2. • tg * -ctg * = l ■ sin (a—p)=sinacos|3—cosasinfi • 1одьЛ'=Л1.1одсЛ/ • «•«»=«*+»i
do Е.А.МОРОаОВА, II. С. ПЕТРАКОВ, CO
< В . А. СКВОРЦОВ д
II с
^ 1ЬО ”
МЕЖДУНАРОДНЫЕ
MAT E H AT IIЧE СКIIE
ОЛИМПИАДЫ
«ч
>■
. г й г + г . г г + ^ г + г2 ' + г « + г * - = г ( г + ^ - | -Л ' ) • э < ?< э» O i 'о < э и q < u н ю д «
ЗАДАЧИ,
РЕШЕНИЯ,
ИТОГИ
•
Пососие для учащихся
4-е издание, исправленное
и дополненное
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1976
4. П Р Е Д И С Л О В И Е
С каждым годом растет число стран, участвующих в международных мате
матических олимпиадах школьников. В XVI олимпиаде 1974 г. участвовало
18 стран Европы, Азии и Америки.
Эта книга, написанная руководителями советской делегации на международ
ных математических олимпиадах, познакомит читателей с материалами первых
семнадцати международных олимпиад. Основную ее часть составляют задачи,
предлагавшиеся на этих олимпиадах, и подробные их решения. В книгу вклю
чены также некоторые задачи, рассматривавшиеся Международным жюри, но
по тем или иным причинам не использованные на олимпиадах. Эти задачи, пред
ложенные различными странами, в некоторой степени отражают уровень нацио
нальных олимпиад в этих странах. Приводятся и некоторые задачи, предлагав
шиеся на заключительных турах национальных олимпиад ряда стран, участвую
щих в международных олимпиадах.
Книга адресована прежде всего 'школьникам старших классов, увлекаю
щимся математикой и любящим решать трудные задачи. Конечно, эти задачи
в большинстве случаев труднее тех, которые предлагаются на школьных или
районных олимпиадах. Но это означает лишь то, что для их решения нужно
проявить большее упорство, затратить больше времени. Само собой разумеется,
что читать приведенное в конце кииги решение следует только после того, как
задача решена самостоятельно или, во всяком случае, после достаточно настой
чивых попыток решить ее.
Книга может быть полезной также учителям, которые руководят школь
ными математическими кружками, проводят различные олимпиады и конкурсы
по математике.
В настоящее издание книги включены дополнительно материалы шести
международных олимпиад, прошедших после предыдущего, третьего издания.
Включены некоторые новые задачи, рассматривавшиеся международным жюри,
и задачи национальных олимпиад. Все эти задачи были любезно предоставлены
авторам руководителями делегаций соответствующих стран— участниц между
народных олимпиад, и авторы приносят им всем сердечную благодарность,
в особенности профессору А. Матееву (Болгария), Р. Лайнесу и Р. Рейнольду
(Великобритания), доктору Э. Ходи и И. Раймону (Венгрия), профессору
1* 3
5. В. Энгелю и доктору X. Баушу (ГДР), доценту Г. Гунжее (Монголия), про
фессору Г. Фрейденталю (Нидерланды), профессору М. Чижиковскому и доценту
А. Монковскому (Польша), профессору Т. Роману (Румыния), профессору
Грейцеру (США), доценту Я- Вишину и доценту Й. Моравчику (Чехословакия),
профессору М. Илич-Даёвич и доктору Митичу (Югославия).
Авторы надолго сохранят в памяти совместную работу в жюри с профессо
рами Рудольфом Зелинкой и Ионеску-Бужором— организаторами первых
олимпиад.
Мы благодарны Н. Б. Васильеву за материалы IV Всероссийской матема
тической олимпиады, А. Л. Тоому и Н. Н. Ченцову за советы и замечания.
Авторы
6. МЕЖДУНАРОДНЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ
Начиная с 1959 г. ежегодно проводятся международные мате
матические олимпиады школьников. Эти олимпиады довольно
быстро завоевали большой международный авторитет, и число
участвующих в них стран с каждым годом растет.
I Международная математическая олимпиада была проведена
в 1959 г. в Румынии по инициативе Румынского математического
и физического общества и Министерства просвещения Румынии.
В первых олимпиадах участвовали лишь европейские социали
стические страны. А в XVI олимпиаде в 1974 г. были представ
лены школьники 18 стран: Австрии, Болгарии, Великобритании,
Венгрии, ГДР, ДРВ, Кубы, Монголии, Нидерландов, Польши,
Румынии, СССР, США, Финляндии, Франции, Чехословакии,
Швеции и Югославии.
Для многих стран международные олимпиады являются не
посредственным продолжением и завершением большой работы
по проведению математических олимпиад различного уровня
внутри страны. В некоторых странах (Финляндия, Австрия)
общенациональные олимпиады стали проводиться именно в связи
с тем, что эти страны стали принимать участие в международ
ных олимпиадах. В других странах проведение национальных
математических олимпиад и различных соревнований по решению
задач является довольно давней традицией. Так, в Венгрии
с 1894 г. проводились математические олимпиады школьников,
а в Румынии—конкурсы по решению математических задач.
В нашей стране в конце прошлого века (с 1886 г.) органи
зовывались отдельные математические конкурсы. Математические
олимпиады в СССР в их современном виде берут свое начало от
первой Ленинградской олимпиады 1934 г. и первой Московской
олимпиады 1935 г. Инициаторами их проведения были крупней
шие советские математики. До войны олимпиады проводились
ежегодно и быстро завоевали популярность. В ряде университе
тов начали работать математические кружки для школьников.
После Великой Отечественной войны математические олимпиады
стали традиционными для многих городов Советского Союза, их
проводили университеты и пединституты совместно с органами
народного образования. Стали проводиться олимпиады и по дру
гим предметам: физике, химии, биологии и др.
В 1960 г. оргкомитет XXIII Московской математической
олимпиады совместно с Министерством просвещения РСФСР про-
5
7. КОЛИЧЕСТВО ОЧКОВ, ПОЛУЧЕННЫХ КОМАНДАМИ
Страны
№ олимпиады
I II ill IV V VI VII V III IX X XI XII X III XIV XV XVI
Австрия 104 82 136 144 212
Англия 231 263 193 180 110 179 164 188
Бельгия — — — — — — — — — — 57 — — — — —
Болгария 132 175 108 196 145 198 93 238 159 206 189 145 39 120 96 171
Венгрия 233 248 270 289 234 253 244 281 251 291 247 233 255 263 215 237
ГДР 40 38* 146 153 140 196 175 280 257 304 240 221 142 239 188 236
ДРВ 146*
Италия 110* 132 — _ — — — —
Куба — — — — — — — — — — — — 9* 14* 42* 65*
Монголия 169 63 88 87 74 120 78 26 49 65 60
Нидерланды — — — — — — — — — — 51 87 48 51 96 112
Польша 122 — 203 212 134 209 178 269 101 260 119 105 118 1ЙЬ 174 138
Румыния 249 248 197 257 191 213 222 257 214 208 219 208 110 206 141 199
СССР 111* — — 263 271 269 281 293 275 298 231 221 205 270 254 256
США 243
Финляндия 62 86 111
Франция — — — — — — — — 41* — 119 141 38 — 153 194
Чехословакия 192 257 159 212 151 194 159 215 159 248 170 145 55 130 149 158
Швеция 135 256 104 110 43* 60 99 187
Югославия ■ --- — — 165 155 137 224 136 179 181 209 71 136 137 216
В этой таблице знаком * отмечены те случаи, когда соответствующая команда выступала не в полном составе.
8. вели математические соревнования в более широком масштабе.
В них приняли участие команды 13 областей РСФСР и 9 союз
ных республик. Это положило начало проведению сначала все
российских, а с 1967 г.— всесоюзных математических олимпиад.
В настоящее время всесоюзные олимпиады проводятся в несколько
туров: школьный, районный, областной, республиканский и заклю
чительный.
Для участия в международной математической олимпиаде
команда Советского Союза формируется из победителей заклю
чительного тура всесоюзной олимпиады. При этом учитываются
также успехи на предыдущих олимпиадах. В команду включаются
обычно десятиклассники, а иногда и наиболее успешно выступив
шие на всесоюзной олимпиаде ученики IX класса.
В последние годы окончательный состав команды СССР стал
определяться на тренировочных сборах кандидатов в команду,
которые проводятся в конце учебного года под Москвой, в школе
памяти В. И. Ленина—в Горках Ленинских. Здесь занятия
с ребятами проводят преподаватели и студенты Московского уни
верситета и других вузов. Многие из них сами в недавнем прошлом
были участниками международных олимпиад. Занятия математи
кой сочетаются с отдыхом, спортом. Сборы длятся 2—3 недели.
Примерно так же формируются команды и других стран.
Однако способы проведения национальных олимпиад весьма
разнообразны. В США, например, олимпиада проходит в опре
деленный день и час по всей стране, но при этом предварительно
включенные в список участники решают присланные им задачи,
находясь в своих школах; затем эти решения направляются для
проверки в центральный оргкомитет.
Команда каждой страны состоит из 8 участников, руководи
теля команды и его заместителя. Руководители команд образуют
Международное жюри.
Олимпиады проходят в разных странах. Трижды они прохо
дили в Москве. Хотя и нет общепринятого официального поло
жения или устава международных олимпиад, но за годы их
проведения выработались определенные традиции, которые соблю
даются всеми странами—организаторами олимпиад. Олимпиады
проводятся летом, в первой половине июля. В стране-организа-
торе заранее образуется оргкомитет, который осуществляет всю
подготовку к проведению олимпиады. В его состав входят
известные математики этой страны и представители Министерства
просвещения. В адрес оргкомитета все страны-участницы направ
ляют по нескольку задач, из которых специальная комиссия
оргкомитета отбирает наиболее удачные и передает их для окон
чательного рассмотрения Международному жюри.
В течение двух-трех дней жюри определяет окончательный
список задач для олимпиады (обычно он состоит из 6 задач) и
максимальное число очков за решение каждой из задач. Затем
редактируется и утверждается текст задач на четырех рабочих
7
9. языках жюри — английском, немецком, русском и французском.
После этого задачи переводятся на родные языки участников
олимпиады и заготавливаются листы с текстами задач для каж
дого участника.
Соревнования проводятся в два дня, в каждый из которых
участникам в течение 4 часов предлагается решить по 3 задачи.
Выработалась процедура проведения самих соревнований. Каж
дый участник получает определенный порядковый номер от 1 до 8,
и во время олимпиады в одной аудитории решают задачи участники
с одинаковыми номерами, т. е. по одному от каждой команды.
В это время жюри продолжает свою работу. Оно устанавли
вает критерии оценок решений отдельных задач, а после окон
чания первого дня соревнований приступает к проверке работ.
Сначала предварительную проверку работ проводят руководители
команд вместе со своими заместителями. Затем для обеспечения
единого подхода к оценке решений все работы проверяются так
называемыми координаторами по каждой задаче. Координаторы
выделяются из числа математиков страны-организатора и обычно
принимают участие в заседаниях жюри с совещательным голосом.
Окончательные итоги олимпиады подводятся на общем засе
дании жюри, где решается вопрос о присуждении дипломов
I, II и III степени, а также специальных призов за наиболее
оригинальные и красивые решения отдельных задач.
По традиции на международных математических олимпиадах
подводятся итоги только личного первенства участников. Однако
всегда вызывают большой интерес неофициальные результаты
командного первенства по сумме очков, набранных командами
различных стран. Эти результаты собраны в таблице на стр. 6.
Ниже приводятся краткие результаты первых шестнадцати
международных олимпиад*.
I МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Первая Международная математическая олим
пиада проходила с 23 по 31 июля 1959 г. в Ру
мынии в г. Брашове и Бухаресте.
Первую премию получили:
Богуслав Дивиш — Чехословакия
Чанак Дёрдь — Венгрия
Бесараб Николеску — Румыния
Из советских школьников Андрей Тоом набрал
34 очка и получил третью премию, Виктор Федо-
рец (32 очка) и Валерий Фролов (30 очков) были
отмечены почетными грамотами.
* В Дополнении (см. стр. 284) приведены материалы семнадцатой олим
пиады.
8
10. Общие результаты следующие:
Премии
Почетные
грамоты
(25—33 очка)
Страны I
(37— 10 очков)
II
(36 очков)
III
(34—35 очков)
Болгария
Венгрия
ГДР
Польша
Румыния
СССР
Чехословакия
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
II МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Вторая Международная математическая олим
пиада проходила с 18 по 25 июля 1960 г. в Румы
нии в селении Синая и Бухаресте.
Первую премию получили:
Бела Боллобаш — Венгрия
Чезар Георге — Румыния
Иван Корец — Чехословакия
Ференц Мезеи — Венгрия
Общие результаты следующие:
щ Я М к
Q r i k X X i N
-iff
щ§§11Ш1мЬ/ /
Премии
Почетные
грамоты
(29—32 очка)
Страны I
(более
4 0 очков)
п
(37—40 очков)
III
(33—36 очков)
Болгария
Венгрия
ГДР
Румыния
Чехословакия
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
111 МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Третья Международная математическая олимпиада проходила
с 6 по 16 июля 1961 г. в Венгрии в г. Веспреме и Будапеште.
Первую премию получили:
Бела Боллобаш — 40 очков, Венгрия
Мачей Скворчински — 39 очков, Польша
Йожеф Кота — 37 очков, Венгрия
9
11. Общие результаты следующие:
Премии
Страны I II III
(37—40 очков) (34—30 очков) ^(30—33 очка)
Болгария ---- ---- ----
Венгрия 2 3 1
ГДР — — 1
Польша 1 — —
Румыния — 1 1
Чехословакия — --- 1
IV МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Четве ртая Международная математиче -
ская олимпиада проходила с 5 по 15 июля
1962 г. в Чехословакии в г. Чешские Бу-
деёвицы и Праге.
Первую премию получили:
Иосиф Бернштейн— 46 очков, СССР
Кери Гержон — 45 очков, Венгрия
Лидия Гончарова — 42 очка, СССР
Шебештьен Золтан — 41 очко, Венгрия
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(4 1—46 очков)
II
(34—40 очков)
•
ill
(29—33 очка)
Болгария ----- 1 2
Венгрия 2 3 . 2
ГДР — 1 —
Польша — 1 3
Румыния — 3 3
СССР 2 2 2
Чехословакия — 1 3
N° задачи*
(в скобках ука
зано максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших за решение задачи
указанное число очков
8 7 6 5 4 3 2 1 0
20(6) , . 45 5 2 0 1 2 1
21(6) — — 21 11 7 9 4 2 2
22(8) 14 8 6 6 8 4 2 2 6
23(5) — — — 34 10 3 5 2 2
24(7) — 12 12 5 6 1 2 4 14
25(6) — — 9 8 16 4 3 3 13
26(8) 2 2 5 7 1 0 6 8 25
* Здесь и далее номера задач соответствуют нумерации задач этой книги.
1 0
12. V МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Пятая Международная математическая олимпиада проходила
с 5 по 13 июля 1963 г. в Польше во Вроцлаве и Варшаве.
Первую премию получили:
Франц Дацар — 39 очков, Ю гославия
Геннадий М алолеткин— 39 очков, СССР
Раф аэль Саркисян — 39 очков, СССР
Алексей Толпыго — 38 очков, СССР
Л асло Зидо — 37 очков, Румыния
Йосеф Данеш -—35 очков, Чехословакия
Анатолий Зайцев — 35 очков, СССР
Общие результаты следующие:
Премии
Страны 1 II Ш
(35—40 очков) (28—34 очка) (21—27 очков)
Болгария 3
Венгрия — 5 3
ГДР — — 3
Польша — — 2
Румыния 1 1 3
СССР 4 3 1
Чехословакия I — 1
Ю гославия 1 2 1
№ задачи
(в скобках указано
максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших за решение задачи
указанное число очков
8 7 6 5 4 3 2 1 0
27(6) 15 13 12 11 7 3 3
28(7) — 7 11 15 13 5 4 6 3
29(7) — 16 5 6 4 4 3 5 21
30(6) — —■ 6 4 6 5 12 15 16
31(6) — — 21 11 2 1 2 >4 23
32(8) 21 15 8 1 8 3 1 1 6
11
13. VI МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Шестая Международная математическая
олимпиада проходила с 30 июня по 10 июля
1964 г. в Москве.
Первую премию получили:
Давид Бернштейн — 42 очка, СССР
Ласло Геренчер — 41 очко, Венгрия
Геннадий Архипов — 39 очков, СССР
Ласло Ловас — 39 очков, Венгрия
Йожеф Пеликан — 39 очков, Венгрия
Тадеуш Фигель — 39 очков, Польша
Юрий Матиясевич — 38 очков, СССР
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
1
(37—42 очка)
II
(31—36 очков)
i l l
(27—30 очков)
Болгария 3
Венгрия 3 1 1
ГДР — 1 2
Монголия — — 1
Польша 1 1 3
Румыния — 2 3
СССР 3 1 3
Чехословакия — 2 2
Югославия ■ 1 1
№ задачи
(в скобках указано
максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших за решение задачи
указанное число очков
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
33(7) 45 2 8 6 4 3 3 1
34(7) — — 40 0 4 1 0 0 6 21
35(6) — — — 57 6 2 0 0 2 5
36(6) — — — 16 1 0 0 1 4 50
37(7) — — 14 3 3 23 7 14 2 6
38(9) 3 2 1 47 3 0 5 4 1 6
12
14. VII МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Седьмая Межд} народная матема
тическая олимпиада проходила с 3
по 13 июля 1965 г. в ГДР в Бер
лине и Богензее.
Первую премию по тучили:
Павел Блехер — 40 очков, СССР
Ласло Ловас — 40 очков, Венгрия
Сергей Валландер — 39 очков, СССР
Андрей Зубков — 39 очков, СССР
Эндре Макай — 38 очков, Венгрия
Йожеф Пеликан — 38 очков, Венгрия
Анатолий Пересецкий — 38 очков, СССР
Николай Широков — 38 очков, СССР
Общие результаты следующие:
Премии
Страны
I п ill
(38—40 очков) (30—37 очков) (20—29 очков)
Болгария 1
Венгрия 3 2 2
ГДР — 2 3
Монголия ---- _ —
Польша _
1 3
Румыния ---- 4 3
СССР 5 2 —
Финляндия ---- — ----
Чехословакия ---- 1 3
Югославия 2
No. задачи
(в скобках указа
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших за решение задачи
указанное число очков
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
39(4) 37 9 15 13 6
40(6) — — — 19 5 4 6 11 18 17
41(8) — 30 3 2 4 3 0 5 10 23
42(6) — — — 37 6 7 4 19 5 2
43(7) — — 26 9 3 3 4 8 12 15
44(9) 10 0 2 0 0 11 13 10 13 21
13
15. г
VIII МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
НРБ-1966
Восьмая Международная математическая
олимпиада проходила с 3 по 13 июля 1966 г.
в Болгарии в Софии.
Первую премию получили:
Юрий Богданский •— 40 очков, СССР
Дан Войкулеску — 40 очков, Румыния
Сабир Гусейн-Заде — 40 очков, СССР
Петер Енсконатус — 40 очков, ГДР
Вальтер Липе — 40 очков, ГДР
Ласло Ловас — 40 очков, Венгрия
Андрей Марченко — 40 очков, СССР
Михал Мисюревич — 40 очков, Польша
Йожеф Пеликан — 40 очков, Венгрия
Лайош Поша — 40 очков, Венгрия
Йозеф Рихард — 40 очков, ГДР
Григорий Розенблюм — 39 очков, СССР
Михаил Фокин — 39 очков, СССР
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(39—40 очков)'
II
(34—38 очков)
III
(31—33 очка)
Болгария 1 3
Венгрия 3 2 1
ГДР
о
О 3 —
Монголия ---- — —
Польша 1 4 1
Румыния 1 1 2
СССР 5 1 1
Чехословакия ---- 1 2
Югославия 2 1
№ задачи
(в скобках указа
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 0
45(6) 50 2 4 3 0 3 10
46(7) — 48 5 1 2 0 2 2 12
47(7) — 20 4 6 5 7 5 5 20
48(5) — — — 68 3 0 0 0 I
49(7) — 33 3 2 7 5 7 5 10
50(8) 51 6 2 1 6 3 1 1 1
14
16. IX МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Девятая Международная математиче
ская олимпиада проходила со 2 по 13
июля 1967 г. в Югославии в г. Цетинье.
Первые премии получили:
Криштоф Бандт — 42 очка, ГДР
Дан Войкулеску — 42 очка, Румыния
Петер Георгиев — 42 очка, Болгария
Александр Лившиц — 42 очка, СССР
Штефан Хайнрих — 42 очка, ГДР
Симон Нортон — 41 очко, Англия
Виктор Турчанинов — 39 очков, СССР
Рейнхард Хоппнер — 39 очков, ГДР
Дёрдь Елекеш — 38 очков, Венгрия
Андрей Суслин — 38 очков, СССР
Ласло Шурани — 38 очков, Венгрия
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(38—42 очка)
11
(30—37 очков)
Ill
(22—29 очков)
Англия 1 2 4
Болгария 1 ---- 1
Венгрия 2 3 3
ГДР 3 3 1
Италия _ 1 1
Монголия --- --- 1
Польша ---- --- 1
Румыния 1 1 4
СССР 3 3 2
Франция — --- —
Чехословакия --- 1 3
Швеция ---- _ 2
Югославия ■ - 3
№ задачи
(в скобках у к а за
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 0
51(6) 31 8 10 16 7 10 12
52(7) — 27 5 16 8 7 6 5 20
53(8) 28 0 2 0 4 6 6 3 45
54(6) — — 43 11 10' 16 7 1 12
55(7) — 23 4 7 9 6 8 20 22
56(8) 29 5 11 7 6 11 7 5 18
15
17. X МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
i i k м о с к в а
Десятая Международная математическая олим
пиада проходила с 5 по 18 июля 1968 г. в Мо
скве и Ленинграде.
Первые премии получили:
Ласло Бабаи
Криштоф Бандт
Рудольф Берчану Барбу
Михаил Блюдзе
Штефан Хайнрих
Юрген Гертнер
Ежи Дыдак
Павел Курчанов
Томаш Машек
Ульф Персон
Янош Пинц
Владимир Пономаренко-
Богуш Сивак
Сергей Соболев
Ласло Чирмас
Ульрих Целе
Вольфганг Бурмайстер -
Малькольм Вильямсон-
Симон Нортон
Вильям Портерфилд
Валерий Федотов
Болеслав Шиманьски
-40 очков,
-40 очков,
-4 0 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-40 очков,
-39 очков,
-39 очков,
-39 очков,
39 очков,
-39 очков,
39 очков,
Венгрия
ГДР
Румыния
СССР
ГДР
ГДР
Польша
СССР
Чехословакия
Швеция
Венгрия
СССР
Чехословакия
СССР
Венгрия
ГДР
ГДР
Англия
Англия
Англия
СССР
Польша
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(39—40 очков)
и
(33—38 очков)
I ll
(25—32 очка)
Англия 3 2 2
Болгария — 3 I
Венгрия 3 3 2
ГДР 5 3 —
Италия — — 1
Монголия — — —
Польша 2 3 2
Румыния 1 1 2
СССР 5 1 2
Чехословакия 2 4 —
Швеция 1 2 5
Югославия — — 3
1 6
18. Л'Ь задачи
(в скобках указа
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число
очков за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 0
57(6) 39 27 7 7 4 3 9
58(7) — 62 14 7 2 4 1 4 2
59(7) — 41 10 1 2 0 7 22 13
60(5) — — — 62 1 3 11 2 17
61(7) — 42 2 21 3 8 1 2 17
62(8) 46 11 1 5 0 7 4 12 10
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Одиннадцатая Международная математичес
кая олимпиада проходила с 5 по 20 июля
1969 г. в Румынии в Бухаресте на родине меж
дународных математических олимпиад.
Первые премии получили:
Владимир Дринфельд-
Симон Нортон
Тибор Фиала
-40 очков, СССР
40 очков, Англия
40 очков, Венгрия
Общие результаты следующие:
П ремин
Страны
I
(40 очков)
II
(30—37 очков)
III
(2 4 —29 очков)
Англия
Бельгия
Болгария
Венгрия
ГДР
Монголия
Нидерланды
Польша
Румыния
СССР
Франция
Чехословакия
Швеция
Югославия
1
1
1
1
4
4
1
4
3
1
2
1
3
2
4
1
2
3
3
2
17
19. № задачи
(в скобках у к а за
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 0
63(5) 46 3 6 6 17 34
64(7) — 34 5 10 32 6 7 5 13
65(7) — 31 13 12 15 5 10 20 6
66(6) — — 21 5 6 9 14 28 29
67(7) — 37 10 11 10 9 7 11 17
68(8) 7 2 3 9 12 13 18 15 33
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Двенадцатая Международная математи
ческая олимпиада проходила с 8 по 22 июля
1970 г. в Венгрии в г. Кестхеле и Буда
пеште.
Первые премии получили:
Вольфганг Бурмайстер
Имре Ружа
Андрей Ходу лев
Эрвин Баймоды
Аркадий Климов
Бернард Сильвермен
Иштван Гончзы
40 очков,
40 очков,
40 очков,
39 очков,
-39 очков,
39 очков,
37 очков,
ГДР
Венгрия
СССР
Венгрия
СССР
Англия
Венгрия
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(37—40 очков)
II
(30—35 очков)
III
(19—28 очков)
Австрия 1
Англия 1 _ 6
Болгария — -------
3
Венгрия 3 1 3
ГДР 1 2 4
Монголия ------- -------
1
Нидерланды ------- -------
1
Польша ------- - -
1
Румыния -------
3 -4
СССР 2 1 3
Франция -------
1 4
Чехословакия ------- — —
4
Швеция ■ ... — —
2
Югославия ■— 3 3
18
20. № задачи
(в скобках у к а за
но максимальное
число очков за
решение ^задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
8 7 6 5 4 3 О*4 1 0
69(5) 61 2 0 4 19 26
70(7) — 52 27 8 6 6 2 4 7
71(8) 6 3 2 3 1 7 2 4 84
72(6) — — 43 25 22 6 4 6 6
73(6) — — 42 3 4 8 11 8 36
74(8) 14 5 3 10 3 3 9 7 58
XIII МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Тринадцатая Международная математи
ческая олимпиада проходила с 10 по 21
июля 1971 г. в Чехословакии в г. Бра
тиславе и Жилине.
Первые премии получили:
Имре Ружа
Ференц Гондош
Вольфганг Бурмайстер
Петер Комят
Станислав Шарек
Петер Франкл
Сергей Гашков
-42 очка, Венгрия
39 очков, Венгрия
-38 очков, ГДР
-38 очков, Венгрия
-38 очков, Польша
-37 очков, Венгрия
-35 очков, СССР
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(35—42 очка)
и
(23—34 очка)
ш
(11—22 очка)
Австрия 4
Англия — 1 4
Болгария — — —
Венгрия 4 4 —
ГДР 1 1 ,4
Куба — — ----
Монголия — — ---
Нидерланды — — 2
Польша 1 — 4
Румыния — 1 4
СССР 1 5 2
Франция — — —
Чехословакия — — I
Швеция — — 2
Югославия ■ 2
21. № задачи
(в скобках указа
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
9 8 7 6 5 4 3 2 0
75(5) 19 10 21 31 26 8
76(7) — — 12 8 4 6 5 8 15 57
77(9) 18 0 1 0 0 0 2 4 11 79
78(6) — — — 9 18 14 11 10 16 37
79(7) — — 25 3 0 1 3 2 15 66
80(8) — 12 0 1 2 4 1 3 20 72
XIV МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Четырнадцатая Международная математическая олимпиада
проходила с 5 по 17 июля 1972 г. в Польше в Варшаве и на
родине Н. Коперника—г. Торуни.
Первые премии получили:
Андрейчик Грегош
Владимир Бурков
Комарник Вильмош
Сергей Конягин
Павел Крёгер
Мирка Мартии
Шолт Тужа
Золтан Фюреди
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(40 очков)
II
(30—39 очков)
i ll
(19—29 очков)
Австрия 5
Англия — 2 4
Болгария — — 2
Венгрия 3 3 2
ГДР 1 3 4
Куба — — —
Монголия — — —
Нидерланды — — —
Польша 1 1 1
Румыния 1 3 I
СССР 2 4 2
Чехословакия — — 4
Швеция — .—. 2
Югославия — — 3
— 40 очков. Польша
— 40 очков, СССР
— 40 очков, Венгрия
— 40 очков, СССР
— 40 очков, ГДР
— 40 очков, Румыния
—-40 очков, Венгрия
— 40 очков, Венгрия
22. № задачи
(в скобках у к а за
но максимальное
число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное число очков
за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 0
81(5) 61 1 1 0 9 3 5
82(6) — — 24 14 12 16 14 11 16
83(7) — 30 4 0 0 3 1 3 66
84(7) — 51 1 6 3 2 0 18 26
85(7) — 25 3 8 2 6 9 5 49
86(8) 28 2 6 5 7 9 9 12 29
XV МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Пятнадцатая Международная математиче
ская олимпиада проходила с 5 по 16 июля
1973 г. в Москве.
Первые премии получили:
Сергеи Конягин — 40 очков, СССР
Павел Грозман — 39 очков, СССР
Георгий Егоров — 39 очков, СССР
Янош Коллар — 38 очков, Венгрия
Дэвид Готто — 35 очков, Англия
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(35—40 очков)
11
(27—33 очка)
Ш
(17—26 очков)
Австрия 6
Англия 1 — 5
Болгария — — 1
Венгрия 1 2 5
ГДР — 3 4
Куба — — 1
Монголия — — 1
Нидерланды — — 2
Польша — 2 4
Румыния — 1 3
СССР 3 2 3
Финляндия ---- — 2
Франция" — 3 1
Чехословакия ---- 1 4
Швеция ---- 1 1
Югославия " ■ — • 5
2 1
23. № задачи (в скобках
указано максималь
ное число очков за
решение задачи)
Число участников, получивших указанное
число очков за решение задач
8 7 6 5 4 3 2 1 0
87(6) _
37 6 3 5 14 15 45
88(6) — — 48 6 4 0 0 2 65
89(8) 42 4 8 4 4 6 9 15 33
90(6) — — 38 22 20 14 9 8 14
91(6) — — 62 3 2 1 2 17 38
92(8) 10 2 2 3 3 1 2 1 101
XVI МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОЛИМПИАДА
Шестнадцатая Международная математиче
ская олимпиада проходила с 4 по 17 июля
1974 г. в ГДР в Эрфурте и Берлине.
Первые премии получили:
Александр Григорян — 40 очков, СССР
Жан-Кристоф Ёкоз
Янош Коллар
Андриан Окнеану
Герберт Синвель
Микаэль Стайнер
Йожеф Б. Варга
40 очков, Франция
— 40 очков, Венгрия
— 40 очков, Румыния
— 40 очков, Австрия
— 40 очков, Швеция
— 39 очков, Югославия
Дмитрий Тюкавкин — 39 очков, СССР
Миодраг Живкович — 38 очков, Югославия
Хоанг Ле Минь — 38 очков, Д Р В
Общие результаты следующие:
Страны
Премии
I
(38—40 очков)
II
(30—37 очков)
Ш
(23--29 очков)
Австрия 1 1 4
Англия — 1 3
Болгария — 1 4
Венгрия 1 3 3
ГДР — 5 2
Д РВ 1 1 2
Куба — — —
Монголия — .— . —
Нидерланды — — 1
Польша — — 2
Румыния 1 1 3
СССР 2 3 2
США — , 5 3
Финляндия — ■— • 1
Франция 1 1 3
Чехословакия — — . 2
Швеция 1 1 —
Югославия 2 1 2
22
24. № задачи (в скоб
ках указано мак
симальное число
очков за решение
задачи)
Число участников, получивших указанное
числб очков за решение задачи
8 7 6 5 4 3 2 1 | 0
93(5) 114 8 6 6 1 5
94(6) — — 64 7 18 4 5 14 28
95(8) 35 5 1 1 2 9 7 18 62
96(6) — — 90 15 11 10 10 0 4
97(7) — 27 8 15 13 9 13 21 34
98(8) 35 8 3 5 1 2 7 28 51
Международные олимпиады являются важной формой между
народного сотрудничества в области просвещения. Они не только
позволяют в какой-то степени сравнить уровень математического
образования в различных странах, но и обменяться опытом вне
классной работы со школьниками, в частности опытом организа
ции национальных олимпиад. Ясно, что устойчивые успехи той
или иной страны на олимпиаде отражают прежде всего, сколь
широко поставлено в стране дело математического просвещения
на всех уровнях, начиная с отдельной школы, какое внимание
ученые-математики уделяют работе со школьниками, проявляю
щими математические способности.
Помимо этого, для участвующих в олимпиадах школьников
эти международные встречи примечательны тем, что дают им
возможность познакомиться и подружиться с молодыми людьми
из других стран, с которыми их объединяет общность научных
интересов, преданность математике. Участникам олимпиад также
предоставляются широкие возможности познакомиться с той стра
ной, где проходит олимпиада. Оргкомитет обычно планирует
многочисленные экскурсии по достопримечательным местам,
встречи с молодежью страны-организатора олимпиады. Устраи
ваются также различные спортивные соревнования. Эти экскурсии,
встречи еще более способствуют укреплению дружбы между
представителями молодежи разных стран.
Для многих юных математиков участие в олимпиаде явилось
лишь первым шагом в науку. Подавляющее большинство из них
после окончания школы поступили на математические факультеты
университетов. А участники первых олимпиад уже стали профес
сиональными математиками. Нет нужды повторять здесь, что
успешное выступление на олимпиадах не является единственным
путем молодежи в науку. От участника олимпиады, помимо ма
тематических способностей, требуется ряд чисто спортивных
качеств, умение сконцентрировать свои усилия в заданный, до
вольно ограниченный отрезок времени, что не вполне отражает
обстановку реального научного творчества. Однако эти качества
23
25. не являются лишними и для ученого. Поэтому нельзя считать
случайностью тот факт, что многие бывшие победители различных
математических олимпиад стали крупными математиками.
Среди бывших членов советских команд на первых междуна
родных математических олимпиадах сейчас насчитывается более
двадцати кандидатов наук. Победитель VI ММО Юрий Матия-
севич, еще будучи студентом Ленинградского университета, решил
десятую проблему Гильберта; сейчас он доктор наук, преподает
в Ленинградском университете. Он, а также бывшие призеры
международных олимпиад А. Тоом и Г. Маргулис за свои научные
работы были удостоены премии Московского математического
общества.
Сейчас многие бывшие участники международных олимпиад
сами активно работают со школьниками, передавая свою увле
ченность наукой подрастающему поколению юных математиков.
26. З А Д А Ч И
ЗАДАЧИ МЕЖДУНАРОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
ПЕРВАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
1. Докажите, что дробь ^ несократима ни при каких
натуральных значениях п. (Польша)
2. При каких действительных значениях х имеет место каж
дое из равенств:
а) У . х + V 2х — 1+ У . х — г 2х — 1=- ]/г2;
б) У х + У 2 х ^ 1 + У х — |/2 х ^ Т = 1 ;
в) У х + ]/2х — 1+ У х — У 2х — 1 = 2
(причем рассматриваются только положительные значения корня)?
(Румыния)
3.. Пусть х —угол и пусть четыре действительных числа а,
Ь, с и cos х удовлетворяют соотношению:
acoszx-[-b cosx + c = 0.
Составьте квадратичное соотношение относительно а, Ь, с и
cos2x. Сравните данное и составленное соотношения для случая
а = 4, Ь= 2, с = —1. (Венгрия)
4. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипоте
нузе с, если известно, что медиана, проведенная к с, есть среднее
геометрическое его катетов. (Венгрия)
5. На плоскости дан отрезок АВ и внутри него произвольная
точка М. На отрезках AM и MB как на сторонах построены
квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну и ту же сторону
от АВ. Окружности, описанные около квадратов, с центрами Р
и Q пересекаются, кроме точки М, еще в точке N.
а) Покажите, что прямые AF и ВС проходят через точку N.
б) Покажите также, что при любом положении точки М пря
мая MN проходит через одну и ту же точку 5.
25
27. в) Найдите геометрическое место * середин отрезков PQ, когда
М перемещается по отрезку АВ. (Румыния)
6. Даны две плоскости Р и Q, пересекающиеся по прямой р.
В плоскости Р дана точка Л и в плоскости Q—точка С. Ни одна
из этих точек не лежит на прямой р. Постройте в плоскости Р
точку Д и в плоскости Q точку D, являющиеся вершинами рав
нобочной трапеции ABCD (АВ )| CD), в которую можно вписать
круг. (Чехословакия)
ВТОРАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
7. Определите все трехзначные числа, которые при делении
на 11 дают в частном число, равное сумме квадратов цифр ис
ходного числа. (Болгария)
8. Для каких действительных значений х справедливо нера-
4х2
венство —— < 2х -р 9? (Венгрия)
В. Дан прямоугольный треугольник ЛВС, гипотенуза кото
рого равна а и разделена на п равных частей (п —нечетное число).
Пусть а есть угол, под которым виден из точки Л тот из равных
между собою отрезков, который содержит середину гипотенузы.
Докажите, что tg к = ^ -4' ^ -, где h —высота треугольника.
(Румыния)
10. Постройте треугольник ABC, если известны ha, hb, та
(ha—высота, проведенная к стороне a, hb—высота, проведенная
к стороне Ъ, и та—медиана к стороне а). (Венгрия)
11. Дан куб ABCDA'B'C'D' (см. рис. 9).
а) Найдите геометрическое место середин отрезков XY, где
X —любая точка отрезка АС и Y —любая точка отрезка B'D'.
б) Найдите геометрическое место точек Z отрезка XY, которые
удовлетворяют соотношению ZY = 2XZ. (Чехословакия)
12. Дана равнобочная трапеция с основаниями а и b и вы
сотой h.
а) На оси симметрии трапеции построить точку Р , из которой
обе боковые стороны трапеции видны под прямыми углами.
б) Определите расстояние точки Р от одного из оснований
трапеции.
в) При каких условиях возможно построение точки Р (рас
смотрите возможные случаи)? (Болгария)
13. В прямой круговой конус вписан шар. Около этого шара
описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит
* Под геометрическим местом понимается множество всех таких и только
таких точек, которые обладают указанным свойством.
26
28. в плоскости основания данного конуса. Vt—объем конуса и
V2—объем цилиндра.
а) Докажите, что равенство Vt = V2 невозможно.
б) Укажите наименьшее значение k , при котором имеет место
равенство V1= kV2, и постройте для этого случая угол при вер
шине осевого сечения конуса. (ГДР)
ТРЕТЬЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М ПИ АД А
14. Решить систему уравнений:
( x + t / + z = a
х2+ y z + z2= b2
xy = z
в которой а и b—данные числа. Каким условиям должны удов
летворять а и Ь, чтобы решения системы были положительны и
различны? (Венгрия)
15. Даны длины а, Ь, с сторон треугольника, площадь кото
рого 5. Докажите, что имеет место соотношение
a*+ b*--c2^ 4 S V 3.
В каком случае имеет место равенство? (Польша)
16. Решите уравнение
cosKx—sin" х = 1,
где п —произвольное натуральное число. (Болгария)
17. Дан треугольник РгР2Р3 и внутри него произвольная
точка Р. Пусть точки пересечения прямых РгР Р2Р Р 3Р с про
тивоположными сторонами Qjj Q2; Q3. Докажите, что среди
отношений
|Р»Р| . НУД . Р*Р *
IPQi I ’ I.PQal ’ IPQsl
имеется по крайней мере одно, не большее числа 2, и по крайней
мере одно, не меньшее числа 2. (ГДР)
18. Постройте треугольник ABC, в котором даны АС = Ъ,
АВ = с и АА1В = (й(со < 90°), причем М —середина отрезка ВС.
Докажите, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда
b- < Ь.
В каком случае имеет место знак равенства?
(Чехословакия)
* Здесь и далее запись | Р 3Р | читается: „длина отрезка Р 3Р “.
27
29. 19. Дана плоскость е и не лежащие на одной прямой три
точки А, В, С, которые расположены по одну сторону от плос
кости е. Причем плоскость, проходящая через точки А, В, С,
не параллельна плоскости е.
На плоскости е взяты 3 произвольные точки Л', В', С'. Бук
вами L, М, N обозначены середины отрезков АА', ВВ', СС',
а буквой G—центр тяжести треугольника LMN (Здесь не рас
сматриваются такие положения точек Л', В’, С', при которых
соответствующие им точки L, М, N не являются вершинами тре
угольника). Найдите геометрическое место точек G, когда Л',
В', С' перемещаются в плоскости е независимо друг от друга.
(Румыния)
ЧЕТВЕРТАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
20. Найти наименьшее натуральное число п, обладающее
следующими свойствами:
а) его запись в десятичной системе заканчивается цифрой 6;
б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и перед оставшимися
цифрами написать эту цифру 6, то получится число, в 4 раза
большее исходного числа. (Польша)
21. Найдите все действительные числа х, удовлетворяющие
неравенству V 3—х—|/ х + 1 > - ^ . (Венгрия)
22. Дан куб ABCDA'B'C'D'. ABCD и А'В'C'D'—соответ
ственно верхнее и нижнее основания и АА' jj ВВ' || СС' DD'.
Точка X движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата
ABCD в направлении ABCDA, и точка У движется с той же
скоростью по сторонам квадрата В'С'СВ в направлении В'С'СВВ'.
Точки X и У начинают двигаться в один и тот же момент из
исходных положений Л и В' соответственно. Найдите и начертите
геометрическое место середин отрезков ХУ. (Чехословакия)
23. Решите уравнение:
cos2х -f-cos22х + cos2Зх= 1. (Румыния)
24. На окружности К заданы три различные точки Л, В, С.
Постройте (циркулем и линейкой) на окружности К четвертую
точку D так, чтобы в полученный четырехугольник ABCD можно
было вписать окружность. (Болгария)
25. Дан равнобедренный треугольник ABC, г —радиус опи
санной окружности, р—радиус вписанной окружности. Докажите,
что расстояниеd между центрами окружностей есть d = |/ r ( r —2р).
(ГДР)
26. Тетраэдр SABC обладает следующим свойством: сущест
вуют 5 сфер, касающихся ребер 5Л; SB; SC; АВ ВС СА или
их продолжений.
28
30. Докажите: а) что тетраэдр SABC правильный; б) что, обратно,
для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных
сфер. (СССР)
ПЯТАЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
27» Найдите действительные корни уравнения
28. Найдите в пространстве геометрическое место вершин
прямых углов, одна сторона которых проходит через данную
точку А, а другая имеет по крайней мере одну общую точку
с отрезком ВС. (СССР)
29. Докажите, что если в выпуклом n-угольнике все углы
равны и последовательные стороны удовлетворяют соотношениям:
. .~^ап, то а1= а2= а 3= . . . =а„.
30. Найдите все решения х1Ух2, х3, xt, хъ системы уравнений
32. Ученики А, В, С, D, Е участвовали в одном конкурсе.
Пытаясь угадать результаты соревнований, некто предполагал,
что получится последовательность А, В, С, D, Е. Но оказалось,
что он не указал верно ни места какого-либо из участников и
никакой пары следующих непосредственно друг за другом уче
ников. Некто другой, предполагая результат D, А, Е, С, В,
угадал правильно места двух учеников, а также две пары (не
посредственно следующих друг за другом учеников). Каков был
на самом деле результат конкурса? (Венгрия)
Ш ЕСТАЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
33. а) Найдите все целые положительные п, для которых
число 2"— 1 делится на 7.
У х 2—р + 2 У х2— 1 —х,
где р —действительный параметр. (Чехословакия)
(Венгрия)
' *В+*2 = 0*1. (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
где у —параметр.
31. Докажите, что
(СССР)
л 2я , Зл 1
COSу COSу —f-COS -у = у . (ГДР)
29
31. б) Докажите, что ни при каком целом положительном п число
2" + 1 не делится на 7. (Чехословакия)
34. Обозначим через а, Ь, с длины сторон некоторого тре
угольника. Докажите, что
а2(Ь+с— а) + Ь2(с+ a — b) + с 2(a + b— с) < 3abc.
(Венгрия)
35. В треугольник ABC со сторонами а, Ь, с вписан круг и
построены к нему касательные, параллельные сторонам данного
треугольника. Эти касательные отсекают от данного треуголь
ника ABC три новых треугольника. В каждый из таким образом
построенных треугольников вписан круг. Вычислите сумму пло
щадей всех четырех кругов. (Югославия)
36. Каждый из 17 ученых переписывается с остальными.
В их переписке речь идет лишь о трех темах. Каждая пара
ученых переписывается друг с другом лишь по одной теме.
Докажите, что не менее трех ученых переписываются друг с дру
гом по одной и той же теме. (Венгрия)
37. На плоскости даны 5 точек. Среди прямых, соединяющих
эти 5 точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадаю
щих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем
прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные
4 точки. Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данные 5 точек?
(Румыния)
38. Дан тетраэдр ABCD. Вершина D соединена с центром
тяжести основания точкой Dx. Через вершины треугольника ABC
проведены прямые, параллельные DD1 до пересечения с плоско
стями противоположных граней в точках А и В1г Сг. Докажите,
что объем тетраэдра ABCD в три раза меньше объема тетра
эдра TKjBjCjDj. Будет лн верным результат, если точка Dx—про
извольная точка внутри треугольника ABC? (Польша)
С ЕД ЬМ А Я М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
39. Найдите все действительные х, принадлежащие отрезку
0 ^ х ^ 2 я и удовлетворяющие неравенству
2 co sx < |V r l + sin 2х—У 1—sin 2х| < :]/2 . (Югославия)
40. Дана система уравнений:
(
^11-^1+ ^12*2 ^13-^3
О'ггЧ ^22^2"К^23^3
а31х1+ а 32х2+ а 33х3= О,
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:
30
32. а) gu , а22, а33 положительны;
б) все остальные коэффициенты отрицательны;
в) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что хг= х2—х3= 0 является единственным реше
нием данной системы. (Польша)
41. Дан тетраэдр ABCD. Пусть ребро АВ имеет длину а,
ребро CD имеет длину Ь; расстояние между скрещивающимися
прямыми АВ и CD равно d, величина угла между этими прямыми
равна to. Тетраэдр рассечен на две части плоскостью Р, парал
лельной противоположным ребрам АВ и CD. Вычислите отноше
ние объемов обеих частей, если известно, что отношение расстоя
ний от АВ до Р к расстоянию от CD до Р равно k.
(Чехословакия)
42. Найдите четыре действительных числа хг, х2, х3, ха, таких,
что каждое, сложенное с произведением остальных, равно 2.
(СССР)
43. Пусть в треугольнике ОАВ величина угла АОВ равна а
(а < 90°). Через произвольную точку М, не совпадающую с О,
проведены перпендикуляры МР к ОА и MQ к ОВ. Пусть И —
ортоцентр треугольника OPQ. Найдите геометрическое место
точек Н, если:
а) М пробегает отрезок АВ
б) М пробегает внутреннюю область треугольника АОВ.
(Румыния)
44. В плоскости даны п ^ З точек. Пусть d — максимальное
расстояние между любыми двумя из этих точек. Назовем его
диаметром данной системы точек. Докажите, что этих диаметров
не больше п. (Польша)
ВО С Ь М А Я М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ А ТИ ЧЕС КАЯ О Л И М П И А Д А
45. На олимпиаде были даны три задачи: А, В, С. 25 школь
ников решили хотя бы одну задачу. Школьников, не решивших
задачу Л, но решивших В, в два раза больше, чем решивших С.
Школьников, решивших только задачу Л, на одного больше,
чем остальных школьников, решивших задачу Л. Сколько школь
ников решили только задачу В, если среди школьников, решив
ших только одну задачу, половина не решила задачу Л? СССР)
46. Докажите, что если стороны а, Ь, с и противолежащие
им углы а, р, у некоторого треугольника удовлетворяют соот
ношению
a + b = tg - | (a tg a + fctgP),
то этот треугольник равнобедренный. (Венгрия)
31
33. 47. Докажите, что сумма расстояний от центра шара, опи
санного около правильного тетраэдра, до вершин тетраэдра меньше
суммы расстояний от любой другой точки до вершин тетраэдра.
(Болгария)
48. Докажите тождество:
где п—натуральное и (k = §, 1, К—целое).
(Югославия)
49. Решите систему:
I^1 1-^2 “ЬI Iх 3-f-1а1 а41xt — 1,
< |а 2—at х1--а2—a3xs --a2—а41 = 1,
a3- a l x1+ a3- a 2xi + as- a i xi = 1,
, К —«11Л-l + 1а4—а2|х2+ |а 4—а 3|х 3= 1,
*
где а1г а2, а3, а4—данные различные действительные числа.
(Чехословакия)
50. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты
соответственно точки М, К, В (не совпадающие с вершинами).
Докажите, что площадь хотя бы одного из треугольников MAL,
КВМ, LCK не превышает площади треугольника ABC.
(Польша)
ДЕВЯТАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
51. В параллелограмме ABCD треугольник ABD остроуголь
ный. |Л Б | = а, A D ~ и BAD* —а. Докажите, что четыре
круга Ка, Кя>Кс, Ко радиуса 1, центры которых в вершинах
А, В, С, D, тогда и только тогда, покрывают параллелограмм,
когда а ^ cos a -f ] / 3 sin а. (Польша)
52. В тетраэдре длина одного, и только одного, ребра больше 1.
Докажите, что объем тетраэдра не превосходит ~ .
(Чехословакия)
53. k, т, п — положительные целые числа и т |-&+ 1—
простое число, большее п -f-l. Пусть Cs= s(s-f-l). Докажите,
что произведение (Сст+1—СД-(С;л+2—СА) . . -(Ст+п— Ск) делится
на произведение Ct -C2- . . . -Сп. (Англия)
54. Даны два остроугольных треугольника А0В0С0 и Л1В1С1.
Постройте треугольник ABC, подобный треугольнику А,В1С1
(вершина А соответствует А и В —Вг, С—С,), описанный около
* Здесь и далее запись BAD читается: „величина угла BAD"'.
32
34. треугольника А0ВйСй, так, что С„ £ АВ, А0£ВС, Вй^СА. По
стройте такой треугольник ABC, имеющий максимальную площадь.
(Италия)
55. Рассматривается последовательность {Сп}:
С1= а14-а2+ . .. + а 8
+ а !С2—а, -f-а2+
С„= а* + с”+ + апв
где а,, . .. , о„—действительные числа, не все равные нулю. Среди
членов последовательности бесконечно много равных нулю. Най
дите все п, для которых С„ = 0. (СССР)
56. В спартакиаде, продолжавшейся п дней, было разыграно т
медалей. В I день были вручены 1 медаль и еще у- оставшихся
т — 1 медалей. Во II день были вручены 2 медали и еще —остав
шихся после этого медалей и т. д. Наконец, в n-й последний
день были вручены оставшиеся п медалей. Сколько дней продол
жалась спартакиада и сколько медалей было вручено?
(Венгрия)
ДЕСЯТАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
57. Докажите, что существует единственный треугольник,
длины трех сторон которого—последовательные натуральные
числа, а один из углов вдвое больше одного из двух других
углов. (Румыния)
5 3 . Найдите все целые положительные числа х, произведение
цифр (в десятичной записи) которых равно х2— Юл:—22.
(Чехословакия)
5 9 . Дана система уравнений с переменными xv х2, . .. , хп:
ах--Ьхг--с=х2,
ах*+Ьх2+ с = х3,
.................... ' ' • • 9
ах%-г+Ьхп_1+ с = хп,
ах„-f-bxn-f с = хх,
где а, Ь, с—действительные числа, а ф 0. Докажите, что система:
а) не имеет действительных решений, если
ф — I)2—4ас < 0;
б) имеет единственное действительное решение, если
ф— I)2—4ас = 0;
2 № 41 33
35. в) имеет более одного действительного решения, если
ф — I)2—4ас> 0. (Болгария)
60> Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина,
что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник. (Польша)
63. Функция /, определенная при всех действительных зна
чениях аргумента и принимающая действительные значения, при
всех х удовлетворяет условию
f (х + а) = 1 + V n ^ F 4 f W
где а—-некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция f периодическая (т. е. существует
некоторое Ь > 0, такое, что f ( х b) = f (х) для всех х).
б) Приведите пример такой функции f, отличной от тождест
венной константы, для а = 1. (ГДР)
62- Пусть [х] означает целую часть числа х, т. е. наибольшее
целое число, не превосходящее х.
Вычислите сумму
[ Ф ] + [ ^ ] + ••■+[£?]+•••
для каждого целого положительного п и докажите справедливость
полученной формулы. (Англия)
О Д ИН НАДЦАТАЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
63. Докажите, что существует бесконечное множество нату
ральных чисел а со следующим свойством: число z = n4-fa не
является простым ни для какого натурального п. (ГДР)
64. Пусть alt а2, .. . , ап—действительные постоянные, х —
действительное переменное и
/ M = cos(a,+ *) + 2 i & + d + 2 % ± i + . . . + 2 ^ i ± S .
Докажите, что из /(x'J= /(х.,) = 0 следует, что х1— х-2= т л ,
где т —целое число. (Венгрия)
65. Для каждого &=1, 2, 3, 4, 5 найдите необходимые и
достаточные условия, которым должно удовлетворять число а > О,
для того, чтобы существовал тетраэдр, k ребер которого имеют
длину а, а остальные 6— k ребер—длину 1. (Польша)
66. Полуокружность у построена на диаметре АВ. Точка С
лежит на у и отлична от Л и В. Ортогональную проекцию С на АВ
обозначим через D. Рассмотрим три окружности yt, у.2, у3, имеющие
34
36. АВ в качестве общей касательной; из них у, вписана в треуголь
ник ABC, у2 и у3 обе касаются отрезка CD и у. Докажите, что у^
у2> Тз имеют вторую общую касательную. (Голландия)
67. В плоскости даны п > 4 точек, причем никакие три не
лежат на одной прямой. Покажите, что можно найти не менее
выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех данных
точках. (Монголия)
63. Докажите, что если хл > 0, х2> 0 и х1у1— г* > О,
8 1 1
2J 2 2 ^ > (*х + - * 2) (i/j -(- у 2) — (2 x + Z 2) 2 X ly t — г х 2у 2 — г 2
Установите необходимые и достаточные условия, при которых
в данном неравенстве имеет место равенство. (СССР)
Д ВЕН АД Ц АТ АЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
69. Дан треугольник ABC, М —внутренняя точка стороны АВ.
Пусть гх, г2, г —радиусы окружностей, вписанных соответственно
в треугольники АМС, ВМС, ABC; рх, р2 р—радиусы окружно
стей: а) лежащих внутри угла АСВ; б) являющихся вневписан-
ными соответственно для треугольников АМС, ВМС, ABC.
Докажите, что г-1^ 1 = —. (Польша)
P i•Р2 Р
70. Пусть а, Ь и п —натуральные числа, большие единицы.
Числа а ий являются основаниями двух систем счисления. Числа
Ап, Вп имеют одинаковое представление хпхп_г ... ххх0 в системах
счисления с основаниями а и Ь, причем хпФО, х„_гФО. Числа,
получившиеся после вычеркивания первой цифры хп, будем на
зывать Д„_!, Вп_х.
Докажите, что а > b тогда и только тогда, когда —~ < —§~1.
(Румыния)
71. Последовательность действительных чисел а0, ах ап, . . .
удовлетворяет условию
1= а0 ах ^ ап ... (1)
Последовательность Ьг, й2, . . . , Ъп, . .. определяется так:
‘-S M iO -ifc -
Докажите: а) 0 < й „ < 2 для всех п; б) для данного с, такого,
что 0 < с < 2 , существует последовательность а0, о„ . . . , ап, ...,
удовлетворяющая условию (1), такая, что Ьп > с для бесконечного
множества индексов п. (Швеция)
2* 35
37. 72. Найдите все положительные целые числа п такие, что
множество {tv, п--1; п + 2; п + 3; н + 4; п + 5} можно разделить
на два множества так, что произведение всех элементов одного из
них равно произведению всех элементов другого. (Чехословакия)
73. В тетраэдре ABCD DB DC и основание перпендикуляра,
проведенного через точку D к плоскости треугольника ABC,
совпадает с ортоцентром этого треугольника. Докажите, что
( | АВ |+ 1ВС | -f-1АС | )2^ б ( | AD |2+ 1BD |2+ | CD |2). Для каких
тетраэдров имеет место равенство? (Болгария)
74. На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых
не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные
треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что среди
них будет не более 70% остроугольных треугольников. (СССР)
ТРИНАДЦАТАЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
75. Докажите, что утверждение „Для любых действительных
чисел аи аг, а,, выполняется неравенство
(Oi—<*•) («х—«■) • • •(ах—ап)+
+ (о2—ах) (а2—а3) . . .(а2—а„) +
+ (а„—ах) (ап—а2) . . .(ап— an_t) > 0 ”
справедливо при п — 3 и п = 5 и несправедливо ни при каком
другом натуральном п > 2. (Венгрия)
76. Пусть имеется выпуклый многогранник Рх с девятью вер
шинами Л1( Л2, . . . , Ав. Обозначим через Р2, Р3, . . . , Рд много
гранники, полученные из Рх параллельными переносами, которые
перемещают точку Ах соответственно в точки Л2, Л3, . . . , Л9.
Докажите, что по крайней мере два из многогранников Ри Р2, . . . Ря
имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку. (СССР)
77. Докажите, что последовательность {2"—3} (п — 2; 3; 4; . ..)
содержит бесконечное множество чисел, каждые два из которых
взаимно просты. (Польша)
78. Каждая грань тетраэдра ABCD—остроугольный треу
гольник. Рассмотрим все замкнутые ломаные линии XYZTX,
определенные следующим образом: X —точка на ребре АВ, отлич
ная от Л и В. Аналогично Y, Z, Т —внутренние точки ребер
ВС, CD, DA соответственно. Докажите, что:
а) если DAB --BCD=A^ ABC -f-CDА, то среди этих ломаных нет
ни одной кратчайшей;
б) если DAB -f-BCD = ABC + CDЛ, то существует бесконечно
много ломаных минимальной длины и эта длина равна
2 1ЛС| s i n , где а — ВАС+CAD --DAB. (Нидерланды)
36
38. 79. Докажите, что для любого натурального числа т сущест
вует непустое конечное множество S точек плоскости, такое, что
для любой точки А из S имеется ровно т точек из S, которые
находятся на единичном расстоянии от А. (Болгария)
80. Рассмотрим квадратную таблицу
@П1@Г12 *** &ПП1
состоящую из неотрицательных целых чисел и удовлетворяющую
следующему условию: как только а,-у-= 0, так справедливо нера
венство а,-г+ о/2+ . .. -f-ain + atJ-+ a2J--f- . .. +o„y^ n. Докажите,
что сумма всех элементов таблицы не меньше п2. (Швеция)
ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М АТЕМ АТИЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
81. Докажите, что из любых десяти различных двузначных
натуральных чисел можно выбрать две различные непересекаю-
щиеся группы чисел так, что сумма чисел в обеих группах будет
одинаковой. (СССР)
82. Докажите, что следующее утверждение справедливо для
любого п ^ 4: произвольный вписанный четырехугольник можно
разбить на п четырехугольников, вокруг каждого из которых
можно описать окружность. (Нидерланды)
83. Докажите, что для любых неотрицательных целых чисел
т и п число ^~гг является целым (полагаем 0! = 1).
m!n!(m+ n)' (Англия)
84. Найдите все решения (лу, х2, х3, хв, хь) системы неравенств:
(хг х дхь) (х2х3хъ) Д О,
(х2 хахх) (х|XeXj) ^ О,
(х1— хьх2) (xl— x6x2) < О,
(-'■4 Ххх3) (л| -Аул'.,) < 0 ,
(х|— x2xt) (х1— х2х3) < О,
— положительные действительные числа.
(Нидерланды)
85. Пусть / и g —действительные функции, определенные на
всей прямой и удовлетворяющие уравнению
/(*+ У) + f (х— У) = 2/(х) g (у)
для всех х, у. Докажите, что если / (х) не есть тождественный
нуль и если | / ( х ) | < 1 для всех х, то | g ( « / ) | ^ l для всех у.
(Болгария)
37
39. 8 а , Даны четыре различные параллельные плоскости. Дока
жите, что существует правильный тетраэдр с вершинами на каж
дой из этих плоскостей. (Англия)
ПЯТНАДЦАТАЯ М ЕЖ Д УН А РО Д Н А Я
М АТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И А Д А
87. Точка О лежит на прямой 1 ОРг,ОР2 0Рп—еди
ничные векторы, такие, что точки Р,, Р2, Рп лежат в одной
плоскости, содержащей I, и все по одну сторону от I. Докажите,
что если п нечетное, то | 0 P t + 0Р г+ ... -f 0Рп^ 1 , где | ОМ |—
длина вектора ОМ. (Чехословакия)
88. Выясните, существует ли конечное множество М точек
в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для
любых двух точек А, В, принадлежащих М, найдутся две другие
точки С, D, принадлежащие М, такие, что прямые АВ и CD
параллельны и не совпадают. (Польша)
8Э. Найдите минимальное значение а2+ й2, где а и &—дейст
вительные числа, для которых уравнение х* А-ах3p b x 2 ах -f 1= 0
имеет по крайней мере один действительный корень. (Швеция)
90. Солдат должен проверить отсутствие мин на участке,
включающем границу и имеющем форму равностороннего тре
угольника. Радиус действия его детектора равен половине высоты
треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника.
Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее воз
можное расстояние и выполнить задание? (Югославия)
91. Дано непустое множество G не равных постоянной функций
действительного аргумента х вида / (х) = ах -j-b, где а и b—дейст
вительные числа, причем G удовлетворяет следующим условиям:
1) если /, gCG, то go/gG, где (go/) (х) = g(/ (х)), т. е. мно
жество G замкнуто относительно суперпозиции;
2) если /£G , где f (х) = ах--Ь, то обратная функция /~l £G,
, . х—b
где/ (х) = - ;
3) для любой / СG существует xf , такое, что / (xf) = xf.
Докажите, что существует действительное к, такое, что / (k) = к
для всех / СG. (Польша)
92. Пусть a t, . . . , ап—данные п положительных чисел и q —
данное действительное число, причем 0 < q < 1. Найдите такие п
действительных чисел Ьи Ь2, . . . , Ьп, что
а) ak < bk при всех к от 1 до п
б) Q< - < — при всех k от 1 до п — 1;
ч
в) bi + b2+ + а2+ . . . + а п). (Швеция)
38
40. Ш ЕСТНАДЦАТАЯ М ЕЖ Д УН АРО Д Н АЯ
М А ТЕМ АТИ ЧЕСКАЯ О Л И М П И АД А
93. Имеется три карточки, на каждой из которых написано
одно из целых чисел. Эти числа р, q, г удовлетворяют условию
О< p < q < r .
Три игрока А, В и С играют в игру, один круг которой
состоит в следующем: карточки перемешиваются и раздаются
игрокам по одной; затем каждый игрок получает количество
шариков, равное числу, написанному на полученной им карточке;
потом карточки собираются, а шарики остаются у игроков. Игра
продолжается N кругов, N ^ 2. В конце игры у игрока А на
копилось 20 шариков, у В — 10 шариков, у С—9 шариков. Из
вестно, что в последнем круге игрок В получил г шариков. Тре
буется установить, кто из игроков получил q шариков в первом
круге. (США)
94. В треугольнике ABC величины углов при вершинах
А, В и С равны соответственно а, р и у. Докажите, что нера
венство
sin a-sin р ^ s i n 2^-
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
на отрезке АВ нашлась точка D, такая, что величина CD является
средним геометрическим величин AD и BD. (Финляндия)
95. Докажите, что для любого натурального числа п число
П
2 а*х- 2з*
к=0
не делится на 5. (Румыния)
96. Рассмотрим разбиения шахматной доски 8x8 на р взаимно
непересекающихся прямоугольников, удовлетворяющие следую
щим условиям:
1) каждый прямоугольник состоит из некоторого числа клеток
и содержит белых клеток столько же, сколько и черных;
2) если а,-—число белых клеток в t-том прямоугольнике, то
« 1 < «г < • • •< ар.
Найдите наибольшее значение р, при котором такое разбиение
возможно, и определите для этого значения р все последова
тельности Оц а2, . . . , ар, для которых можно реализовать такое
разбиение. (Болгария)
97. Найдите множество значений суммы
a --b --d 'a - -b - -c ' Ь+ с + d а + с + d ’
где а, Ь, с, d —произвольные положительные действительные
числа. (Нидерланды)
39
41. 98. Пусть Р —многочлен с целочисленными коэффициентами,
не являющийся константой, и пусть п(Р) —число всех различных
целых чисел k, для которых (Р(£))2= 1.
Докажите, что п (Р) —deg(/5) ^ 2 , где deg (Р) означает сте
пень многочлена Р. (Швеция)
ЗАДАЧИ ИЗ МАТЕРИАЛОВ ЖЮРИ МЕЖДУНАРОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД
99. В плоскости дано п > 3 точек, причем никакие три точки
не лежат на одной прямой. Существует ли окружность, прохо
дящая по крайней мере через 3 данные точки и не содержащая
внутри себя ни одной из остальных? (Чехословакия)
100. Дано п положительных чисел 0 о с2 таких,
что а1-а2- ... -а„= 1.
Докажите, что
( 1 + а 1) ( 1 + а 2) . . . ( 1 + а „ ) > 2 " (ГДР)
101. В плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не
лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек суще
ствуют такие 4 точки, которые являются вершинами выпуклого
четырехугольника. (Польша)
102. Докажите неравенство
t / л _ 5 1 П х t / л С 0 5 * j
ь 4 s i n a / ь 4 c o s a /
для всех значений х и а, удовлетворяющих условиям
0 < x < y , (СССР)
103. Пусть т — выпуклый плоский многоугольник, периметр
которого I, а площадь S. М (R)—множество точек пространства,
удаленных от т на расстояние не более R, Р(/?) —объем тела
М (R).
Докажите, что V (R) = ^ Р 3+ Ij Р 2+ (25) R.
Точка С удалена от фигуры т на расстояние не более R,
т. е. С принадлежит М (R), если у фигуры т найдется точка D,
расстояние от которой до С не превышает R. (СССР)
104. При каком расположении двух бесконечных прямых
круговых цилиндров линия их пересечения будет плоской (т. е.
будет целиком лежать в одной плоскости)? (СССР)
105. Дан ящик сахарного песка, чашечные весы и гирька
в 1 г. Как возможно быстрее отвесить покупателю 1 кг сахару?
(Укажите схему уравновешиваний.) (СССР)
40
