1. Тоон дарааллын хязгаар
1. Тоон дараалал, дарааллууд дээрх арифматик үйлдлүүд: Хэрэв дэс дараалсан тоон
олонлог N-ийг n тоо бүрт тодорхой дүрмээр ямар нэгэн бодит тоо Xn-харгалзаж байвал:
{X1, X2,….. Xn,…...} (1)
Бодит тоонуудын олонлогийг “Тоон дараалал” гэнэ.
Тоон дараалал X1,….. , Xn,.. ,. : - тоонууд нь (1) дарааллын гишүүд , Xn-нь уг дарааллын n-
дүгээр гишүүн буюу ерөнхий гишүүн гэнэ.
Товчоор: , эсвэл {Xn} гэж тэмдэглэнэ.
Тоон дарааллын аливаа гишүүдийг олох арга өгөгдсөн тохиолдолд уг дараалал нь
өгөгдсөнд тооцно.
Жишээ нь: Xn=1+(-1)ⁿ томъѐо нь : {0, 2, 0, 2, ….} дарааллыг өгнө.
b) X =0,33 , X2= 0,33, ….. Xn= 0,3….3….
Тоон дараалал нь тоон шулууны цэгүүдийн олонлог хэлбэрээр дүрслэгдэнэ.
Жишээ нь: а) Xn={ } {
б) Xn= } – дарааллуудыг дүрсэлбэл:
a) __________________________
b) ___________________________
Tоон дараалал дээр хийх үйлдлүүд
{Xn} , {yn} - дарааллууд өгөгдсөн байг тэгвэл:
1.Нийлбэр , Ялгавар :
{Xn} ± {Уn}= {Xn ± Уn}={X, ± У, ;X ± У , …, Xn ±Уn,....}
2. Дарааллыг const=α –аар үржүүлэх:
{Xn}= { Xn }= { X , X , …. Xn,……}
3. Үржвэр:
{Xn * yn}=X * y , X * y , ….,Xn* yn ,….}
4. Ноогдвор.
= { }={ , , …. ,…..} ( Энд Уn≠0 )
дарааллууд үүснэ.
1.2 Зааглагдсан, зааглагдаагүй дараалал

2. Хэрэв {X2} – ын гишүүдийн хувьд Xn ≤ M (Xn ≥ m) байх М(m) тогтмол тоонууд ∃ байвал
{Xn} дараалал нь дээрээсээ (доороосоо) М,(m) тоогоор зааглагдсан гэнэ. Хэрэв {Xn}-нь
дээрээсээ мөн доороосоо зааглагдсан байвал өөрөөр хэлвэл Ұn хувьд m ≤ Хn ≤ M
нөхцлийг хангах m ба М тогтмол тоонууд олдож байвал {Xn} дарааллыг зааглагдсан гэж
ярьна.Энд А=max{| m | , | M |} гэж авбал {Xn} дарааллын зааглагдсан байх нөхцөл нь Ұn
утганд |Xn| ≤ A хэлбэрээр бичигдэнэ.
Хэрэв Ұ А>0 , тоо авахад {Xn}-ийн гишүүд дотроос |Xn| ≥А нөхцлийг хангах гишүүн Xn олдож
байвал {Xn} нь зааглагдаагүй дараалал гэнэ.
1.3 Монотон дараалал
Ұn-ийн хувьд: X1< нөхцөл биелж байвал {Xn} –нь өсөх дараалал гэнэ.
Хэрэв Ұn-ийн хувьд: Xn≤ байвал {Xn} –дараалал нь үл буурах байна.
Хэрэв Ұn утганд Xn> нөхцөл биелж байвал {Xn} –нь буурах дараалал болно.
Хэрэв Ұn-ийн хувьд: Xn≥ нөхцөл биелж байвал {Xn} –нь үл өсөх дараалал байна.
Жишээ нь: 1. { 1, , , …. ,… } – нь буурах зааглагдсан дараалал
2. { 1, 1, ; ; ; …., ; ….. } –үл өсөх зааглагдсан дараалал
3. { 1, 2, 3,….n, n+1,….. } –өсөх зааглагдаагүй
4. { 1, 1, 2, 2, 3, 3,….., n, n, …. } –үл буурах зааглагдаагүй дараалал
5. { ; …., } –өсөх зааглагдсан дараалал
Монотон дараалал нь аль нэг талаасаа заагдагдсан байх нь илт юм.Үл буурах дараалал
дотроосоо (Ұn, Xn ≥ X ) , үл өсөх дараалал дээрээсээ (Ұn утганд , Xn ≤ X )
1.4 Төгсгөлгүй их ба төгсгөлгүй бага дарааллууд
Хэрэв ҰА /Хичнээн их утгатай / тоо авахад : |Xn|>A тодорхой N-дугаараас их бүх n-
дугааруудад биелэгдэж байвал {Xn}-нь төгсгөлгүй их дараалал гэж нэрлэнэ.
Хэрэв Ұє>0 (Хичнээн бага утгатай) тоо авахад : |Xn|< тэнцэтгэл биш тодорхой nє -
дугаараас их бүх n дугааруудад биелэгдэж байвал {Xn}-нь төгсөхгүй бага дараалал гэж
нэрлэнэ.
Жишээ нь: {Xn=n } – төгсгөлгүй их болохыг шалгая.
ҰА>0 тоо авья. Тэгэхэд |Xn |=n=A байна.Хэрэв N=A авбал n>N дугааруудын хувьд |Xn | А
биелэгдэнэ.

3. { n= } –төгсгөлгүй бага дараалал байхыг шалгая. Ұє>0 авъя.Тэгэхэд | n |=
нөхцлөөс n> гарна. Хэрэв nє = [ ] авбал Ұn> nє утганд n> [ ] +1> биелэгдэх ба
эндээс | n |= < гарна.
Теором1 : Хэрэв {Xn} төгсгөлгүй их дараалал бөгөөд бүх гишүүд нь 0-ээс ялгаатай бол
-нь төгсгөлгүй бага дараалал болно.
Баталгаа: {Xn} ба Ұє>0 авч А= гэе. Тэгэхэд |Xn | >А нөхцөл N< Ұn утгуудад биелэгдэж
байхаар тийм N-дугаар олдоно.
Эндээс = < = нөхцөл N< Ұn утгуудад биелэгдэх нь мөрдөн гарч –
төгсгөлгүй бага дараалал байх нь батлагдав.
1.5 Төгсгөлгүй бага дарааллын үндсэн чанарууд
Теором1: Төгсгөлгүй бага 2 дарааллын нийлбэр ба ялгавар нь төгсгөлгүй бага дараалал
байна.
Баталгаа: { n },{ n} – төгсгөлгүй бага дарааллууд өгөгджээ.Тэгвэл { n ± n} –
төгсгөлгүй бага дараалал байхыг батлая. Ұє>0 авахад | n |< ,N1< Ұn утгуудад биелэх
N1-дугаар олдоно.Мөн адилаар | n |< , N2, Ұn байх N2 дугаар олдоно.
Одоо N=max (N1, N2) авбал N<n утганд | n |<
| n |< хоѐулаа биелнэ.Иймд N<n утганд
| n ± n |≤ | n |+ | n |< + = биелэгдэнэ.
Энэ нь { n ± n} –төгсгөлгүй бага дараалал байхыг илтгэнэ.
Мөрдөлгөө: Төгсгөлөг тоогоор авсан төгсгөлгүй бага дарааллуудын алгебр нийлбэр нь
төгсгөлгүй бага дараалал байна.
Теором2: Төгсгөлгүй бага 2 дарааллын үржвэр нь төгсгөлгүй бага дараалал байна.
Санамж: Төгсгөлгүй бага 2 дарааллын ноогдвор нь төгсгөлгүй бага дараалал биш байж
болохоос гадна тодорхойлогдохгүй байж болно.Жишээ нь: n= , n= гэвэл:
{ = 1} төгсгөлгүй бага дараалал биш.
Хэрэв n= , n= 2 гэвэл:

4. { = {n} –төгсгөлгүй их болно.
Хэрэв n= 2 , n= -ээр авбал { ={ } –төгсгөлгүй бага болно.
Теором 3: Зааглагдсан {Xn} дараалал ба төгсгөлгүй бага { n } дарааллын нийлбэр нь
{ n , Xn}-төгсгөлгүй бага дараалал байна.
2. Нийлдэг тоон дараалал, хязгаар
Дарааллын нийлэлт , хязгаар
{Xn} –дарааллын хязгаар нь α гэж Ұє>0 авахад - оос хамаарах тодорхой nε=n(ε)< Ұn
утганд: | Xn - α|<ε ( 1) нөхцөл биелэгдэж байх тийм n-дугаар олдож байхыг хэлнэ.
Энэ тохиолдолд :
эсвэл Xn→α , n→∞ гэж тэмдэглэн бичнэ.
Нийлдэггүй дарааллыг салдаг дараалал гэнэ. Нийлдэг дарааллын хязгаар цорын ганц
байна, (амархан батлаж болно.)
Жишээ нь: (1) =0
(2) =1
(3) {Xn= (-1)n } салдаг дараалал байна.
(4) Төгсгөлгүй бага дараалал { n } нь 0-рүү нийлдэг дараалал байна.
2.2 Хязгаарын дүрмүүд
Хэрэв { } ба {Yn} –нийлдэг дарааллууд бол
{ ± Yn} , { *Xn} , {Xn * yn}- дарааллууд бас нийлэх бөгөөд:
(1) {Xn ± yn} = Xn ± yn
(2) ( *Xn)= Xn , =const
(3) (Xn * yn)= ( Xn) ( yn)
(4) Хэрэв yn≠0 , yn≠0 , бол { } - дараалал нийлэх бөгөөд =
(5) Хэрэв нийлдэг {Xn} дарааллын бүх гишүүдийн хувьд :
Xn≥в ( Xn ≤в) бол уг дарааллын хязгаар a нь а≥в ( а ≤в) байна.
Мөрдөлгөө1:
Хэрэв {Xn} {yn} -нийлдэг дарааллууд ба Xn ≤yn бол
Xn≤ yn болно.
Мөрдөлгөө2:
Хэрэв {Xn} нийлдэг дарааллын бүх гишүүд нь [a,в] хэрчим дээр оршин байвал хязгаар нь
бас [a,в] хэрчим дээр оршино.
Өөрөөр хэлбэл:

5. a≤Xn≤в => a≤ Xn≤ в байна.
Эдгээрийн нийлдэг дараалал ба төгсгөлгүй бага дарааллын хоорондох холбооны тухай
теорeмд тулгуурлaн батлана.
Теорeм
Хэрэв Xn=a бол { n=Xn-a} төгсгөлгүй бага дараалал болно.Иймд нийлдэг {Xn}
дарааллын ерөнхий гишүүн
Xn=a + n (2) хэлбэртэй байна.
{Xn} –төгсгөлгүй бага дараалал байна.
Санамж: Нийлдэг дарааллын хязгаарын тодорхойлолтын томъѐонд орж байгаа
| Xn-a|< , n>N
Тэнцэтгэл биш нь :
- < Xn-a< буюу а- < Xn <a+ хэлбэртэй бичигдэнэ.
Өөрөө хэлбэл : а-цэгийн –радиустай (a- , a+ ) орчинд {Xn} дарааллын бүх гишүүд
тодорхой N дугаараас эхлээд агуулагдана.
_____________________________
2.3 ∞-рүу тэмүүлдэг дарааллууд
Def: хэрэв ҰA>0 ( хичнээн их утгатай) тоо авахад Xn>A тэнцэтгэл биш биелэж байх
тодорхой N=N(A) дугаар олдоод n>N үед Xn>A байвал {Xn}- дарааллыг гэж хэлэх ба
энэ тохиолдолд:
Xn=+∞ , эсвэл Xn ∞ гэж бичнэ.
Үүнтэй адилаар ҰА<0 тоо авахад Xn<A тэнцэтгэл биш тодорхой N дугааруудаас эхлэн бүх
n дугааруудад биелэгдэж байхаар тийм N дугаар олдож байвал {Xn} дараалал нь -∞ руу
тэмүүлдэг дараалал гээд : Xn= -∞ , эсвэл Xn -∞ гэж тэмдэглэнэ.
Эцэст нь хэрэв Ұ0<A тоо авахад |Xn |>A тэнцэтгэл биш тодорхой N дугааруудаас их бүх n
дугааруудад биелэгдэж байхаар тийм N дугаар олдож байвал : Xn=∞ , эсвэл Xn ->∞
гэнэ.
2.4 ∞ -руу тэмүүлдэг дарааллуудын чанарууд
(1) Хэрэв {Xn} зааглагдсан харин yn ->+∞ бол
Xn= (Xn+ yn)=+∞ ,
Xn= (Xn- yn)= Xn= (Xn- yn)= -∞ Хэрэв yn≠0 бол =0
(2) Хэрэв Xn +∞ , yn +∞ => Xn= (Xn+ yn)=+∞; Xn= (Xn* yn)=+∞

6. (3) Хэрэв Xn ->+∞ ; yn ->-∞ => Xn= (Xn- yn)=+∞; Xn= (Xn* yn)= -∞
(4) Хэрэв Xn=a , (a≠0)
= +∞ бол
(Xn* yn)=
(5) Хэрэв Xn=a , =0 =>
=
2.5 Тодорхой бус илэрхийллүүдийн тухай
Хязгаарыг бодож олох дүрмүүдийг шууд хэрэглэх боломжгүй тохиолдлууд нь
нийтдээ “Тодорхой бус” илэрхийллүүд гэж нэрлэгддэг бөгөөд тэдгээрийн хязгаарыг
бодож олохын тулд уг илэрхийллийн дотоод шинж чанарыг ашигладаг.
Тодорхой бус илэрхийллүүдийн заримыг дурдвал:
(1) Xn -> 0 , yn ->0 үед { } нь ( )- хэлбэр
(2) Xn -> ∞, yn ->∞ үед { } нь ( )- хэлбэр
(3) Xn -> 0 , yn ->∞ үед { } нь ( )- хэлбэр
(4) Xn->+∞ ; yn ->+∞ үед {Xn- Уn } нь (∞ - ∞)- хэлбэр
Жишээ нь: (1) . – хязгаарыг олох
n ->∞ үед хязгаарын тэмдэгийн доорхи бутархай нь ( )- хэлбэрийн тодорхой
бус илэрхийлэл үүсгэж байна.
Иймд : Бутархайн хүртвэрт хуваарийг хэлбэрийн тодорхой бус илэрхийлэл
үүсгэж байна.
Иймд : Бутархайн хүртвэрт хуваарийг - д хувааж:
= = = = ;
(2). , ( ) батлая.
(1+22+32+…+n2= ) тул =
= = = ;

7. (3). ( ) , (∞,-∞)- хэлбэртэй хязгаарын тэмдэгийн доорхи
иррационалтай илэрхийллийг “хосмогоор” үржүүлж-хуваавал:
( )= = =
= = 0;
Математик индукц
Бүх n≥1 дэс тоонуудын хувьд томъѐологдсон Математикийн ямар нэгэн
өгүүлбэр үнэн гэдгийг батлахын тулд:
1. Энэ өгүүлбэр n=1 үед үнэн гэдгийг батлана.
2. Энэ өгүүлбэр n=k , k≥1 үед үнэн гэж үзнэ.
3. Энэ өгүүлбэр n=к+1 үед үнэн болохыг батлана.Тэгэхэд уг өгүүлбэр нь ҰnєN
утганд үнэн болно.
Жишээ нь: =
n=1 үед энэ тэнцэтгэл биелнэ.
n=k үед;
= нь биелэгдэнэ гэж үзээд 2 тал дээр нь
2
(k+1) -ыг нэмэхэд:
+(k+1)2 = +(k+1)2 = =
(k+1) = = болж
батлагдав.
3.Тоон дарааллын нийлэлтийг шинжлэх аргууд
3.1 Хоёр талаасаа хашигдсан дараалал.
Теорeм:
Хэрэв {Xn} , {Уn} , {Zn} тоон дарааллуудын бүх гишүүдийн хувьд:
Xn<Zn≤Уn (n=1, 2…..)
Бол Xn ->a
Уn ->a бол {Zn} –нь нийлэх дараалал ба а-хязгаартай байна.
Баталгаа : хязгаарын үндсэн томъѐогоор (нийлдэг дараалал)
Xn=a+ n , n ->0
Уn=a+ n , n ->0 олдоно.
Тэгвэл өгөгдсөнөөр:
a+ n≤ Zn < a+ n буюу n≤ Zn - a≤ n
одоо хязгаарт ( энэ тэнцэтгэл бишийн хувьд) шилжвэл =Zn-a 0 болно.
Энэ нь Zn->0 –руу нийлэхийг баталж байна.

8. 3.2 Монотон дараалал
3.2 .Теорем : Монотон бөгөөд зааглагдсан дараалал нийлнэ.(Вейерштрасса -1)
Баталгаа : Үл буурах {Xn} –ийг авъя
Ұn утганд Xn≤Xn+1 ба Xn≤M , M=counst гэе. {Xn} дарааллын утгын олонлог нь дээрээсээ
зааглагдсан тоон олонлогыг үүсгэх учир уг олонлогын дээд торгон хил Sup{Xn}=C оршино.
Одоо Xn C –шалгая.
Ұε>0 авахад дээд торгон хилийн чанар ѐсоор С-ε<Xnε
нөхцлийг хангах гишүүн {Xn} дарааллаас олдоно.
Тэгвэл уг дарааллын монотон чанар ѐсоор Nε< Ұn утганд С-ε<Xnε<Xn≤C<C+ε биелнэ.Энэ
нь Xn=C болохыг батлана.
Үл өсөх дарааллын хувьд үүнтэй адил батлагдана.
Нийлдэг дараалал болгон Монотон байх албагүй.
Жишээ нь:{ аn= 1+ } дараалал n ->∞ үед 1-рүү нийлэх боловч энэ дараалал Монотон
биш.
Дэд дараалал
Өгөгдсөн {Xn} –дарааллын төгсгөлгүй олон гишүүдийг авч шинээр дэс тооны монотон өсөх
аливаа
n1 <n2<n3<n4.....<nk хувьд үүсэх {Xn} дарааллын гишүүдийн дараалал { Xn1 ,Xn2 ,Xn3
,…. Xnk,….} = {Xnk} нь Xn –дарааллын дэд дараалал юм.
Хэрэв Xn=а бол Xk=а болно.
Теором3.3: Ұ{Xn} –дарааллаас монотон дэд дарааллыг ялгаж болно.
Баталгаа: {Xn}-ийн гишүүдээс { Xn , … } монотон буурах дэд дараалал
байгуулагдана.Үүнтэй төстэйгөөр
{ Xn , …}
Теором3.4: Зааглагдсан тоон дарааллаас нийлдэг дэд дараалал ялган авч
болно.Өмнөх теорем ѐсоор өгөгдсөн дарааллын монотон бөгөөд зааглагдсан дэд
дарааллыг түүвэрлэн авч болно.
Энэхүү дэд дараалал нь 3.2 теором ѐсоор нийлнэ./Больцано-Вейерштрассын теорем
гэдэг./
Олонлогын хязгаарын цэг, зааглагдсан олонлогын хязгаарын цэг оршихуй
Х-олонлогын хувьд хэрвээ а-цэгийн Ұε орчинд Х-олонлогын ядаж нэг цэг а-аас
ялгаатай оршиж байвал а-цэгийг Х-олонлогын хязгаарын цэг гэнэ.
Хэрэв а-цэг Х-олонлогын хязгаарын цэг бол Х-олонлогоос а-руу нийлдэг {Xn} дараалал
түүж авч болно.
Жишээ нь: а-цэгийн = радиустай ( a+ , a+ ) орчинд Х-олонлогын Xn≠a цэг олдох
бөгөөд {Xn} ->a байна.

9. Дарааллын дээд доод хязгаарууд
Хэрэв {Xи} дарааллаас ямар нэг цэг а хязгаар руу нийлэх дэд дарааллыг түүн авч болдог
байвал а тоо нь {Xи} дарааллын дээд хязгаар гэнэ. Дэд хязгааруудын хамгийн их нь
дарааллын дээд хязгаар гэж нэрлэдэг.