5. Cap´ıtulo 1
Sequˆencias
1.1 Defini¸c˜ao e propriedades b´asicas
Defini¸c˜ao 1 (Sequˆencia finita ou n-upla). Uma sequˆencia finita ´e uma fun¸c˜ao x :
In → B, onde In = {1, . . . n} e B ´e um conjunto qualquer, podemos denotar a sequˆencia
como (xk)n
1 .
Defini¸c˜ao 2 (Sequˆencia vazia). ´E uma sequˆencia sem elementos denotada por () que
consideraremos tamb´em como uma sequˆencia finita.
Defini¸c˜ao 3 (Sequˆencia). Come¸caremos com uma sequˆencia em um corpo qualquer e
depois trataremos de sequˆencias onde o corpo ´e o corpo dos n´umeros reais. Uma sequˆencia
com elementos em um corpo K ´e uma fun¸c˜ao X : N → K. xn ´e chamado n-´esimo termo
da sequˆencia e podemos denotar a sequˆencia das seguintes maneiras
(x1, . . . , xn, . . . ) = (xn)n∈N = (xn) = {xn}.
Tal defini¸c˜ao pode ser feita tomando um conjunto qualquer B no lugar do corpo K, nesse
caso podemos ter sequˆencia de elementos arbitr´arios.
Em nossa apresenta¸c˜ao escolhemos come¸car a sequˆencia do termo x1 pois associamos
a ele normalmente o primeiro termo.
4
6. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 5
Usaremos a nota¸c˜ao x(N) = {x1, . . . , xn, . . . } = {xn|n ∈ N} para simbolizar o con-
junto dos termos da sequˆencia. ´e preciso tomar cuidado para n˜ao confundir o conjunto de
termos da sequˆencia com a representa¸c˜ao da sequˆencias atrav´es da upla. Se a sequˆencia
for injetiva, isto ´e, xm = xn implicar n = m, diremos que ´e uma sequˆencia de termos dois
a dois distintos. Em (xn), n ´e chamado de ´ındice da sequˆencia. Dizemos tamb´em que em
(xn), xn ´e o termo de ordem n ou ´e o n-´esimo termo da sequˆencia.
Defini¸c˜ao 4 (Sucessores e antecessores). Dado o termo xs em uma sequˆencia (xn),
os termos xp tais que p > s s˜ao ditos sucessores de xs na sequˆencia (xn) se s > 1 ent˜ao os
termos xp tal que p < s s˜ao ditos antecessores de xs na sequˆencia (xn).
1.2 Opera¸c˜oes com sequˆencias
Defini¸c˜ao 5 (Igualdade de sequˆencias). Duas sequˆencias (ak) e (bk) s˜ao iguais, quando
ak = bk para todo k ∈ N
(ak) = (bk)
, isto ´e duas sequˆencias s˜ao iguais quando seus termos de ´ındices iguais, s˜ao iguais.
Defini¸c˜ao 6 (Adi¸c˜ao de sequˆencias). Sejam sequˆencias (an) e (bn), definimos a adi¸c˜ao
como uma outra sequˆencia (cn)
(an) + (bn) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pela adi¸c˜ao de an e bn, cn = an + bn.
Defini¸c˜ao 7 (Produto de sequˆencias). Sejam sequˆencias (an) e (bn), definimos o
produto, como
(an)(bn) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pelo produto dos termos bn e an, cn = anbn.
7. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 6
Propriedades da adi¸c˜ao
Sejam (an), (bn), (cn) sequˆencias quaisquer no corpo K, a adi¸c˜ao e o produto de
sequˆencias gozam das seguintes propriedades
Propriedade 1 (Elemento neutro). O elemento neutro da adi¸c˜ao de sequˆencias ´e a
sequˆencia onde todos termos s˜ao nulos
(cn) = (0)
onde cn = 0 ∀ n ∈ N1. E temos a propriedade, sendo (an) uma sequˆencia qualquer, temos
a propriedade
(an) + (0) = (an + 0) = (an).
Pois o corpo k possui elemento neutro da adi¸c˜ao. Temos um elemento neutro do produto
que ´e (1) a sequˆencia constante formada pelo n´umero 1, e temos a propriedade
(an)(1) = (an.1) = (an).
Pois 1 ´e o elemento neutro do produto no corpo K
Propriedade 2 (Comutatividade). Temos as propriedades
(cn) + (bn) = (cn + bn) = (bn + cn) = (bn) + (cn)
(cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn)
pela propriedade da adi¸c˜ao e o produto serem comutativos no corpo k.
Propriedade 3 (Associatividade).
[(cn) + (bn)] + (an) = (cn + bn) + (an) = (cn + bn + an) = (cn) + [(bn + an)]
[(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)]
pela associatividade no corpo K.
8. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 7
Propriedade 4 (Existˆencia de inverso). Para a sequˆencia (an) existe a sequˆencia
(−an), tal que
(an) + (−an) = (an − an) = (0)
a soma das sequˆencias ´e a sequˆencia nula. Se an ̸= 0 para todo n, existe a−1
n e temos a
sequˆencia dos inversos (a−1
n ) onde temos a propriedade
(an).(a−1
n ) = (an.a−1
n ) = (1).
Propriedade 5 (Existˆencia de divisores de zero). Dadas duas sequˆencias n˜ao nulas
(xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequˆencia nula.
Demonstra¸c˜ao. Considere (xn) dada por xn = 0 se n par e xn = 1 se n ´ımpar,
(yn) tal que yn = 0 se n ´ımpar yn = 1 se n par, ent˜ao (xn)(yn) = (0) e nenhuma delas ´e a
sequˆencia nula.
Corol´ario 1. Com isso conclu´ımos que o conjunto das sequˆencias munido da adi¸c˜ao
e multiplica¸c˜ao que definimos , n˜ao ´e um corpo, pois em corpos n˜ao existem divisores de
zero.
Propriedade 6 (Distributividade).
(an)[(cn) + (bn)] = (an)(cn + bn) = (ancn + anbn) = (ancn) + (anbn) = (an)(cn) + (an)(bn)
pela distributividade no corpo K.
Defini¸c˜ao 8 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequˆencia (an) e um
elemento r do corpo K, definimos o produto da sequˆencia por r como uma outra sequˆencia
(cn)
r(an) = (cn)
onde o termo cn ´e dado pelo produto do termo an e r, cn = an.r.
Propriedade 7 (Distributividade). Sendo r e p ∈ k, temos
(r + p)(an) = (ran + pan) = (ran) + (pan) = r(an) + p(an).
r[(an) + (bn)] = r(an + bn) = (ran + rbn) = r(an) + r(bn).
9. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 8
Propriedade 8 (Multiplica¸c˜ao por 1).
1.(an) = (1.an) = (an).
Propriedade 9. c e d no corpo K temos
c[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an)
Com as propriedades de adi¸c˜ao e produto por escalar (que no caso s˜ao elementos do
corpo K), as sequˆencias em um corpo k, formam um espa¸c o vetorial. Este espa¸c o vetorial
de sequˆencias ser´a simbolizado por K∞
, em especial se o corpo for o corpo dos n´umeros
reais R, teremos o espa¸c o vetorial R∞
que s˜ao sequˆencias de n´umeros reais.
Propriedade 10. Seja, s um n´umero natural maior que 1 , as sequˆencias (xn) com
xn = 0 para n ≥ s e outros termos livres em K formam um subespa¸c o vetorial de K∞
.
Em termos de upla escrevemos
(
xk|s−1
1 , xk|∞
s
)
=
(
xk|s−1
1 , 0|∞
s
)
= (x1, . . . , xs−1, 0, . . . ).
Demonstra¸c˜ao. A sequˆencia (0) pertence a sequˆencia (xn), pois basta tomar
xn = 0 para n < s, pela defini¸c˜ao da sequˆencia (xn) vamos ter xn = 0 para n ≥ s.
Escrevendo com nota¸c˜ao de upla
(
xk
∞
1
)
abrindo, temos
(
xk
∞
1
)
=
(
xk
s−1
1
, xk
∞
s
)
para que seja a sequˆencia zera basta tomar xk = 0 para k de 1 at´e s − 1, pois a partir de
s, todos s˜ao zero.
Sejam agora duas sequˆencias (an) e (bn) com as propriedades da hip´otese, vamos
demonstrar a soma continua tendo as propriedades que queremos. Escrevendo como
upla, temos
(an) + (bn) =
(
ak
s−1
1
, 0
∞
s
)
+
(
bk
s−1
1
, 0
∞
s
)
=
(
ak + bk
s−1
1
, 0
∞
s
)
.
logo a adi¸c˜ao ´e fechada.
Agora seja a um elemento do corpo K e uma sequˆencia (xn) com as propriedades da
hip´otese, vamos mostrar que o produto continua sendo uma sequˆencia com a propriedade
que queremos
a
(
ak
s−1
1
, 0
∞
s
)
=
(
a.ak
s−1
1
, 0
∞
s
)
.
que ´e do tipo que desejamos. Assim demonstrada essas trˆes propriedades temos que tais
sequˆencias s˜ao subespa¸c o de K∞
.
10. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 9
1.2.1 Defini¸c˜ao de subsequˆencia
Defini¸c˜ao 9 (Subsequˆencia). Uma subsequˆencia (xn)n∈N′ de uma sequˆencia (xn) ´e
a restri¸c˜ao da sequˆencia xn : N → R a um subconjunto infinito N′
de N, isto ´e, (xn)n∈N′
´e a fun¸c˜ao xn : N′
→ R, onde N′
⊂ N ´e um conjunto infinito .
Vamos analisar agora o caso onde o corpo K ´e o corpo dos n´umeros reais.
Defini¸c˜ao 10 (Sequˆencia limitada). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada quando existem
a e b reais tais que xn ∈ [a, b] ∀ n ∈ N, isto ´e, sempre vale a ≤ xn ≤ b . Todo intervalo
[a, b] est´a contido num intervalo do tipo [−c, c], com c > 0 (intervalo sim´etrico). Para ver
isto, basta tomar c = max{|a|, |b|}, pois c ≥ b e c ≥ −a da´ı a ≥ −c e portanto,
−c ≤ xn ≤ c ⇔ |xn| ≤ c,
assim podemos ver que uma sequˆencia (xn) ´e limitada ⇔ existe c > 0 real, tal que
|xn| ≤ c para todo n ∈ N, Da´ı resulta que (xn) ´e limitada ⇔ (|xn|) ´e limitada.
Propriedade 11. A soma finita de sequˆencias limitada ´e uma sequˆencia limitada.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos nota¸c˜ao xp(k) para simbolizar o k-´esimo termo da
p-´esima sequˆencia, como cada uma das n sequˆencias ´e limitada ent˜ao para cada p existe
uma constante Mp > 0, tal que |xp(k)| ≤ Mp para todo k ∈ N. Somando sobre p tem-se
|
n∑
p=1
xp(k)| ≤
n∑
p=1
|xp(k)| ≤
n∑
p=1
Mp
logo a sequˆencia dada pela soma ´e limitada.
Propriedade 12. O produto de sequˆencias limitadas ´e uma sequˆencia limitada.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos a mesma nota¸c˜ao da propriedade anterior. Vale
|xp(k)| ≤ Mp da´ı podemos tomar o produto com p variando
n∏
p=1
|xp(k)| = |
n∏
p=1
xp(k)| ≤
n∏
p=1
Mp
de onde segue o resultado.
11. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 10
Defini¸c˜ao 11 (Sequˆencia ilimitada). Quando uma sequˆencia n˜ao ´e limitada, diz-se
que ela ´e ilimitada.
Defini¸c˜ao 12 (Sequˆencia limitada superiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada
superiormente, quando existe b ∈ R, tal que xn ≤ b para todo n ∈ N1, isto ´e, todos
elementos pertencem ao intervalo (−∞, b].
Defini¸c˜ao 13 (Sequˆencia limitada inferiormente). Uma sequˆencia (xn) ´e limitada
inferiormente, quando existe b ∈ R , tal que b ≤ xn para todo n ∈ N1, isto ´e, todos termos
da sequˆencia pertencem ao intervalo [b, ∞).
Corol´ario 2. Uma sequˆencia ´e limitada sse ´e limitada superiormente e inferiormente.
Se a sequˆencia for limitada ent˜ao todos seus termos pertencem a um intervalo fechado [a, b],
logo temos sempre a ≤ xn ≤ b, de onde segue que xn ≤ b logo ´e limitada superiormente e
a ≤ xn logo limitada inferiormente. Agora se ela ´e limitada inferiormente e superiormente
temos a, b tais que a ≤ xn e xn ≤ b logo xn ∈ [a, b] para todo n.
Corol´ario 3. Toda subsequˆencia de uma sequˆencia limitada ´e limitada. Se a sequˆencia
´e limitada ent˜ao temos que xn ∈ [a, b]∀n ∈ N1 em especial temos tamb´em que xn ∈
[a, b]∀n ∈ N′
pois N′
´e um subconjunto de N.
Defini¸c˜ao 14 (Sequˆencias crescentes e n˜ao-decrescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e
crescente, quando temos xn+1 > xn, para todo n ∈ N1. Podemos escrever da seguinte
forma xn+1 − xn > 0, usando o operador delta, ∆xn > 0, logo uma sequˆencia ´e crescente,
quando ∆xn > 0 para todo n.
Uma sequˆencia (xn) ´e n˜ao-decrescente, quando temos xn+1 ≥ xn para todo n ∈ N1,
que podemos escrever ∆xn ≥ 0. As sequˆencias crescentes s˜ao sequˆencias n˜ao-decrescentes,
pois satisfazem xn ≥ 0 mas as n˜ao-decrescentes em geral n˜ao s˜ao crescentes.
Defini¸c˜ao 15 (Sequˆencias decrescentes e n˜ao-crescentes). Uma sequˆencia (xn) ´e
decrescente quando temos xn > xn+1 para todo n ∈ N1, que pode ser escrito como
0 > xn+1 − xn e usando novamente o operador delta, 0 > ∆xn ou ∆xn < 0.
12. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 11
Uma sequˆencia (xn) ´e n˜ao-crescente, quando temos xn+1 ≤ xn para todo n ∈ N1, e
usando o operador, escrevemos ∆xn ≤ 0. Da mesma maneira que nas sequˆencias crescen-
tes, as sequˆencias decrescentes s˜ao sequˆencias n˜ao-crescentes pois satisfazem ∆xn ≤ 0,
por´em as sequˆencias n˜ao-crescentes n˜ao s˜ao necessariamente decrescentes.
Propriedade 13. Toda sequˆencia n˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente e toda
n˜ao-crescente ´e limitada inferiormente.
Demonstra¸c˜ao. Temos que vale ∆xk ≥ 0 para todo k ∈ N1 vamos mostrar que a
sequˆencia n˜ao-decrescente ´e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo x1, para isso
temos que mostrar que xn ≥ x1 para qualquer n ∈ N1, como temos que vale ∆xk ≥ 0
para todo k ∈ N1, tomamos o somat´orio com k em [1, n − 1]
n−1∑
k=1
∆xk = xk
n
1
= xn − x1 ≥ 0
pois ´e uma soma de n´umeros n˜ao negativos, logo vale xn ≥ x1. O mesmo argumento para
uma sequˆencia crescente, nela vale ∆xk > 0 aplicando a soma em [0.n − 1] temos
n−1∑
k=1
∆xk = xn − x1 > 0
pois ´e soma de termos maiores que zero, implicando xn > x1 para n > 1. Agora toda
sequˆencia n˜ao-crescente ´e limitada superiormente pelo seu primeiro termo, pois temos
∆xk ≤ 0 e aplicando a soma em [1, n − 1] temos
n−1∑
k=1
∆xk = xn − x1 ≤ 0
logo xn ≤ x1 sendo o mesmo v´alido para sequˆencias decrescentes ∆xk < 0
n−1∑
k=1
∆xk = xn − x1 < 0
logo xn < x1.
Defini¸c˜ao 16 (Sequˆencias mon´otonas). sequˆencias mon´otonas s˜ao sequˆencias que
tˆem uma das propriedades: Crescentes, decrescentes, n˜ao-crescentes ou n˜ao-decrescentes.
Como as sequˆencias crescentes s˜ao tamb´em n˜ao-decrescentes e as decrescentes s˜ao n˜ao-
crescentes podemos demonstrar algumas propriedades para n˜ao-crescentes e n˜ao-decrescentes
sendo v´alida para outras sequˆencias mon´otonas tamb´em.
13. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 12
Propriedade 14. N˜ao existe sequˆencia decrescente de n´umero naturais.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista uma sequˆencia (xn) decrescente, considere
o conjunto dos termos da sequˆencia A = {xn | n ∈ N}, por ser um conjunto de n´umeros
naturais o PBO garante que existe o menor elemento de A, da´ı existe m ∈ N tal que xm
´e m´ınimo, por´em como a sequˆencia ´e decrescente ent˜ao xm > xm+1, absurdo.
Propriedade 15. N˜ao existe sequˆencia crescente limitada de n´umeros naturais.
Demonstra¸c˜ao. Supondo que exista uma sequˆencia (xn) crescente o conjunto de
seus termos A tem um maior elemento, digamos xm, por´em como ela ´e crescente temos
xm+1 > xm o que ´e absurdo.
Propriedade 16. Toda sequˆencia n˜ao-decrescente limitada de n´umeros naturais ´e
constante a partir de certo termo.
Demonstra¸c˜ao. Dado o conjunto dos termos da sequˆencia, existe um elemento
m´aximo, digamos xm, vale xm+1 ≥ xm, como n˜ao pode valer xm+1 > xm ent˜ao vale
xm+1 = xm, o mesmo deve valer para todo outro p > m, xp = xm, pois n˜ao pode valer
xp > xm.
Propriedade 17. Se uma sequˆencia (xk) de n´umeros naturais ´e crescente, ent˜ao vale
xk ≥ k para todo k ∈ N.
Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n, para n = 1, vale x1 ≥ 1, pois x1 sendo
natural n˜ao pode ser menor que 1. Suponha que xn ≥ n, vamos mostrar que xn+1 ≥ n+1,
vale que xn+1 > xn = n, da´ı xn+1 > n, o que implica xn+1 ≥ n + 1, pois xn+1 n˜ao pode
estar em (n, n + 1) pelo fato de ser natural.
Defini¸c˜ao 17. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar eventualmente num conjunto A se
existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica an ∈ A, isto ´e, todos termos de ´ındices suficiente-
mente grandes pertencem ao conjunto A.
Defini¸c˜ao 18. Uma sequˆencia (xn) ´e dita estar frequentemente num conjunto A se
para todo n0 ∈ N existe n1 > n0 tal que an1 ∈ A, isto ´e, para todo ´ındice n0 podemos
achar outro ´ındice maior n1 tal que an1 ∈ A. Nesse caso dizemos que a sequˆencia (xn)
est´a frequentemente no conjunto A.
14. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 13
1.3 Limites de sequˆencias
Usaremos a nota¸c˜ao B(a, ε) para o conjunto
B(a, ε) = {x ∈ R | |x − a| < ε}.
Tal conjunto ´e chamado de bola de centro a ´e raio ε.
Defini¸c˜ao 19 (Limite de sequˆencia.). Dizemos que lim xn = a ⇔ para qualquer ε > 0
dado, conseguimos encontrar um n´umero natural n0 tal que para n maior que n0 tem-se
|xn − a| < ε, nesse caso dizemos que a sequˆencia ´e convergente e seu limite ´e a, caso n˜ao
exista a tal que a sequˆencia satisfa¸ca essa propriedade dizemos que a sequˆencia diverge.
Em s´ımbolos tem-se a defini¸c˜ao
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N|n > n0 ⇒ |xn − a| < ε.
Lˆe-se lim xn = a como : limite de xn ´e igual `a a. De maneira equivalente podemos
escrever1
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N|n > n0 ⇒ xn ∈ B(a, ε).
Tamb´em denotamos lim xn = a por xn → a e lim xn = lim
n→∞
xn.
.
Quando n˜ao vale lim xn = a, negamos a defini¸c˜ao, ent˜ao fica
∃ε > 0, ∀ n0 ∈ N, ∃n > n0 tal que |xn − a| ≥ ε.
Nesse caso existem infinitos valores fora do intervalo (a − ε, a + ε).
1.3.1 Caracteriza¸c˜ao de sequˆencias por meio de abertos
Propriedade 18 (Caracteriza¸c˜ao de sequˆencias por meio de abertos). lim xn = a ⇔
∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ A.
1
Dada um sequˆencia xn → a, existe n0 tal que uma vez que a sequˆencia entra na bola B(a, ε) ela
nunca mais sa´ı
15. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 14
Demonstra¸c˜ao.
⇒).
Seja A um aberto com a ∈ A, ent˜ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) ⊂ A e por
lim xn = a existe n0 ∈ N | n > n0 tem-se xn ∈ (a − ε, a + ε), logo xn ∈ A.
⇐).
Supondo que ∀ aberto A com a ∈ A existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ A,
ent˜ao em especial para todo ε > 0 podemos tomar o aberto A = (a − ε, a + ε) e tem-se
lim xn = a pela defini¸c˜ao de limite.
Propriedade 19 (Unicidade do limite de sequˆencias). Se lim xn = a e lim xn = b
ent˜ao a = b.
Dado um a qualquer quando lim xn = a dizemos que a sequˆencia (xn) converge para
a ou tende para a e tem limite. As sequˆencias que tˆem limite chamamos de convergentes
e as que n˜ao chamamos de divergentes.
Demonstra¸c˜ao. Seja lim xn = a e b ̸= a vamos tomar ε =
|b − a|
2
, ε > 0 temos
que os intervalos (a − ε, a + ε) e (b − ε, b + ε) s˜ao disjuntos, pois se houvesse x tal que
|a−x| < ε e |x−b| < ε somando as desigualdades ter´ıamos |a−x|+|x−b| < 2ε = |b−a|
e pela desigualdade triangular |b − a| ≤ |a − x| + |x − b| < |b − a| o que ´e absurdo, temos
ent˜ao que os intervalos s˜ao disjuntos. Como lim xn = a temos que existe n0 tal que para
∀n > n0 vale xn ∈ (a − ε, a + ε) e xn /∈ (b − ε, b + ε), logo lim xn ̸= b.
Propriedade 20 (Limite de constante). Se f(n) = a ent˜ao lim f(n) = a. Vamos usar
a defini¸c˜ao de limite. Temos que ∀ε > 0 e para todo n vale |f(n) − a| = |a − a| = 0 < ε
logo lim f(n) = a.
Propriedade 21. Se f(n) =
1
n
ent˜ao lim f(n) = 0. Por propriedade arquimediana
dos naturais temos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 >
1
ε
logo ε >
1
n0
, al´em
disso f(n) ´e decrescente pois ∆f(n) = −
1
n(n + 1)
< 0 assim para todo ε > 0 e n > n0
vale
1
n
<
1
n0
< ε, isso implica pela defini¸c˜ao de limite que lim
1
n
= 0.
Propriedade 22. Sejam lim xn = a e ε > 0, ent˜ao apenas um n´umero finito de termos
n˜ao pertence ao intervalo (a − ε, a + ε).
16. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 15
Demonstra¸c˜ao.
Figura 1.1: Um n´umero finito de elementos n˜ao pertence ao intervalo (a − ε, a + ε)
Como lim xn = a tem-se ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 (n ∈ N) implica |xn − a| < ε
isso significa que para n > n0 tem-se xn ∈ (a−ε, a+ε) logo os ´unicos termos da sequˆencia
que poderiam estar fora do intervalo s˜ao os termo xk com k ∈ [1, n0]N sendo no m´aximo
n0 elementos, tem-se ent˜ao um n´umero finito de termos fora do intervalo. O n´umero de
elementos fora do intervalo (a − ε, a + ε) pode ser 0, por exemplo caso xn = 0 o intervalo
´e (−ε, ε) que cont´em todos termos da sequˆencia.
Propriedade 23. Se para qualquer ε > 0 fixado vale que fora do intervalo (a−ε, a+ε)
h´a apenas um n´umero finito de valores de xn ent˜ao lim xn = a.
Demonstra¸c˜ao. Seja ε > 0 ´arbitr´ario fixado tem-se que fora do intervalo I =
(a − ε, a + ε) h´a apenas um n´umero finito de valores de xn ent˜ao teremos no m´aximo os
valores xk de k = 1 at´e um certo k = n0 tal que xk /∈ I (pode ser que para alguns desses
´ındices k se tenha xk ∈ I) assim para n > n0 teremos xn ∈ I logo |xn − a| < ε, isto ´e para
todo ε > 0 existe n0 tal que n > n0 implica |xn − a| < ε.
Propriedade 24. Se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.
Demonstra¸c˜ao.Para todo ε > 0 apenas um n´umero finito de termos de (xn) n˜ao
pertence ao intervalo I = (a − ε, a + ε) assim apenas um n´umero finito de termos da
subsequˆencia podem estar fora do intervalo I o que implica que a subsequˆencia converge
para a, pois I ir´a conter todos termos da subsequˆencia (a menos de uma quantidade finita)
para qualquer ε > 0.
Corol´ario 4. Se duas subsequˆencias de (xn) possuem limites distintos ent˜ao (xn)
diverge. Pois se lim xn = a ent˜ao toda subsequˆencia de (xn) converge para a.
17. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 16
Propriedade 25. Se lim(xn+p) = a para algum p natural ent˜ao lim xn = a.
Demonstra¸c˜ao. Existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |xn+p − a| < ε, logo a
partir de xn0 + p + 1 vale a desigualdade anterior, ent˜ao para n > n0 +p vale |xn −a| < ε
que significa que lim xn = a.
lim xn+p = a ⇔ lim xn = a.
Corol´ario 5. Uma sequˆencia (xn) converge para a ⇔ todas suas subsequˆencias con-
vergem para a. A ida j´a mostramos . Agora se todas subsequˆencias de (xn) convergem
para a, ela pr´opria converge para a, pois ela ´e subsequˆencia dela mesma. Se toda sub-
sequˆencia pr´opria de (xn) converge para a, ainda assim lim xn = a, pois podemos tomar
a subsequˆencia (xn+1 e como vimos na propriedade anterior se lim xn+1 = a ent˜ao lim xa.
1.3.2 Defini¸c˜ao de sequˆencia peri´odica
Defini¸c˜ao 20 (Sequˆencia peri´odica). Uma sequˆencia (xn) ´e dita peri´odica sse existe
p ∈ N tal que xn+p = x para todo n ∈ N. O menor dos valores p ´e chamado de per´ıodo
da sequˆencia.
Corol´ario 6. A sequˆencia constante ´e peri´odica pois satisfaz xn = x(n + p) para
qualquer p, sendo o menor desses valores 1, ent˜ao ela possui per´ıodo 1.
Propriedade 26. Uma sequˆencia possui per´ıodo p = 1 sse ´e uma sequˆencia constante.
Demonstra¸c˜ao. Se uma sequˆencia possui per´ıodo 1, ent˜ao vale para todo k ∈ N,
xk = xk+1 da´ı ∆xk = 0, aplicando a soma
n−1∑
k=1
tem-se
xn − x1 = 0
da´ı xn = x1 para todo n, sendo assim ela ´e constante. No exemplo anterior vimos que a
sequˆencia constante possui per´ıodo 1, ent˜ao a propriedade est´a demonstrada.
Propriedade 27. Se (xn) possui per´ıodo p, ent˜ao para todo n, q ∈ N, tem-se x(n) =
x(qp + n).
18. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 17
Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre q, para q = 1 vem da defini¸c˜ao. Supondo para
q, xn = xqp+n, vamos provar que x(q + 1)p + n = xn. Tem-se x(q + 1)p + n = xqp+n+p =
xqp+n = xn. Ent˜ao est´a demonstrado.
Propriedade 28. Uma sequˆencia peri´odica ´e convergente sse ´e constante.
Demonstra¸c˜ao.[1] Considere as subsequˆencias da sequˆencia (xk) que possui
per´ıodo p
(x1, x1+p, x1+2p, · · · ) = (x1+kp)k∈N
(x2, x2+p, x2+2p, · · · ) = (x2+kp)k∈N
...
(xp−1, xp−1+p, xp−1+2p, · · · ) = (xp−1+kp)k∈N
cada sequˆencia dessas ´e constante e possui valor sempre igual ao seu primeiro termo pelo
fato da sequˆencia ser peri´odica de per´ıodo p, xn+p = xn. Se (xk) converge ent˜ao todas suas
subsequˆencias devem convergir para o mesmo valor, ent˜ao deve valer x1 = x2 = · · · = xp−1
e cada termo da sequˆencia (xk) deve pertencer a uma dessas subsequˆencias, disso segue
que (xk) ´e constante.
Demonstra¸c˜ao.[2] Se a sequˆencia xn ´e peri´odica ent˜ao existe um per´ıodo p, se esse
per´ıodo ´e 1 ent˜ao ela ´e constante, considere ent˜ao que seja p > 1. Tome a divis˜ao euclidiana
de n por p ent˜ao n = qp+s ou n = qp onde 0 < s < p, da´ı temos xn = xs no primeiro caso e
no segundo xqp = xp, considere as subsequˆencias definidas como zs(q) = x((q−1)p+s) = xs
e z0(q) = x(qp) = x(p) com q ∈ N, cada uma dessas subsequˆencias ´e constante e como
a sequˆencia ´e convergente ent˜ao todas essas subsequˆencias devem assumir o mesmo valor
t = xs = xp, ent˜ao no caso de n = qp + s tem-se xqp+s = xs = t e no caso n = qp tem-se
xqp = xp = t, logo a sequˆencia ´e constante.
Exemplo 1. f(n) = (−1)n
diverge pois a subsequˆencia de ´ındices pares f(2n) =
(−1)2n
= 1 e a de ´ındices ´ımpares f(2n + 1) = (−1)2n+1
= −1 s˜ao constantes logo os
limites das subsequˆencias s˜ao 1 e −1, sendo diferentes a sequˆencia diverge.
Corol´ario 7. Se (xn) converge e o limite de uma subsequˆencia for a ent˜ao lim xn = a
, pois a subsequˆencia deve convergir para o mesmo limite da sequˆencia.
19. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 18
Corol´ario 8. Se lim xn = a ent˜ao lim xn+p = a para qualquer p natural. Segue da
propriedade anterior pois (xn+p) ´e uma subsequˆencia de (xn). Assim o limite de uma
sequˆencia n˜ao se altera quando omitimos um n´umero finito de termos dela.
Propriedade 29. Toda sequˆencia convergente ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 temos que existe n0 tal
que para n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε), ent˜ao tomando ε = 1 tomamos o conjunto
{x1, . . . , xn0 , a − 1, a + 1} seu m´aximo sendo c e m´ınimo d e temos todos elementos da
sequˆencia contidos no intervalo [d, c], logo a sequˆencia ´e limitada.
Corol´ario 9. Se uma sequˆencia n˜ao ´e limitada ela n˜ao ´e convergente.
Exemplo 2. Mostre que a sequˆencia (xn) dada por xn =
n∑
k=1
n
n + k
diverge. Vale
k ≤ n, da´ı n + k ≤ 2n,
1
2
≤
n
n + k
, aplicando a soma tem-se
n∑
k=1
1
2
≤
n∑
k=1
n
n + k
n
2
≤
n∑
k=1
n
n + k
logo a sequˆencia diverge.
1.3.3 Valores de aderˆencia
Defini¸c˜ao 21 (Valor de aderˆencia). Um n´umero real a ´e dito valor de aderˆencia
de uma sequˆencia (xn), quando existe uma subsequˆencia de (xn) que converge para a.
Simbolizaremos o conjunto dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia por A[xn].
Corol´ario 10. Se uma sequˆencia ´e convergente ent˜ao todas subsequˆencias convergem
para o mesmo limite que ´e o limite da sequˆencia, ent˜ao se uma sequˆencia ´e convergente ela
possui apenas um valor de aderˆencia, isto ´e, se lim xn = a ent˜ao A[xn] = {a} = {lim xn}.
Exemplo 3. Os racionais s˜ao densos na reta e s˜ao enumer´aveis, ent˜ao podemos to-
mar uma sequˆencia (xn) que enumera os racionais, logo pra essa sequˆencia vale A[xn] = R.
20. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 19
Em especial os racionais em [0, 1] s˜ao enumer´aveis e densos logo tomando uma enumera¸c˜ao
(xn) dos racionais nesse conjunto temos A[xn] = [0, 1].
Exemplo 4. A sequˆencia (1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ) que satisfaz x1 = 1, x2 = 2, x3 =
3 sendo peri´odica de per´ıodo 3, xn+3 = xn, tem A[xn] = {1, 2, 3}.
Exemplo 5. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) que possua A[xn] = N. Para que
isso aconte¸ca ´e necess´ario que cada n´umero natural apare¸ca infinitas vezes na sequˆencia.
Definimos a sequˆencia (xn) como xn = k se n ´e da forma pαk
k , onde pk ´e o k-´esimo primo e
αk ∈ N, da´ı existem infinitos valores de n tais que xn = k com isso geramos subsequˆencias
que convergem para um k qualquer dado, definimos tamb´em xn = 1 caso n n˜ao seja da
forma pαk
k , apenas para completar a defini¸c˜ao da sequˆencia.
Propriedade 30. a ∈ A[xn] ⇔ ∀ ε > 0 e ∀ k ∈ N exista n com n > k tal
que |xn − a| < ε. Um ponto a ´e de aderˆencia se existem infinito termos da sequˆencia
arbitrariamente pr´oximos de a.
Demonstra¸c˜ao.
⇒). Se a ´e valor de aderˆencia de (xn), ent˜ao ela possui uma subsequˆencia que converge
para a, logo para qualquer ε > 0 e k ∈ N fixo, existe n ´ındice da subsequˆencia tal que
n > k e |xn − a| < ε.
⇐). Supondo que ∀ ε > 0 e ∀ k ∈ N exista n com n > k tal que |xn − a| < ε.
No primeiro passo tomamos ε = 1 e k = 1 da´ı existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ (a−1, a+1).
Podemos tomar agora ε =
1
2
e k = n1 ent˜ao existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ (a −
1
2
, a +
1
2
),
na t + 1-´esima etapa tomamos ε =
1
t + 1
e k = nt da´ı existe nt+1 > nt tal que xnt+1 ∈
(a−
1
t + 1
, a+
1
t + 1
), logo constru´ımos uma subsequˆencia (xnt ) de (xn) tal que lim
t→∞
xnt = a.
Corol´ario 11. Negamos a proposi¸c˜ao anterior.
a /∈ A[xn] ⇔ ∃ ε > 0 e ∃k ∈ N tal que para todo n > k temos |xn − a| ≥ ε.
Exemplo 6. Quais s˜ao os valores de aderˆencia da sequˆencia (xn) definida como
x2n−1 = n e x2n =
1
n
? Para que um ponto seja de aderˆencia ´e necess´ario que existam
infinitos termos arbitrariamente pr´oximos de tal ponto, no caso de tal sequˆencia o ´unico
21. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 20
n´umero que satisfaz tal propriedade ´e o 0, al´em disso tal sequˆencia n˜ao ´e convergente pois
n˜ao ´e limitada.
Propriedade 31. O conjunto A dos valores de aderˆencia de uma sequˆencia (xn) ´e
fechado.
Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que A = A.J´a sabemos que vale A ⊂ A,
falta mostrar que A ⊂ A . Queremos mostrar que , se a ∈ A ent˜ao a ∈ A, vamos mostrar
a contrapositiva que ´e : se a /∈ A ent˜ao a /∈ A, que equivale logicamente.
Se a /∈ A ent˜ao existe ε > 0 tal que (a − ε, a + ε) n˜ao possui elementos de (xn) da´ı n˜ao
pode valer a ∈ A.
Propriedade 32. Se uma sequˆencia (xn) for limitada ent˜ao seu conjunto de pontos
de aderˆencia ´e compacto.
Demonstra¸c˜ao. J´a vimos que A ´e fechado, agora se (xn) for limitada ent˜ao A ´e
limitado, sendo limitado e fechado ´e compacto.
Nessas condi¸c˜oes A possui elemento m´ınimo e elemento m´aximo. o M´ınimo de A ´e
denotado como lim inf xn e o elemento m´aximo de A ´e denotado como lim sup xn.
1.4 Sequˆencias mon´otonas
1.4.1 Toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente
⋆ Teorema 1. Toda sequˆencia mon´otona limitada ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao.
X Sejam (xn) uma sequˆencia crescente limitada, a = sup{xn | n ∈ N}, vamos mostrar
que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a > a−ε como a ´e o supremo (menor das
cotas superiores) temos que a−ε n˜ao ´e cota superior, ent˜ao ∃ n0 tal que xn0 > a−ε
e como a sequˆencia ´e crescente temos para n > n0 que xn ≥ xn0 logo xn > a − ε e
a − ε < xn < a + ε implicando lim xn = a.
X Sejam (xn) uma sequˆencia decrescente limitada, a = inf{xn|n ∈ N}, vamos mostrar
que limxn = a. Para qualquer ε > 0 temos a + ε > a como a ´e ´ınfimo temos que
22. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 21
a + ε n˜ao ´e cota inferior, ent˜ao existe n0 tal que xn0 < a + ε e como a sequˆencia
´e n˜ao-crescente temos para n > n0, xn ≤ xn0 e a − ε < xn < a + ε implicando
lim xn = a.
Corol´ario 12. X Uma sequˆencia (xn) crescente limitada converge para o supremo
a dos seus termos, ent˜ao vale sempre xn ≤ a.
X Uma sequˆencia (xn) decrescente limitada converge para o ´ınfimo a dos seus termos,
ent˜ao vale sempre xn ≥ a.
Propriedade 33. 1. Toda sequˆencia estritamente crescente limitada tem todos
seus termos menores que seu limite .
2. Toda sequˆencia estritamente decrescente limitada tem todos seus termos maiores
que seu limite.
Demonstra¸c˜ao.
1. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente crescente e lim xn = a, vamos mostrar
que sempre vale xn < a. Se fosse xn ≥ a para n > n0 ent˜ao xn+1 > xn ≥ a, da´ı
xn+1 > a e a n˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.
2. Seja (xn) a sequˆencia limitada , estritamente decrescente lim xn = a, vamos mostrar
que sempre vale xn > a. Se fosse xn ≤ a para n > n0 ent˜ao xn+1 < xn ≤ a, da´ı
xn+1 < a e a n˜ao seria o supremo do conjunto dos elementos da sequˆencia.
1.4.2
√
a +
√
a +
√
a + · · · Ra´ızes encaixadas
Exemplo 7. Seja a sequˆencia (xn) definida como x1 = a e xn+1 =
√
xn + b, onde
x2
1 < x1 + b, isto ´e , a2
< a + b, a e b positivos , calcular lim xn.
Vamos mostrar primeiro que a sequˆencia ´e crescente. Por indu¸c˜ao sobre n, temos
x2 =
√
a + b e a <
√
a + b pois a2
< a + b. Supondo para n, xn < xn+1 vamos mostrar
que vale para n + 1, xn+1 < xn+2 . Da hip´otese tem-se que xn + b < xn+1 + b da´ı
√
xn + b <
√
xn+1 + b implicando xn+1 < xn+2. Vamos mostrar agora que a sequˆencia ´e
limitada superiormente. Existe t > 0 ∈ R tal que t2
> a+b e t2
−b > t. Da´ı a sequˆencia ´e
23. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 22
limitada superiormente por t2
− b pois, por indu¸c˜ao x1 = a < t2
− b e supondo xn < t2
− b
segue xn + b < t2
tomando a raiz segue xn+1 < t < t2
− b. Ela ´e limitada superiormente e
crescente logo ´e convergente.
Tomando limite em ambos lados de x2
n+1 = xn + b resolvendo a equa¸c˜ao do segundo
grau encontramos L =
1 +
√
1 + 4b
2
.
Podemos tomar x1 = 0 e b = a da´ı 0 < a, logo converge e temos o corol´ario
√
a +
√
a +
√
a + · · · =
1 +
√
1 + 4a
2
.
Exemplo 8. √
1 +
√
1 +
√
1 + · · · =
1 +
√
5
2
converge para a raz˜ao ´aurea.
Exemplo 9. √
2 +
√
2 +
√
2 + · · · = 2.
Seja f(0) = 0 e f(n) =
√
2 + f(n) ent˜ao vale
2 − f(n + 1)
2 − f(n)
>
1
4
.
Como 2 − f(n) > 0 para todo n tem-se que essa desigualdade ´e equivalente `a
4f(n + 1) − f(n) < 6 ⇔ 4
√
2 + f(n) − f(n) < 6
tomando f(n) = x, simplificando ap´os elevar ao quadrado, chegamos numa inequa¸c˜ao de
segundo grau, satisfeita para qualquer x, logo se verifica a inequa¸c˜ao .
Propriedade 34. Se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia limitada, ent˜ao
a sequˆencia ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que (xn) seja crescente e possua uma subsequˆencia
(xnk
) limitada, vamos mostrar que para todo n natural vale xn < M, para algum M.
Como (xnk
) ´e limitada , ent˜ao para todo n ∈ N existe n0 ∈ N tal que n0 > n e n0 ´e
24. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 23
´ındice da subsequˆencia limitada (xnk
) com isso tem-se xn ≤ xn0 e como a subsequˆencia
´e limitada, existe M tal que xn0 < M, da´ı por transitividade xn < M, isso implica
que (xn) ´e limitada superiormente e como a sequˆencia crescente ela tamb´em ´e limitada
inferiormente, sendo limitada inferiormente e superiormente ela ´e limitada.
Corol´ario 13. Se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia limitada ent˜ao ela ´e
convergente, pois a sequˆencia mon´otona ser´a limitada e toda sequˆencia mon´otona limitada
´e convergente.
Corol´ario 14. Em especial se uma sequˆencia mon´otona possui subsequˆencia conver-
gente, ent˜ao essa subsequˆencia ´e limitada e da´ı a sequˆencia mon´otona ´e convergente.
1.4.3 lim bn = 0, |an| < c ⇒ lim anbn = 0.
Propriedade 35. Se lim bn = 0 e (an) ´e uma sequˆencia limitada, ent˜ao lim anbn = 0.
Demonstra¸c˜ao. Como an ´e limitada existe c > 0 tal que |an| < c para todo n
natural, e como lim bn = 0 temos ∀ ε > 0 ∃n0 tal que n > n0 implica |bn| < ε, temos que
mostrar que ∀ ε1 > 0 ∃n0 tal que n > n′
0 implica |anbn| = |an||bn| < ε1. Como lim bn = 0
podemos escolher ε =
ε1
c
para qualquer ε1 > 0 logo para n > n0 segue |bn| <
ε1
c
e como
|an| < c tem-se |an||bn| < c
ε1
c
= ε1 como quer´ıamos demonstrar.
Corol´ario 15. Em especial se (xn) ´e convergente e lim yn = 0 ent˜ao lim xn.yn = 0,
pois uma sequˆencia convergente ´e limitada.
Exemplo 10. Se (xn) ´e convergente e yn = n ent˜ao lim
xn
yn
= 0, pois (xn) ´e limitada
e
(
1
yn
)
tende a zero.
Exemplo 11. Calcular o limite da sequˆencia
cos(nπ
4
)
n
.
Temos que an = cos(
nπ
4
) ´e limitada e bn =
1
n
tem limite 0, logo a sequˆencia de termo
cos(nπ
4
)
n
converge para zero.
25. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 24
Exemplo 12. A sequˆencia f(n) =
(−1)n
n
tem limite 0 pois (−1)n
´e limitada e
lim
1
n
= 0.
Propriedade 36. Sejam (an) e (bn) sequˆencias limitada tais que an +bn = 1 ∀ n ∈ N,
(zn) e (tn) com o mesmo limite a, ent˜ao lim an.zn + bn.tn = a.
Demonstra¸c˜ao. Escrevemos
an.zn + bn.tn = an.zn − a.an + a. an
=1−bn
+bn.tn = an(zn − a) + a(1 − bn) + bn.tn =
= an(zn − a) + a − a.bn + bn.tn = an(zn − a) + a + bn(tn − a)
da´ı
lim an(zn − a) + a + bn(tn − a) = a = lim an.zn + bn.tn
pois an e bn s˜ao limitadas e zn − a, tn − a tendem a zero.
Propriedade 37. Se lim
n→∞
zk(n) = a ∀ k e cada (xk(n)) ´e limitada com
p
∑
k=1
xk(n) =
vn → b ent˜ao lim
n→∞
p
∑
k=1
xk(n)zk(n) = a.b.
Demonstra¸c˜ao. Vale x1(n) = vn −
p
∑
k=2
xk(n).
p
∑
k=1
xk(n)zk(n) = x1(n)z1(n) +
p
∑
k=2
xk(n)zk(n) =
= z1(n)vn −
p
∑
k=2
xk(n)z1(n) +
p
∑
k=2
xk(n)zk(n) =
= z1(n)vn
→a.b
+
p
∑
k=2
xk(n) (zk(n) − z1(n))
→0
→ a.b.
1.4.4 A sequˆencia
(
1 +
1
n
)n
.
Vamos analisar a sequˆencia definida por
f(n) =
(
1 +
1
n
)n
.
Primeiro vamos mostrar que ela ´e crescente e depois que ´e limita superiormente, por isso
ela converge.
26. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 25
Propriedade 38. A sequˆencia de termo
(
1 +
1
n
)n
´e crescente.
Demonstra¸c˜ao.[1-Desigualdade das m´edias] Usaremos que a m´edia aritm´etica ´e
maior ou igual a m´edia geom´etrica, na sequˆencia de n + 1 n´umeros com n n´umeros iguais
`a
(
1 +
1
n
)
e um deles sendo a unidade 1, com isso, temos
1 + n
(
1 + 1
n
)
n + 1
=
1 +
n∑
k=1
(
1 + 1
n
)
n + 1
≥
( n∏
k=1
(
1 +
1
n
)) 1
n+1
=
(
1 +
1
n
) n
n+1
,
(
n + 1 + 1
n + 1
)
= 1 +
1
n + 1
≥
((
1 +
1
n
)n) 1
n+1
⇒
(
1 +
1
n + 1
)n+1
≥
(
1 +
1
n
)n
,
por isso a sequˆencia ´e crescente.
Demonstra¸c˜ao.[2-Desigualdade de Bernoulli] (Solu¸c˜ao por Luccas Campos). Seja
an =
(
1 +
1
n
)n
. Vale que
an+1
an
=
(
1 − 1
(n+1)2
)n+1
1 − 1
n+1
,
pois (
1 − 1
(n+1)2
)n+1
1 − 1
n+1
=
(
n2+2n
(n+1)2
)n+1
n
(n + 1) =
nn
(n + 2)n+1
(n + 1)2n+1
,
temos tamb´em
(
1 + 1
n+1
)n+1
(
1 + 1
n
)n =
(n + 2)n+1
(n + 1)n+1
nn
(n + 1)n
=
nn
(n + 2)n+1
(n + 1)2n+1
,
logo s˜ao iguais. Usando agora a desigualdade de Bernoulli, temos
(
1 −
1
(n + 1)2
)n+1
≤ 1 −
(n + 1)
(n + 1)2
= 1 −
1
n + 1
.
Temos que
an+1
an
=
(
1 − 1
(n+1)2
)n+1
1 − 1
n+1
≥
1 − 1
n+1
1 − 1
n+1
= 1,
da´ı an+1 ≥ an, como quer´ıamos demonstrar.
Demonstra¸c˜ao.[3-Binomial] Expandindo pelo teorema binomial, tem-se
(
1 +
1
n
)n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
=
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(n − s)
k!nk
=
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(1 − s
n
)
k!
.
27. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 26
De 1 −
s
n
≤ 1 −
s
n + 1
, aplicando
k−1∏
s=0
, dividindo por k! e depois aplicando
n∑
k=0
, em ambos
lados, temos
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(
1 − s
n
)
k!
≤
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(
1 − s
n+1
)
k!
,
portanto, obtemos
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
≤
n∑
k=0
(
n + 1
k
)
1
(n + 1)k
,
finalmente, somando o termo
1
(n + 1)n+1
ao lado direito, segue que
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
<
n∑
k=0
(
n + 1
k
)
1
(n + 1)k
+
1
(n + 1)n+1
=
n+1∑
k=0
(
n + 1
k
)
1
(n + 1)k
,
assim
n+1∑
k=0
(
n + 1
k
)
1
(n + 1)k
>
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
,
isto ´e, (
1 +
1
n + 1
)n+1
>
(
1 +
1
n
)n
,
como quer´ıamos provar.
Propriedade 39. A sequˆencia de termo
(
1 +
1
n
)n
´e limitada.
Demonstra¸c˜ao.[1-Desigualdade das m´edias] (Solu¸c˜ao por Alexandre Cezar). Seja
a sequˆencia de n + 1 temos
(1,
(
1 −
1
n
)
, · · · ,
(
1 −
1
n
)
n termos
),
aplicando a desigualdade a esse tipo de sequˆencia, segue que
1 + n(1 − 1
n
)
n + 1
≥
(
1 −
1
n
)n/(n+1)
⇒
(
n
n + 1
)n+1
≥
(
n − 1
n
)n
.
Definindo f(k + 1) =
(
k
k + 1
)k+1
, temos
f(k + 1)
f(k)
≥ 1 ent˜ao podemos aplicar o produto
n∏
k=2
de ambos lados, implicando f(n + 1) ≥ f(2), ∀ n ≥ 2, f(2) =
(
1
2
)2
=
1
4
, por isso
(
1 +
1
n
)n
≤
(
1 +
1
n
)n+1
=
(
n + 1
n
)n+1
≤ 4,
de onde segue finalmente que a sequˆencia ´e limitada.
28. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 27
Demonstra¸c˜ao.[2-Binomial] Expandindo pelo teorema binomial
(
1 +
1
n
)n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
1
nk
=
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(n − s)
k!nk
=
n∑
k=0
k−1∏
s=0
(1 − s
n
)
k!
1 −
s
n
≤ 1 ⇒
k−1∏
s=0
1 −
s
n
≤
k−1∏
s=0
1 = 1
dividindo por k! e aplicando a soma
n∑
k=0
em ambos lados, segue
(1 +
1
n
)n
≤
n∑
k=0
1
k!
e da desigualdade (para k ≥ 1)
2 ≤ k + 1 ⇒
n∏
k=1
2 = 2n
≤
n∏
k=1
(k + 1) =
n+1∏
k=2
k = (n + 1)!
logo temos 2n
≤ (n + 1)! ⇒
1
(k + 1)!
≤
1
2k
⇒
n−1∑
k=1
1
(k + 1)!
≤
n−1∑
k=1
1
2k
⇒
n∑
k=2
1
(k)!
≤
n−1∑
k=1
1
2k
2 +
n∑
k=2
1
(k)!
=
n∑
k=0
1
(k)!
≤ 2 +
n−1∑
k=1
1
2k
= 1 +
n−1∑
k=0
1
2k
logo
(1 +
1
n
)n
≤ 1 +
n−1∑
k=0
1
2k
e como
∞∑
k=0
1
2k
= 2 temos
(1 +
1
n
)n
≤ 1 + 2 < 3
como a sequˆencia ´e crescente e limitada superiormente en˜ao ela ´e convergente, sendo
limitada pelo seu primeiro termo
(1 + 1) = 2
, temos ent˜ao
2 ≤ (1 +
1
n
)n
< 3
portanto a sequˆencia de termo (1 +
1
n
)n
´e convergente.
29. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 28
Defini¸c˜ao 22 (N´umero e). Simbolizamos por e o n´umero para o qual a sequˆencia de
termo (1 +
1
n
)n
converge.
lim(1 +
1
n
)n
= e.
Exemplo 13. Usando que a m´edia aritm´etica ´e maior ou igual a m´edia geom´etrica,
na sequˆencia de n+1 n´umeros com n n´umeros iguais `a (1+
t
n
) e um deles sendo a unidade
1, com isso temos
(
1 +
n∑
k=1
(1 + t
n
)
n + 1
) ≥ (
n∏
k=1
(1 +
t
n
))
1
n+1
(
n + 1 + t
n + 1
) = 1 +
t
n + 1
≥ ((1 +
t
n
)n
)
1
n+1 ⇒ (1 +
t
n + 1
)n+1
≥ (1 +
t
n
)n
com t ≥ −1 real. Em especial a sequˆencia de termo xn = (1 −
1
n
)n
´e crescente e para
n = 2 temos
x2 =
1
4
da´ı xn ≥
1
4
para n > 1.
Exemplo 14. Vale que
lim(1 −
1
n
)n
(1 +
1
n
)n
= lim 1n
= 1
da´ı lim(1 −
1
n
)n
= e−1
.
1.4.5
√
x
√
x
√
x
√
x · · ·
Exemplo 15. Seja a sequˆencia definida como
f(n + 1) =
√
xf(n)
com condi¸c˜ao inicial f(1) =
√
x, x > 1, mostrar que existe o limite lim f(n).
Vamos mostrar que a sequˆencia ´e crescente e limitada superiormente. Primeiro por
indu¸c˜ao sobre n vamos mostrar que ela ´e crescente,isto ´e, f(n + 1) > f(n). Temos pela
recorrˆencia que f(2) =
√
xf(1) =
√
x
√
x e temos
f(2) > f(1) ⇔
√
x
√
x >
√
x ⇔ x
√
x > x
30. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 29
essa ´ultima vale pois x > 1 implica
√
x > 1 que implica x
√
x > x. agora supondo
f(n + 1) > f(n) vamos mostrar que f(n + 2) > f(n + 1)
f(n + 1) > f(n) ⇒ f(n + 1) > 2f(n) ⇒
√
xf(n + 1) >
√
xf(n)
como f(n + 2) =
√
xf(n + 1) e f(n + 1) =
√
xf(n) segue
f(n + 2) > f(n + 1)
logo fica provado por indu¸c˜ao que a sequˆencia ´e crescente. Vamos mostrar agora que seus
termos s˜ao menores que x, por indu¸c˜ao tamb´em, para f(1)
x >
√
x ⇔ x2
> x
que vale pois x > 1 implica x2
> x. Supondo que x > f(n) temos que mostrar que
x >
√
xf(n) = f(n + 1)
x > f(n) ⇒ x2
> xf(n) ⇒ x >
√
xf(n) = f(n + 1)
logo est´a provada que a sequˆencia ´e limitada superiormente e crescente, logo ´e convergente.
Tomando o limite em ambos lados de f(n + 1) =
√
xf(n) segue que L =
√
2L, logo
L2
= xL como L n˜ao ´e nulo segue L = x.
Podemos perceber tamb´em que
√
x
√
x
√
x
√
x · · · = x
∞∑
k=1
1
2k
= x1
= x
pois a s´erie converge para 1.
Exemplo 16 (IME-1964). Calcule
lim
x→2
√
x
√
x
√
x
√
x · · ·.
Como sabemos que
√
x
√
x
√
x
√
x · · · = x ent˜ao
lim
x→2
√
x
√
x
√
x
√
x · · · = lim
x→2
x = 2.
31. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 30
Exemplo 17. Mostrar que
√
x
√
y
√
x
√
y · · · = 3
√
x2y.
Escrevemos a express˜ao em termo do produto de dois n´umeros elevados a s´eries
x
1
2 y
1
4 x
1
8 y
1
16 · · ·
x
∞∑
k=0
1
22k+1
y
∞∑
k=0
1
22k+2
calculamos as s´eries por meio de s´erie geom´etrica
∞∑
k=0
1
22k+1
=
1
2
∞∑
k=0
1
4k
=
1
2
1
1 − 1
4
=
1
2
4
3
=
2
3
da´ı a s´erie que resulta no expoente de y converge para
1
3
da´ı segue o resultado.
Defini¸c˜ao 23 (Termo destacado). Um termo xs de uma sequˆencia (xn) ´e dito termo
destacado quando vale xs ≥ xp, ∀ p ≥ s, isto ´e , o termo xs ´e maior ou igual a seus
sucessores na sequˆencia.
Propriedade 40. Em uma sequˆencia n˜ao-crescente, todos termos s˜ao destacados.
Demonstra¸c˜ao. Tomando xs ∈ (xn), vamos mostrar que xs ´e destacado. Vale
xs ≥ xs+1 e da´ı −∆xk ≥ 0 tomando a soma
s+p
∑
k=s
segue
−(xs+p+1 − xs) ≥ 0
e da´ı xs ≥ xs+p+1 = xn com n ≥ s.
Propriedade 41. Se uma sequˆencia n˜ao-decrescente possui termo destacado ent˜ao
ela ´e constante a partir de certo termo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista xs destacado em (xn) ent˜ao vale xs ≥ xp
para p ≥ s, mas como a sequˆencia ´e n˜ao-decrescente, ent˜ao vale tamb´em xp ≥ xs de onde
segue xp = xs para todo p ≥ s, ent˜ao para n ≥ s vale xn = xs, sendo ela constante a
partir desse termo.
Defini¸c˜ao 24 (Termo apagado). Um termo xs ´e dito apagado quando para todo
p ≥ s vale xp ≥ xs, isto ´e o termo xs ´e menor ou igual a seus sucessores.
32. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 31
1.4.6 Limite do m´odulo de uma sequˆencia.
Propriedade 42. Se lim xn = a ent˜ao lim |xn| = |a|.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao
∀ ε > 0, ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε
por´em temos a desigualdade ||xn| − |a|| ≤ |xn − a| logo ||xn| − |a|| < ε e lim |xn| = |a|.
Exemplo 18. lim |xn| pode existir por´em lim xn pode n˜ao existir, por exemplo
tomamos xn = (−1)n
, ela n˜ao converge por´em |(−1)n
| = 1 ´e constante logo convergente.
1.4.7 Estudo da sequˆencia (an
).
Exemplo 19. Vamos analisar a sequˆencia dada por f(n) = an
.
1. Se a = 0 a sequˆencia ´e constante f(n) = 0 logo seu limite ´e 0.
2. Se a = 1 temos a sequˆencia constante, f(n) = 1 cujo limite ´e 1.
3. Se a > 1 multiplicando por an
segue an+1
> an
, ∆an
> 0 logo a sequˆencia ´e crescente.
Vamos mostrar agora que ela ´e ilimitada superiormente, escrevemos a = 1+h e vale
1 + h > 1, h > 0 (pela suposi¸c˜ao inicial de a) pela desigualdade de bernoulli segue
(1 + h)n
≥ 1 + nh, se quisermos 1 + nh > b (b sendo um n´umero real qualquer)
basta nh > b − 1, n >
b − 1
h
assim podemos achar n tal que (1 + h)n
seja maior que
qualquer n´umero real b logo seu limite ´e ∞.
4. Se 0 < a < 1 segue de a < 1 multiplicando por an
em ambos lados que an+1
< an
,
an+1
− an
= ∆an
< 0 logo f(n) ´e decrescente logo limitada superiormente pelo
seu primeiro termo a , temos que ela ´e limitada inferiormente tamb´em pois 0 < a
implica 0 < an
, sendo limitada inferiormente e decrescente ela ´e convergente.
5. Se a = (−1) temos a sequˆencia alternada (−1)n
que para n para vale 1 e n ´ımpar
vale −1, essa sequˆencia n˜ao converge pois tais subsequˆencias n˜ao convergem para o
mesmo limite.
33. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 32
6. Se −1 < a < 0 ent˜ao 0 < −a < 1 e temos lim(−a)n
= 0 e da´ı lim(−1)n
(−a)n
= 0
pois (−1)n
´e limitada por´em tal limite ´e lim an
= 0.
1.5 Propriedades aritm´eticas dos limites
1.5.1 Limite da soma
Propriedade 43 (Limite da soma). Se lim an = a e lim bn = b ent˜ao
lim(an + bn) = lim an + lim bn = a + b.
Demonstra¸c˜ao. Como lim an = a e lim bn = n existem n0 ∈ N e n1 ∈ N tal
que quaisquer ε1 > 0, ε2 > 0 vale n > n0 implica |an−a| < ε1 e n > n1 implica |bn−b| < ε2.
Temos que mostrar que para qualquer ε > 0 existe n2 ∈ N tal que n > n2 implica
|an + bn − (a + b)| < ε. Escolhemos ent˜ao ε1 e ε2 tais que ε1 + ε2 = ε ( com ε1 > 0, ε2 > 0
) tomando n2 = max{n0, n1} temos que para n > n2 vale |bn − b| < ε2 e |an − a| < ε1
somando as duas desigualdades termo a termo segue
|an + bn − (a + b)| ≤ |bn − b| + |an − a| < ε1 + ε2 = ε .
Corol´ario 16. Se lim yn = b ent˜ao lim(yn − b) = 0.
Como lim yn existe e lim −b = −b (pela propriedade do limite da sequˆencia constante)
ent˜ao pelo limite da soma temos lim(yn − b) = lim yn + lim −b = lim yn − b = b − b = 0.
Corol´ario 17. Se lim xn = a e b uma constante real ent˜ao lim b(xn − a) = 0 pois a
sequˆencia yn = b ´e limitada e o limite lim(xn − a) = 0.
Propriedade 44. Se lim(xn − a) = 0 ent˜ao lim xn = a.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn −a = 0 temos que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para n > n0
segue |xn − a| < ε mas isso ´e equivalente a defini¸c˜ao de lim xn = a, logo lim xn = a.
Corol´ario 18. Se lim xn existe e lim yn = b ent˜ao lim xn(yn − b) = 0. Pelo lim xn
existir xn ´e limitada e por lim yn = b segue lim yn −b = 0 logo lim xn(yn −b) = 0 por ser o
produto de uma sequˆencia limitada e por uma que tende a zero implica lim xn(yn −b) = 0.
34. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 33
1.5.2 Limite do produto
Propriedade 45 (Limite do produto). Se lim xn = a e lim yn = b ent˜ao
lim xnyn = lim xn. lim yn = a.b.
Demonstra¸c˜ao.
|an.bn −ab| = |anbn −abn +abn −ab| ≤ |an.bn −abn|+|abn −ab| = |bn||an −a|+|a||bn −b|.
Demonstra¸c˜ao.[2] Podemos escrever
xnyn − ab = xnyn − xnb + xnb − ab = xn(yn − b) + b(xn − a)
temos que
lim xn(yn − b) = 0, lim b(xn − a) = 0
pois xn ´e limitada por ser convergente e yn − b tende a zero (por yn → b), da mesma
maneira b ´e limitada e xn − a tende a zero (por xn → a) logo
lim(xn(yn − b) + b(xn − a)) = lim xn(yn − b) + lim b(xn − a) = 0 = lim xnyn − ab
como
lim xnyn − ab = 0 ⇒ lim xnyn = ab.
Corol´ario 19. Se a ´e constante e yn → b ent˜ao lim ayn = a.b. Tomamos xn = a e
usamos a propriedade do produto lim xnyn = lim xn lim yn = a.b.
Corol´ario 20 (Linearidade). Se lim yn e lim xn existem, a e b sendo constantes ent˜ao
lim ayn + bxn = a lim yn + b lim xn.
Usamos a propriedade da soma e do produto respectivamente
lim ayn + bxn = lim ayn + lim bxn = a lim yn + b lim xn.
Corol´ario 21. Se lim xn = a e lim xn − yn = 0 ent˜ao lim yn = a pois lim yn − xn = 0
e pelo limite da soma lim yn − xn + xn = lim yn − xn + lim xn = 0 + a = a = lim yn.
35. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 34
1.5.3 Limite do quociente
Propriedade 46 (Limite do inverso). Se lim yn = b ̸= 0 ent˜ao
lim
1
yn
=
1
b
.
Demonstra¸c˜ao. Temos o limite lim ynb = b2
assim para todo ε > 0, ∃n0 ∈ N tal
que para n > n0 implica ynb ∈ (b2
− ε, b2
+ ε), tomando ε =
b2
2
temos ynb ∈ (
b2
2
,
3b2
2
)
assim ynb >
b2
2
e ´e positivo, segue disso que para n > n0 temos
2
b2
>
1
ynb
, sendo positivo
e limitado superiormente (ynb) ´e uma sequˆencia limitada, consideramos ent˜ao o limite
lim
1
yn
−
1
b
= lim
b − yn
ynb
no numerador temos um limite que ´e zero e no denominador uma sequˆencia limitada,
ent˜ao tal limite ´e zero, logo
lim
1
yn
−
1
b
= 0, lim
1
yn
=
1
b
.
Corol´ario 22. Sendo lim xn = a e lim yn = b ̸= 0 ent˜ao
lim
xn
yn
=
a
b
pois
lim
xn
yn
= lim xn lim
1
yn
=
a
b
.
Corol´ario 23. Se lim xn = a e lim
xn
yn
= b ̸= 0 ent˜ao lim yn =
a
b
, pois lim
yn
xn
=
1
b
e
da´ı por limite do produto
lim xn
yn
xn
= lim yn =
a
b
.
Corol´ario 24. Seja a ̸= 0. Se lim
yn
a
= 1 ent˜ao lim yn = a, pois usando linearidade
do limite lim
yn
a
=
1
a
lim yn = 1 portanto lim yn = a.
Corol´ario 25. Se lim xn = a ̸= 0 e lim xnyn = b ent˜ao lim yn =
b
a
.
Vale que lim
1
xn
= a, da´ı lim xnyn lim
1
xn
= lim xnyn
1
xn
= lim yn =
b
a
.
Propriedade 47 (Limite do somat´orio). Escrever.
36. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 35
Exemplo 20. Exemplo de uma sequˆencia onde lim |xn| existe e lim xn n˜ao existe.
Considere xn = (−1)n
+
(−1)n
n
temos em m´odulo |xn| = 1 +
1
n
com limite lim |xn| =
lim 1 +
1
n
= 1 e temos x2n = 1 +
1
2n
com limite 1 e x2n+1 = −1 −
1
2n + 1
como limite −1,
assim temos subsequˆencias com limites diferentes logo a sequˆencia n˜ao tem limite por´em
o m´odulo dela possui.
Propriedade 48. Sejam a ≥ 0, b ≥ 0 ent˜ao
|a
1
n − b
1
n | ≤ |a − b|
1
n
Demonstra¸c˜ao. Supondo a ≥ b , definindo c = a
1
n e d = b
1
n , ent˜ao c − d ≥ 0 por
expans˜ao binomial tem-se
cn
= ((c − d) + d)n
=
n∑
k=0
(
n
k
)
(c − d)k
dn−k
≥ dn
+ (c − d)n
≥ 0
da´ı cn
− dn
≥ (c − d)n
≥ 0 implicando
|a − b| ≥ |a
1
n − b
1
n |n
e da´ı
|a
1
n − b
1
n | ≤ |a − b|
1
n .
Exemplo 21. N˜ao vale a propriedade
|an
− bn
| ≤ |a − b|n
para perceber isso tome a = 2, b = 1, da´ı ter´ıamos
|2n
− 1| ≤ 1
o que ´e falso .
Na verdade a propriedade acima implica que
|x − y|n
≤ |xn
− yn
|.
37. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 36
1.5.4 lim p
√
(xn).
Propriedade 49. Se xn ≥ 0 e lim xn = a ent˜ao lim(xn)
1
p = a
1
p
Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = a ent˜ao ∀ ε > 0 conseguimos n0 ∈ N tal que
para n > n0 tem-se |xn − a| < εp
e da´ı |xn − a|
1
p < ε, da desigualdade anterior temos que
|x
1
p
n − a
1
p | ≤ |xn − a|
1
p < ε
e da´ı lim(xn)
1
p = a
1
p .
Propriedade 50. Seja m racional e (xn) de termos positivos. Se lim xn = a ent˜ao
lim xn = am
.
Demonstra¸c˜ao.
Escrevemos m =
p
q
, da´ı
lim x
1
q
n = a
1
q
usando propriedade do produto segue
lim x
p
q
n = a
p
q .
Defini¸c˜ao 25. Diremos que duas sequˆencias (xn) e (yn) diferem por um n´umero
finito de pontos quando existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica xn = yn. Escreveremos
essa rela¸c˜ao como (xn) ∼ (yn).
Propriedade 51. Diferir por um n´umero finito de pontos ´e uma rela¸c˜ao de equi-
valˆencia.
Demonstra¸c˜ao. Reflexividade (xn) ∼ (xn) pois existe n0 tal que para n > n0
xn = xn, no caso qualquer n0 vale. Simetria, Se (xn) ∼ (yn) ent˜ao (yn) ∼ (xn), se
a primeira vale temos xn = yn para n > n0 logo yn = xn implicando2
(yn) ∼ (xn).
Transitividade, Se (xn) ∼ (yn) e (yn) ∼ (zn) ent˜ao (xn) ∼ (zn), pois existe n0 tal que
para n > n0 vale xn = yn e existe n1 tal que para n > n1 vale yn = zn, logo tomando
n2 = max{n0, n1} vale para n > n2 vale xn = yn e yn = zn ent˜ao xn = zn logo (xn) ∼ (zn).
2
Propriedade trivial na verdade, n˜ao acham?
38. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 37
Propriedade 52. Se lim xn = a e (yn) ∼ (xn) ent˜ao lim yn = a.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 implica
|xn − a| < ε e (yn) ∼ (xn) implica existir n1 tal que para n > n1 temos yn = xn, tomando
n2 = max{n0, n1} temos que para n > n2 vale xn = yn e ∀ε > 0 ∃n2 ∈ N tal que n > n2
implica |yn − a| < ε logo lim yn = a.
Propriedade 53. Se lim xn = a, a > 0, ent˜ao (xn) ∼ (|xn|).
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a e a > 0 ent˜ao para qualquer ε > 0 existe n0 tal
que para n > n0 temos xn ∈ (a−ε, a+ε), no caso podemos tomar um ε tal que a−ε > 0,
por exemplo ε =
a
2
, logo para n > n0 os termos s˜ao positivos, logo temos xn = |xn|
implicando (xn) ∼ (|xn|) e implicando lim |xn| = a.
Propriedade 54. Se lim xn = a, a < 0, ent˜ao (−xn) ∼ (|xn|).
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao lim −xn = −a com a < 0 ent˜ao para
qualquer ε > 0 existe n0 tal que para n > n0 temos −xn ∈ (−a − ε, −a + ε), no caso
podemos tomar um ε tal que −a − ε > 0, por exemplo ε =
−a
2
, logo para n > n0 os
termos s˜ao positivos, logo temos −xn = |xn| implicando (−xn) ∼ (|xn|) e implicando
lim |xn| = −a.
Propriedade 55. Se lim xn = 0 ent˜ao lim |xn| = 0.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = 0 temos que para todo ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para
n > n0 temos |xn| < ε mas como ||xn|| = |xn| temos tamb´em ||xn|| < ε implicando que
lim |xn| = 0
Corol´ario 26. Juntando as ´ultimas propriedades segue que se lim xn = a ent˜ao
lim |xn| = |a|.
Propriedade 56. Sejam duas sequˆencias (xn) e (yn) tais que lim xn = lim yn = a
ent˜ao para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 xn e yn pertencem ao intervalo
(a − ε, a + ε).
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n1 ∈ N tal que para
n > n1 xn ∈ (a − ε, a + ε) e se lim yn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n2 ∈ N tal que
para n > n2 yn ∈ (a − ε, a + ε) logo tomando o m´aximo de n1, n2 como n0, tem-se para
n > n0 que xn, yn ∈ (a − ε, a + ε).
39. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 38
Propriedade 57. Seja lim xn = 0. Para cada n ∈ N definimos yn = min{|xk|, k ∈
In|} . Temos ent˜ao lim yn = 0.
Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = 0 temos que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que para n > n0
segue |xn| < ε e temos tamb´em yn ≤ |xn| < ε e como |yn| = yn por yn ser sempre n˜ao
negativo segue |yn| < ε logo lim yn = 0.
Propriedade 58. Se lim x2n = a e lim x2n−1 = a ent˜ao lim xn = a.
Demonstra¸c˜ao. Sejam yn = x2n e zn = x2n−1 como temos lim yn = lim zn = a,
para qualquer ε > 0 existem n0 e n1 tais que para n > n0 vale yn ∈ (a − ε, a + ε)
e n > n1 vale zn ∈ (a − ε, a + ε), escolhendo n2 > max{n0, n1} temos para n ≥ n2
simultaneamente zn, yn ∈ (a − ε, a + ε), x2n−1, x2n ∈ (a − ε, a + ε), ent˜ao para n > 2n2 − 1
temos xn ∈ (a − ε, a + ε) logo vale lim xn = a.
Propriedade 59. Se as subsequˆencias (x2n) , (x2n−1) e (xtn) s˜ao convergentes, onde
t ´e ´ımpar, ent˜ao (xn) ´e convergente.
Demonstra¸c˜ao. Seja a = lim x2n , b = lim x2n−1, c = lim xtn, a subsequˆencia
(x2t, x22t, x23t, · · · , x2st, )
converge para t por ser subsequˆencia de (xtn), por´em ela tamb´em ´e subsequˆencia de (x2n),
logo ela converge para a, disso segue a = c.
a subsequˆencia
(x3t, x32t, x33t, · · · , x3st, )
´e subsequˆencia de (xtn), logo converge para a, ela tamb´em ´e subsequˆencia de (x2n−1), pois
como t ´e ´ımpar 3s
t tamb´em ´e ´ımpar, logo tal subsequˆencia converge para b, disso segue
que a = b, lim x2n = lim x2n−1 = a, por isso lim xn = a, pelo resultado anterior.
1.5.5 Se N =
p∪
k=1
Nk e lim
n∈Nk
xn = a ent˜ao lim xn = a.
Propriedade 60. Se N =
p
∪
k=1
Nk e lim
n∈Nk
xn = a ent˜ao lim xn = a.
40. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 39
Demonstra¸c˜ao.
Dado ε > 0 fixo e arbitr´ario existe nk ∈ Nk tal que ∀ n > nk, n ∈ Nk vale xn ∈
(a − ε, a + ε) pelo fato de lim
n∈Nk
xn = a. Tomamos n0 = max{n1, · · · , np}, da´ı vale para
n > n0, xn ∈ (a − ε, a + ε) para todo n ∈ Nk com todo k, com isso uniformizamos o valor
do ´ındice para o qual os termos da sequˆencia est˜ao no mesmo intervalo (a − ε, a + ε).
Como todo n ∈ N pertence a algum Nk ent˜ao para n ∈ N suficientemente grande vale xn
em (a − ε, a + ε) . Vamos tentar deixar mais clara a ´ultima proposi¸c˜ao.
Seja n′
0 = min{n > n0 |xn ∈ (a−ε, a+ε) ∀ n ∈ Nk, ∀ k}, tal conjunto ´e n˜ao vazio logo
possui m´ınimo. Para todo n ∈ N, n > n′
0 vale xn ∈ (a − ε, a + ε), pois dado n > n′
0 > n0
xn pertence `a algum Nk e nas condi¸c˜oes colocadas na constru¸c˜ao do conjunto para Nk
vale xn ∈ (a − ε, a + ε).
Exemplo 22. Pode valer N =
∞∪
k=1
Nk com lim
n∈Nk
xn = a e lim xn ̸= a.
Como por exemplo, definimos N2 = {2, 22
, 23
, · · · , 2n
, · · · } em geral Nk+1 = {p1
k, p2
k, · · · , pn
k , · · · }
onde pk ´e o k-´esimo primo, definindo N1 como o complemento de
∞∪
k=2
Nk em N. De-
finimos em N2, x2 = 2, xn = 0 para os outros valores, da mesma forma em Nk+1
definimos xpk
= pk e xn = 0 para os outros valores. Em N1 definimos xn = 0 para
todo n. A sequˆencia xn n˜ao converge possui uma subsequˆencia que tende a infinito.
x2 = 2, x3 = 3, x5 = 5, · · · , xpk
= pk, · · · a subsequˆencia dos primos.
Propriedade 61. Se lim xn = a e lim(xn − yn) = 0 ent˜ao lim yn = a.
Demonstra¸c˜ao. Temos lim xn = a somando com o limite lim(−xn + yn) = 0
segue lim −xn + xn + yn = a = lim yn.
Propriedade 62. Sejam a ̸= 0 e lim
yn
a
= 1 ent˜ao lim yn = a.
Demonstra¸c˜ao. Tomando o produto dos limites lim a = a e lim
yn
a
= 1 segue
lim a
yn
a
= lim yn = a.
1.6 C´alculo de limites por meio de subsequˆencias
1.6.1 lim a
1
n = 1
Propriedade 63. Seja a > 0 ent˜ao lim a
1
n = 1.
41. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 40
Demonstra¸c˜ao. A sequˆencia ´e decrescente se a > 1, pois de 1 < a multiplicando
por an
ambos lados segue an
< an+1
, a
1
n+1 < a
1
n e tamb´em ´e limitada inferiormente, por
1 por exemplo, pois de 1 < a elevando a
1
n + 1
de ambos lados temos 1 < a
1
n .
Se 0 < a < 1 a sequˆencia ´e crescente pois a < 1 multiplicando por an
em ambos lados
an+1
< an
, a
1
n < a
1
n+1 al´em disso ´e limitada superiormente pois de a < 1 elevando a
1
n
temos a
1
n < 1.
Em qualquer dos casos temos que a sequˆencia ´e convergente por ser mon´otona e
limitada. Logo existe o limite l = lim a
1
n . Qualquer subsequˆencia deve convergir ao
mesmo limite, consideramos ent˜ao o limite da subsequˆencia
l = lim a
1
(n)(n+1) = lim
a
1
(n)
a
1
n+1
=
l
l
= 1
logo l = 1.
Demonstra¸c˜ao.[2] Considere a > 1 escrevemos a
1
n = 1 + h da´ı h > 0 e
a = (1 + h)n
≥ 1 + nh
que implica
a − 1
n
≥ h e 1 +
a − 1
n
≥ 1 + h
a
1
n
≥ 1, ent˜ao tem-se a desigualdade
1 +
a − 1
n
≥ a
1
n ≥ 1
por teorema do sandu´ıche segue que lim a
1
n = 1.
1.6.2 lim n
1
n = 1
Propriedade 64.
lim n
1
n = 1.
Demonstra¸c˜ao. Vamos provar que a sequˆencia (xn) com termo dado por xn = n
1
n
´e decrescente a partir do seu terceiro termo. Tomamos a fun¸c˜ao f(x) = x
1
x = e
1
x
lnx
,
derivando f′
(x) =
1
x2
(1 − lnx)x
1
x , 1 − lnx < 0, 1 < lnx para x > e, pois segue lnx >
lne = 1, lnx ´e fun¸c˜ao crescente cont´ınua. Ent˜ao a sequˆencia ´e decrescente a partir do
terceiro termo 3 > e. Outra maneira de demonstrar que a sequˆencia ´e decrescente a partir
do primeiro termo segue de (1 +
1
n
)n
< n para n ≥ 3 da´ı (n + 1)n
< nn+1
que implica
(n + 1)
1
n+1 < n
1
n .
42. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 41
Ela tamb´em ´e limitada inferiormente por 1, pois n ≥ 1 ⇒ n
1
n ≥ 1
1
n = 1. Portanto ela
converge para o ´ınfimo do conjunto dos termos da sequˆencia e todas suas subsequˆencias
devem convergir para o mesmo limite, digamos l, tem-se que l ≥ 1 pela propriedade da
sequˆencia, ent˜ao l ̸= 0. Tomamos a subsequˆencia de termos (2n)
1
2n , segue
l2
= (lim(2n)
1
2n )2
= lim(2n)
1
n = lim 2
1
n lim n
1
n = l
logo l2
= l que implica l = 1, pois n˜ao pode ser l = 0.
Exemplo 23. Se 0 < a < 1 ent˜ao lim an
= 0, pois an
´e decrescente limitada
inferiormente logo ´e convergente. lim an+1
= L = a. lim an
= aL, se L ̸= 0 ent˜ao a = 1,
absurdo, logo L = 0.
1.7 Limites infinitos
Defini¸c˜ao 26 (Limite +infinito). Seja uma sequˆencia (xn) . Ent˜ao lim xn = ∞ se
acontece
∀ A > 0 ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn > A
nesse caso dizemos que xn tende a infinito.
Negar que lim(xn) = ∞ significa que
∃A > 0 ∀ n0 ∈ N | ∃n > n0 tal que xn < A
isto ´e, sempre haver´a uma infinidade de termos menores que um certo n´umero A.
Defini¸c˜ao 27 (Limite − infinito). Dizemos que lim xn = −∞ ⇔ lim −xn = ∞.
Corol´ario 27. Se limxn = ∞ ent˜ao por defini¸c˜ao (xn) n˜ao ´e limitada superiormente,
da mesma maneira se lim xn = −∞ ent˜ao xn n˜ao ´e limitada inferiormente .
Defini¸c˜ao 28 (Sequˆencia Oscilante). Uma sequˆencia (xn) ´e dita oscilante se ela n˜ao
´e convergente, nem vale lim xn = ∞ ou lim xn = −∞.
Propriedade 65. Seja (xn) tal que lim xn = a ent˜ao lim(−1)n
xn existe sse a = 0.
43. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 42
Demonstra¸c˜ao. Seja ent˜ao lim xn = a considere a sequˆencia (zn) de termo
dado por zn = (−1)n
xn temos a subsequˆencia de termos pares (z2n) = (x2n) com limite
lim z2n = lim x2n = a e a subsequˆencia de termos ´ımpares (z2n−1) = (−x2n−1) com limite
lim z2n−1 = lim −x2n−1 = −a para que o limite exista ´e necess´ario e suficiente que a = −a
logo 2a = 0, a = 0.
Propriedade 66. Se lim xn = a ̸= 0 ent˜ao ((−1)n
xn) ´e oscilante.
Demonstra¸c˜ao. (xn) ´e limitada logo n˜ao pode valer lim(−1)n
xn infinito ou menos
infinito, como (xn) converge para um valor n˜ao nulo, ent˜ao a sequˆencia ´e oscilante.
Propriedade 67. Se lim xn = ±∞ ent˜ao ((−1)n
xn) ´e oscilante .
Demonstra¸c˜ao. Para n > n0 vale xn > A > 0 logo para n par (−1)n
xn ´e positivo
e para n ´ımpar tal termo ´e negativo ent˜ao a sequˆencia n˜ao pode tender a infinito, tamb´em
n˜ao pode ser convergente pois n˜ao ´e limitada.
Propriedade 68. lim n = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Temos que mostrar que para todo A > 0 podemos encontrar
n0 ∈ N tal que n > n0 implica n > A, isso vale pois os naturais n˜ao s˜ao limitados
superiormente nos reais.
Propriedade 69. Se a > 1 ent˜ao lim an
= ∞.
Demonstra¸c˜ao. Podemos escrever an
= (1 + h)n
com 1 + h > 1 logo h > 0 e
vale a desigualdade de Bernoulli an
= (1 + h)n
> 1 + nh podemos conseguir assim que
1 + nh > A, tomando n0 >
A
h
− 1 e como a > 1 implica an+1
> an
temos uma sequˆencia
crescente logo n > n0 implica an
> A logo lim an
= ∞.
Propriedade 70. Dada uma sequˆencia (xn) n˜ao-decrescente ilimitada temos que
lim xn = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Se (xn) ´e uma sequˆencia ilimitada n˜ao-decrescente ela ´e limitada
inferiormente pelo seu primeiro termo ent˜ao ela deve ser ilimitada superiormente, logo
podemos tomar A > 0 e vai existir n0 ∈ N tal que xn0 > A e como ela ´e n˜ao-decrescente
temos que n > n0 implica xn ≥ xn0 > A logo temos lim xn = ∞.
44. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 43
1.7.1 lim
√
n = ∞.
Exemplo 24. lim
√
n = ∞. Temos que
√
n ´e crescente e n˜ao ´e limitada superior-
mente, pois
√
A2 = A.
(
√
n) n˜ao ´e limitada por´em lim
√
n
n
= lim
1
√
n
= 0.
Propriedade 71. Se lim xn+p = ∞ para algum p natural ent˜ao lim xn = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ n tal que n > n0 implica
xn+p > A, a partir de xn0+1+p vale essa desigualdade, ent˜ao existe n1 = n0 + p tal que
para n > n1 vale xn > A o que implica lim xn = ∞.
Propriedade 72. Se lim xn = ∞ ent˜ao xn ´e limitada inferiormente.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞, ent˜ao ∀ A > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 vale
xn > A, tomando A = 1 tem-se que para n > n0 , xn > 1, como existe um n´umero finito
de termos possivelmente menores que 1 ent˜ao a sequˆencia ´e limitada inferiormente.
1.7.2 lim
n∑
k=1
1
√
n + k
= ∞.
Exemplo 25.
lim
n∑
k=1
1
√
n + k
= ∞.
Vale
k ≤ n ⇒ k + n ≤ 2n ⇒
√
k + n ≤
√
2n ⇒
1
√
2n
≤
1
√
k + n
somando de 1 at´e n segue √
n
2
≤ lim
n∑
k=1
1
√
n + k
logo por compara¸c˜ao lim
n∑
k=1
1
√
n + k
= ∞.
1.8 Opera¸c˜oes com limites infinitos
Propriedade 73 (Crit´erio do inverso). Seja xn > 0 para todo n ∈ N ent˜ao lim xn =
0 ⇔ lim
1
xn
= ∞.
45. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 44
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = 0 temos que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal
que para n > n0 implica |xn| < ε, xn < ε,
1
ε
<
1
xn
tomando A =
1
ε
segue
1
xn
> A logo
lim
1
xn
= ∞.
Considerando agora lim
1
xn
= ∞ temos que para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que
para n > n0 vale
1
xn
> A logo
1
A
> xn tomando ε = A temos xn < ε, |xn| < ε logo
lim xn = 0.
1.8.1 Se lim
|xn+1|
|xn|
= L ent˜ao lim n
√
|xn| = L.
Propriedade 74. Seja (xn) uma sequˆencia de termos n˜ao nulos, se lim
|xn+1|
|xn|
= L
ent˜ao lim n
√
|xn| = L.
Demonstra¸c˜ao. Seja L > 0, ent˜ao existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale
0 < L − ε < t1 <
|xk+1|
|xk|
< t2 < L + ε
aplicando
n∏
k=n0+1
em ambos lados e usando produto telesc´opico tem-se
|xn0+1|(t1)n−n0
< |xn+1| < |xn0+1|(t2)n−n0
tomando a raiz n-´esima
|xn0+1|
1
n (t1)1−
n0
n
< |xn+1|
1
n < |xn0+1|
1
n (t2)1−
n0
n
para n grande tem-se
L − ε < |xn+1|
1
n < L + ε
da´ı segue que lim |xn+1|
1
n = L.
Se L = 0, temos argumento similar, existe n0 ∈ N tal que para k > n0 vale
0 <
|xk+1|
|xk|
< t2 < ε < 1
aplicando
n∏
k=n0+1
em ambos lados e usando produto telesc´opico tem-se
0 < |xn+1| < |xn0+1|(t2)n−n0
46. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 45
tomando a raiz n-´esima
0 < |xn+1|
1
n < |xn0+1|
1
n (t2)1−
n0
n
para n grande tem-se
0 < |xn+1|
1
n < ε
da´ı segue que lim |xn+1|
1
n = 0.
Corol´ario 28. Usando o crit´erio do inverso, temos que se lim
|xn+1|
|xn|
= ∞ ent˜ao
lim n
√
|xn| = ∞.
Exemplo 26. Provar que lim
n
√
(2n)!
n!
= ∞. Tomamos xn =
(2n)!
n!
da´ı temos
xn+1
xn
=
(2n + 2)(2n + 1)(2n)!
(n + 1)n!
n!
(2n)!
=
(2n + 2)(2n + 1)
(n + 1)
= 2(2n + 1) → ∞ logo lim
n
√
(2n)!
n!
= ∞.
1.8.2 lim
n
√
(2n)!
n!nn
=
4
e
.
Exemplo 27. Mostrar que lim
n
√
(2n)!
n!nn
=
4
e
.
Tomamos xn =
(2n)!
n!nn
, da´ı
xn+1
xn
=
2(2n + 1)
n + 1
1
(1 + 1
n
)n
→
4
e
.
Exemplo 28. Mostrar que lim
n
n
√
n!
= e.
Tomamos xn =
nn
n!
, da´ı
xn+1
xn
=
(n + 1)n+1
nn
1
n + 1
=
(n + 1)n
nn
= (1 +
1
n
)n
→ e , da´ı
segue que lim
n
n
√
n!
= e.
Disso segue tamb´em que
lim
n
a n
√
n!
=
e
a
,
isto ´e,
lim n
√
nn
n!an
=
e
a
,
da´ı tomando o inverso, temos
lim
n
√
n!an
nn
=
a
e
,
em especial se e = a, segue que
lim
n
√
n!en
nn
=
e
e
= 1.
47. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 46
1.8.3 lim
n→∞
(
m + n
n
)1
n
= 1
Exemplo 29. Vale que
lim
n→∞
(
m + n
n
)1
n
= 1.
Vamos usar o crit´erio que acabamos de provar, vamos tomar xn =
(
m + n
n
)
=
(m + n)!
n!m!
, da´ı o limite do quociente ´e o limite de
xn+1
xn
=
(m + n + 1)!
(n + 1)!m!
m!.n!
(m + n)!
=
(m + n + 1)
n + 1
=
m
n + 1
+ 1,
tomando o limite tem-se que
m
n + 1
→ 0 com m fixo logo lim
xn+1
xn
= 1 e da´ı lim x
1
n
n = 1,
por isso
lim
n→∞
(
m + n
n
)1
n
= 1.
1.8.4 lim
n
√
n! = ∞
Exemplo 30. Mostrar que lim
n
√
n! = ∞ .
Vamos trablhar com xn =
1
n!
, temos que
xn+1
xn
=
1
(n + 1)!
n! =
1
n + 1
→ 0
ent˜ao pelo teorema anterior o limite da raiz n -´esima de tal sequˆencia tamb´em tende
a zero, isto ´e
lim
1
n
√
n!
→ 0,
pelo crit´erio do inverso segue que lim
n
√
n! = ∞.
Exemplo 31. lim
1
√
n
= 0 pois lim
√
n = ∞ e
√
n > 0.
1.8.5 lim
1
√
n + 1 +
√
n
= lim
√
n + 1 −
√
n = 0
Exemplo 32. lim ∆
√
n = 0 pois
√
n + 1 −
√
n =
1
√
n + 1 +
√
n
.
Exemplo 33. Mostrar que
lim
√
n + t
√
n + 1 +
√
n
=
1
2
48. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 47
para t ≥ 0.
Tem-se
lim
√
n + t
√
n + 1 +
√
n
= lim
1
√
n+1
n+t
+
√ n
n+t
= lim
1
√
n+1
n+t
+
√ n
n+t
= lim
1
√
1+ 1
n
1+ t
n
+
√
1
1+ t
n
=
1
2
.
Propriedade 75 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam duas sequˆencias (xn) e (yn) e um
n´umero natural n0 tal que se para n > n0 vale xn ≥ yn e lim yn = ∞ ent˜ao lim xn = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Se lim yn = ∞ ent˜ao para qualquer A > 0 existe n1 ∈ N tal
que para n > n1 vale yn > A e temos tamb´em que para n > n0 vale xn ≥ yn, tomando
n2 = max{n1, n0} para n > n2 vale xn ≥ yn e yn > A logo xn > A o que implica
lim xn = ∞.
Propriedade 76. Se lim xn = ∞ e (yn) ´e limitada inferiormente ent˜ao lim xn + yn =
∞.
Demonstra¸c˜ao. Com (yn) limitada inferiormente tem-se B ∈ R tal que yn > B
e como temos lim xn = ∞ vale para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A
logo de yn > B somando xn tem-se xn + yn > B + xn e de xn > A somando B segue
xn + B > A + B logo xn + yn > A + B para todo C > 0 podemos tomar A + B = C assim
lim xn + yn = ∞.
Corol´ario 29. Se lim yn = ∞ e lim xn = ∞ ent˜ao lim xn +yn = ∞, pois yn ´e limitada
inferiormente.
Corol´ario 30.
lim
1
n
+ n = ∞
pois
1
n
´e limitada inferiormente e n → ∞.
Corol´ario 31. Se (yn) ´e uma sequˆencia convergente e lim xn = ∞ ent˜ao lim xn +yn =
∞, pois (yn) sendo convergente, ela ´e limitada logo limitada inferiormente.
Propriedade 77. Se lim xn = ∞ e existe c > 0 tal que yn > c para todo n ∈ N ent˜ao
lim xnyn = ∞.
49. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 48
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞ ent˜ao ∀A > 0 ∃n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ xn > A
e se existe c > 0 tal que yn > c para todo n natural ent˜ao para n > n0 , xn > 0 logo
yn.xn > c.xn e de xn > A segue xn.c > Ac assim xnyn > Ac podemos tomar ent˜ao A =
B
c
com B > 0 arbitr´ario donde segue xnyn > B logo lim xnyn = ∞.
Corol´ario 32. Se lim xn = ∞ e lim yn = ∞ ent˜ao lim xn.yn = ∞.
Corol´ario 33. Se lim xn = ∞ e b > 0 uma constante ent˜ao lim bxn = ∞. Podemos
tomar yn = b para todo n na propriedade anterior e como b > 0 existe 0 < c < b da´ı a
propriedade segue.
Propriedade 78. Seja b > 0 real, se lim xn = ∞ ent˜ao lim(xn)b
= ∞.
Demonstra¸c˜ao. Se lim xn = ∞ ent˜ao
∀ B > 0 ∃n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn > B
tomando B = A
1
b , ent˜ao xn > A
1
b da´ı (xn)b
> A com A arbitr´ario, logo a sequˆencia tende
a infinito.
Propriedade 79. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N ent˜ao lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Demonstra¸c˜ao.
∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A ent˜ao para n > 2n0 ( que
implica
n − n0
n
>
1
2
) vale
n∑
k=1
ak
n
≥
n∑
k=n0+1
2A
n
= 2A
n − n0
n
≥
2A
2
= A
logo
lim
n∑
k=1
ak
n
= ∞.
Corol´ario 34. Se lim xn = ∞ e n˜ao vale xn > 0 ∀ n ∈ N ent˜ao a propriedade
tamb´em vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , da´ı
n∑
k=1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n∑
k=n0+1
ak
n
=
n0∑
k=1
ak
n
+
n−n0∑
k=1
xk
ak+n0
n
50. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 49
assim se define uma nova sequˆencia (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior
.
Propriedade 80. Se (xn − yn) ´e limitada e lim yn = ∞ ent˜ao lim
xn
yn
= 1.
Demonstra¸c˜ao. Existem t1, t2 ∈ R e n0 tal que para n > n0 vale
t1 < xn − yn < t2, ⇒ t1 + yn < xn < t2 + yn
com yn > 0 dividimos por esse valor
t1
yn
+ 1 <
xn
yn
<
t2
yn
+ 1
tomando o limite em ambos lados tem-se por sandu´ıche
1 ≤ lim
xn
yn
≤ 1
lim lim
xn
yn
= 1.
1.8.6 lim ln(n + 1) − ln(n) = 0
Propriedade 81. Vale que lim ln(n + 1) − ln(n) = 0.
Demonstra¸c˜ao.
0 < ln(n + 1) − ln(n) = ln(
n + 1
n
) = ln(1 +
1
n
) =
n ln(1 + 1
n
)
n
=
ln(1 + 1
n
)n
n
≤
(1 + 1
n
)n
n
como lim(1 +
1
n
)n
= e ent˜ao tal sequˆencia ´e limitada e com lim
1
n
= 0 segue que
lim
(1 + 1
n
)n
n
= 0, da´ı por sandu´ıche tem-se
lim ln(n + 1) − ln(n) = 0.
1.8.7 lim
ln(n + 1)
ln(n)
= 1.
Corol´ario 35. lim
ln(n + 1)
ln(n)
= 1 pois lim ln(n + 1) − ln(n) = 0 e lim ln(n) = ∞.
Poder´ıamos argumentar apenas que (lim ln(n+1)−ln(n)) ´e limitada sem mostrar que
converge da seguinte maneira:(ln(n+1)−ln(n)) ´e limitada pois vale 0 < ln(1+
1
n
) < 1+
1
n
com 1 +
1
n
limitada.
51. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 50
Outra maneira ´e considerar
ln(n + 1)
ln(n)
− 1 =
ln(n + 1) − ln(n)
ln(n)
=
ln(1 + 1
n
)
ln(n)
como o numerador ´e limitado e o denominador tende ao infinito o limite ´e nulo
lim
ln(n + 1)
ln(n)
− 1 = 0 ⇒ lim
ln(n + 1)
ln(n)
= 1.
Exemplo 34. O limite lim(xn − yn) pode existir, por´em n˜ao vale lim
xn
yn
= 1, tome
por exemplo xn =
2
n
, yn =
1
n
, vale lim(xn − yn) = lim
1
n
= 0 e
lim
xn
yn
= lim
2
n
n = 2.
Exemplo 35. Se (xn) ´e limitada e lim yn = ∞ n˜ao podemos concluir nada sobre
lim xn.yn , pode ser infinito xn = 1, pode ser − infinito, com xn = −1, o limite pode
existir como xn =
1
n
e yn = n, ou pode n˜ao existir com xn = (−1)n
.
Exemplo 36. Se (xk) ´e limitada ent˜ao (xk) (C, 1) ´e convergente?
Propriedade 82. Se lim xn = ∞ e a > 0 ent˜ao
lim
√
ln(xn + a −
√
ln(xn = 0.
Demonstra¸c˜ao.
√
ln(xn + a −
√
ln(xn =
ln(xn + a) − ln(xn)
√
ln(xn + a +
√
ln(xn
o denominador ln(1 +
a
xn
) < 1 +
a
xn
→ 1 logo o numerador ´e limitado e o numerador
tende ao infinito, ent˜ao o limite ´e nulo.
Propriedade 83. Seja f : N → N injetora ent˜ao lim f(n) = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que
∀ n0 ∈ N ∃n1 ∈ N | n > n1 ⇒ f(n) > n0.
Seja An0 = {n ∈ N | f(n) ≤ n0} tal conjunto tem no m´aximo n0 elementos, pois se
tivesse mais de n0 ent˜ao f n˜ao seria injetiva , pois ter´ıamos n1, · · · , nn0 tais que
f(n1) = 1 , f(n2) = 2, · · · , f(nn0 ) = n0
52. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 51
se houvesse mais algum nt com f(nt) igual a algum desses valores acima, ter´ıamos f(nt) =
f(ns) com nt ̸= ns e da´ı a fun¸c˜ao n˜ao seria injetora, observe que os valores de An0 s´o
podem ser 1, 2, · · · , n0. Se An0 ´e vazio tomamos n1 = 1, da´ı para n > 1 vale f(n) > n0,
se n˜ao for vazio, tomamos n1 = max{An0 }, que pode ser tomado, pois todo conjunto
finito tem um m´aximo, da´ı para n > n1 tem-se f(n) > n0, pois se existisse n2 > n1 tal
que f(n2) ≤ n0 entraria em contradi¸c˜ao com o fato de n1 ser o m´aximo desses valores,
da´ı segue que lim f(n) = ∞.
Exemplo 37. Se f : N → N ´e sobrejetora ent˜ao pode n˜ao valer lim f(n) = ∞,
como por exemplo a sequˆencia
(1, 2, 1, 3, 1, 4, · · · )
em que se tem subsequˆencia de termo yn = n e xn = 1 alternadas.
Propriedade 84. Se lim xn = a ent˜ao lim xf(n) = a onde f : N → N ´e injetora.
Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = a ent˜ao para todo ε > 0 existe n1 ∈ N tal que
n > n1 implica |xn − a| < ε. Pelo fato de f(n) → ∞, existe n2 ∈ N tal que n > n2 + n1
implica f(n) > n1 da´ı |xf(n) − a| < ε.
1.9 Limites e desigualdades
Propriedade 85 (Permanˆencia de sinal I). Se lim xn = b com b > 0 ent˜ao no
m´aximo uma quantidade finita de termos dessa sequˆencia pode n˜ao ser positiva, isto ´e,
existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn > 0.
Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0
temos |xn − b| < ε, xn ∈ (b − ε, b + ε) tomando ε =
b
2
temos b − ε = b −
b
2
=
2b − b
2
=
b
2
e b + ε = b +
b
2
=
3b
2
logo existe n0 tal que para n > n0 tem-se xn ∈ (
b
2
,
3b
2
) logo xn ´e
positivo.
Propriedade 86 (Permanˆencia de sinal II). Se lim xn = b com b < 0 ent˜ao no
m´aximo uma quantidade finita de termos dessa sequˆencia pode n˜ao ser negativa, isto ´e,
existe n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn < 0.
53. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 52
Demonstra¸c˜ao. Como lim xn = b para todo ε > 0 existe n0 tal que para n > n0
temos |xn −b| < ε, xn ∈ (b−ε, b+ε) tomando ε =
b
2
existe n0 tal que para n > n0 tem-se
xn ∈ (
b
2
,
3b
2
) logo xn ´e negativo.
Corol´ario 36. Seja (xn) uma sequˆencia com limxn = a e b ∈ R tal que a > b ent˜ao
existe n0 ∈ N tal que xn > b para qualquer n > n0.
Consideramos a sequˆencia (xn − b) ela tem limite lim(xn − b) = lim xn − b = a − b > 0
pela permanˆencia de sinal existe n0 tal que para n > n0 vale xn − b > 0 logo xn > b.
Corol´ario 37. Se lim xn < b ent˜ao xn < b para n suficientemente grande. Sendo
lim xn = a < b ent˜ao lim xn − b = a − b < 0, da´ı por permanˆencia de sinal segue que para
n suficientemente grande tem-se xn − b < 0, xn < b.
Outra demonstra¸c˜ao pode ser feita assim:
Se lim xn = a < b, ent˜ao 0 < b − a, tomando ε < b − a segue que
∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ xn ∈ (a − ε, a + ε)
por´em a + ε < b, da´ı xn < a + ε < b.
Corol´ario 38. Sejam (xn), (yn) duas sequˆencias com lim xn = a e lim yn = b. Se b > a
ent˜ao existe n0 ∈ N tal que yn > xn para qualquer n > n0. Considerando a sequˆencia
(xn − yn) ela tem limite lim xn − yn = b − a > 0 logo pela permanˆencia de sinal existe
n0 ∈ N tal que para n > n0 vale xn − yn > 0, xn > yn .
Propriedade 87. Se lim xn = 0 e existe t ∈ N tal que xt > 0 , ent˜ao {xn} possui
m´aximo.
Demonstra¸c˜ao. Vale xt > 0, da´ı tomamos ε > 0 tal que ε < xt, ent˜ao para
n > n0 > t vale xn ∈ (−ε, ε), o conjunto A = {xn, n ≤ n0}, possui m´aximo por ser finito
e o m´aximo xs dele satisfaz xs ≥ xn para n ≤ n0 por constru¸c˜ao e xs ≥ xn para n > n0,
pois xs ≥ xt > ε > xn nessas condi¸c˜oes.
Generalizando a propriedade anterior
Propriedade 88. Se lim xn = a e existe t ∈ N tal que xt > a , ent˜ao {xn} possui
m´aximo.
54. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 53
Demonstra¸c˜ao. Vale xt > a, da´ı tomamos ε > 0 tal que ε < xt − a, ent˜ao para
n > n0 > t vale xn ∈ (a − ε, a + ε), o conjunto A = {xn, n ≤ n0}, possui m´aximo por ser
finito e o m´aximo xs dele satisfaz xs ≥ xn para n ≤ n0 por constru¸c˜ao e xs ≥ xn para
n > n0, pois xs ≥ xt > a + ε > xn nessas condi¸c˜oes.
Propriedade 89. Se lim xn = a e existe t ∈ N tal que xt < a , ent˜ao {xn} possui
m´ınimo.
Demonstra¸c˜ao. Tomamos ε > 0 tal que ε < a − xt da´ı existe n0 ∈ N tal que
para n > n0 > t vale xn ∈ (a−ε, a+ε) dai tomamos xs = min{xn | n ≤ n0}, vale xn ≥ xs
para todo n, pois para n ≤ n0 isso vale por defini¸c˜ao e para n > n0 tem-se xs ≥ xt ≥ xn.
Corol´ario 39. Se uma sequˆencia ´e convergente e possui um ponto `a direita do seu
limite ent˜ao ela possui m´aximo, se ela possui um ponto a esquerda do seu limite ent˜ao ela
possui um m´ınimo. Se ela for constante ela possui m´aximo e m´ınimo. Ent˜ao em qualquer
caso uma sequˆencia convergente possui m´aximo ou m´ınimo.
Corol´ario 40. Se uma sequˆencia n˜ao possui m´aximo ou m´ınimo ela ´e divergente.
Propriedade 90. Se existe n0 ∈ N tal que para n > n0 temos xn ≥ 0 e lim xn = a
ent˜ao a ≥ 0. Esta propriedade diz que se a sequˆencia tem no m´aximo um n´umero finito
de termos negativos (esse n´umero podendo ser zero) ent˜ao seu limite quando existe n˜ao
pode ser negativo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que a < 0 ent˜ao existir˜ao n1 ∈ N e ε = −
a
2
> 0 tal que
para n > n1 temos xn ∈ (a − ε, a + ε) , nesse caso temos xn < 0 mas por hip´otese temos
que para n > n0 , xn ≥ 0 o que contradiz a hip´otese, pois podemos tomar n2 > n1, n0 e
ter´ıamos xn2 ≥ 0 (pela hip´otese ) e xn2 < 0 (pela condi¸c˜ao de a < 0) o que ´e um absurdo
logo temos que a ≥ 0.
Corol´ario 41. Um sequˆencia de n´umeros n˜ao-negativos n˜ao pode ter limite negativo.
No caso de uma sequˆencia de n´umeros n˜ao-negativos temos xn ≥ 0 para todo n.
55. CAP´ITULO 1. SEQUˆENCIAS 54
1.9.1 O limite preserva desigualdades
Propriedade 91 (Limite preserva desigualdade). Se (xn) e (yn) s˜ao convergentes e
satisfazem yn ≥ xn para todo n > n0 ent˜ao lim yn ≥ lim xn.
Demonstra¸c˜ao. Tomamos zn = yn − zn, vale para n > n0 que zn ≥ 0, (zn) ´e
convergente por ser subtra¸c˜ao de sequˆencias convergentes logo lim zn = lim yn −lim xn ≥ 0
e da´ı lim yn ≥ lim xn.
Propriedade 92. Se lim xn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ε para todo n, ent˜ao
|a − b| ≥ ε.
Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que |a − b|
=ε1
< ε e |yn − xn| ≥ ε. Podemos
tomar n > n0 tal que |yn − b| < ε2 e |xn − a| < ε3 onde ε1 + ε2 + ε3 < ε, que pode ser
feito, pois basta tomar ε2 + ε3 < ε − ε1
>0
logo
|yn − xn| ≤ |yn − b| + |b − a| + |xn − a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε
que contradiz |yn − xn| ≥ ε.
Propriedade 93. Se g : A → R ´e limitada numa vizinhan¸ca de a e lim xn = a (com
xn ∈ A ) ent˜ao a sequˆencia (g(xn)) ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao. Como g ´e limitada numa vizinhan¸ca de a ent˜ao existe ε > 0
tal que para x ∈ (a − ε, a + ε) ∩ A vale |g(x)| ≤ M. Por termos lim xn = a, ent˜ao existe
n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε), logo vale |g(xn)| ≤ M.
