2. Meta
Apresentar o cálculo das progressões aritméticas e das
progressões geométricas no cotidiano agropecuário.
Objetivos
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. identificar e calcular uma progressão aritmética;
2. identificar e calcular uma progressão geométrica;
3. utilizar o termo geral de uma progressão e a soma
de seus termos.
3. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
241
Seqüências numéricas
Na Matemática, estudamos conjuntos numéricos (conjunto cujos elementos são
números) quando os elementos desses conjuntos são dispostos obedecendo a uma
determinada regra, o que chamamos de seqüência numérica.
As seqüências numéricas estão estreitamente associadas aos processos de con-
tagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração. Toda seqüência nu-
mérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos
dizer que em qualquer seqüência os elementos são dispostos da seguinte forma:
(a1
, a2
, a3
, a4
, ..., an
, ...) ou (a1
, a2
, a3
, a4
, ..., an
), onde a1
é o 1º elemento,
a2
o segundo elemento, e assim por diante: an
é o enésimo elemento.
Fonte: http://www.brasilescola.com/upload/e/sequencia%20numerica.jpg
Figura 10.1: As seqüências numéricas podem ter finitos e infinitos elementos.
4. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
242 Vamos estudar duas seqüências importantes à progressão aritmética e à progressão
geométrica. As progressões são aplicadas aos mais diversos campos de estudos
em matemática.
Progressão aritmética (PA)
Chama-se Progressão Aritmética (PA) toda seqüência numérica (a1
, a2
, ..., an
)
cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor
constante. A essa constante denominamos razão da PA, indicada por r.
Exemplos:
A = (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ...) é uma PA de razão (r) = 3;
B = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...) é uma PA de razão (r) = 2;
C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PA de razão (r) = 0;
D = (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10, ...) é uma PA de razão (r) = -10.
No exemplo anterior, os conjuntos A e B são PA crescentes, enquanto o conjunto
C é uma PA constante e o conjunto D uma PA decrescente.
Uma PA crescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é maior que
o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior
que zero (r > 0).
Uma PA constante é toda PA em que todos os termos são iguais, para isso tendo
a razão r que ser sempre igual a zero.
Uma PA decrescente é toda PA em que cada termo, a partir do segundo, é
menor que o termo que o antecede, para isso tendo a razão r que ser sem-
pre menor do que zero (r < 0).
Termo geral de uma PA
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte
forma:
an
= a1
+ (n - 1)r
A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.
5. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
243
Demonstração do termo geral de uma PA
• O valor de qualquer termo de uma PA é igual ao anterior mais a constante.
• O valor do segundo termo de uma PA é igual ao primeiro mais a constante:
• O valor do terceiro termo de uma PA é igual ao segundo mais a constante:
• O valor do quarto termo de uma PA é igual ao terceiro mais a constante:
a4
= a3
+ r = (a1
+ 2r) + r; portanto: a3
= a1
+ 3r
• Como o número multiplicado pela razão é sempre a posição do termo menos 1,
temos a fórmula do termo geral de uma PA:
an
= a1
+ (n – 1) . r
Em suma, a demonstração pode ser vista desta forma:
a1
a2
= a1
+ r
a3
= a1
+ r + r = a1
+ 2r
a4
= a1
+ 2r + r = a1
+ 3r
a5
= a1
+ 3r + r = a1
+ 4r
an
= a1
+ (n -1)r
Se a seqüência numérica (a, b, c) está em uma PA, então .
a2
= a1
+ r.
a3
= a2
+ r = (a1
+ r) + r; portanto: a3
= a1
+ 2r
Atenção!
6. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
244 Soma dos termos de uma PA
A soma de todos os termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do
primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:
A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/
Carl_Friedrich_Gauss
Figura 10.2: Johann Carl Friedrich
Gauss.
Johann Carl Friedrich Gauss foi um matemático,
astrônomo e físico alemão. Foi conhecido como o
príncipe dos matemáticos e muitos o consideram
o maior gênio da história da matemática.
Ele possuía memória fotográfica, tendo retido
nitidamente as impressões da infância e da
meninice até a sua morte. Segundo história
famosa, o diretor da escola onde ele estudava
pediu que os alunos somassem os números
inteiros de um a cem. Mal havia enunciado
o problema e o jovem Gauss demonstrou o
seu talento sobre a mesa, dizendo: “Já sei!
A resposta é 5050.” O raciocínio tem como base
a demonstração da fórmula da soma de uma
progressão aritmética, conforme adiante:
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2S = (1 + 100) + (1 + 100) + (1 + 100) + ... + (1 + 100) + (1 + 100) +
(1 + 100) = 100(1 + 100)
Soma
O diretor da escola ficou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que
pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele desenvolver suas habilidades.
Saiba mais...
Sn
n n
=
+
( )
a a
1
2
7. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
245
Demonstração da soma dos termos de uma PA
• Podemos expressar uma PA de duas maneiras:
Sn
= a1
+ (a1
+ r ) + (a1
+ 2r
) ... + ... na – 2r + na – r + na
Sn
= na + (na – r ) + (na – 2r ) ... + ... a1
+ 2r + a1
+r + a1
• Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam,
e então ficamos com:
2Sn
= (a1
+ an
) + (a1
+ an
) + (a1
+ an
) … + … (a1
+ an
) + (a1
+ an
) + (a1
+ an
)
Simplificando, temos: 2
2
1
1
S n
S
n
n n
n
n
= +
=
+
( )
( )
a a
a a
Atende aos Objetivos 1 e 3
Atividade 1
Nayanna estava com um problema de vazamento de água no açude de seu sítio.
O encanamento entupiu. A terra está absorvendo muito rapidamente a água. O poço
tinha capacidade para 7 m3
de água. Ela observa que a cada 1 hora a terra está
absorvendo uns 100 litros de água. Por quanto tempo Nayanna poderá deixar
esse vazamento continuar para ficar com pelo menos 3,5m3
de água? Ou seja, ela
poderá perder somente 3,5 m3
de água?
Ricardo
Ferreira
Paraizo
8. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
246
O fazendeiro, Sr. Rodrigo, está querendo aumentar a produção de peixes do seu
sítio seguindo esta tabela que seu filho o ajudou a montar:
Atende aos Objetivos 1 e 3
Atividade 2
Ano Massa de peixe para venda
2006 800 kg
2007 900 kg
2008 1.000 kg
2009 1.100 kg
E assim sucessivamente…
Tendo um lucro de R$ 5,00 pelo quilo do peixe que vende na peixaria “Ki Peixe”,
daqui a quanto tempo Rodrigo poderá ter aproximadamente R$ 50.000,00 para
comprar um pedaço de terra e aumentar seu sítio?
Se Nayanna não conseguir conter a vazão do poço, o mesmo vai secar e os peixes
nele contidos vão morrer.
10. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
248
Um poceiro, para cavar um poço de 6 metros de profundidade, cobra R$ 50,00
pelo primeiro metro, R$ 100,00 pelo segundo, R$ 150,00 pelo terceiro etc. Quanto
ele recebe pelo serviço todo?
Atende aos Objetivos 1 e 3
Atividade 3
Fonte: www.sxc.hu
Quanto mais fundo for ficando o buraco do poço, mais difícil será furá-lo!
Kriss
Szkurlatowski
11. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
249
Progressão geométrica (PG)
Chama-se Progressão Geométrica (PG) toda seqüência numérica (a1
, a2
, ..., an
)
cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao produto do termo anterior por
um valor constante. A essa constante denominamos razão da PG, mas também
chamamos de quociente de uma PG e indicamos por q.
é igual à constante q.
Exemplos:
A = (1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2.187...) é uma PG de quociente (q) = 3;
B = (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, ...) é uma PG de quociente (q) = 1/2;
C = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PG de quociente (q) = 1;
D = (-3, 9, -27, 81, -243, 729, –2.187, ...) é uma PG de quociente (q) = –3.
No exemplo anterior, o conjunto A é uma PG crescente, o conjunto B é uma PG
decrescente, o conjunto C é uma PG constante e o conjunto D é uma PG oscilante.
Uma PG é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo
que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e maior que 1.
Uma PG é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que
o termo que o antecede, para isso tendo a razão q que ser sempre positiva e
diferente de zero.
Uma PG é constante quando todos os termos são iguais.
Uma PG é oscilante (ou alternante) quando todos os termos são diferentes de zero
e dois termos consecutivos têm sempre sinais opostos, para isso tendo a razão q
que ser sempre negativa e diferente de zero.
Termo geral de uma PG
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é expressa da seguinte
forma:
an
= a1
q(n - 1)
A seguir, vamos fazer uma demonstração de como nós chegamos a essa fórmula.
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
3
2
4
3 1
= = = = =
... ...
n
n−
−
12. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
250 Demonstração do termo geral de uma PG
Agora precisamos encontrar uma expressão que nos forneça o termo geral de uma
PG conhecendo apenas o primeiro termo (a1
) e a razão (q). Isso é possível graças
à lei de formação específica da PG. Seja (a1
, a2
, a3
, ... , an
) uma PG de quociente q.
Temos:
a2
= a1
. q
a3
= a1
. q . q = a1
. q2
a4
= a1
. q2
. q = a1
. q3
a5
= a1
. q3
q = a1
. q4
Continuando a seqüência, chegaremos ao termo an
, que ocupa a n-ésima posição
da PG, dada pela expressão:
an
= a1
. q(n - 1)
Atenção!
Se (a, b, c) estão em PG, então b2
= a.c
A soma dos termos de uma PG
Para demonstrar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica,
consideramos duas seqüências geométricas Sn (Equação I) e q.Sn (Equação II).
Subtraindo a Equação I da Equação II, temos:
Sn
= a1
+ (a1
. q ) + (a1
. q2
) + ... + (a1
. qn-1
) (I)
q . Sn
= a1
. q + (a1
. q2
) + .. + (a1
. qn-1
) + (a1
. qn
) (II)
(II) – (I) q . Sn
– Sn
= -a1
+ a1
. qn
Sn
(q – 1) = a1
(-1 + qn
)
Sn
a q
q
n
=
−
( )
−
1 1
1
13. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
251
Os técnicos em agropecuária Rômulo e Pedro estão trabalhando numa pesquisa
num laboratório de piscicultura e verificaram que os peixes do aquário estão
morrendo. Parece que alguma moléstia atacou os peixes. Na semana da pesquisa,
apareceu 1 peixe morto na segunda-feira. Na terça morreram 3 peixes. Na quarta
morreram 9 outros. Se continuar essa progressão, no final de domingo quantos
peixes terão morrido?
Atende aos Objetivos 2 e 3
Atividade 4
Ricardo
Ferreira
Paraizo
Quantos peixes ainda restarão na experiência dos técnicos, no final de uma sema-
na, se os mesmo estão morrendo em progressão geométrica?
14. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
252
Continuando a Atividade 4, resolva a questão:
É possível fazer a estimativa de quantos peixes, no total, morrerão até o domingo?
Atende aos Objetivos 2 e 3
Atividade 5
Ricardo
Ferreira
Paraizo
Parece que os peixes estão morrendo em progressão geométrica de razão 3.
15. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
253
O Sr. Vicente resolveu fazer uma criação de coelhos em sua chácara. Ele começou
com dois casais. No final de um mês, desses casais nasceram mais 16 coelhos; no
mês seguinte nasceram 80 coelhos. Verificou-se que o crescimento segue uma PG.
Quantos coelhos esperamos ter na chácara de Vicente no final de 5 meses?
Na cunicultura do Sr. Vicente os animais estão crescendo muito rapidamente. Será
que esse crescimento está em progressão aritmética ou geométrica?
Atende aos Objetivos 2 e 3
Atividade 6
Ricardo
Ferreira
Paraizo
16. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
254
No primeiro ano de instalação de uma indústria, ela fabrica 106
unidades de
determinado produto, e a previsão é que a cada ano dobre a sua produção.
Durante 10 anos, quantas unidades essa fábrica terá produzido?
Atende aos Objetivos 2 e 3
Atividade 7
Fonte: www.sxc.hu
Craig
Jewell
Numa indústria de água mineral embalam-se muitas e muitas unidades de
garrafões por ano.
17. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
255
Resumindo...
• O estudo que fizemos nesta aula está ligado ao processo de contagem
indireta, principalmente em se tratando de uma seqüência numérica muito
extensa. Recorrendo a algumas fórmulas bem simples, fica muito fácil
obter resultados de soma ou elementos dessas seqüências.
• PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA):
A representação dos termos de uma PA é (a1
, a2
, a3
, ... ,an
, an+1
...), onde:
a2
– a1
= a3
– a2
= ... = an+1
– an
= r.
• Fórmula do termo geral de uma PA − qualquer termo da PA pode ser
obtido pela fórmula:
Em que: a1
= primeiro termo; an
= último termo;
n = número de termos; r = razão.
• Fórmula da soma dos n primeiros termos da PA:
Em que: a1
= primeiro termo; an
= último termo;
n = número de termos; Sn
= soma dos termos.
• PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG):
A representação dos termos de uma PG é (a1
, a2
, a3
, ... ,an
, an+1
...), onde:
• Fórmula do termo geral de uma PG − qualquer termo da PG pode ser
obtido pela fórmula: an
= a1
. qn-1
Em que: a1
= primeiro termo; an
= último termo;
n = número de termos; q = razão.
• Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita − Para obter a
soma dos n termos da PG (a1
, a2
, a3
, ... ,an
) finita, usamos a fórmula:
Em que: a1
= primeiro termo; q = razão;
n = número de termos; Sn
= soma dos termos.
Sn
a a n
n
=
+
( ).
1
2
a
a
a
a
a
a
q
n
n
2
1
3
2
1
= = = =
+
...
S
a q
q
n
n
= 1 1
1
( )
−
−
−
−
an
= a1
+ (n-1).r
18. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
256 Informação sobre a próxima aula
Na próxima aula, vamos estudar Exponencial e Logaritmo.
Respostas das Atividades
Atividade 1
100 litros = 0,1 m3
Temos, aqui, um problema de PA:
Vamos chamar de:
a1
= 0,1 m3
→ Volume de água perdido depois de 1 hora
a2
= 0,2 m3
→ Volume de água perdido depois de 2 horas
a3
= 0,3 m3
→ Volume de água perdido depois de 3 horas
an
= 3,5 m3
→ Volume de água perdido depois de n horas
Para calcular esse tempo, vamos usar a fórmula an
= a1
+ (n – 1).r,
que é a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA), em que
an
= último termo = 3,5
a1
= 1º termo = 0,1
n = número de termos = ?
r = razão = a2
– a1
= 0,2 – 0,1 = 0,1
Substituindo a fórmula:
an
= a1
+ (n – 1).r
3,5 = 0,1 + (n –1).0,1
3,5 = 0,1 + 0,1.n – 0,1
3,5 = 0,1.n
n = 35 horas
24 h + 11 h = 1 dia + 11 horas
19. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
257
Esse poço vai estar com 3,5 m3
de água daqui a 1 dia + 11 horas. Nayanna
precisa descobrir logo o que está agarrado dentro do cano, senão o poço ficará
comprometido em termos de volume de água.
Atividade 2
Primeiro vamos ver quanto de lucro o Sr. Rodrigo ganha por ano.
Se ele vende 800 kg no primeiro mês, então 800 x 5 = R$ 4.000,00
Completando a tabela:
(Supondo períodos sem inflação, ou seja, em que não haverá aumento no preço
do peixe.)
Ano Massa de peixe para venda Lucro previsto
2006 800 kg R$ 4.000,00 = a1
2007 900 kg R$ 4.500,00 = a2
2008 1.000 kg R$ 5.000,00 = a3
2009 1.100 kg R$ 5.500,00 = a4
Temos aqui uma seqüência chamada de PA (Progressão Aritmética).
Nesse caso, precisamos somar todos os lucros obtidos, e a soma total precisa ser
de R$ 50.000,00 (que é o valor que Rodrigo quer juntar).
Para saber o número de anos que ele precisa esperar para juntar tal valor, pre-
cisamos usar a fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA, que é:
Onde Sn = 50.000 (soma dos termos da progressão)
a1
= 4.000
an
(último termo) e n (número de termos) nós não temos. No entanto, podemos
calcular an
com a fórmula usada no problema da vazão (problema anterior).
Então, usando a fórmula an
= a1
+ (n –1).r, temos:
a1
= 4.000
r = a2
- a1
= 500
Então, substituindo na fórmula, temos:
an
= a1
+ (n –1).r
an
= 4.000 + (n – 1 ).500
an
= 4.000 + 500n – 500
an
= 3.500 + 500n
Sn
a a n
n
=
+
( ).
1
2
20. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
258 Agora podemos usar a fórmula de Sn
para calcular o n, que será o número de anos
que você quer achar:
Multiplicando cruzado (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos),
temos:
100.000 = (7.500 + 500n)n
100.000 = 7.500n + 500n2
Trocando os membros, temos uma equação do 2º grau:
500 n2
+ 7.500n – 1.000.000 = 0
Fazendo a devida simplificação por 100 temos:
5n2
+ 75n – 10.000 = 0
Usando a fórmula de Baskara, podemos resolver esta equação do 2º grau:
∆ = b2
- 4ac
∆ = (75)2
- 4.5(-10.000)
∆ = 5.625 + 20.000
∆ = 25.625
n = (-b ± 160)/2a =
n´ = (-75+160)/10 ≅ 8,5 anos
8 anos e 6 meses é o tempo aproximado que ele deve esperar para comprar seu
terreno.
Atividade 3
Aqui temos uma progressão aritmética (PA). Veja:
a1
= R$ 50,00 → a1
representando o preço que o poceiro cobra para furar o 1º
metro de profundidade do poço.
a2
= R$ 100,00 → a2
representando o preço que o poceiro cobra para furar o 2º
metro de profundidade do poço.
a3
= R$ 150,00 → a3
representando o preço que o poceiro cobra para furar o 3º
metro de profundidade do poço.
Sn
a a n
n
=
+
( ).
1
2
50 000
4 000 3 500 500
2
.
( . . ).
=
+ + n n
21. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
259
a6
= ? → a6
representando o preço que o poceiro cobra para furar o 6º metro de
profundidade do poço.
Como queremos calcular o valor total que o poceiro cobra por todo o serviço,
devemos calcular a soma dos termos de uma PA, cuja fórmula é:
Nós não temos o an
, ou seja, a6
. Precisamos, então, calculá-lo! Vamos usar a
fórmula do termo geral da PA, que é an
= a1
+ (n - 1).r
a6
= 50 + (6 - 1).50
a6
= 50 + (5).50
a6
= 50 + 250
a6
= 300
Substituindo a fórmula de Sn
, temos:
O poceiro recebe R$ 1.050,00 pelos 6m do poço perfurado.
Atividade 4
Isto é uma PG de razão 3. Vamos, então, calcular quantos peixes deverão morrer
no final de domingo.
Vamos considerar a seqüência:
a1 = 1→ Segunda-feira
a2
= 3→ Terça-feira
a3
= 9→ Quarta-feira (ontem)
a4
= 27→ Quinta-feira (previsão no final do dia de hoje)
a7
= Domingo
Aqui temos a razão q = 3
Por meio da fórmula para calcular o termo geral de uma PG, temos:
Sn
a a n
n
=
+
( ).
1
2
a a q
a a a a
n
n
= ⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
−
−
1
1
7
7 1
7
6
7 7
1 3 1 3 1 729 729
Sn
a a n
n
=
+
=
+ ⋅
=
⋅
= ⋅ =
( ). ( )
.
1
2
50 300 6
2
350 6
2
350 3 1 050
22. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
260 Se continuar assim, na segunda-feira seguinte Rômulo e Pedro terão poucos
peixes para desenvolverem a pesquisa.
Atividade 5
Se a seqüência continuar geometricamente, é só somar seus termos para sabermos
aproximadamente quantos peixes, no total, estarão mortos até domingo.
Vamos, então, calcular a soma dos termos de uma PG. Consideramos:
a1
= 1, n = 7 (número de dias, de segunda a domingo) e q = 3 (que é a
razão da PG)
Agora é só usar a fórmula substituindo esses valores:
Então, se a seqüência seguir uma PG, até domingo estarão mortos, no total, 1.093
peixes, somando-se todos os peixes que estão previstos de morrer de segunda a
domingo.
Como foram colocados inicialmente 1.293 peixes no início da pesquisa, deverão
sobrar 200 peixes para terminarmos a pesquisa na segunda (a8
). Na terça,
provavelmente, não vai mais sobrar peixe.
Atividade 6
Como o Sr. Vicente começou com um casal, vamos considerar o total inicial (a0
)
de 4 coelhos. No final do 1º mês desse casal nasceram mais 16 coelhos (a1
), então
ficaram 20 coelhos (16 que nasceram + 4 que já existiam inicialmente). No final
do 2º mês (a3
) nasceram mais 80 coelhos, ficando 100 (20 + 80). Vamos, então,
ter a seguinte seqüência:
a0
= 4 → Desconsiderar este número da seqüência;
a1
= 20 →Total de coelhos no final do 1º mês;
a2
= 100→ Total de coelhos no final do 2º mês;
a3
= 500→ Total de coelhos no final do 3º mês;
a5
= ? Total de coelhos no final do 5º mês → Esta é a questão.
Sn
a q
q
Sn
Sn Sn
n
=
=
⋅
= ⇒ = =
1
7
1
1
1 3 1
3 1
2 187 1
2
2 186
2
1 093
( )
( )
( . ) .
.
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
23. Aula
10
–
Progressões
aritméticas
e
progressões
geométricas
261
Temos, aqui, uma progressão geométrica de razão (q) igual a 5 →
Usando a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica, temos:
an
= a1
. qn-1
a5
= 20. 55-1
a5
= 20.54
= 20.625 = 12.500
O número de coelhos que se espera ter no final de 5 meses na chácara do Sr.
Vicente é 12.500.
Atividade 7
a1
= 106
→ Total de unidades fabricadas no final do 1º ano
a2
= 2.106
→ Total de unidades fabricadas no final do 2º ano
a3
= 4.106
→ Total de unidades fabricadas no final do 3º ano
a10
= ? → Total de unidades fabricadas no final do 10º ano (n = 10)
Nesta atividade, precisamos calcular a soma de todas as unidades fabricadas
durante os 10 anos de instalação da fábrica.
Como podemos ver pela seqüência anterior, temos uma progressão geométrica.
Para calcular a somas dos termos da PG, usamos a fórmula:
Sn
= 1.023.000.000
Durante 10 anos após instalada, essa fábrica terá fabricado o total de
1.023.000.000 (um bilhão e vinte e três milhões) de unidades.
a
a
2
1
100
20
5
= =
S
a q
q
S
S
S
n
n
n
n
n
=
−
−
=
−
−
=
−
= ⋅
1
6 10
6
6
1
1
10 2 1
2 1
10 1 024 1
1
10 1 023
( )
( )
( . )
.
24. e-Tec
Brasil
–
Matemática
Instrumental
262 Referências bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática. 1999. v. 1.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: FTD.
2000. v. 2.
IEZZI Gelson et al. Matemática: ciência e aplicação. 2. ed. São Paulo: Atual.
2004. v. 1.
PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1997. v. 2.
Sites consultados
MARQUES, Paulo. Progressões matemáticas, PA. Disponível em: <http://www.
algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html>.Acessoem:14jan.
2009.
MIRANDA, Daniele de. Progressão matemática. Disponível em: <http://www.bra-
silescola.com/matematica/progressao-geometrica.htm>. Acesso em: 14 jan. 2009.
