ou - , não é então um número racional, ou seja, não pode ser colocada na forma a/b, com a e b inteiros
e b ≠ 0. Um tal número será chamado daqui para frente de número irracional. Os irracionais podem também ser
representados na forma decimal. Nesse caso o número terá infinitas casas decimais e não apresentará parte
periódica.Aunião dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais, simbolizado por R.
2) VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
Seja x um número real. Chama-se valor absoluto ou módulo de x ao número representado por |x| e definido por:
Exemplos:
a) |5| = 5
b |-3| = -(3) = 3
c) |0| = 0
Se a e b são números reais, temos:
a) |-a| = |a|
b) |ab| = |a| . |b|
c) |a/b| = |a|/|b| para b ≠ 0
d) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
3) DESIGUALDADES EM R
a) Se a > b e c > 0 então a.c > b.c
b) Se a > b e c < 0 então a.c < b.c
c) Se a > b e c ∈ R então a + c > b + c
Propriedades do anulamento
Se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0

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4) POTENCIAÇÃO EM R
Seja a um número real não nulo e n um número natural. Então:
a0 = 1
a1 = a
Propriedades
a) d)
b) e)
c) f)
Atenção:
a) (-3)2 = (-3).(-3) = 9
-32 = -1.32 = -1.9 = 9
b)
5) RAÍZES
Definição: Seja a um número real e n um inteiro positivo. Chama-se raiz n-ésima de a, se existir, ao número
real b, para o qual temos bn = a.
Em símbolos
Exemplos:
a)
b)
c) não existe em
Observe que:
- Se a < 0 e n é par, não existe a raiz em .
- Se a > 0 e n é par o símbolo representará a raiz positiva e - , a raiz negativa.
Assim: = 3 e - = -3.
- Se

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As principais propriedades da radiciação são:
a) se n for par. d)
b) e)
c) f)
Observação:
É óbvio que as propriedades anteriores somente são válidas supondo a existência das raízes envolvidas.
Podemos agora definir potência de expoente racional.
Definição:
Se a > 0, m e n são inteiros com n ≠ 0, temos:
Exemplos:
a)
b)
6- RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Racionalizar o denominador de uma expressão é achar uma expressão igual à expressão dada, cujo denominador
não tenha radicais. Vamos nos ocupar com a racionalização de três tipos de expressões:
1º Tipo: Expressões da forma .
Para racionalizar uma expressão dessa forma,
multiplicamos os termos da fração por .
Exemplo:Racionalizeodenominadorde .
Solução:
2º Tipo: Expressões da forma
A racionalização nesse caso é feita multiplicando-
se os termos da fração por .
Exemplo: Racionalize
Solução:
3º Tipo: Expressões da forma ou
Nesse caso, multiplicamos os termos da fração
pelo conjugado do denominador (expressão
obtida trocando-se o sinal do 2º termo do
denominador).
Exemplo: Racionalize
Solução:

16 cor preto
UNIDADES DE MEDIDA
1- O QUE É MEDIR?
Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, chamada unidade.
Desta comparação, resulta um número que é a medida da grandeza considerada nessa unidade.
Exemplo:
Suponhamos que um palito de fósforo “coube” exatamente 5 vezes numa caneta. Isso significa que o
comprimento da caneta na unidade palito de fósforo é 5.
No que se segue, veremos as unidades usadas para medir as principais grandezas do nosso dia-a-dia.
2- MEDIDAS DE COMPRIMENTO
Múltiplos Unidade Sub-múltiplos
Km hm dam m dm cm mm
Para passar de uma unidade para outra, usamos o quadro acima, fazendo a vírgula deslocar-se para a direita
ou para a esquerda. Por exemplo: para passar de hm para dm, o quadro nos mostra que devemos deslocar a
vírgula 3 casas para a direita.
Para passar de cm para m, deslocamos a vírgula 2 casas para a esquerda.
Exemplos:
2,35 m = 23,5 dm 0,045 Km = 45 m
147 cm = 0,147 dam 13,4 Km = 13400 m
3- MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Unidade: é o metro quadrado (m2)
Múltiplos Submúltiplos
quilômetro quadrado: Km2 decímetro quadrado: dm2
hectômetro quadrado: hm2 centímetro quadrado: cm2
decâmetro quadrado: dam2 milímetro quadrado: mm2
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, desloca-se a vírgula duas casas para a
direita.
- Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, desloca-se a vírgula duas casas para a
esquerda.
Exemplos:
3, 42 Km2 = 342 hm2 2,1 m2 = 21000 cm2
7810 mm2 = 78,1 cm2 5000 m2 = 0,5 hm2.
Medidas Agrárias (medidas de terras)
Nome hectare are centiare
Símbolo ha a ca
Valor 10000m2 100 m2 1 m2

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4- MEDIDAS DE VOLUME
Unidade: metro cúbico: m3.
quilômetro cúbico: Km3 decímetro cúbico: dm3
hectômetro cúbico: hm3 centímetro cúbico: cm3
decâmetro cúbico: dam3 milímetro cúbico: mm3
As transformações são feitas deslocando-se a vírgula de 3 em 3 casas decimais.
Exemplos:
1 dm3 = 1000 cm3 2,45 m3 = 2450 dm3
2000 m3 = 2 dam3 1470 cm3 = 1,47 dm3
Medida de Capacidade:
Unidade: é o litro: L. Temos que 1 L = 1 dm3.
Kilolitro (KL) decilitro (dL)
hectolitro (hL) centilitro (cL)
decalitro (daL) mililitro (mL)
Cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Exemplo:
1 hL = 10 daL
2 L = 2000 mL
600 mL = 0, 6 L
5- MEDIDAS DE MASSA
Unidade: é o quilograma ( Kg )
O quilograma tem como múltiplo a tonelada, que vale 1000 Kg.
Os submúltiplos do quilograma usam como base o grama (g) que equivale a um milésimo do quilograma.
1 g = 0,001 Kg ou 1 Kg = 1000 g
Os submúltiplos do Kg são:
hectograma: 1 hg = 100 g
decagrama: 1 dag = 10 g
decigrama: 1 dg = 0,1 g
centigrama: 1 cg = 0,01 g
miligrama: 1 mg = 0,001 g
Veja que as transformações entre as unidades vão se reduzir a multiplicações e divisões por potências de 10.
Observações:
a) Peso bruto: representa o peso da mercadoria mais o recipiente que a contém.
Peso líquido: é o peso apenas da mercadoria.
Tara: representa o peso do recipiente.
b) Unidade de medida de massa de metais preciosos. É o quilate. Vale 2 decigramas.
1 quilate = 2 dg.
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

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CÁLCULO ALGÉBRICO
1 - EXPRESSÃO ALGÉBRICA - VALOR NUMÉRICO
Uma expressão se diz algébrica ou literal se é formada por números e letras ou somente letras.
Assim, são algébricas as expressões:
2 3
3
2
1
2
x y
x
y
x+
−
+; ;
As letras que aparecem nas expressões chamam-se variáveis e representam, geralmente, um número real,
sendo então chamadas de variável real.
Se a expressão algébrica não tem variável no denominador, ela se diz inteira. Se tiver variável no denominador,
ela se diz fracionária.
O valor obtido ao substituirmos as variáveis de uma expressão algébrica por números dados e efetuarmos os
cálculos indicados é chamado valor numérico da expressão.
Exemplo: Ache o valor numérico da expressão para x = -3 e y = 5.
Solução:
Substituindo x por -3 e y por 5, teremos:
V.N = ; V.N = ; V.N = ; V.N =
Chamaremos de domínio de uma expressão algébrica ao conjunto formado pelos números que podem ser
colocados no lugar das variáveis da expressão.
Assim, o domínio da expressão é
pois x = -3 a expressão não representa número real.
Uma expressão algébrica racional inteira, formada por um único termo, será chamada de monômio e uma
adição algébrica de monômios será chamada de polinômio.
Exemplos de monômios:
a)
b)
Obs.: Dois monômios com a mesma parte literal são ditos monômios semelhantes.
Exemplo: e são semelhantes.
Exemplos de polinômios:
a) é um polinômio de três termos, que chamaremos de trinômio (pois tem 3 termos).
b) 2a + b é um binômio (polinômio de dois termos).

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2 - PRODUTOS NOTÁVEIS
Alguns produtos aparecem com muita freqüência e são muito úteis, por isso são chamados de produtos
notáveis. Veremos os principais.
Exemplos: Efetue, pelos produtos notáveis:
a) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 5 + 52 = 9x2 + 30x + 25
b) (a3 - 4)2 = (a3)2 - 2 . a3 . 4 + 42 = a6 - 8a3 + 16
c) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4
d) (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x + 5 . (-3) = x2 + 2x - 15
(2a - 2)(2a - 3) = (2a)2 + (-2 -3) . 2a + (-2) (-3) = 4a2 - 10a + 6
e) (x + 2)3 = x3 + 3x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8
f) (2a - 1)3 = (2a)3 - 3 . (2a)2 . 1 + 3 . 2a . 12 - 13.
= 8a3 - 12a2 + 6a - 1
g) (3x + y + 5)2 = (3x)2 + y2 + 52 + 2 . 3x . y + 2 . 3x . 5 + 2 . y . 5
= 9x2 + y2 + 25 + 6xy + 30x + 10y
(a - 2b - 1)2 = a2 + (-2b)2 + (-1)2 + 2 . a . (-2b) + 2 . a . (-1) + 2 . (-2b) . (-1)
= a2 + 4b2 + 1 - 4ab - 2a + 4b
3 - FATORAÇÃO
Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto. Para isso é útil você se lembrar da
propriedade distributiva e dos produtos notáveis vistos anteriormente, pois vários casos de fatoração são
conseqüência desses produtos.
A dificuldade mais comum, quando se estuda fatoração, está na identificação do caso a ser aplicado à
expressão dada. No entanto, com atenção às características de cada caso e muito treinamento, isso não será
problema. Vamos aos casos mais comuns.
3.1 - Fator Comum
Característica: um ou mais fatores aparecem em todos os termos.
Como fatorar: coloque esses fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva.
Exemplos: Fatore
a) ax + bx = x . (a + b)
b) 20x3 y - 8x2 + 12xy2 = 4x . (5x2y - 2x + 3y)
c) (x + 1) b - (x + 1) c = (x + 1) (b - c)
3.2 - Agrupamento
Característica: é usado em expressões com no mínimo 4 termos.
Como fatorar: aplique o caso anterior sucessivas vezes.
Exemplos: Fatore
a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
c) (x +y)(x - y) = x2 - y2
d) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
e) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
f) (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
g) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
h) (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3
i) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
a) x2 + xy + 2x + 2y = (x2 + xy) + (2x + 2y)
= x . (x + y) + 2 (x + y)
= (x + y) (x + 2)
b) a2 + a - ab - b = (a2 + a) + (-ab - b)
= a(a + 1) - b(a + 1)
= (a + 1) (a - b)

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3.3 - Diferença de Quadrados
Característica: a expressão dada pode ser reduzida à forma x2 - y2.
Como fatorar: use o inverso do produto notável.
(x + y)(x - y) = x2 - y2, e então teremos:
x2 - y2 = (x + y)(x - y)
Exemplos: Fatore
a) 16 - x2 = (4 + x)(4 - x) b) (x + 1)2 - y2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)
4 x x + 1 y
3.4 - Trinômio Quadrado Perfeito
Característica: a expressão dada é um trinômio redutível à forma x2 ± 2xy + y2
Como fatorar: lembre-se de que x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2
Importante: para verificar se o trinômio dado é quadrado perfeito, ordene-o. Depois tire a raiz quadrada do
1º e do 3º termo e multiplique esses resultados. Se o dobro desse produto coincidir com o segundo termo, o
trinômio é quadrado perfeito. Caso contrário, o trinômio não pode ser fatorado usando esse caso, e sim um
outro método que aprenderemos ao estudar as equações do 2º grau.
Exemplos: Fatore
a) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
= =
2x → 2 . 2x.3y ← 3y x - 2 . x . 3 3
3.5 - Trinômio do 2º grau
Característica: usa-se quando o trinômio dado não for quadrado perfeito
Como fatorar: emprega-se a fórmula ax2 + bx + c = a(x - x’)(x - x”), onde x’ e x” são as raízes do trinômio dado.
Exemplo: Fatore: 2x2 + 5x - 3
Solução:
Cálculo das raízes
A = 25 + 24 = 49
x = ; x’ = e x” = -3
3.6 - Soma de Cubos
Característica: a expressão é redutível à forma a3 + b3.
Como fatorar: use a fórmula:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
3.7 - Diferença de Cubos
Característica: a expressão é redutível à forma a3 - b3.
Como fatorar: Use a fórmula
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Resp.: 2x2 + 5x - 3 = 2(x - )(x + 3)
= (2x - 1)(x + 3)
Exemplos: Fatore
a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
b) 27a3 + 1 = (3a)3 + 13 = (3a + 1)(9a2 - 3a + 1)
Exemplos: Fatore
a) x3 - 1 = x3 - 13 = (x - 1)(x2 + x + 1)
b) a6 - 8 = (a2)3 - 23 = (a2 - 2)(a4 + 2a2 + 4)

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4 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Assim denominamos as frações que representam o quociente de dois polinômios, sendo o denominador um
polinômio não nulo.
No que se segue, as operações só são válidas no domínio da fração algébrica estudada.
4.1 - Simplificação de Frações Algébricas
Regra: - Fatore os termos da fração.
- Cancele os fatores comuns ao numerador e denominador.
Exemplos: Simplifique:
a)
Solução:
=
b) = E
Solução:
E = pois (y + x)(y - x) = y2 - x2
E = E = E =
4.2 - Adição e Subtração de Frações Algébricas
Regra: - Reduzimos as frações ao mesmo denominador
- Efetuamos as operações indicadas nos numeradores
- Simplificamos, se possível.
Atenção: Para reduzir as frações ao mesmo denominador, você deve fatorar esses denominadores e formar o
produto com os fatores comuns e não comuns com maior expoente.
Exemplo: Efetue
a)
Solução:
b)
Solução:
=

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4.3 - Multiplicação de Frações Algébricas
Regra: - Fatore os termos das frações envolvidas.
- Cancele os fatores comuns aos numeradores e denominadores.
- Efetue os produtos entre os numeradores e os denominadores.
Exemplos: Efetue:
a)
Solução:
P =
P =
b)
Solução:
P = pois (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 e x . 5x = 5x2
4.4 - Divisão de Frações Algébricas
Regra: Repetimos a primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda fração.
Exemplo: Efetue:
Solução:

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MATEMÁTICA COMERCIAL
1- RAZÃO
Definição
Sejam a e b números reais, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ao quociente indicado entre eles.
Notação:
Observações:
a) O fato de usarmos a mesma notação das frações para indicar a razão entre a e b, se deve ao fato de
ambos os conceitos, do ponto de vista operacional, terem comportamento idêntico.
b) A razão geralmente indica uma comparação. Assim, se num grupo de 10 pessoas, 7 são moças,
dizemos que as moças estão presentes na razão de 7 para 10.
c) Se duas grandezas são homogêneas (de mesma espécie), razão entre elas é a razão entre os números
que exprimem suas medidas numa mesma unidade.
Se as grandezas não forem homogêneas, a razão entre elas é simplesmente a razão entre suas
medidas, em unidades convenientes.
d) Algumas razões recebem nome especial. Por exemplo:
Porcentagem: é a razão do tipo . Também se representa pelo símbolo %.
Assim = 20%.
Escala: razão muito usada em mapas e plantas. Quando se diz que um mapa está na escala ,
isso significa que cada cm no mapa representa, no real, 1.000.000 cm ou 10 km.
• Densidade: razão entre a massa e o volume de um corpo.
• Velocidade: razão entre a distância percorrida por um corpo e o tempo gasto para isso.
e) Propriedade fundamental das razões
(para b ≠ 0 e m ≠ 0)
2- PROPORÇÃO
Definição: Chama-se proporção à igualdade entre duas razões.
Notação: (b ≠ 0, d ≠ 0)
Observe que uma proporção equivale a uma igualdade de frações, e portanto temos como consequência a
Propriedade fundamental das proporções:
(b ≠ 0, d ≠ 0)

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As proporções obedecem, ainda, às seguintes propriedades:
I) ou
II)
III)
Obs.: essa propriedade também vale para a subtração
1) Calcule x, y e z se e x + y + z = 84
Solução:
1º modo: Usando as propriedades das proporções, temos:
Como x + y + z = 84, vem:
e daí vem x = 35, y = 21 e z = 28
2º modo: Faça . Daí vem:
x = 5K, y = 3K e z = 4K. Substituindo em x + y + z = 84
5K + 3K + 4K = 84 → 12K = 84 → K = 7. Logo
x = 5 . 7: x = 35
y = 3 . 7; y = 21
z = 4 . 7; z = 28
3 - PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA
Definição:
Duas grandezas são diretamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda aumenta
(ou diminui) na mesma razão.
Definição:
Duas grandezas são inversamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda
diminui (ou aumenta) na mesma razão.
Exemplo 1: Uma equipe de futebol se hospeda num hotel cinco estrelas. Observe a tabela onde se relaciona
o número de dias que a equipe ficará hospedada com a despesa do time.
Nº de dias 1 2 3 4 5 6
Despesa (em dólar) 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Observe que se dobrarmos o número de dias, a despesa dobra, triplicando o número de dias a despesa triplica
e assim por diante. Dizemos por isso que as grandezas em questão são diretamente proporcionais.

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Exemplo 2: Um grupo de operários é capaz de construir uma casa em um tempo dado de acordo com a tabela
a seguir:
Nº de operários 10 20 30 40
Tempo (dias) 12 6 4 3
Observe que dobrando o número de operários, o tempo cai à metade, triplicando o número de operários o tempo
cai à terça parte e assim por diante. Por isso dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais:
Observações:
a) No exemplo 1, a razão entre os valores correspondentes das duas grandezas é constante.
= K K = coeficiente de proporcionalidade
b) No exemplo 2, o produto dos valores correspondentes das duas grandezas é constante:
10 x 12 = 20 x 6 = 30 x 4 = 40 x 3 = K K = coeficiente de proporcionalidade.
c) De a e b conclui-se que se x e y são variáveis, ou grandezas, temos:
Se = K ou x = Ky implica x e y são diretamente proporcionais.
Se xy = K ou , x e y são inversamente proporcionais.
Assim, se , x é diretamente proporcional a y, r e s e inversamente proporcional a t.
d) Muito cuidado ao classificar duas grandezas. Não basta, por exemplo, que as duas grandezas aumentem
(ou diminuam). Isso deve acontecer na mesma razão. Assim, se você gasta 2h para varrer um quarto
circular de 5m de raio, não é verdade que você gastará 4h para varrer outro quarto circular de 10m de
raio, pois quando se dobra o raio, a área quadruplica (pois A = pr2).
4- DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
A) Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamente
proporcionais a esses outros números, e cuja soma seja N.
Exemplo: Seja dividir o número 220 em partes diretamente proporcionais a 5, 2 e 4.
Solução:
Sejam x, y, z as partes procuradas. Então:
e x + y + z = 220
Resolvendo, utilizando as propriedades das proporções, encontra-se:
x = 100; y = 40 e z = 80

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B) Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamente proporcionais
aos inversos desses números e cuja soma seja N.
Exemplo: Dividir o número 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
Solução:
Sendo x, y e z as partes, teremos
e x = y + z = 45
Resolvendo pelas propriedades das proporções acha-se:
x = 20; y = 15 e z = 10
C) Divisão Proporcional Composta
Em alguns casos, pode ser necessário dividir um número em partes diretamente proporcionais a dois ou mais
conjuntos de números ou, ainda, diretamente proporcional a um conjunto de números e inversamente
proporcional a um outro conjunto. Nesses casos, é só lembrar que:
- se x é inversamente proporcional a y, é diretamente proporcional a .
- se x é diretamente proporcional a y e z, x é diretamente proporcional a y . z.
Exempo 1:
Dividir o número 98 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e também diretamente proporcionais a 1 e 4.
Solução:
Sejam x e y as partes procuradas. Temos:
x é d.p. a 2 e 1 ® x é d.p. a 2 . 1 = 2
y é d.p. a 3 e 4 ® y é d.p. a 3 . 4 = 12
Logo:
e x + y = 9, que resolvido dá:
x = 14, e y = 84
Exemplo 2:
Dividir o número 410 em partes d.p. a 3, 2 e 5 e i.p. a 4, 2 e 3.
Solução:
Sejam x, y e z as partes.
x é d.p. a 3 e i.p. a 4 ® x é d.p. a
y é d.p. a 2 e i.p. a 2 ® y é d.p. a
z é d.p. a 5 e i.p. a 3 ® z é d.p. a
Portanto:
e x + y + z = 410 que resolvido dá x = 90, y = 120 e z = 200

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5- REGRA DE SOCIEDADE
Quando usamos a divisão em partes proporcionais, na divisão de lucro (ou prejuízo) de uma sociedade, dizemos
ter uma regra de sociedade.
Exemplo 1: Dois sócios montaram uma sorveteria. O primeiro entra com R$ 7.500,00 e o segundo com
R$ 4.500,00. Ao final de um ano, a firma deu um lucro de R$ 24.000,00. Qual a parte de cada um?
Solução:
Quem aplicou um capital maior, deve receber uma parte maior do lucro. Logo trata-se de uma divisão em
partes diretamente proporcionais, e então:
e x + y = 24.000
que resolvido dá: x = 15.000 e y = 9.000
Exemplo 2: Uma sociedade deu um lucro de R$ 340.000,00. O primeiro sócio entrou com R$ 25.000,00,
durante 4 meses e o segundo entrou com R$ 35.000,00 durante 2 meses. Quanto deve receber cada um?
Solução:
É claro que a divisão deve ser em partes d.p ao capital aplicado e também d.p ao tempo. Logo:
e x + y = 340.000
o que dá x = 200.000 e y = 140.000
6 - REGRA DE TRÊS
Conceito: A regra de três é uma das aplicações das proporções. Ela vai nos permitir resolver problemas que
envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Classifica-se em simples ou
composta.
A) Regra de Três Simples
É a regra de três que envolve apenas duas grandezas. Caso essas grandezas sejam diretamente proporcionais,
a regra de três se diz simples e direta. Se as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais, a regra
de três é simples e inversa.
Aresolução de uma regra de três consiste em calcular, em uma proporção em que três termos são conhecidos,
o quarto termo. Veja alguns exemplos.
Exemplo 1: Moendo 100 kg de milho, obtemos 84 kg de fubá. Quantos quilos de milho devo moer para obter
21 kg de fubá?
Solução:
Inicialmente, dê “nomes” às grandezas envolvidas. Em seguida, coloque os valores dados nas respectivas colunas.
Verifique então se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais,
lembre-se de que a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da
segunda. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, a razão entre os valores da primeira é igual ao
inverso da razão entre os valores da segunda grandeza. Depois é só calcular o termo desconhecido.
Veja
Milho (kg) Fubá (kg)
100 84
x 21
Como as grandezas são d.p, temos:
e daí vem x = 25 kg Resp.: 25 kg
. .

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Exemplo 2:
Se 36 operários gastam 25 dias para fazer certo serviço, em quantos dias 30 operários, do mesmo gabarito,
poderão fazer o mesmo serviço?
Solução:
Operários Dias
36 25
30 x
As grandezas são i.p, pois diminuindo o número de operários aumenta o número de dias para terminar a obra.
Logo:
(note a inversão na 2ª razão) e daí, x = 30 dias.
B) Regra de Três Composta
Assim denominamos a regra de três que envolve mais de duas grandezas. Para resolver uma regra de três
composta, nós dispomos os valores dados nas respectivas colunas. Em seguida, classificamos as grandezas
conhecidas em relação à grandeza que contém o valor desconhecido. Após isso, igualamos a razão entre os
valores da grandeza que contém a variável com o produto das razões das outras grandezas, lembrando que
se uma grandeza for i.p, devemos inverter a ordem de seus valores. Veja exemplos:
Exemplo 1:
Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produzem 2.000 peças. Quantas máquinas serão necessárias
para produzir 1.680 peças em 6 dias?
Solução:
Máquinas Dias Nº de peças
10 20 2.000
x 6 1.680
i.p d.p
Classificando as grandezas Dias e Nº de peças em relação à grandeza Máquina, verifica-se que a primeira é
inversamente proporcional e a segunda é diretamente proporcional. Portanto:
e daí x = 28 máquinas
Observação:
Ao classificar uma grandeza, considere as demais como constantes.
Exemplo 2:
Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros
seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias?
Solução:
horas/dia dias nº engenheiros projetos
6 10 10 5
8 15 x 8
i.p i.p d.p
Logo: e daí x = 8
Resp.: 8 engenheiros

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7- PORCENTAGEM
Uma razão especial
Como já vimos, a porcentagem é uma razão da forma , que também pode ser escrita como a%.
Assim = 20%; = 3% e assim por diante.
Como a razão exprime uma comparação, na porcentagem essa comparação é feita sempre em relação a um
grupo de 100. Desse modo, quando dizemos que o salário teve um aumento esse mês de 25%, isso significa
que para cada R$ 100,00, tivemos um acréscimo de R$ 25,00.
8- COMPARANDO NÚMEROS ATRAVÉS DA PORCENTAGEM
Suponha que o preço de uma mercadoria sofreu um acréscimo de R$ 80,00. Esse aumento é grande ou
pequeno? Para responder a essa pergunta, é preciso que saibamos qual o preço da mercadoria para
compará-lo com o aumento dado. Isso pode ser feito de uma maneira muito simples. Basta efetuar a divisão
entre esses números. Se, além disso, exprimirmos o resultado obtido como uma razão de conseqüente 100,
obteremos a porcentagem do aumento, que indica em 100, qual foi o aumento dado. Suponhamos, por
exemplo, que o preço original da mercadoria fosse R$ 200,00. Então a porcentagem do aumento seria:
Ou seja, o aumento é de 40%, significando isso que para cada 100 reais no preço, houve um aumento de 40
reais.
Esse exemplo mostra que toda porcentagem pode ser colocada na forma de número decimal e vice-versa.
Veja alguns exemplos:
a)
b)
c)
d)
1) Comprei um objeto por R$ 20,00 e o revendi por R$ 25,00. Qual a minha porcentagem de lucro?
Solução:
1º modo:
Observe que o meu lucro foi de 5,00. Logo:
20 100 e daí,
5 x
2º modo:

30 cor preto
2) Uma mistura foi feita com 12 litros de água e 8 litros de álcool. Determine a porcentagem de álcool na
mistura.
Solução:
Só usaremos o 2º modo
3)Amédia de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num concurso
com 6.500 inscritos?
Solução:
Se 82% são reprovados, então 100 - 82 = 18% são aprovados.
1º modo:
6500 100 ;
x 18
2º modo:
18% = 0,18. Logo, 18% de 6500 é 0,18 . 6500 = 1170
4) Meu salário é hoje de R$ 810,00. Se eu tiver um aumento de 32%, qual será meu novo salário?
Solução:
O salário novo será 100% do salário antigo mais 32% do salário antigo, ou seja 132% do salário antigo.
Logo: (lembre-se 132% = = 1,32).
salário novo = 1,32 . 810,00 = 1,069,20
Resp.: R$ 1.069,20
5) Em um certo país, as taxas de inflação em um trimestre foram: 1º mês = 10%, 2º mês = 15% e 3º mês = 17%.
Qual foi a inflação nesse país no trimestre em questão?
Solução:
Seja x o preço de uma mercadoria qualquer nesse país. Após o primeiro mês, o novo preço dessa
mercadoria deveria ser, caso sofresse correção automática da inflação, de 1,10 . x. Após o 2º
mês, 1,15 . (1,10 x). E após o 3º mês, 1,17 . 1,15 . (1,10 x) ou seja, 1,48 x. Logo, a inflação é de 48%
no trimestre.
6) Uma certa mercadoria custa R$ 350,00. Se eu pagar essa mercadoria à vista, obtenho um desconto de
12%. Por quanto ela me sairá à vista?
Solução:
Se tenho 12% de desconto, pagarei (100 - 12), 88% do preço.
Logo, o preço à vista será 0,88 . 350,00 = 308,00.
Resp.: R$ 308,00

31 cor preto
9- JUROS
Suponha que você empreste a alguém R$ 1000,00.Ao fazer essa transação, você combina com essa pessoa:
a) o prazo após o qual esse valor deverá ser devolvido a você.
b) um valor, que você acha justo, essa pessoa deverá pagar-lhe findo o prazo do empréstimo, como uma
“remuneração” pelo seu dinheiro que ficou disponível nas mãos dessa pessoa.
Esse acréscimo ao capital emprestado é que chamamos de juro. O juro é calculado sempre após um determinado
período e combinado no ato da transação. Para simplificar o cálculo, é comum expressá-lo através de uma
taxa, a taxa de juros. Assim, por exemplo, numa certa transação podemos combinar uma taxa de 5% ao mês.
Isso significa que para cada R$ 100,00, o tomador deve pagar, após o período de um mês, R$ 5,00.
O juro é simples se tiver taxa fixa e for calculado sempre sobre a quantia inicial. Por exemplo, se você
emprestar R$ 100,00, a 5% ao mês, receberá ao fim do 1º mês R$ 5,00 de juro. Ao fim do 2º mês, mais
R$ 5,00 de juro e assim por diante.
Normalmente, o que ocorre é o juro ser acrescido ao capital, após o 2º mês a taxa de juro incide sobre esse
montante e assim por diante. Nesse caso, temos o juro composto.
10- CÁLCULO DO JURO SIMPLES
7) Por quanto devo vender um objeto que comprei
por R$ 4.000,00, se quero ganhar 20% sobre o preço
devenda?
Solução:
Considerando que o preço de venda é 100%, é
fácil ver que o preço da compra equivale então
a 80%.
Logo:
4.000 - 80
x - 100 , o que dá x = 5000
Outro modo:
preço compra = (1 - 0,20) . preço venda.
Logo: preço venda = = 5000
8) Calcule o preço de venda de uma mercadoria que
comprei por R$ 8.000,00, tendo perdido 25% do preço
de venda.
Solução:
Sendo o preço de venda 100%, o preço de
compra representará nesse caso 125%.
Então:
8000 125
x 100 x = 6400
Outro modo:
preço compra = (1 + 0,25) . preço venda.
Logo:
preço venda = = 6400
11- CÁLCULO DO JURO COMPOSTO
M = C . (1 + i)t
M ® montante (capital + juros)
C ® capital
i ® taxa (deve ser expressa na forma decimal)
t ® tempo
Obs.: i e t devem estar na mesma unidade
Obs.: Normalmente alguns problemas de juros compostos podem ser resolvidos usando porcentagem.

32 cor preto
FUNÇÃO
1 – RELAÇÃO BINÁRIA
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A x B tal que:
A x B = {(x,y) : x ∈ A e y ∈ B}
Obs.: Se A ou B for vazio, A x B = ∅
Assim, se A = {1,3,5} e B = {2,4,6} então:
A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)}
Um subconjunto qualquer de A x B é chamado de relação binária de A em B. Logo, os subconjuntos de A x
B, a seguir, são relações de A em B.
R1
= {(1,2), (3,4), (5,2)}
R2
= {(3,2), (5,4)}
R3
= {(1,2), (3,4), (3,6), (5,2)}
2 – FUNÇÃO: UMA RELAÇÃO ESPECIAL
Definição
Sejam, A e B dois conjuntos. Uma relação f de A em B é função se para todo x ∈ A, existe um único
y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f.
De acordo com essa definição, das três relações dadas no item anterior, somente R1
é função. R2
não é
função, pois o número 1 de A não aparece como abscissa de R2
, ou seja, 1 não corresponde com nenhum
elemento de B.
Já R3
,não é função porque 3 aparece duas vezes como abscissa dos pares de R3
, ou seja, 3 corresponde
mais de uma vez.
Uma relação pode também ser representada através de um diagrama. Veja os exemplos:
a) A B
1. .4
2. .5
3. .6
É função, pois todo x ∈ A tem um único y ∈ B, tal que (x, y) pertence à relação.

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b) A B
1. .4
2. .5
3. .6
Não é função, pois para 2 ∈ A, não existe y ∈ B, tal que (2, y) pertença à relação.
c) A B
1. .4
2. .5
3. .6
Não é função, pois para 2 ∈ A, existem dois valores y ∈ B, tal que (2, y) pertence à relação.
3 – NOTAÇÃO PARA AS FUNÇÕES
Dada uma função f, se (x, y) ∈ f, diremos que y é a imagem de x pela função, ou y é o valor de f em x, e
indicaremos isso por: y = f(x)
Veja um exemplo:
Seja A = {-1, 0, 1} e f uma relação de A em A dada por f = {(-1, 0), (0, -1), (1, 1)}. Então:
f (-1) = 0, lê-se f de menos um é igual a zero.
f (0) = -1
f (1) = 1
Para indicar que uma relação f de A em B é uma função, usamos a notação:
f: A → B
x → y = f (x)
Os conjuntos A e B entre os quais se define uma função podem ser de qualquer natureza. Porém, geral-
mente A e B serão subconjuntos de R. Quando isso acontece, dizemos que f é uma função real de variável
real. Para essas funções é comum dar-se apenas a fórmula que relaciona os elementos ou simplesmente
condições às quais a função obedece.
4 – FUNÇÕES DADAS POR FÓRMULAS
Exemplo 1: Seja f: R → R definida por f (x) = 2x – 1. Calcule:
a) f (3) c) f (x –1)
b) f ( ½ )

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Solução:
a) Para calcular f (3) basta substituir, na fórmula de f, a variável x pelo número 3 e efetuar as operações.
Assim: f (3) = 2 . 3 – 1 ; f (3) = 6 – 1 = 5
b) f ( ½ ) =
Obs.: Se f ( a ) = 0, dizemos que a é raiz da função
Logo, é raiz de f ( x ) = 2x – 1, pois f ( ½ ) = 0
c) f (x – 1) = 2 . (x – 1 ) – 1 ; f ( x – 1 ) = 2x – 2 – 1
f ( x – 1 ) = 2x – 3
Exemplo 2: Seja a função f definida por
Calcule f ( 0 ) – 3 f ( 2 )
Solução:
Como 0 < 1, f ( 0 ) = 2 . 0 + 1 = 1
Como 2 > 1, f ( 2 ) = 22
– 1 = 3
Logo f ( 0 ) – 3 . f( 2 ) = 1 – 3 . 3 = – 8
5 – DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Seja f uma função de A em B. Chamaremos de domínio de f ao conjunto dos x ∈ A, para os quais existe
y ∈ B com (x,y) ∈ f. Representaremos o Domínio de uma função f por D(f).
Por imagem da função f entendemos o conjunto dos y ∈ B para os quais existe x ∈ A, tal que (x,y) ∈ f.
Representaremos a imagem da função f por Im(f).
No caso da função ser dada por uma fórmula, o domínio de f é o conjunto dos x ∈ R para os quais f(x) é real.
Para calcular o domínio de algumas funções, é bom lembrar que:
a) Se y = , então D ≠ 0.
b) Se y = com n par, então A ≥ 0
c) Se y = com ímpar, A é real.
6 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Pela definição dada, uma função é um conjunto de pares ordenados. Como a cada para ordenado está
associado um ponto do plano, a representação dos pares ordenados da função, no plano cartesiano, cons-
titui o gráfico da função.
Se for dado o gráfico de uma relação, para verificarmos se a relação é função, usamos o “teste da vertical”.
Esse teste consiste em imaginarmos retas verticais traçadas no plano do gráfico. Se pelo menos uma
dessas retas cortar o gráfico em mais de um ponto, ele não representa função.

35 cor preto
Assim, por exemplo, para os gráficos a seguir teremos:
I)
Não representa função, pois a reta tracejada, indicada na figura, corta o
gráfico em dois pontos, o que equivale a dizer que existe um x que
corresponde com dois y.
II)
Representa uma função, pois qualquer reta vertical inter-
cepta o gráfico no máximo em um ponto.
1) Determine o domínio e a imagem da função cujo gráfico está representado a seguir:
Solução:
Cada ponto do gráfico tem uma abscissa e uma
ordenada. O domínio é formado pelas abscissas
dos pontos do gráfico e a imagem pelas ordena-
das. Basta então imaginarmos as “projeções” do
gráfico sobre os eixos dos x, para o domínio, e
dos y, para a imagem. Concluiremos que:
D = {x ∈ R : – 2 < x ≤ 3}
Im = {y ∈ R : – 4 < x ≤ 2}
2) Sejam f e g funções cujos gráficos são dados a seguir
a) para que valores de x, f(x) = g(x)?
b) para que valores de x, f(x) > g(x)?
c) para que valores de x, f(x) < g(x)?

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Solução:
a) Graficamente, f(x) = g(x) nos pontos comuns aos gráficos de f e g, ou seja, nas interseções dos gráficos
de f e g. Então a resposta é, x = –1 ou x = 2.
b) f(x) > g(x) nos pontos onde o gráfico de f está acima do gráfico de g. Pelos gráficos, a resposta é:
x < –1 ou x > 2.
c) Para que f(x) < g(x), o gráfico de f deve estar abaixo do gráfico de g. Portanto, -1 < x < 2.
3) Estude o sinal da função f, cujo gráfico é dado a seguir:
Solução:
Estudar o sinal de uma função é dizer:
– para que valores de x, f(x) = 0, ou seja, quais as raízes da função.
– para que valores de x, f(x) > 0
– para que valores de x, f(x) < 0
ora, f(x) = 0 quando o gráfico de f corta o eixo x, ou seja, em x = –1, x = 0, x = 2.
Para que f(x) > 0, o gráfico de f deve estar acima do eixo dos x, e isso acontece se: –1 < x < 0 ou x > 2.
Finalmente, f(x) < 0 quando o gráfico de f está abaixo do eixo x, ou seja, para x < –1 ou 0 < x < 2.
Resumindo:
f(x) > 0 se –1 < x < 0 ou x > 2
f(x) = 0 se x = –1 ou x = 0 ou x = 2
f(x) < 0 se x < –1 ou 0 < x < 2
7- FUNÇÃO COMPOSTA
Definição: Sejam as funções f: A → B e g : B → C.
Chama–se composta de g e f a função gof : A → C
tal que (gof) (x) = g(f (x))
Exemplo: Veja o diagrama.
De acordo com ele, temos:
(gof)(1) = 9
(gof)(2) = 10
(gof)(3) = 11
Observe que para fazermos a composta entre g e f, x deve estar no domínio de f e f(x) deve estar no domínio
de g. Além disso, de um modo geral, gof ≠ fog. No nosso exemplo, observe que nem existe fog, pois g(x) ∈
C e C é diferente do domínio de f.

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1) Sejam as funções reais f e g definidas por f(x) = 2x – 3 e g(x) = x2
+ 1. Calcule:
a) (gof)(1) c) (gof)(x)
b) f(g(2)) d) f(g(x))
Solução:
a)
b)
c) símbolo (gof)(x) = g(f(x)) e aqui se pede para substituir, na função g, o x por f(x).
Portanto:
g(f(x)) = [f(x)]2
+ 1 = (2x – 3)2
+ 1 = 4x2
– 12x + 10
d) f(g(x)) = 2g(x) – 3 = 2(x2
+ 1) – 3 = 2x2
– 1
2) Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + K, ache K para que (fog)(x) = (gof)(x).
Solução:
f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2(3x + K) – 1 = 6x + 2K – 1
g(f(x)) = 3f(x) + K = 3(2x – 1) + K = 6x – 3 + K
Como fog = gof, teremos: 6x + 2K – 1 = 6x – 3 + K e daí, K = –2.
3) Sejam as funções f(x) = e g(x) = 2x + 3.
a) Determine o domínio de f e o de g.
b) Determine o domínio de fog e gof.
Solução:
a) D(f) = {x ∈ R: x ≠ 2}
D(g) = R
b) Domínio de fog.
Como já dissemos, o domínio de fog é formado pelos elementos do domínio de g para os quais g(x) está no
domínio de f. Logo:
x ∈ D(g) → x ∈ R
g(x) ∈ D(f) → 2x + 3 ≠ 2 ; x ≠ – ½
Então, D(fog) = {x ∈ R: x ≠ – ½ }

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Domínio de gof
x ∈ D(f) → x ≠ 2
f(x) ∈ D(g) → f(x) ∈ R
Logo D(gof) = {x ∈ R: x ≠ 2}
4) Se f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = x + 1, determine g(x):
Solução:
f(g(x)) = x + 1 ; 3g(x) – 2 = x + 1 ; g(x) =
Resp: g(x) =
8 – FUNÇÃO INVERSA
8.1- INTRODUÇÃO
Observe as funções, cujos diagramas estão representados a seguir.
(I) (II) (III)
Em todos eles, temos funções de A em B. Se pensarmos nas relações de B em A, ou seja, nas relações
inversas que eles determinam, verificamos que:
– no caso do diagrama I, a relação inversa não determina uma função, pois o elemento 5 ∈ B, tem duas
imagens, 2 e 3.
– para o diagrama II, a relação inversa também não determina uma função, pois o elemento 7 ∈ B, não tem
imagem.
– já no caso do diagrama III, a relação inversa determina uma função, pois todo elemento de B tem uma
única imagem em A.
Veremos, a partir de agora, as condições para uma função ser inversa.
8.2- DEFININDO TIPOS DE FUNÇÃO
Definição 1:
Uma função f é injetora se para todo x1
e x2
do seu domínio, com x1
≠ x2
, tivermos f(x1
) ≠ f(x2
)

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De acordo com essa definição, uma função injetora faz elementos diferentes do domínio terem imagens
diferentes.
Se a função for dada pelo seu gráfico, para ver se ela é injetora usa–se o “teste da horizontal” que consiste em
traçar retas horizontais no plano do gráfico. Se pelo menos uma reta horizontal cortar o gráfico em mais de um
ponto, a função não é injetora.
Definição 2:
Uma função f: A → B é sobrejetora se Im(f) = B
Definição 3:
Uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora se diz bijetora.
Se você estudar agora os diagramas I, II e III anteriores, verá que a condição para uma função ter inversa é que
ela seja uma função bijetora.
8.3- A FUNÇÃO INVERSA
Definição:
Seja f: A→ B uma função bijetora. Chama–se inversa de f e representa–se por f–1
à função f–1
: B →Atal que,
f(x) = y ↔ f–1
(y) = x
Observações:
a) D(f) = Im(f–1
) e Im(f) = D(f–1
)
b) O gráfico de f–1
é simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes.
No caso da função ser dada por uma fórmula, considerando um domínio onde ela seja bijetora, a inversa é
encontrada do seguinte modo:
1º) na fórmula y = f(x), trocamos y por x e x por y.
2º) Calculamos o y.
Exemplo: Ache a inversa de y = 2x – 3
Solução:
y = 2x – 3
x = 2y – 3 ; x + 3 = 2y ; y =
Resp: f–1
(x) =
9 – PARIDADE DE UMA FUNÇÃO
Definição:
Uma função f é par se para todo x de seu domínio temos f(–x) = f(x).
Graficamente, isso significa que se a função é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Definição:
Uma função f é ímpar se para todo x de seu domínio temos f(–x) = –f(x).
Isso significa que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

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10 – FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Definição:
Uma função f é crescente num intervalo I se para todo x1 e x2 de I com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).
Definição:
Uma função I é decrescente num intervalo I, se para todo x1, x2 de I, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).
11 – MÁXIMO E MÍNIMO
Veja o gráfico a seguir:
Fica claro que f(b) é o maior valor que a função assume e f(c) é o menor valor. Diremos que:
– b é o ponto de máximo da função e f(b) é o máximo de f.
– c é o ponto de mínimo e f(c) é o mínimo da função.
Além disso, para um pequeno intervalo contendo a, f(a) é o mínimo, e para um pequeno intervalo contendo d,
f(d) é o máximo de f nesse intervalo. Nesses casos, diremos que:
– a é ponto de mínimo local, e f(a) é mínimo local.
– d é ponto de máximo local e f(d) é máximo local.
Resumindo:
Definição: Se f(x) ≤ f(x0
) para todo x do domínio de f, dizemos que x0
é ponto de máximo e f(x0
) é o máximo
da função.
Definição: Se f(x) ≥ f(x0
) para todo x do domínio de f, dizemos que x0
é ponto de mínimo e f(x0
) é o mínimo
da função.

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FUNÇÃO DO 1º GRAU
1- FUNÇÃO CONSTANTE
Seja f: R → R a função definida por f(x) = C, onde C é um número real qualquer. Chamaremos a uma tal
função de função constante. Observe que para todo x ∈ R, f(x) = C. É fácil ver que o gráfico de uma função
constante, f(x) = C, é uma reta horizontal passando pelo ponto (0,C).
Exemplos:
a) f(x) = 2 b) f(x) = –1
2- FUNÇÃO DO 1º GRAU
Sejam a e b números reais, com a ≠ 0. Chamamos de função do 1º grau, ou função afim, à função f: R →
R, definida por f(x) = ax + b.
Ao número a denominaremos coeficiente angular e ao número b, coeficiente linear.
Exemplos:
a) f(x) = x
Nesse caso, a = 1 e b = 0. Essa função é chamada também de função identidade.
b) f(x) = 2x
Aqui, a = 2 e b = 0. Se f(x) = ax, com a ≠ 0, dizemos que f é uma função linear.
c) f(x) = –x + 3
Agora a = –1 e b = 3. É o caso geral de uma função afim.
3- GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Quando estudarmos a geometria analítica, provaremos que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta,
portanto para obtê-lo podemos escolher dois valores arbitrários para x e calcular o y correspondente. De-
pois é só colocá-los no plano cartesiano e uni-los por uma reta. Veja:
Esboce os gráficos:
a) y = 2x –1
x y
0 -1
1 1

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b) y = - x + 2
x y
0 2
1 1
4- O SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES
4.1- O COEFICIENTE LINEAR
Seja f(x) = ax + b. Para achar a interseção do gráfico de f com o eixo y, observe que basta calcular f(0). Como
f(0) = b, então o coeficiente linear é a ordenada do ponto de interseção entre a reta e o eixo y. Veja:
4.2- O COEFICIENTE ANGULAR
Seja f(x) = ax + b, e x1
e x2
dois números, tal que x1
< x2
. Temos que f(x2
) = ax2
+ b e f(x1
) = ax1
+ b.
Logo f(x2
) – f(x1
) = ax2
– ax1
, e daí vem que:
Como x2
– x1
é positivo, temos que:
a) Se a > 0, f(x2
) – f(x1
) > 0 ou f(x2
) > f(x1
) e então a função é crescente.
b) Se a < 0, f(x2
) – f(x1
) < 0 ou f(x2
) < f(x1
) e nesse caso f é decrescente.
5- A RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Como já vimos, raiz de uma função é o valor de x para o qual f(x) = 0. No caso da função afim, para achar a raiz
é só resolver a equação ax + b = 0 e encontraremos x = –
Graficamente, x = – é a abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo x.
6- IMAGEM DA FUNÇÃO AFIM
Seja f(x) = ax + b, uma função afim, e K ∈ R. Se fizermos x = então f ( ) = a . ( ) + b, ou seja,
f ( ) = K. Logo, qualquer que seja K ∈ R, existe x tal que f(x) = K e então a imagem de f: R → R, tal que
f(x) = ax + b é R. Em outras palavras, a função afim é sobrejetora em R. Mostre você que f é injetora.

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7- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
1ª hipótese: a > 0
2ª hipótese: a < 0
Em qualquer dos casos temos:
a) à direita da raiz, a função tem o mesmo sinal de a.
b) à esquerda da raiz, a função tem o sinal contrário ao de a.
Em resumo:
sinal contrário de a mesmo sinal de a
raiz
Seja discutir o sinal das funções a seguir:
a) y = 1 – 2x
Solução:
Cálculo da raiz: 1 – 2x = 0; x =
Diagrama do sinal
+ + + - - -
Resp:
y > 0 se x < ½
y = 0 se x = ½
y < 0 se x > ½
b) y = (x + 1)(2 – x)
Solução:
Raízes: x + 1 = 0 : x = –1
2 – x = 0 : x = 2
Diagrama do sinal
-1 2
– – ++ ++ x + 1
++ ++ – – 2 - x
– – ++ – – (x + 1) (2 - x)
-1 2
Obs.: As raízes são colocadas em ordem
crescente.
Resp:
y > 0; se –1 < x < 2
y = 0; se x = –1 ou x =2
y < 0; se x < –1 ou x > 2

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8- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES DO 1º GRAU
Resolva as inequações a seguir:
a) (x + 1)4
≤ 0
Solução:
Essa inequação equivale a:
(x + 1)4
< 0, que dá S1
= ∅
ou
(x + 1)4
= 0, que dá S2
= {–1}
Como S = S1
∪ S2
, temos: S = {–1}
b) (2x + 1)5
≥ 0
Solução:
Se uma potência tem expoente ímpar, o sinal do resultado coincide com o sinal da base. Logo:
(2x + 1)5
≥ 0 ; 2x + 1 ≥ 0 ; x ≥ – e então: S = {x ∈ R: x ≥ – }
c) 2x – 1 < –x + 1 < x + 2
Solução:
A inequação dada equivale a:
A solução S é achada fazendo–se a interseção das soluções das inequações anteriores. Logo:
2x –1 < –x + 1 → x <
–x + 1 < x + 2 → x > –
Cálculo de S
S = {x ∈ R: – < x <
3
2
}

45 cor preto
d) (2x + 1) (3 – x) > 0
Solução:
Usamos o quadro de sinais.
S = {x ∈ R: – < x < 3}
e) (x + 1)3
. (3 – x)4
≤ 0
Solução:
Ao discutir os sinais das funções, lembre–se de que:
– Se o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, ou seja, se o expoente é ímpar, esqueça–o
– Se o expoente é par, o resultado é sempre maior ou igual a zero.
Teremos, então:
Se {x ∈ R: x ≤ – 1 ou x = 3}
f)
Solução:
S = {x ∈ R: x ≤ ou x > 2}
Atenção:
No caso das inequações quocientes, não inclua na solução os valores que anulam o denominador.
g)
Solução:
S = {x ∈ R : –1 ≤ x < 0}
-1/2 3
- - - + + + + + + 2x + 1
+ + + + + + - - - 3 - x
- - - + + + - - - P
-1/2 3
2
- - - + + + + + + 2x - 1
- - - - - - + + + x - 2
+ + + - - - + + + Q
2
-1 0
+ + - - - - - -x - 1
- - - - - + + 2x
- - + + + - - Q
-1 0
-1 3
- - - + + + + + + (x + 1)
3
+ + + + + + + + + (3 - x)
4
- - - + + + + + + P
-1 3

46 cor preto
FUNÇÃO DO 2º GRAU
1- DEFINIÇÃO
Chamamos de função do 2º grau ou função quadrática à função f : R → R definida por f(x) = ax2
+ bx + c,
com a ≠ 0.
Exemplos:
a) f(x) = 3x2
– 2x + 5 ; a = 3, b = –2 ; c = 5; b) f(x) = x2
+ 3 ; a = 1, b = 0 ; c = 3; c) f(x) = –x2
+ 2x ; a = –1, b = 2, c = 0
2- GRÁFICO
No momento, o único modo de esboçar o gráfico da função quadrática é através de uma tabela. No entanto,
algumas propriedades que veremos nos permitirão esboçar tal gráfico de modo muito mais fácil. No estudo
da geometria analítica, provaremos que o gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola,
que pode ter as seguintes formas:
No primeiro caso, dizemos que a parábola tem a concavidade para cima. Isso acontece sempre que a > 0.
No segundo caso, dizemos que a concavidade da parábola é para baixo, e para isso a < 0.
3- INTERSEÇÃO COM OS EIXOS
3.1- INTERSEÇÃO COM O EIXO Y
Como já sabemos, para determinar o ponto de interseção entre o gráfico de y = f(x) e o eixo y, basta calcular
f(0). No caso da função quadrática, f(0) = C. Logo, a interseção da parábola com o eixo y é o ponto (0, C).
3.2- INTERSEÇÃO COM O EIXO X
A interseção do gráfico de uma função y = f(x) com o eixo x é chamada de raiz da função e é
encontrada resolvendo-se a equação f(x) = 0. No caso da função do 2º grau, isso se reduz a resolver
a equação ax2
+ bx + c = 0, que é uma equação do 2º grau, a qual estudaremos a seguir.
4- EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda equação redutível à forma ax2
+ bx + c = 0, com a ≠ 0.
Para achar suas raízes, usa-se a fórmula de Báskhara:
x = onde ∆ = b2
– 4ac é chamado de delta ou discriminante.
Observe que se:
• ∆ > 0, a equação terá 2 raízes reais distintas.
• ∆ = 0, a equação terá 2 raízes reais iguais.
• ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.
Demonstra–se ainda que se x1
e x2
são as raízes das
equações ax2
+ bx + c = 0, então
Essas relações são conhecidas
como relações de Girard para a
equação do 2º grau..

47 cor preto
5- A IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Achar a imagem de f(x) = ax2
+ bx + c é procurar para que valores de y existe x tal que ax2
+ bx + c = y
ou ax2
+ bx + c – y = 0 para que essa equação tenha solução ∆ ≥ 0. Logo:
b2
– 4 . a . (c – y) ≥ 0
b2
– 4ac + 4ay ≥ 0
∆ + 4ay ≥ 0 ou 4ay ≥ – ∆
Temos então duas hipóteses:
1ª hipótese: a > 0
Nesse caso 4a > 0 e então y ≥ –
Portanto, para a > 0, os valores de y para os quais existe x tal que ax2
+ bx + c = y são aqueles para os quais
y ≥ – ou seja:
a > 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
2ª hipótese: a < 0
Nesse caso, 4a < 0 e então y ≤ – , logo a < 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≤ – }
Exemplo:
Determine a imagem da função f(x) = 2x2
– 3x + 1
Solução:
∆ = 9 – 4 . 2 . 1 = 1
– = –
8
1
. Logo, como a > 0
Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
{

48 cor preto
6- VÉRTICE, MÁXIMO E MÍNIMO
Analisemos com mais detalhe a situação descrita no item anterior. Para fixar idéias, seja f(x) = ax2
+ bx + c,
com a > 0. Então, o gráfico de f é uma parábola, com a concavidade para cima, tal que
Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
Vemos então que a função apresentará um mínimo igual
a yv
= –
Ao ponto de ordenada Yv
= – chamamos de vértice. Para
achar sua abscissa, basta resolver a equação
ax2
+ bx + c = – . Resolvendo–a, você achará xv
= –
Resumindo, para a > 0:
. Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }
. A função tem um mínimo igual a yv
= –
. O ponto V (vértice) tem coordenadas iguais a ( . – )
De modo semelhante teríamos, para a < 0:
. Im(f) = {y ∈ R: y ≤ – }
. A função tem máximo igual a yv
= –
. As coordenadas do vértice são (– , – )
7- O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Para esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = ax2
+ bx + c, siga o seguinte roteiro:
a) Verifique a concavidade da parábola.
a > 0 ; concavidade para cima.
a < 0 ; concavidade para baixo.
b) Ache a interseção com o eixo y: (0, C)
c) Calcule as raízes da função.
d) Determine o vértice.
e) Esboce o gráfico.
–

49 cor preto
8- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Vamos deduzir as regras de discussão através do estudo gráfico. É lógico que isso não é uma demonstração,
mas é um modo simples de “ver” o estudo de sinal.
1ª hipótese: ∆ > 0
Nesse caso, a função tem duas raízes reais distintas e isso significa que seu gráfico corta o eixo x em dois
pontos diferentes. Teremos:
a > 0 a < 0
Observe que em ambos os casos, vale a regra
onde:
• m/a significa que a função toma valores com o mesmo sinal de a.
• c/a significa que f assume valores com sinal contrário ao sinal de a.
2ª hipótese: ∆ = 0
Nesse caso, a função tem duas raízes reais e iguais. Então, seu gráfico tangencia o eixo x, e podemos ter
os seguintes casos:
m/a c/a m/a
x1 x2
a > 0 a < 0
Conclui-se, daí, a regra:
3ª hipótese: ∆ < 0
Agora temos uma função que não admite raízes reais. Seu gráfico então não tem nenhum ponto em comum
com o eixo x.
a > 0 a < 0
Vale a regra:
m/a
m/a m/a
x1 = x2

50 cor preto
9- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Resolva as inequações a seguir:
a) 2x2
– 7x + 3 < 0
Solução:
raízes: e 3 (Calcule–as)
Diagrama de sinal + + - - - + +
1/2 3
Queremos que f(x) < 0. Tomamos então x no intervalo em que aparece o sinal de menos, e então:
S = {x ∈ R: < x < 3}
Observação:
As raízes não pertencem à solução, pois nos interessa x para os quais f(x) < 0. Elas só seriam incluídas na
solução se fosse pedido f(x) ≤ 0, ou seja, se aparecesse na inequação o sinal de igual.
b) –x2
+ 4x – 4 < 0
Solução:
raiz: 2
Diagrama de sinal - - - - - -
S = {x ∈ R: x ≠ 2} 2
Observação:
• para –x2
+ 4x – 4 ≤ 0, temos S = R
• para –x2
+ 4x – 4 > 0, temos S = ∅
• para –x2
+ 4x – 4 ≥ 0, temos S = {2}
c) (–x2
– 2x + 3) . (x2
– 4x + 4) ≤ 0
Solução:
. raízes de (–x2
– 2x + 3) : –3 e 1
. raízes de (x2
– 4x + 4) : 2
Diagrama de sinais (raízes em ordem crescente)
S = {x ∈ R: x ≤ –3 ou x ≥ 1}
Observação:
Para (–x2
– 2x + 2)(x2
– 4x + 4) < 0, teríamos
S = {x ∈ R: x < –3 ou x > 1 e x ≠ 2}
-3 1 2
- - + + - - - - -x
2
- 2x + 3
+ + + + + + + + x
2
- 4x + 4
- - + + - - - - P
-3 1 2

51 cor preto
FUNÇÃO MODULAR
1– DEFINIÇÃO
Chamamos de função modular à função f: R → R definida por:
f(x) =
Como já vimos, ≥ 0 para todo x real, logo Im(f) = R
+
.
2– GRÁFICO
De acordo com a definição de função modular,
seu gráfico é formado pela parte do gráfico da
reta y = x para o qual x ≥ 0 e pela parte do gráfico
de y = –x para o qual x < 0.
Para fazer o gráfico de funções que envolvem o
conceito de módulos, nós, usando a definição,
representamos a função através de várias sen-
tenças. Em seguida, fazemos os gráficos das
sentenças encontradas e, finalmente, tomamos
a parte do gráfico que nos interessa. Veja alguns
exemplos:
a) f(x) =
Solução:
Façamos o diagrama de sinal para a função y = x – 2, só que no lugar dos sinais + e – colocamos a própria
função, quando x – 2 ≥ 0 e o simétrico dela se x – 2 < 0. Teremos:
Logo:
f(x) = =
Agora é só fazer o gráfico.
-x + 2 x - 2
2

52 cor preto
b) f(x) =
Solução:
Aqui podemos adotar um procedimento diferente. Faça inicialmente o gráfico de y = x2
– 2x – 3.
Depois lembre–se de que ao tomar o módulo, o que se faz é tornar positiva a parte do gráfico que era negativa.
Veja:
3– EQUAÇÕES MODULARES
Para resolver uma equação modular use as propriedades:
a) Se a > 0 , = a ↔ f(x) = a ou f(x) = –a
b) = ↔ f(x) = g(x) ou f(x) = –g(x)
c) = f(x) ↔ f(x) ≥ 0
d) = –f(x) ↔ f(x) ≤ 0
Se a equação dada não se enquadrar em nenhuma das propriedades anteriores, use a definição de módulo e
transforme a equação dada em outras que lhe sejam equivalentes.
1) Resolva as equações:
a) = 1
Solução:
= 1 ↔ 5 – 3x = 1 ou 5 – 3x = –1. Logo:
5 –3x = 1 5 – 3x = –1
–3x = –4 –3x = –6
x =
3
4
x = 2
S = {2, }

53 cor preto
b) = –5
Solução:
Como ≥ 0, não existe x satisfazendo à equação acima e então
S = ∅
c)
Solução:
Teremos:
3x – 2 = 1 – x 3x –2 = – 1 + x
4x = 3 2x = 1
x =
4
3
x =
S = { ½, ¾ }
d) = 2x – 3
Solução:
De acordo com a propriedade C, temos:
= 2x – 3 ↔ 2x – 3 ≥ 0 ou x ≥ . Logo, S = {x ∈ R: x ≥ }
e) = x – 5
Solução:
Observe que x – 5 é simétrico de 5 – x e então = x – 5 ↔ 5 – x ≤ 0 ; x ≥ 5.
S = {x ∈ R: x ≥ 5}
f) 2
Solução:
Para resolver essa equação, faça = y. Teremos:
2y2
– 5y – 3 = 0, que resolvida dá y = 3 e y = –
Se y = 3, obteremos |x| = 3; x = ± 3
Se y = – , |x| = – não admite solução. Portanto:
S = {–3, 3}
g) |x + 1| = 3x + 2

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Solução:
Para que essa equação admita solução, devemos ter 3x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 2/3 ( I )
Nessas condições, |x+ 1| = 3x + 2 acarreta:
x + 1 = 3 x + 2 ou x + 1 = -3x - 2
-2x = 1 4x = -3
x = – x =
Como não satisfaz à condição ( I ), teremos: S =
h) |x + 1| - |x| = 2x + 1
Solução:
Nesse caso, devemos substituir os módulos por expressões eqüivalentes e para isso, usamos a definição
dada e o estudo de sinal. Veja como fica o diagrama.
1ª hipótese: x ≤ –1.
A equação dada equivale a: –1 = 2x + 1 ou x = –1
Como esse número pertence à condição dada, obtemos S1
= {–1}
2ª hipótese: –1 ≤ x ≤ 0
Teremos
2x + 1 = 2x + 1, ou seja, obtemos uma identidade. Isso significa que todo x, tal que –1 ≤ x ≤ 0 é solução da
equação e S2
= { x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0}
3ª hipótese: x ≥ 0
Obtemos:
1 = 2x + 1 ; x = 0 e então S3
= {0}
Finalmente, S = S1
∪ S2
∪ S3
, logo
S = {x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0}
-1 0
-x - 1 x + 1 x + 1 |x + 1|
-x -x x |x|
- 1 2x + 1 1 |x + 1| - |x|
-1 0

55 cor preto
4- INEQUAÇÕES MODULARES
Para resolver inequações modulares, usamos as propriedades:
a) Se a > 0 , |x| > a ↔ x > a ou x < –a
b) Se a > 0 , |x| < a ↔ –a < x < a
Caso a inequação dada não se enquadre em nenhuma dessas duas, usamos a definição de módulo e trans-
formamos a inequação em outras equivalentes de 1º ou 2º grau.
1) Resolva as inequações
a) |2x – 1| > 5
Solução:
|2x – 1| > 5 ↔ 2x – 1 > 5 ou 2x – 1 < –5
2x – 1 > 5 2x – 1 < –5
2x > 6 2x < –4
x > 3 x < –2
S = {x ∈ R : x < –2 ou x > 3}
b) < 5
Solução:
Como = |x – 1| , a inequação fica:
|x –1| < 5 ↔ –5 < x – 1 < 5
–5 + 1 < x < 5 + 1
–4 < x < 6
S = {x ∈ R : –4 < x < 6}
c) ||x| – 2| > 1
Solução:
||x| – 2| > 1 ↔ |x| – 2 > 1 ou |x| – 2 < –1
1ª hipótese: |x| –2 > 1 ; |x| > 3 ; x > 3 ou x < –3
2ª hipótese: |x| – 2 < –1 ; |x| < 1 ; –1 < x < 1
Logo, S = {x ∈ R : x < –3 ou –1 < x < 1 ou x > 3}
Observação:
Para os demais casos, use os mesmos artifícios e propriedades que usamos nas equações.

56 cor preto
GEOMETRIA PLANA
ÂNGULO
1- O QUE É GEOMETRIA?
A palavra “geometria” vem do grego e significa
“medida da terra”. Esse significado sugere como surgiu
essa parte tão importante da Matemática. Os estudos
mostram que por volta de 2000 anos a.C., os habitantes
dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates já tinham
acumulado uma série de propriedades empíricas sobre
as figuras geométricas. Ao passarem esse
conhecimento para os gregos, estes o formalizaram,
dando à geometria conhecida na época um caráter
dedutivo. Deve-se a um grande matemático grego,
chamado Euclides, a sistematização de toda a geometria
conhecida na sua época, que foi editada numa obra
chamada Os Elementos, formada de 13 volumes. A
geometria que estudamos hoje não é muito diferente
da geometria de Euclides e será chamada de geometria
Euclidiana (por satisfazer o postulado de Euclides).
2- COMO ESTUDAREMOS A GEOMETRIA?
A geometria estuda as figuras geométricas, suas
relações e propriedades.
Uma figura geométrica para ficar bem
caracterizada deve ser definida. Assim, para definir
uma figura (ou um conceito) usamos conceitos
previamente estabelecidos. É fácil ver que isso nos leva
a considerar alguns conceitos sem definição, e esses
serão chamados de conceitos primitivos.
Consideraremos como primitivos (sem definição) os
conceitos de ponto, reta, plano.
As propriedades de uma figura, para que se
acredite nelas, devem ser provadas, e para isso usam-
se propriedades previamente estabelecidas.
Novamente aqui sentimos a necessidade de
considerarmos algumas propriedades sem prova. A
essas daremos o nome de Postulados ou Axiomas.
Às propriedades que carecem de uma prova para
serem críveis, chamaremos Teorema.
3- PONTO
É o ente básico da geometria. Representa-se por uma marca feita no papel e para lhe dar nome usa-se uma
letra maiúscula. O ponto não tem dimensões. Usando o conceito de ponto define-se:
- Espaço é o conjunto de todos os pontos.
- Figura geométrica é qualquer conjunto não vazio de pontos.
4- RETA
Representa-se através do desenho a seguir.
As setas são colocadas para lembrar que a reta não tem princípio nem fim.
Aceita-se como postulado que:
Dois pontos distintos determinam uma reta.
Para indicar a reta podemos:
a) usar uma letra minúscula
reta r
ou
b) usar dois de seus pontos
reta ou reta

57 cor preto
Se um conjunto de pontos pertence a uma reta, dizemos que eles são colineares.
Os principais subconjuntos da reta são:
a) Semi-reta: qualquer uma das partes em que uma reta fica dividida por um de seus pontos.
Exemplo:
:
O ponto A, determina na reta r, duas semi-retas
: semi-reta de origem A e que passa por B.
: semi-reta de origem A e que passa por C.
b) Segmento: conjunto formado por dois pontos de uma reta e por todos os pontos entre eles.
Exemplo:
: segmento de extremidades A e B.
A medida de um segmento será representada por AB.
Sobre duas retas, dizemos que elas são:
a) Concorrentes: se possuem um único ponto em comum.
b) Coincidentes: se todos os seus pontos coincidem.
c) Paralelas: se estão contidas num mesmo plano, e não têm ponto em comum.
r // s: a reta r é paralela à reta s.
r

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5- PLANO
Figura que nos sugere o tampo de uma mesa, desde que a imaginemos estendendo-se em todas as direções.
Para denotá-lo, usa-se uma letra grega minúscula.
Temos os seguintes postulados:
- Três pontos não colineares determinam um plano.
- Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, essa reta está contida no plano.
- Postulado de Euclides: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela à
reta dada e que passa pelo ponto dado.
Dizemos que uma figura é plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.
plano a (alfa)
6- ÂNGULO
Definição
Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem.
Exemplo:
As semi-retas e são os lados do ângulo. O ponto O é o vértice. Denotamos o ângulo por: , ou .
Se os lados e são semi-retas opostas, dizemos que o ângulo é raso.
é ângulo raso.
7- ÂNGULOS CONGRUENTES
Acongruênciaentreânguloséumarelaçãonãodefinida.Intuitivamente,dizemosquedoisângulossãocongruentes
se ao transportar um sobre o outro eles coincidem. A relação de congruência, representada pelos símbolos ≅
ou ≡, possui as seguintes propriedades:
- reflexiva: todo ângulo é congruente a ele próprio:
- simétrica: se então
- transitiva: se e então .

59 cor preto
8- MEDIDA DE UM ÂNGULO
Medir um ângulo é compará-lo com um outro ângulo que escolhemos como unidade. Aunidade mais usada é
o grau, que é o ângulo obtido ao dividir o ângulo raso em 180 ângulos congruentes entre si.Assim, ao dizer que
um ângulo mede 30° (trinta graus), isso significa que o ângulo de 1° “cabe” 30 vezes no ângulo .
Observe que de acordo com a definição, o ângulo raso mede 180°. Para medir ângulos menores que 1°,
usamos os submúltiplos do grau: o minuto e o segundo, que se relacionam do seguinte modo:
1° = 60’
1’ = 60’’
À semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o
divide em dois ângulos congruentes chamamos de
bissetriz do ângulo.
9- TIPOS DE ÂNGULOS
é bissetriz de .
Alguns ângulos recebem nome especial. Os
principais são:
- Ângulo reto: é o ângulo cuja medida é 90º. - Se duas retas se cortam determinando quatro
ângulos retos, dizemos que elas são
perpendiculares.
r e s são perpendiculares (r s)
Uma reta perpendicular a um segmento, pelo seu ponto médio, chama-se mediatriz.
r
M ponto médio de
- Ângulo agudo: é o ângulo cuja medida é menor
que 90°.
- Ângulo obtuso: é o ângulo cuja medida é maior
que 90°.
A
B
C
O

60 cor preto
- Ângulos complementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90°.
- Ângulos suplementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 180°.
- Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): são dois ângulos para os quais os lados de um são semi-retas
opostas aos lados do outro.
Teorema: Dois ângulos o.p.v. são congruentes.
Demonstração:
Sejam os ângulos â e dois ângulos o.p.v.
Observe que:
Portanto:
a + c = b + c e daí vem: a = b e então .
Obs.: a está representando a medida do ângulo â.

61 cor preto
POLÍGONOS
1- LINHA POLIGONAL
É a reunião de segmentos consecutivos e não colineares.
Veja alguns exemplos:
A) linha poligonal aberta simples B) linha poligonal aberta entrelaçada
C) linhas poligonais fechadas simples D) linha poligonal fechada entrelaçada
2- A NOÇÃO DE POLÍGONO
Chamamos de polígono a toda linha poligonal fechada e simples.
Assim, as linhas poligonais do exemplo C do item anterior são polígonos. O primeiro exemplo é um polígono
convexo e o segundo é um polígono não convexo. Observe que no primeiro caso o segmento que une dois
pontos quaisquer no interior do polígono está contido no interior desse polígono. Já no segundo caso, existe
pelo menos um segmento unindo dois pontos no interior do polígono, que não está integralmente contido no
interior do polígono.
convexo não convexo
Daqui para frente, ao falarmos em polígono, entenda-se que falamos de polígono convexo.
Dado um polígono, temos:
vértices: são os pontos A, B, C, ...
lados: são os segmentos , , ...
ângulos internos: Â, , ...
ângulos externos: são ângulos formados pelo prolongamento de um lado com o lado adjacente, como a
por exemplo.

62 cor preto
perímetro: é a soma dos lados do polígono. Representa-se por 2p.
diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos. Exemplos: , , etc.
Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados que possuem. Assim:
3 lados - triângulo 9 lados - eneágono
4 lados - quadrilátero 10 lados - decágono
5 lados - pentágono 11 lados - undecágono
6 lados - hexágono 12 lados - dodecágono
7 lados - heptágono 15 lados - pentadecágono
8 lados - octógono 20 lados - icoságono
Os que não aparecem listados acima são denotados também pelo número de lados que possuem, por exemplo:
polígono de treze lados, polígono de trinta lados, etc. Se um polígono tem todos os lados congruentes e todos
os ângulos congruentes, dizemos que ele é regular.
3- NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
Teorema: Seja P um polígono com n lados. Então, o número (d) de diagonais desse polígono é:
Demonstração:
Observe que de cada vértice partem n - 3 diagonais.
Assim de A, por exemplo, não são diagonais ,
e . Como são n vértices, teremos n . (n - 3)
diagonais. No entanto, cada uma dessas diagonais é
contada duas vezes (por exemplo e ). Logo:
4- ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
No capítulo seguinte, provaremos que:
Teorema: A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é: Si = (n - 2) . 180°
Teorema: A soma dos ângulos externos (Se) de um polígono é: Se = 360°
Caso o polígono seja regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, assim como seus ângulos
externos. Então:
, i = medida de cada ângulo interno
, e = medida de cada ângulo externo

63 cor preto
TRIÂNGULO
1- O QUE É UM TRIÂNGULO?
Chamamos de triângulo a todo polígono de 3 lados.
Dado um triângulo, temos:
vértices: são os pontos A, B e C.
lados: são os segmentos .
Um triângulo pode ser classificado de dois modos:
Em relação aos ângulos.
• Equilátero: os três lados são congruentes. • Isósceles: dois lados são congruentes.
No triângulo isósceles, temos que o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice;
o lado oposto ao ângulo do vértice chama-se base e os outros dois ângulos do triângulo são os ângulos da
base. Assim:
Â: ângulo do vértice
: ângulos da base
: base
•Escaleno: não existem lados congruentes.
Em relação aos lados, o triângulo pode ser:
• Retângulo: um ângulo é reto.
No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois são chamados de
catetos.
• Acutângulo: todos os ângulos são agudos. • Obtusângulo: um ângulo é obtuso.
A
B C
A
B C
A
B
C
A
B C

64 cor preto
2- AS CEVIANAS DE UM TRIÂNGULO
Chamamos de ceviana a qualquer segmento que tem uma extremidade em um dos vértices e a outra em um
ponto do lado oposto a esse vértice. As principais cevianas de um triângulo são:
• Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
AH é altura.
Obs.: em todo triângulo existem três alturas que se cortam num ponto chamado ortocentro.
• Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz de
um ângulo interno limitado pelo vértice e pela
interseção da bissetriz com o lado oposto.
AD é bissetriz do ângulo Â.
Obs.: as bissetrizes internas de um triângulo se cortam num ponto chamado incentro. Esse ponto é o
centro da circunferência inscrita no triângulo.
• Bissetriz Externa: é o segmento da bissetriz de um ângulo
externo limitado pelo vértice e pela interseção da bissetriz com
o prolongamento do lado oposto.
AD é bissetriz externa.
• Mediana: segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Se M é ponto médio de BC, AM é mediana.
Obs.:As três medianas de um triângulo se cortam
num ponto chamado baricentro.
3- PROPRIEDADES DAS CEVIANAS
1ª) A bissetriz traçada do ângulo do vértice de um triângulo isósceles também é altura e mediana.
2ª) Num triângulo eqüilátero, o ortocentro, o baricentro e o incentro, coincidem.
3ª) A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é metade dessa hipotenusa.
4ª) Se G é baricentro, temos:
Essas propriedades serão provadas mais à frente.
A
B C
G
M
A
B C
M

65 cor preto
4- TRIÂNGULOS CONGRUENTES
Intuitivamente, dizemos que dois triângulos são congruentes se eles podem coincidir por superposição. Para
que isso aconteça, é necessário que os lados do primeiro triângulo sejam congruentes aos lados do segundo
triângulo e que os ângulos do primeiro triângulo sejam congruentes aos ângulos do segundo triângulo. Assim,
se os triângulos ABC e DEF são congruentes, temos:
Notação:
Se quisermos, porém, provar que dois triângulos são congruentes, não precisaremos mostrar todas as seis
congruências dadas anteriormente. Existem critérios que garantem a congruência de dois triângulos utilizando
apenas três congruências das seis que foram dadas. Esses critérios são chamados de casos de congruência.
• Caso L.A.L.
Se AB = DE, AC = DF e , então
• Caso A.L.A.
Se , BC = EF e , então
• Caso L.L.L.
Se AB = DE, AC = DF e BC = EF, então
• Caso L.A.A.
Se AB = DE, e , então

66 cor preto
• Caso do Triângulo Retângulo
Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, eles são congruentes.
Atenção: Não existem os casos de congruência AAA e LLA.
5- DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO
Seja ABC um triângulo
P.1) Ao maior lado opõe-se maior ângulo.
P.2) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado.
P.3) Cada lado do triângulo é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença deles.
6- PARALELAS E TRANSVERSAIS
Sejam r e s duas retas, concorrentes ou paralelas. Uma reta t, que intercepta r e s é chamada de transversal.
A B
C
D
F
E
A
B C
Em qualquer situação, ficam determinados oito
ângulos denominados:
alternos internos: (c, e) e (d, f)
alternos externos: (a, g) e (b, h)
colaterais internos: (c, f) e (d, e)
colaterais externos: (a, h) e (b, g)
correspondentes: (a, e), (d, h), (b, f) e (c, g)
Se r e s são paralelas, teremos:
• dois ângulos alternos internos são congruentes.
• dois ângulos alternos externos são congruentes.
• dois ângulos colaterais internos são suplementares.
• dois ângulos colaterais externos são suplementares.
• dois ângulos correspondentes são congruentes.
7- LEI ANGULAR DE THALES
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Demonstração:
Seja o triângulo ABC e tracemos por A uma reta r paralela a BC. Então: x =
e y = (alternos internos). Além disso, Â + x + y = 180°, pois formam um
ângulo raso. Logo, substituindo x e y, temos: .
t
8- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Demonstração:
Observe que:
e
Logo: e e daí e =

67 cor preto
QUADRILÁTEROS
1- DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO
Como já foi visto, chamamos de quadrilátero a todo polígono de quatro lados.
Podemos classificar os quadriláteros basicamente em três classes:
• Paralelogramos: são os quadriláteros cujos lados opostos são paralelos.
• Trapézios: são quadriláteros que têm dois lados paralelos.
• Trapezóides: são quadriláteros que não têm lados paralelos.
Paralelogramo Trapézio Trapezóide
É fácil perceber que um quadrilátero, qualquer que seja ele, tem duas diagonais e a soma de seus ângulos
internos é 360º.
2- ESTUDANDO OS PARALELOGRAMOS
Os paralelogramos são quadriláteros com uma série de importantes propriedades, que veremos a seguir:
P.1) Em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
Demonstração:
Seja o paralelogramo ABCD, e tracemos a diagonal
AC. Temos que os triângulos ABC e ADC são
congruentes (A.L.A.), pois:
(alternos internos)
AC = AC (comum)
(alternos internos)
Portanto, .
De modo semelhante (trace ) prova-se que .
P.2) Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Demonstração:
Da congruência dos triângulos (fig. anterior), deduz-se que AD = BC e AB = CD.
P.3) As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
Demonstração:
Observe que os triângulos AMB e CMD são
congruentes (A.L.A.), pois:
(alternos internos)
AB = CD (lados opostos de um paralelogramo)
(alternos internos)
Logo:
AM = MC
BM = MD

68 cor preto
Como treinamento, sugerimos que você prove os teoremas recíprocos de P.1, P.2 e P.3.
R.1) Todo quadrilátero (convexo) que tem ângulos congruentes é um paralelogramo.
R.2) Se um quadrilátero tem lados opostos congruentes, ele é um paralelogramo.
R.3) Se as diagonais de um quadrilátero cortam-se ao meio, ele é um paralelogramo.
No conjunto dos paralelogramos, podemos destacar:
• Retângulo: paralelogramo cujos ângulos são congruentes.
• Losango: paralelogramo cujos lados são congruentes.
• Quadrado: paralelogramo que tem os ângulos congruentes e os lados congruentes.
Como o retângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos. Eles possuem todas as propriedades anteriores.
Além disso, temos:
• Retângulo: as diagonais de um retângulo são congruentes.
Demonstração:
Não é difícil você concluir que cada ângulo
interno de um retângulo mede 90º. Além
disso, os triângulos ABC e ABD são
congruentes (L.A.L.) pois:
AB = AB (comum)
(ambos são retos)
BC = AD (lados opostos de um paralelogramo)
Como conseqüência, AC = BD.
Obs.: Como M é ponto médio das diagonais (P3), e no caso do retângulo essas diagonais são iguais, temos:
AM = BM = MD ou seja (considere o triângulo ABD): a mediana relativa à hipotenusa é metade dessa hipotenusa.
• Losango: as diagonais de um losango são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.
• Quadrado: as diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos.
Tente, você, provar estas duas últimas propriedades. Finalmente, é bom lembrar que vale também o recíproco
de todas essas propriedades.
3- FALANDO DOS TRAPÉZIOS
Como já dissemos, trapézio é o quadrilátero que tem
dois lados paralelos. Esses lados são chamados de
bases do trapézio. O segmento da perpendicular traçada
de um vértice à base chama-se altura.
Um trapézio se diz isósceles, se os lados não paralelos forem congruentes. Se um trapézio é isósceles, temos
o seguinte:
Teorema: os ângulos da base de um trapézio
isósceles são congruentes.
Demonstração:
Seja o trapézio isósceles (AD = BC) ABCD.
Se um trapézio tiver dois ângulos retos, dizemos que
ele é um trapézio retângulo.
Tracemos . Desse modo, temos que o quadri-
látero BCDE é um paralelogramo pois seus lados opos-
tos são paralelos. Como conseqüência BC = DE = AD
e então o triângulo ADE é isósceles e Â = Ê. Como
(correspondentes) temos que .Além disso:
Logo:
e como , vem: .
colaterais internos
: bases
h: altura

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