խնդիրներ մաթեմատիկայից http://matematika.advandcash.biz/mathematika-xndirner/

1. M p s u n m i u n m i u u i m
Ն Ո Ր Ը Լ Ա Վ Մ Ո Ռ Ա Ց Վ Ա Ծ Հ Ի Ն Ն է
Ա. Ս. Մ ի ք ա յ ե լ յա ն
Ե րևա նի թ իվ 32 մ ի ջ ն ա կ ա ր գ դ պ ր ո ց
Հա յտ նի ճշմա րտ ությա ն դրսևորման մեկ օրինա կի մասին էխոսվում ստորև ներկա յա ցվող
հոդվածում:
Գ.Գ.Գևորգյանի և Ի.Վ.Միքայելյանի «777 խ նդիրներ մա թեմա տ իկա յից» գրքում, ա ռ ա ­
ջա րկվում է լուծել հետևյալ խնդիրը.
Խ ն դ ի ր 1: Տ րվա ծ է ABC եռանկյունը (գծ. 1): AB , BC և CA կողմերի
վ ր ա հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր վ ե ր ց վ ա ծ են M, N և P կ ե տ ե ր ա յն պ ե ս , որ
2 ■A M = MB , 2 ■BN = NC , 2 •CP = PA : A -ն մ ի ա ց վ ա ծ է Л/֊ին, В ֊ն Я -ին,
С ֊ն М ֊ին:
Ա պ ա ց ո ւ ց ե լ, որ АХВХСХ ե ռ ա ն կ յ ա ն մ ա կ ե ր ե ս ը հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ է ABC
ե ռ ա ն կ յա ն մ ա կ ե ր ե ս ի ն , ա յն պ ե ս ինչպ ես 1:7: (Տես [2] էջ 40 խ ն դ ի ր 324):
в
Գծ. 1
Գ .Ա .Տ ոնոյա նի « Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա կ ա ն ը ն տ ր ո վ ի թ ե ո ր ե մ ն ե ր և խ ն դ ի ր ն ե ր » գ ր ք ի
տ ր ա մ ա բ ա ն ա կ ա ն բա ժնում ա ռա ջա րկվում է լուծել հետևյալ խնդիրը.
Խ ն դ ի ր 2: Կ ա ղ Ս ի լվ ե ս տ ր ը և վեց ծ ո վ ա հ ե ն ն ե ր , ո ր ո ն ք կ ե ն դ ա ն ի էին
30

2. ԱՐՏԱԴԱԱԱՈՄԼւե'Կն!1ւ
մ ն ա ց ե լ մ ա ր տ ի ց , բ ա ժ ա ն ո ւ մ են ա վ ա ր ը : Ն ր ա ն ք պ ե տ ք Է բ ա ժ ա ն ե ն
ե ռ ա ն կ յ ո ւ ն ա ձ և ո ս կ յա թ ի թ ե ղ ը ա յ ն պ ի ս ի մ ա ս ե ր ի , ո ր ո ն ց մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը
(կա մ կշիռները) հ ա ր ա բ ե ր ե ն , ի ն չպ ե ս 5:5:5:3:1:1:1:
Ե ր կ ա ր վիճ ելո ւց հ ե տ ո Ս ի լ վ ե ս տ ր ը կ ա ց ն ի ե ր ե ք հ ա ր վ ա ծ ո վ կ տ ր տ ե ց
թիթեղը: Ի նչպ ե՞ս նա ա յդ ա րեց: (Տես [3] Էջ 163 խ ն դ ի ր 68):
Ա րտ ա քինից իրա ր հետ ոչ մի նմա նություն չունեցող այս խ նդիրները, բովա նդա կա յին
ա ռումով ըստ Էության միևնույն փ ա ս տ ի տ ա րբեր մոտ եցումներ են, մեկ տ ա րբերությա մբ,
որ խ նդիր 1-ում ձևա կերպ ումն ու պ ա հա նջը խ իստ կոնկրետ են, մինչդեռ խ նդիր 2-ում
պ ա հ ա ն ջ վ ա ծ բա ժա նումը ըստ Էության ծ ա ծ կ վ ա ծ Է ա նորոշությա ն ք ո ղ ո վ չբա ցա ռելով
ա յդպ իսի բա ժա նմա ն ոչ միակությունը:
Խ ն դ ի ր 3: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն AB , BC և CA կ ո ղ մ ե ր ի վրա ,
հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր , վ ե ր ց վ ա ծ են R, P եւQ կ ե տ ե ր ն ա յն պ ե ս , որ
RB CP QA
AR B P ՜ CQ ՜ ( 1)
(տես գծ. 2):
Գտնել ARM, EQC, BNP և M N E չորս եռանկյունների, ինչպես նաև AMEQ, PNEC,
BNMR երեք քա ռա նկյունների մա կերեսները, եթե հա յտ նի Է, որ ТшЬ.АВС = Տ0:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ :
Ն շա նա կենք AR ֊ X , BP = у ; CQ = z :
(1)-ից հետ ևում Է RB = x ; P C - Х у ; QA =Xz : Հետ և ա բ ա ր Մ ա կճ/1 /? ^ ք= 5 1;
ՄակABNP = Տշ; ՄակACEQ = s3, Шх^А MNE = s0 Մակ AMEQ = s4; Մակ PNEC = s5
Մակ RMNB = s6:
Տ ա նենք RK // PD // AC (տես գծ. 2):
В
Գծ. 2
31

3. ա՜>տսԴե՝ւ1սոտւ1!Կս1է
Այժմ ըստ հերթա կա նությա ն, DBP և ABC . ա յնուհետ և ADP և ARK ինչպես նաև
R M K և AMC նմա ն եռա նկյունների զույգերից կ ս տ ա ն ա ն ք
Ш) ADPB ֊ A A B C = * ֊ = — = — = — —i Z = Я+ 1, DB = — = лг,DP = — = z
DB DP BP у A +1 A+l
Բ) AAPK ~ A ADP => — = ֊ ֊ = A,>քա նիոր= A S - DB = Xx, ուստի RK = — = —.
RK AR A A
Գ) ARMK ֊ A AMC => ЯЛ/ :M C = R K :A C = ֊ :AA+ :
Ճ
ա 1 . — „ . „ , 2 , , D 1 , _ D J / n 2 ______________ < RM 1■RC = MC+ RM = R M (2+ճ ) + RM = RM(X2+A + 1) կամ
ж : aaa + i ; /гс a2+ a + i
Մյուս կողմից
Մակձ/Ա1?^ _ ЛЯ _ 1 Մակճ АВР _ BP _ 1 ՄակճՏ(?ճ՛ _ CQ _ 1
Մ ա կճ ABC АВ А+ Г JmAABC ВС A+ l ’ UmAABC AC A+ l ’
որտեղից՝
С
Մ ա կ ճ ARC = Մ ա կճ АВР = Մ ա կ ճ BQC = ------— •
ГА + ) ■
Միևնույն ժա մա նա կ'
JiiAARM _ RM _ 1
1шАARC ~ ЯС ~A2+ A + l ’
որտ եղից և կ ս տ ա ն ա ն ք
* =
(A+ 1)(A +A + 1)
Կա նգուն դա տ ողություններ կա տ ա րելով այս ա նգա մ ABNP ֊ի և ACEQ -ի նկա տ մա մբ
տա նելով, հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր
PP'WQQ'WAB և QQ"RR'BC ,
կստ ա նա նք
տ„ ,
1 2 " * ! ~ ( А + 1) Д 2 + * + 1) : (2)
Այժմ ա րդեն դժվա ր չէ տեսնել, որ
32

4. ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ
մ ն ա ց ե լ մ ա ր տ ի ց , բ ա ժ ա ն ո ւ մ են ա վ ա ր ը : Ն ր ա ն ք պ ե տ ք է բ ա ժ ա ն ե ն
ե ռ ա ն կ յ ո ւ ն ա ձ և ո ս կ յա թ ի թ ե ղ ը ա յ ն պ ի ս ի մ ա ս ե ր ի , ո ր ո ն ց մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը
(կա մ կշիռները) հ ա ր ա բ ե ր ե ն , ի նչպ ե ս 5:5:5:3:1:1:1:
Ե ր կ ա ր վ իճ ելո ւց հ ե տ ո Ս ի լ վ ե ս տ ր ը կ ա ց ն ի ե ր ե ք հ ա ր վ ա ծ ո վ կ տ ր տ ե ց
թիթեղը: Ի նչպ ե՞ս նա ա յդ ա րեց: (Տես [3] էջ 163 խ ն դ ի ր 68):
Ա րտ ա քինից իրա ր հետ ոչ մի նմա նություն չունեցող այս խ նդիրները, բովա նդա կա յին
ա ռումով ըստ էության միևնույն փ ա ս տ ի տ ա րբեր մոտ եցումներ են, մեկ տ ա րբերությա մբ,
որ խ նդիր 1-ում ձև ա կերպ ումն ու պ ա հա նջ ը խ իստ կոնկրետ են, մինչդեռ խ նդիր 2-ում
պ ա հ ա ն ջ վ ա ծ բա ժա նումը ըստ էության ծա ծ կ վ ա ծ է ա նորոշությա ն ք ո ղ ո վ չբա ցա ռելով
ա յդպ իսի բա ժա նմա ն ոչ միակությունը:
Խ ն դ ի ր 3: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն AB , BC և CA կ ո ղ մ ե ր ի վրա ,
հ ա մ ա պ ա տ ա ս խ ա ն ա բ ա ր , վ ե ր ց վ ա ծ են R, P եւ Q կ ե տ ե ր ն ա յն պ ե ս , որ
(տես գծ. 2):
Գտնել ARM, EQC, BNP և M N E չորս եռանկյունների, ինչպես նաև AMEQ, PNEC,
BNMR երեք քա ռա նկյունների մա կերեսները, եթե հա յտ նի է, որ Մ ա EABC ֊ Տ0:
Լ ո ւ ծ ո ւ մ :
Ն շա նա կենք AR = X , B P - y ; CQ = z :
(1)-ից հետ ևում է RB = X x P C = X y ; QA = Xz : Հետ և ա բ ա ր Մ ա կ ճ A R M = 5,;
Մ ա կ ճ BNP = s21 Մ ա կճ CEQ = 53. Մ ա կճ MNE = Sq; Մ ակ AMEQ - տ4 Մ ա կ PNEC = տ5
Մ ակ RMNB = տ6:
Տ ա նենք RK // PD // AC (տես գծ. 2):
RB CP QA
A R ՜ B P ՜ C Q ՜ ( 1)
В
Q Z
Գծ. 2
31

5. Ա ո Տ Ա Դ ւ ա Ա Ր Ա ՚ Ա Ա ւ յ Ա է է
50 , , , 50 2^0 50(А2 + А -1 )
54= т;— : : ՜ ( 51+ 5յ) = - ՜ ----------------------
(A + l) (A + l) (A + 1)(A2 + A + 1) (A + 1)(A2 + A + 1) '
Ուստի
5 0(Л2+ А ֊1 )
Sa ~ S5 ֊ S6 ֊ (?1+!)(Х2+ Ш ) : (3)
(2)-ից և(3)-ից կ ստ ա նա նք
Տ „ ( ճ ՜ 1 ) յ
s° = 0^N Ty(4)
Խ նդիր 3-ը լուծվա ծ Է:
Երբ А = 1(4)фд կ ս տ ա ն ա ն ք տ0 = 0, որը հնա րա վոր Է M; N; Е կետ երի հա մընկնելու
դեպ քում (եռւսնկյան երեք միջնա գծերը հա տ վեցին մի կետում, բա ցի այդ, ն ր ա ն ք իրենց
_ _ _ _ _ _
հ ա տ մ ա ն կ ե տ ո ւմ ե ռ ա ն կ յո ւն ը տ ր ո հ ե ց ի ն վ ե ց «у, - տ2 - տ3- տ4 - տ5 - տ6 - —
RM 1 1
հ ա վ ա ս ա ր ա մ ե ծ մա սերի, իսկ իրենք բա ժա նվեցին R(~, ՜ յ գ լ + լ յ ՜ շ հա րա բերությա մբ
մա սերի հա շվա ծ գա գա թից):
Տ 35
Երբ A = 2 , (4)-ից կ ս տ ա ն ա ն ք տ0 = — = ՜^ յ՜ Ւ^ԴԻՐ "՝՜ն):
5 55
Այնուհետև (2)-ից և (3)-ից Տյ = տ2 = տ3= ; 54 = 55= տ6 = ~ :
Հետ ևա բա ր՝
տ4 :տ5:տ6 :տ0 :5, : տ2 :53= 5:5:5 :3 :1:1:1:
(տ ես խ նդիր 2-ը): Ամենայն հա վա նա կա նութ յա մբ Ա իլվեստրը ABC եռա նկյունա ձև ոսկյա
թիթեղը կա ցնի երեք հ ա րվա ծով բա ժա նել Է յոթ մա սի տ ա նելով CM, ANx Տ /^գծերը (տես
գծ. 1-ը):
Ը նդհա նուր դեպ քում (2)-ից, (3)-ից և(4)-ից կստ ա նա նք'
տ4:5fl :5] = . 50(A + 1)(A֊1)- :----------Տհ ---------- = (я2 +х_1) :(А+ 1)(А֊1)2:1
(А 4՛ 1)(А" + А +1) (А + 1)(А՜ + А +1) (А + 1)(А՜ + А +1)
Տ ա լով А ՜ին ա րժեքներ' կ ս տ ա ն ա ն ք եռա նկյունա ձև ոսկյա թիթեղի բա ժ ա ն մ ա ն այլ
հա րա բերություններ: Օ րինա կ
33

6. ■ Ա ր Տ Ա Դ Ա Ա Ա Ր Ա ն Ա Կ Ա է է
Л = 3; տ4 ^ 3 2 + 3 -1 = 11; 50 -»(3 + 1КЗ֊1)2 =16=» 11:11:11:16:1:1:1;
А = 4 ; s4 —> 42 + 4 - 1 = 19; S q —^ (4 + 1)(4 —I ) 2 = 45 => 19 :1 9 :1 9 :4 5 :1 :1 :1 *
Ուստ ի այս ա նգա մ կ ս տ ա ն ա ն ք
q(p2+pq-q2):q(p2 + pq-q2) q{p2+ p q ֊q 2){p + q ){p ֊q )2 :q3 : q3 : q3;
Օ րինակ'
p = 3 ; q = 2 => s4 : s5 : s6 : -s0 : : s2 : s3 = 22 :22 :22 :5 :8 :8 :8
Խ նդիր 3-ի լուծման վերը նշվա ծ մեթոդը, որի հիմքում ընկա ծ Էր CR,APx £<Ձուղիղները
իրենց հ ա տ մա ն M, N և £ կետ երում բա ժա նվում Էին
հա րա բերությա մբ մասերի, որն Էլ հա շվա րկվում Էր R, £և (Չ բա ժա նմա ն կետ երով եռա նկյան
կողմերին զուգա հեռ ուղիղներ տ ա նելով օրին ա կ RK || DP || AC , թույլ Է տ ա լիս լուծելու
նրա ընդհա նրա ցվա ծը:
Խ ն դ ի ր 4: ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն կ ո ղ մ ե ր ը R; P; Q կ ե տ ե ր ո վ բ ա ժ ա ն վ ա ծ Է
BR , CP AQ _
A R ՜ ' B P ՜ ^ ’ QC ( }
հ ա ր ա բ ե ր ո ւ թ յ ա մ բ մ ա ս ե ր ի (տ ե ս գծ. 3-ը): Գ տ ն ե լ ա ռ ա ջ ա ց ա ծ
ARM, EQC, BNP ե MNE չորս ե ռ ա ն կ յո ւն ն ե ր ի և AMEQ, PNEC, BNMR երեք
ք ա ռ ա ն կ յ ո ւ ն ն ե ր ի մ ա կ ե ր ե ս ն ե ր ը , եթե հ ա յտ ն ի Է Մակճ ABC = SQ:
R M : M C = P N : NA = QE: ЕВ = 1-Հճ2 + X)
В
Գծ. 3
34

7. Unsunmupwxtimai
Լ ո ւ ծ ո ւ մ
Նշ. AR = х,ВР = у; CQ = z ( Դ ի ց ВР = Хх, С P = [iy ; AQ = v z => AB = (A + 1)лг;
CB = (i + ) -у ; A C = (v + l) z :
Տ ա նենք R K D P A C :
A B D P ~ A A B C ^ = ^ = ^ = b ^ = (» + l),
DB DP BP у
, AB (A + l) * nn AC {v+ l )z
որտ եղից DB = -------- = ;D P - ------r = —— — :
(ц + 1) (ц + 1) Ц+ 1 (ц + 1)
a adit л лnr> AD DP (A + l) x ц(А + 1);г
A ARK ~ A A D P ^ — - = —— որտ եղ AD - A B -D B = (X + l) x — - — = ֊—
AR RK (Ц+ 1) (ц + 1)
<^+1) Ո Ծ - ( ^ +1) (v+ )z _ {v + )z, DP )J-(A + 1) , , o r- _ IM- + v ™ _
3Ի — = . .ո ր տ ե ղ ի ց ~ D P -ц(А + 1) ՜ ՜ ц(А + 1) (ք + l) ц(А +1)
а п л г г ^ а , . / л R M RK { V + l ) z 1
A RMK ~ ААМ С = $ ------= -------= — —— :{v+ 1)г =
МС АС ц(А + 1) ц(А + 1 )’
RM 1
RC = МС+ RM = R M ц(Л +1) + RM = R M { + ц(А +1))
RC 1+ ц(А + 1)-
Մյուս կողմից
Մ ակճ ARC = ; Մ ա կ ճ ^ 5 /} = ֊ ֊ ^ ; Մակճ2?ՕՉ = ^ ^ (տես խ նդիր 3-ը):
Մակճ ARM _ R M _ 1
Յետևաբւսր Մ ա կ ձ ARC ՜ RC - 1+ ц(Я + 1) ’ որտ եղից և
Մ ա կ ճ А /2Л / = տ, = — : (5)
1 (А + 1)(1 + ц(А + 1))
Հւսնգունորեն կ ս տ ա ն ա ն ք
Մ ա կ ճ B N P = Տ2 = 7֊ T T T T -b— 7Մ ; Մ ա կ ճ CEQ = Տ, =
35

8. U P S U n ii l l U P U X i li l J l i t i
Մ ա կ ճ AMEQ = Տ 4 = — ֊ (տ,+ Տ 3 ) = ֊ ^ ֊-
Տո
(A+1)(1 + |X(A + 1)) (v+ 1)(1 + A(v+ 1))
ц (^-+ 1) i) _ ձ>_________ ■?„ М-_______________S o ________
(Я + 1)(1 + м А + 1)) ( v + 1)(1 + Х (к + 1)) ՜ (1 + JLI(X+1)) ( v + l) ( l + A (v + l))
S 0(ji v + цЯ v 2 + 2|хХv ֊ 1)
(v+ 1)(1+ цбА + 1))(1+ А(к+1))
(ц v + [ik v 2+ 2цА у - 1).Տ՛օ (А ц+А кц2 + 2A |iv 1)SC
(к+1)(1 + Л(к+1))(1 + 1х(Л + 1 ))’ (ц + 1)(1 + к(ц + 1))(1 + ц(А + 1))
(6)
(vA + v|j.A + 2 v A |+ -l)S 0
(А + 1)(1 + ц(А + 1))(1 + г(ц + 1 ) ) :
s0 = Մ ա կ ճ APC - Մ ա կ PNEC- Մ ա կ AMEQ- Մ ա կ CEQ ,
բայց
PC S ■u 9 9
Մ ա կճ APC = S0- — = . Մակ PNEC = ֊ (s2+ s3); Մակ AMEQ = ֊ ^ ֊ - (s, + s,)
ВС (ц + l) ’ n k+ 1 3 ’ v A + l 3
Ուստի
|x+l
/9 9 Հ
—^— (s, + s3) н- — (s, + s3)
v + l 2 3 A + l 1 3
•s, = ^ - ^ - T^ + s1+ s 2+ s3 =
|X+1 v+ A + 1
+ Տդ
v^ + 1 У
' S 0
v + l
■-S-, - s.
У y X + l У
*^0^ $>______
jx + 1 (ր. + 1)(1 + v(jx +1))
v + l (v + 1)(1 + A(v + 1))
’0
A +1 (A + 1)(1 + |+(A +1))
ճ՚օյւ
1+ v(jx + 1) 1+ A(v + 1) 1+ ц(А + 1)
Որտեղից և կստանանք
Տօ ՜
(1+ |X(A, + 1))(1 + ( Ц+ 1))(1 + A(v + 1))
(7)
36

9. ԱրՏԱԴաԱՈԱէւԱԿւա
Դ ի տ ո ղ ո ւթ յո ւն : Խ նդիր 4-ը և վերը ս տ ա ց վ ա ծ ա րդյունքները նույնպ ես նոր չեն:
Հա մ. [4] Էջ 185 և 545 խ նդիր N 93:
Ն կ ա տ ե ն ք հետ ևյալը (5), (6), (7) բա նա ձև երի ս տ ա ց մ ա ն հա մա ր, որպ ես ելա կետ
ընդունվել Է գծ. 3-ը, ո ր տ ե ղ հա րա բերութ յունները հ ա սկա ցվել են ոչ միա յն որոշա կի
ուղղությա մբ օր ի ն ա կ գծ. 3-ում ա յդ ուղղությունը հա մընկնում Է ժա մա ցույցի սլա քի
հա կա ռա կ ուղղությա ն հետ AQ —>QC —>СР -» РВ —>BR —>RA , այլ նաև այն հ ա ն գ ա ­
մա նքը, որ /Է/կետը գտ նվում Է £?<Չուղղի ստ որին (ձա խ) կիսա հա րթությունում:
Օ րինա կ եթե B Q n АР = N և B Q n CR = E կետ երը գտ նվում են АРгл CR = M կետ ի
ձ ա խ կողմում, տ ես գծ. 4-ը, ա պ ա խ նդիր 4-ում եղա ծ Sj,s2,s3,£4,s5,56 նշա նա կումները
փ ոխ ում են իրենց բովա նդա կությունը, ուստ ի (5) և (6) բա նա ձևերը, որպ ես խ նդիր 2-ում
նշվա ծ հա րա բերություններ չեն գործում: Հա սկա նա լի Է խ նդիր 4-ում տ ր վ ա ծ մոտ եցումը
հնա րա վորություն Է տ ա լիս հա րցը լուծել նաև գծ. 4-ում ունեցա ծ դեպ քում:
Այստեղ ա րդեն
5, = Մակճ ANQ ' Տշ = Մակճ BRE ՜' 53 = Մ ա Կճ РМС
ՏՀ = Մակ QNMC : 55 = Մակ ВЕМР Տ6 = Մակ ANER
Տ ա նելով' PP'WBQ և դ ի տ ա ր կ ե լո վ 'A P P 'C ֊ ABQ C և AANQ ֊ AAPP' նմա ն
r , rru ս ս , r г ^ = ON Кц + 1) . ON [IV .եռա նկյունների զույգերը կ ստ ա նա նք D/n ,, , , -— = -------------- =>----- - = --------------- .
1 4 J 4 I L B Q H+ 1 P F 1+ v(|u.+ 1) BQ l + K l^ + l)
v S r . v 2 թ-Տ՚օ
Մյուս կողմից' Մ ա կ ABO = — - >որտ եղիցևստ ա նումենք = -— — — , տ ես
4 F+1 (к+1)(1 + г(ц + 1))
գծ. 4-ը:
Ընթերցողներին ենք թողնում հա մոզվելու
X 2 v S 0 Ц2Х Е 0
Տշ՜ ( ձ + 1)(1+ X(v+ 1)) ՚ 53 ՜ (X+ 1)(1+ ц(Л + 1)) : )
Ինչ վերա բերվում Է (7)-ով ներկա յա ցվ ող տ0-ին, ա պ ա ա յն ուղղությա ն պ ա հ պ ա ն մ ա ն
դեպ քում AQ —»QC —>СР —>РВ —>BR —»RA պ ա հպ ա նվում Է:
(Ստուգել տ0 = Մ ա Կ ա ^ ^ 6 = (Л + 1)(1+°ц(Я, +1)) ՜ ^Մ ա Կ />kABQ ՜ 5ւ ՜ 52) =
__________ (ЛцF—1)2Տ(]__________
(1+ ц(Л + 1))(1+ к(ц + 1))(1+ Л(к + 1))
Միևնույն ժա մա նա կ (7) բա նա ձևից ստ ա նում ենք CR, АР, ВО երեք ուղիղների միևնույն
կետ ում հա տ վելու ա նհրա ժեշտ և բ ա վա րա ր պ ա յմա նը: Այն Է М, Ц Е կետ երը կհա մընկնեն
այն և միա յն այն դեպ քում, երբ տ0 = 0 , որն Էլ հ ա մ ա ր ժ ե ք Է, երբ Xiv = 1, կա մ որ նույնն Է
37

10. Upsun uiiunuuuими
BR CP AQ _
AR BP Q C ՜
[Տես [1] էջ 320, Չևայի թեորեմը]:
Ընթեթցողներին, որպ ես նոր խնդիր, ա ռա ջա րկվում է լուծել խ նդիր 5-ը:
Գծ. 4
Խ ն դ ի ր 5: Տ ր վ ա ծ է ABC ո ւ ղ ղ ա ն կ յ ո ւ ն ե ռ ա ն կ յո ւ ն ը , ո ր ի հ ա մ ա ր
A B = 90° և ճ-4 = 60°: С գ ա գ ա թ ի ց տ ա ր վ ո ւ մ է CM մ ի ջ ն ա գ ծ ի ր ը , -4-ից
Aլ կ ի ս ո ր դ ը , ի ս կ £ -ի ց BH բ ա ր ձ ր ո ւ թ յո ւ ն ը :
ա ) Ա պ ա ց ո ւց ե լ, որ C M , AL և B H գ ծ ե ր ո վ ա ռ ա ջ ա ց ա ծ PRQ ե ռ ա ն կ յա ն
մ ա կ ե ր ե ս ը , ո ր տ ե ղ p = CM cAL', R = B H n C M և Q = A L n B H , հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ
է ABC ե ռ ա ն կ յ ա ն մ ա կ ե ր ե ս ի ն , ա յն պ ե ս ի ն չ պ ե ս 1:210:
բ) В գ ա գ ա թ ի ց տ ա ր վ ա ծ BF ո ւ ղ ի ղ ը հ ա ր ա բ ե ր ո ւ մ է A S -ի ն ի ն չ պ ե ս
V7: 2; Գ տ ն ե լ Մ ա կ ճ P R 'Q ՛:Մ ա կ ճ А В С -Կ, ո ր տ ե ղ Q'= B F n A L ; R'= B F n C M :
Ցուցում: (տես գծ. 5-ը)
A
Գծ. 5
ա) = X = 1, — ֊ = ււ = 2, — - = V= - : (Սա կա րելի է լուծել նաև օգ տ ա գ ո ր ծ ե լո վ
A M BL НС 3
կիսորդի հատկությունը):
բ) B F : AB = : 2 ֊ից ստ ա նում ենք AF :FC = v = 3:
Դ ի տ ո ղ ո ւթ յո ւն : Եթե հա յտ նի է (*) AB :ВС :СА = с :a :b , որ տ ե ղ max(a;£;c) = b :
38

11. U n s u n u i i u p u i t u w i i
Ապա В գա գա թից տ ա րվա ծ է B H բարձրությունը, հա տ վելով A և Сգա գա թներից տ ա րվա ծ
միջնա գծի և կիսորդի հետ, կա ռա ջա ցնի եռա նկյուն (AE M N ) կա մ կետ, որի մա կերեսի
հա րա բերությունը տ ր վ ա ծ եռա նկյա ն մա կերեսին միշտ կա րելի է հաշվել: Բ ա վա կ ա ն է
նկա տ ել, որ եթե օր ի ն ա կ CM ֊ը միջնա գիծ է, ա պ ա ճ = 1, A L -ը կիսորդ է'
CL A C b _b_
L B ՜ А В ՜ с '
((*) ֊Ի ց ունենք AB = с■к ; ВС = а- к; С А - Ь- к , որտ եղ к > 0 ):
л л AfA —
Այնուհետև, մի կողմից A H = AB- cos A , իսկ մյուս կողմից Օօտ ճ = --------------------------
2A C -A B
A C 2+ A B 2- B C 2 „ r r լո . A C 2+ В С 2֊ A B 2
որտ եղից և AH = ------------------------— : Կ ա նգունորեն' CH =
2AC 2 AC
А Н A C 2+ A B 2- B C 2 _ {b k )2 + (ck)2 -(a k )2 _ b 2+ c2- a 2
CH ~ A C 2+ B C 2֊ A B 2 ~ (b k f +{ak)2~ {ck)2 " b2+ a2֊ c 2
1 Я
5-ում, փ ա ս տ ո ր ե ն ունենք A B : В С :СА = sin30°:sin60° :sin90° = - : — :1: Այնպես, որ
2 2
խ նդիրը նույն կերպ լուծվում է, եթե CM ֊ը լինի կիսորդ, իսկ AL ֊ը միջնա գիծ, կա մ
նրա նցից յուրա քա նչյուրը լինեն միջնա գիծ կա մ կիսորդներ:
Ընդհա նրա պ ես, եթե հա յտ նի է ABC եռա նկյա ն a և (3 անկյունները, ա պ ա մեծ ա նկյա ն
գա գա թ ից տ ա ր վ ա ծ բարձրությունը հա տ վելով մյուս երկու ա նկյա ն գա գա թ ներից տ ա ր վ ա ծ
կիսորդի և միջնա գծի (կամ միա յն կիսորդների (միջնագծերի) հետ) կա ռա ջա ցնի եռանկյուն
(կամ կետ), որի մա կերեսի հա րա բերությունը տ րվա ծ եռա նկյա ն մա կերեսին միշտ կա րելի է
հաշվել: Վերջինս հետևում է սինուսների թեորեմից.
a :b :c = sina:sin(3:siny = ВС :A C : AB , ո ր տ ե ղ .siny = sin^a + (Յվ:
39

12. T i p S U T U liU P U h li Կ Ш 1
ՕԳՏԱԳՈՐԾՎ ԱԾ ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ
[1] Լ.Ս.Ա թանասյան և ուրիշներ «Երկրւսչափություն 6-8», Երևան, 1996թ.:
[2] Գ.Գ.Գևորգյւսն, Ի.Ի.Միքայելյան «777 խ նդիրներ մա թեմա տ իկա յից» , Երևան, 1975թ.:
[3] Գ.Ա.Տոնոյան «Մ աթեմատիկական ընտ րովի թեորեմներ և խնդիրներ», Երևան, «Լույս»,
1970թ.:
[4] П.С.Моденов “Сборник задач по специальному курсу элементарной математики” .
Москва, Высшая школа, 1960г.
ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅՈՎ ԶԲԱՂՎՈՂՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ
1. а ֊ի ո՞ր ա րժեքների դեպ քում 4х + 2 - a-2Xsinnx հա վա սա րում ունի ճիշտ մեկ
լուծում:
2. Լուծել հա վա սա րումը 2 x 2+ lo g ^-f 2 x - x 2)= 4 + x 4:
3. 1 երկա րությա մբ հ ա տ վ ա ծ ի վրա մի քա ն ի հա տ վա ծ ներ ներկվա ծ են ա յնպ ես, որ
ց ա ն կ ա ց ա ծ երկու ներկվա ծ կետ երի հեռա վորությունը հ ա վա սա ր չէ 0,1 ֊ի: Ապացուցել, որ
ներկվա ծ բոլոր հա տ վա ծների երկա րությունների գումա րը չի գերա զա նցում 0,5 ֊ը:
4. Գտնել բոլոր պ ա րզ թվերը, որոնց հնա րա վոր չէ ներկա յացնել երկու բա ղա դրյա լ թվերի
գումա րի տ եսքով:
5. Ասում են, որ f ֆ ունկցիան a,b հա տ վա ծ ի վրա բա վա րա րում է Լիպ շիցի պ ա յմա նին,
եթե ա յդ հ ա տ վա ծ ի ցա ն կ ա ց ա ծ x { և x 2 թվերի հա մա ր գոյություն ունի ա յնպ իսի с թիվ, որ
f{x 2) - f { x x'<cx2- x x
Ա պացուցել, որ ab հա տ վա ծում, Լիպ շիցի պ ա յմա նին բ ա վ ա ր ա ր ո ղ ֆ ունկցիա ն նաև
ա նընդհա տ է:
ճ ի ՞շտ է ա րդյոք հա կա դա րձ պնդումը:
40