1. TEOREMA LUI PITAGORA
“GEOMETRIA ESTE CEA MAI BUNĂ ŞI MAI SIMPLĂ
DINTRE TOATE LOGICILE, CEA MAI POTRIVITĂ SĂ
DEA INFLEXIBILITATE JUDECĂŢII ŞI RAŢIUNII.”
DENIS DIDEROT
Prof. Iuliana TRAȘCĂ
1
2. OBIECTIVE OPERAŢIONALE
să ştie ce este triunghiul dreptunghic ;
să identifice catetele si ipotenuza unui triunghi
dreptunghic;
să identifice triunghiuri dreptunghice pe figurile
geometrice învăţate şi să scrie relaţiile
corespunzătoare între elementele lor ;
să cunoască şi să utilizeze corect teorema lui
Pitagora şi reciproca în rezolvarea problemelor;
să identifice situaţii practice care pot fi rezolvate cu
ajutorul acestei teoreme .
2
3. REACTUALIZAREA
CUNOŞTINŢELOR ANTERIOARE
TEOREMA ÎNĂLŢIMII
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălţimii dusă din vârful unghiului
drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe
ipotenuza.
𝑨𝑫 𝟐 = 𝑩𝑫 ∙ 𝑫𝑪
TEOREMA CATETEI
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a
lungimii ipotenuzei și a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză.
𝑨𝑩 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑩𝑫; 𝑨𝑪 𝟐 = 𝑩𝑪 ∙ 𝑫𝑪
A
C
B
D
3
Problema
5. 1. DEMONSTRAŢIE FOLOSIND TEOREMA CATETEI
A
C
D
B
Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC
conform teoremei catetei, avem:
AB² = BC•BD
AC² = BC•CD , adunând membru
cu membru obținem:
AB² + AC² = BC•( BD + DC)
= BC•BC = BC²
Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.
5
6. 2. DEMONSTRAŢIE PE BAZA TRIUNGHIURILOR
ASEMENEA
A
BC
D
xa-x
b c
a
ΔABC ~ ΔDBA
(conform cazului U.U.), avem:
1
1
x / c = c / a => c² = ax (1)
ΔABC ~ΔDAC
(conform cazului U.U.), avem
(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)
Adunând membru cu membru relațiile (1) și (2)
obținem:
b²+c² = a²+ax – ax
Deci, a² = b² + c² c.c.t.d.
6
7. 3. DEMONSTRAŢIE PE BAZA DE ARII ALE PATRATELOR
A
B
C
a
b
c
D
E
F
J
K
L
Aria pătratului (ABFJ) = c²
Aria pătratului (ACLK) = b²
Aria pătratului (BCDE) = a²
Aria (BCDE )= Aria (ACLK) + Aria (ABFJ)
Deci: a² = b² + c² c. c. t. d.
a
b
c
7
8. 8
*4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE
A
B
C
DE
I
H
G
F
M
N
Aria(ABE)=1/2 ∙ BE ∙ BN=1/2∙Aria(BEMN)
Aria(BCI)=1/2 ∙ BI ∙ AB=1/2∙Aria(AHIB)
Dar, ΔABE≡ΔBCI(LUL) =>
Aria (BEMN) = Aria (AHIB)(1)
Aria(ACD)=1/2∙CD ∙ CN=
=1/2∙Aria(CDMN)
Aria(BCF)=1/2 ∙ CF ∙ CA=
=1/2∙Aria(CFGA)
Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=>
Aria (CDMN) = Aria (CFGA) (2)
Adunând relațiile (1) și (2) obținem:
Aria(BEMN+CDMN)=Aria(AHIB+CFGA)
Deci Aria (BCDE)=Aria (AHIB+CFGA)
BC² = AB² + AC² c.c.t.d.
9. 9
*5. Demonstraţia lui Leonardo da Vinci
A’
A
B’
C’
B C
D
E
a
a
a
a
bc/2
bc/2
bc/2
bc/2
(b-c)²
În triunghiul dreptunghic ABC,
m<(BAC)=90º
AB=c, BC=a, AC=b, pe ipotenuza BC construim
pătratul BCDE și ducem DB’ ┴AC, EC’┴DB’,
AA’┴EC’.
Pătratul BCDE se descompune în 4 triunghiuri
dreptunghice congruente cu triunghiul
dreptunghic ABC de catete b și c și pătratul
AA’C’B’de latură AB’=AC-B’C’= b-c, deci
Aria (AB’C’A’) = AB’² - (b-c)²
Aria( ABC)=aria (CDB’)=aria( DC’E)=aria
(EA’B)=bc/2
Avem aria (BCDE) = aria (AB’C’A’) +
+ 4 aria (ABC) sau
a² = (b-c)² +4 bc/2 = b² -2bc + c² +2bc
Adică, a² = b ²+ c² c.c.t.d.
10. PROBLEME
1.Fie triunghiul ABC dreptunghic în A:
a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4 cm, respectiv 3 cm,
determinaţi
lungimea ipotenuzei BC.
b) Dacă cateta AC=6 cm, iar ipotenuza BC= 10 cm, determinaţi
lungimea
catetei AB.
10
Problema 1: rezolvare a)
Problema 1: rezolvare b)
11. 11
A
B C
a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
BC2= 42+32
BC2 = 16+9
BC2 = 25 𝑐𝑚2, de unde BC= 5 cm.
4 cm
3 cm
Problema 1: rezolvare a)
ENUNT PROBLEMA
12. 12
A
B C
b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:
AB2 = BC2 -AC2
Înlocuim:
AB2= 102 -62
AB2 = 100-36
AB2 = 64 𝑐𝑚2, de unde AB= 8 cm.
6 cm
10 cm
Problema 1: rezolvare b)
Enunt problema
13. 2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul
care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei,
a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei.
13
14. A
B CD
În triunghiul dreptunghic ABC, avem: BC=2·AC
(AC se opune unghiului de 300 şi BC este
ipotenuza). Deci : BC= 6 cm
3cm
300
Enunt problema
14
15. În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm
teorema lui Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
62= AB2+32; AB2 = 36-9
AB2 = 25 𝑐𝑚2, de unde AB= 5 cm.
În triunghiul dreptunghic ADB:
AB=2·AD
AD=2,5 cm.
Enunț problemă
15
16. 3. O catetă a unui triunghi dreptunghic are
lungimea de 10 cm, iar înălţimea corespunzătoare
ipotenuzei este de 8 cm.
Să se afle lungimile celeilalte catete şi a
ipotenuzei.
16
17. A
BC D
În triunghiul dreptunghic ADB, aplicăm teorema
lui Pitagora astfel:
AB2 =DB2 +AD2
Înlocuim:
102= DB2+82; DB2 = 100-64
DB2 = 36 𝑐𝑚2, de unde DB= 6 cm.
10 cm
8 cm
6 cm
17
Teorema Pitagora
18. Aplicăm teorema catetei în triunghiul ABC astfel:
AB2 =BD·BC
Înlocuim:
102= 6 ·BC
100 = 6 ·BC, de unde BC = 16,(6) cm.
În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui
Pitagora astfel:
BC2 =AB2 +AC2
Înlocuim:
= 100+AC2
De unde AC2= , deci AC= 13,(6) cm
2
3
50
9
1600
18
Teorema catetei