Këtu janë paraqitur matricat dhe veprimet me matrica. Shumëzimi është sqaruar në mënyrën më të thjeshtë të mundshme

1. 1

2. 2

3. 3
Matricë quhet çdo tabelë
drejtkëndore me elemente
numra realë (ose kompleks )
Matrica me m rreshta dhe n kolona
quhet matricë e tipit m x n.

4. 11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn mxn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a







 
L
L
L
M M M M
L
Rreshti 1
Rreshti 2
Rreshti 3
Rreshti m
Kolona 1 Kolona 2 Kolona 3 Kolona n
4
Një matricë paraqitet në këtë mënyrë:

5. 5
• Matrica simbolikisht shënohet:
ij mxn
A a   
1, 2,...,
1, 2,...,
i m
j n


• Matrica e tipit nxn quhet matricë katrore, kurse
matrica e tipit 1xn, gjegjësisht nx1, quhet matricë
rreshtore, gjegjësisht matricë shtyllore.
 2,3,4A  matrica rresht
2
3
4
A
 
   
  
matrica shtyllë
1 2
3 4
A
 
  
 
matrica katrore

6. • Matrica quhet zero matricë, nëse
6
ij mxn
A a    0, ,ija i j 
• Matrica quhet zero skalare, nëse kurseij mxn
A a    ,ija a
0,ija i j  
• Në veçanti për a=1, matrica skalare , quhet zero njësi e
rendit n dhe shënohet me I=In :
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I






 
L
L
L
M M M M
L

7. 7

8. 8
a) Barazimi i matricave
Dy matrica dhe janë të barabarta
(A=B ), nëse janë të të njejtit tip (m=p, n=q ), kurse
elementet përkatëse i kanë të barabarta, d.m.th.
vlenë: .
ij mxn
A a    ij pxq
B b   
,i j
ij ija b
Shembulli 1. Matricat e mëposhtme janë të barabarta
2 1
log100 3
A
 
  
 
2 sin90
2 3
B
 
 
 
o
Pra A=B

9. 9
b) Shumëzimi i matricës me skalar
Matrica shumëzohet me skalarin , nëse
çdo element i matricës A shumëzohet me . Pra:
ij mxn
A a    

ij ijmxn mxn
a a         
Shembulli 2. Matricat të shumëzohet me numrin 3.
2 3
1 4
A
 
  
Zgjidhje
2 3 6 9
3 3
1 4 3 12
A
   
        

10. 5 0
4 1
A
 
  
 
A + B
 5 6 0 3
4 2 1 3
    
  
  
1 3
6 4
 
  
 10
c) Shuma e matricave
Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th.
matrica të tipit të njejtë. Shumë të matricave A dhe B
quajmë matricën A+B, e cila përkufizohet si vijonë :
ij mxn
A a    ij mxn
B b   
A+B= ij ij ij ijmxn mxn mxn
a b a b            
Shembulli 3. Janë dhënë matricat:
6 3
2 3
B
 
  
 
Shuma e tyre është :
dhe

11. 11
Ndryshim i matricave A dhe B quhet matricën A+(-B)
dhe shenohet : A-B=A+(-B)
Shembulli 4. Janë dhënë matricat:
1 2
3 4
5 0
A
 
   
  
2 4
6 3
7 2
B
 
   
  
dhe
Ndryshimi i tyre do të jetë
 
 
1 2 2 4
3 6 4 3
5 7 0 2
   
 
     
     
A - B
1 6
3 7
2 2
  
  
  
d) Ndryshimi i matricave

12. 12
e) Transponimi i matricës
Nëse në matricën rreshtat ndrrohen me shtyllat,
atëherë matrica e fituar quhet matricë e transponuar e
matricës A dhe shënohet
ij mxn
A a   
T
ji nxm
A a   
Shembulli 5. Nëse , atëherë
1 2
3 4
5 0
A
 
   
  
1 3 5
2 4 0
T
A
 
   

13. 13
f) Shumëzimi i matricave
Le të jenë dhe dy matrica të tilla që
numri i shtyllave të matricës së parë A të jetë i barabartë
me numrin e rreshtave të matricës së dytë B.
Në këtë rast shumëzimi është i mundur dhe
prodhimi do të jetë i tipit mxp .
ij mxn
A a    ij nxp
B b   
A B
A B C 
1
( 1,2,..., ; 1,2,..., )
n
ij ik kj
k
c a b i m j p

  
Shembulli 6. Nëse dhe , atëherë 2 3 4A 
1
1
2
 
   
  
A B   2 3 4 
1
1
2
B
 
   
  
2 1 3 ( 1)   4 2  7

14. 14
Shembulli 7. Janë dhënë matricat:
3 1 2
0 1 1
A
 
   
1 5
1 2
1 1
B
 
   
  
dhe
Të gjendet A B
Zgjidhje
A B 
3 1 2
0 1 1
 
  
1 5
1 2
1 1
 
   
  
 
    
3 1 1 1 2 1 3 5 1 2 2 1
0 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 1
           
 
            
3 1 2 15 2 2
0 1 1 0 2 1
    
      
4 19
.
2 1
 
  
3 1
 1 1 
2 1

15. 15