El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico. Al aplicarlo, es posible determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil, determinar la velocidad máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la concentración de una mezcla o predecir el número de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden resolverse gracias a esta disciplina. Sin embargo, para el surgimiento del cálculo diferencial, la humanidad tuvo que recorrer un camino largo y tortuoso para dilucidar claramente las ideas que llevaron a la generación de los conceptos que permitieron su nacimiento. A continuación, se realiza un breve recorrido por sus orígenes. Aplicación del cálculo diferencial Varlan, H. (2008). Transparent chemistry glass tubes filled with substances [fotografía]. Tomada de https://www.flickr.com/photos/horiavarlan/4273225057/ PreviousNext El estudio de este tema te permitirá: Distinguir los elementos del cálculo diferencial, a través de la revisión de sus orígenes, para diferenciarlo de otras ramas de la matemática y discernir el tipo de problemáticas donde se aplica esta disciplina. Matemática La matemática se relaciona en todo momento con cualquier sociedad humana; la aritmética y la geometría surgen en ellas casi de manera inmediata ante la necesidad de contar y medir en las operaciones comerciales, productivas y legales que se dan al interior de estos grupos humanos. Borregos PreviousNext La necesidad de contar y medir se da desde las sociedades más antiguas Aritmética En el proceso de evolución de esta ciencia es posible decir que se da primero la aritmética, la cual es una rama de las matemáticas que permite contar los objetos y establecer un orden numérico a través de la abstracción de la naturaleza que surge a partir de los números; asimismo, en la aritmética se definen las operaciones elementales que se pueden realizar con los números: suma, resta, multiplicación y división.

1. 1.1 Definición de derivada e interpretación geométrica.
Definición. La derivada de una función f en un número a, denotada con 𝑓′(𝑎), es
𝑓′(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Si el límite existe.
La recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥), en (𝑎, 𝑓(𝑎)), es la recta que pasa por (𝑎, 𝑓(𝑎)) cuya pendiente
es igual a 𝑓′(𝑎), la derivada de 𝑓 en 𝑎.
La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), en (𝑎, 𝑓(𝑎)) se puede escribir:
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
La derivada 𝑓′(𝑎) es la razón instantánea de cambio de 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a x cuando
𝑥 = 𝑎.
Ejemplos. Calcula 𝑓′(𝑎) mediante la definición
1) 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
1 + (𝑎 + ℎ) − 2(𝑎 + ℎ)2
− (1 + 𝑎 − 2𝑎2)
ℎ
= lim
ℎ→0
1 + 𝑎 + ℎ − 2𝑎2
− 4𝑎ℎ − 2ℎ2
− 1 − 𝑎 + 2𝑎2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ − 4𝑎ℎ − 2ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(1 − 4𝑎 − 2ℎ)
ℎ
= lim
ℎ→0
(1 − 4𝑎 − 2ℎ) = 1 − 4𝑎
𝑓´(𝑎) = 1 − 4𝑎
2) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝟐𝒙−𝟏

2. 𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑎 + ℎ
2(𝑎 + ℎ) − 1
−
𝑎
2𝑎 − 1
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(2𝑎 − 1) − 𝑎[2𝑎 + 2ℎ − 1]
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑎2
− 𝑎 + 2𝑎ℎ − ℎ − 2𝑎2
− 2𝑎ℎ + 𝑎
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
ℎ
1
= lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
= lim
ℎ→0
−1
[2(𝑎 + ℎ) − 1][2𝑎 − 1]
=
−1
(2𝑎 − 1)2
𝑓´(𝑎) =
−1
(2𝑎−1)2
3) 𝒇(𝒙) =
𝟐
√𝟑−𝒙
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
2
√3 − (𝑎 + ℎ)
−
2
√3 − 𝑎
ℎ
= lim
ℎ→0
2√3 − 𝑎 − 2√3 − (𝑎 + ℎ)
√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎
ℎ
1
= lim
ℎ→0
2√3 − 𝑎 − 2√3 − (𝑎 + ℎ)
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎
∗
2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ)
2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ)
= lim
ℎ→0
4(3 − 𝑎) − 4(3 − 𝑎 − ℎ)
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
= lim
ℎ→0
4ℎ
ℎ√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
= lim
ℎ→0
4
√3 − (𝑎 + ℎ)√3 − 𝑎 (2√3 − 𝑎 + 2√3 − (𝑎 + ℎ))
=
4
(3 − 𝑎)4√3 − 𝑎
=
1
(3 − 𝑎)
3
2
=
1
(√3 − 𝑎)
3
𝑓´(𝑎) =
1
(√3 − 𝑎)
3
4) 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝒙𝟑
𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
3(𝑎 + ℎ) + (𝑎 + ℎ)3
− (3𝑎 + 𝑎3)
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑎 + 3ℎ + 𝑎3
+ 3𝑎2
ℎ + 3𝑎ℎ2
+ ℎ3
− 3𝑎 − 𝑎3
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ + 3𝑎2
ℎ + 3𝑎ℎ2
+ ℎ3
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(3 + 3𝑎2
+ 3𝑎ℎ + ℎ2)
ℎ
= lim
ℎ→0
(3 + 3𝑎2
+ 3𝑎ℎ + ℎ2) = 3 + 3𝑎2
𝑓´(𝑎) = 3 + 3𝑎2
5) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙𝟐−𝟏

3. 𝑓´(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑎 + ℎ
(𝑎 + ℎ)2 − 1
−
𝑎
𝑎2 − 1
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(𝑎2
− 1) − 𝑎[(𝑎 + ℎ)2
− 1]
[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
ℎ
1
= lim
ℎ→0
(𝑎 + ℎ)(𝑎2
− 1) − 𝑎[(𝑎 + ℎ)2
− 1]
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
𝑎3
− 𝑎 + 𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎(𝑎2
+ 2𝑎ℎ + ℎ2
− 1)
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
𝑎3
− 𝑎 + 𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎3
− 2𝑎2
ℎ − 𝑎ℎ2
+ 𝑎
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
−𝑎2
ℎ − ℎ − 𝑎ℎ2
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
ℎ(−𝑎2
− 1 − 𝑎ℎ)
ℎ[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
= lim
ℎ→0
−𝑎2
− 1 − 𝑎ℎ
[(𝑎 + ℎ)2 − 1][𝑎2 − 1]
=
−𝑎2
− 1
(𝑎2 − 1)2
= −
𝑎2
+ 1
[(𝑎 − 1)(𝑎 + 1)]2
=
Ejercicios. Calcula 𝑓´(𝑎) usando la definición
1) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1
2) 𝑓(𝑥) =
1
√2𝑥
3) 𝑓(𝑥) =
5
𝑥2
4) 𝑓(𝑥) = 8 + 2𝑥 − 5𝑥2
5) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥+4