02/12/2022
E(λ ,λ' ,t)=2πℏ(2λ' t+λ t2
) ?
On a p=
h
λ
→ v=
h
m0 λ
soit
d x(t)
dt
=
h
m0 λ
→ x(t)=∫0
t h
m0 λ
dT =∫0
t h
m0 vT
dT =
h
p
ln(
t
τ)
tau étant un temp caractéristique pour annuler la dimension il s'agirait alors
de la période : x(t)=
h
p
ln(
t
T
) → x(t)=λ ln(
t
T
) .
Vérification :
x(t)=v T ln(
t
T
) → x(t)=x ' (t)T ln(
t
T
)
→
1
T ln(
t
T
)
=
x ' (t)
x(t)
→ ∫ 1
T ln(
t
T
)
dt=ln[x(t)]
→
1
T ln(
t
T
)
=(ln[ x(t)])'=
x ' (t)
x(t)
ok .

Si on reporte cette position sur l'axe de l'oscillateur mécanique libre
x ' '+ω
2
x=0 sa donne :
[λ ln(
t
T
)]' '+ω2
λ ln(
t
T
)=0
→ [λ' ln(
t
T
)+λ
T
t
]'+ω2
λ ln(
t
T
)=0
→ λ' ' ln(
t
T
)+λ'
T
t
+λ '
T
t
+λT −
1
t2
+ω2
λ ln(
t
T
)=0
(λ' '+ω
2
λ)(ln(t)−ln(T ))+(
2 λ'
t
+λ)T −
1
t
2
=0
.
On pose l'oscillateur quantique → λ' '+ω2
λ=0 avec
ω=
E
ℏ
sa donne →
1
t
2
−(
2λ '
t
+λ)T =0
→ 2π(2λ ' t+λ t2
)=ω
→
E(λ ,λ' ,t)=2π ℏ(2λ' t+λ t2
)
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