Dokumen tersebut membahas tentang transformasi geometri, khususnya translasi dan rotasi. Pembahasan dimulai dari pengertian transformasi, translasi, dan rotasi beserta contoh-contoh soalnya. Kemudian dilanjutkan dengan penjelasan matriks translasi dan rotasi.

1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani,
para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan
eropa abad ke-18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan
pengulangan pola memberi dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang
tak berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah suatu fungsi
yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan suatu aturan tertentu.
Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika
titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara
aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks :
1
푇
푥
푦 =
1 0
0 −1
푥
푦 =
푥
−푦
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi
geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi
geometri meliputi translasi (pergeseran), rotasi(perputaran),
refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun, pada makalah ini
penulis mengkhususkan pada translasi (pergeseran) dan rotasi ( perputaran ).
Dimana Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah
bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana definisi dari sebuah translasi ?
2. Bagaimana peta translasi dalam bidang XY dan bagaimana penyelesaian
masalah translasi ?
3. Bagaimana bentuk matriks translasi ?
4. Bagaimana definisi rotasi ?
5. Apa saja macam dari rotasi ?
6. Bagaimana matriks dari sebuah rotasi ?

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani,
para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan
eropa abad ke-18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan
pengulangan pola memberi dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang
tak berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah suatu fungsi
yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan suatu aturan tertentu.
Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika
titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara
aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks :
2
푇
푥
푦 =
1 0
0 −1
푥
푦 =
푥
−푦
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi
geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi
geometri meliputi translasi (pergeseran), rotasi(perputaran),
refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun, pada makalah ini
penulis mengkhususkan pada translasi (pergeseran) dan rotasi ( perputaran ).
Dimana Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah
bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana definisi dari sebuah translasi ?
2. Bagaimana peta translasi dalam bidang XY dan bagaimana penyelesaian
masalah translasi ?
3. Bagaimana bentuk matriks translasi ?
4. Bagaimana definisi rotasi ?
5. Apa saja macam dari rotasi ?
6. Bagaimana matriks dari sebuah rotasi ?

3. C. Tujuan
1. Mengetahui definisi dari sebuah translasi
2. Mengetahui pemetaan translasi dalam bidang XY dan mengetahui
3
pemecahan masalah translasi
3. Mengetahui matriks dari sebuah translasi
4. Mengehetahui definisi dari sebuah rotasi
5. Mengetahui macam-macam rotasi
6. Mengetahui matriks dari sebuah rotasi

4. BAB II
PEMBAHASAN

y
'
4
A. TRANSLASI (PERGESERAN)
1. Pengertian Translasi
Translasi adalah transformasi (atau perubahan) setiap titik dengan jarak
dan arah yang tetap.
Gambar:
C D C l Dl
A B Al Dl
Dalam vector, translasi atau pergeseran adalah penambahan setiap titik (x,
y) dengan vector tertentu (a, b) sehingga menghasilkan (x + a, y + b).
Penentuan benda, translasi, dan bayangan suatu titik dapat dilihat sebagai
berikut:
Benda Translasi Peta / Bayangan


b
(i) (x, y) 

 

a
(x’, y’) = (x + a, y + b)


b
(ii) (x, y) 

 

a
=









x
x
y
'
(x’, y’)


b
(iii) (x, y) = (x’ – a, y’ –b) 

 

a
(x’, y’)

5. 5
 Contoh:

 
5
1. Tentukan hasil translasi segitiga ABC oleh translasi  



2
, apabila A (-1,
2), B (2, 1), dan C (0, 3).
Penyelesaian:
Benda Bayangan / Peta
A (-1, 2) Translasi A’ (-1 -2, 2 + 5) = A’ (-3, 7)

 
5
B (2, 1)  

 

2
B’ (2 – 2, 1 + 5) = B’ (0, 6)
C (0, 3) C’ (0 – 2, 3 + 5) = C’ (-2, 8)
2. Diketahui R(4, 6), S(6, 4), dan T(-3, 3). Tentukan bayangan titik T(-3, 3)
oleh translasi

RS .
Penyelesaian:
Berdasarkan pengertian vector posisi, diperoleh:

RS =
 
r s

 

2


 


  


  

 



 


 
2
4
6
6
4
RS
Bayangan T(-3, 3) oleh translasi

RS adalah T(-3 + 2, 3 – 2) = T’(-1, 1)
3. Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T =
adalah….

 
3
1
Karena translasi T = maka
 

 

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

 

 
3
 

1

6. 
b

 3
6
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25


b
4. Bila titik (2, 3) ditranslasikan oleh 



a
menghasilkan (3, 7), tentukan hasil
translasi dari titik (-3, 2).
Penyelesaian:


b
Mula – mula kita harus mencari komponen translasi 



a
:

 


  

 



  

 



  

 



 

1
4
2
3
3
7
a
b

 


  

 



 


1
4
a
b


4
Hasil translasi titik (-3, 2) oleh  

 

1
adalah (-3 + 1, 2 + 4) = (-2, 6)
5. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8). Bayangan kurva y = x2
+ 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….
Misalkan translasi tersebut T =

Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T =
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3
a = 6 dan b = -3 sehingga
 

 

a

 

 

6




b
 

a

7. 7
translasi tersebut adalah T =
Karena T =


 3
Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

 
3
6. Tentukan bayangan garis x + 2y = 4 oleh translasi  



2
.
Penyelesaian:
Dalam menjawab soal ini kita dapat menerapkan dua cara sebagai berikut:
Cara Pertama:
Karena bendanya berupa garis lurus x + 2y = 4, kita dapat mengambil dua titik
sembarang pada garis, yaitu A(0, -2) dan B(4, 0).
Kedua titik ini kita cari bayangannya, yaitu:
A’(0 – 2, 2 + 3) = A’(-2, 5) dan B’(4 – 2, 0 + 3) = B’(2, 3).
Dari kedua titik bayangan itu, A’(-2, 5) dan B’(2, 3), kita bentuk garis lurus
yang merupakan bayangan yang ditanya.

x
y y x
1

x x
1

y y
2 1
2 1



 

 

6

8. 8

2

y  x
2 2
5
3 5




x y
5 

4
2
2

 2y – 10 = - x – 2
 X + 2y – 8 = 0
Jadi, bayangannya adalah x + 2y – 8 = 0.
Cara kedua:
Dalam cara ini kita menggunakan formula:




a
a
(x’, y’) = (x, y) +  

 

 

 

b
dengan
b
= translasi.
atau


b
(x, y) = (x’, y’) -   

 

a
(x, y) = (x’ + 2, y’ – 3)
Hal ini berarti, terjadi proses subtitusi x = x’ + 2 dan y = y’ – 3 ke garis x + 2y
= 4, diperoleh:
X’ + 2 + 2y’ – 6 = 4
X’ + 2y’ – 8 = 0
Jadi, bayangan adalah x + 2y – 8 = 0.
2. Komposisi Dua Translasi Berurutan
R(x3,y3)
  
PR  PQQR
P(x1,y1) Q(x2,y2)
0

QR

9.  Komposisi dua translasi berurutan dapat dilakukan dengan cara:
(i) Menyusun ruas-ruas garis yang mewakili translasi – translasi itu, seperti
c
a
    

 2

6
9
terlihat pada gambar diatas.
(ii) Menjumlahkan komponen – komponen pasangan bilangan yang
menunjukkan translasi itu.
Misalnya:






a 
c


   


 








b d
makaPR PQ QR
d
danQR
b
PQ
(3, 6)

T T 1 2
(-1, 2) T2
T1
0 (5, 0)

 Jika T1 menyatakan translasi 



6
dalam bentuk komponen, maka
bayangan titik (-1, 2), karena translasi T1 adalah:
T1(-1, 2) = (-1 + 6, 2 + -2 ) = (5,0)

 Jika T2 menyatakan translasi 

2
dalam bentuk komponen, maka
bayangan titik (5, 0), karena translasi T2 adalah:
T2(5, 0) = (5 – 2, 0 + 6) = (3,6)
Uraian diatas menunjukkan bahwa translasi T1 dilanjutkan oleh translasi T2
pada pemetaan titik (-1, 2) ke titik (3, 6) (lihat gambar diatas).

10. Pengerjaan komposisi dua translasi “T1 dilanjutkan dengan T2” sering ditulis
 ” (dibaca: T2 noktah T1).

T T maka
 sebagai pergeseran tunggal, kemudian tentukan
10
sebagai “ T T 1 2
,
4
4
2

 
6
6
2
2 1



 







 
 1,2  1 4,2 4 3,6
2 1
     

T T
Terlihat bahwa komposisi dua translasi memberikan hasil yang sama dengan
melakukan kedua translasi itu satu demi satu.
Catatan:   T T 1 2
 (a, b) berarti T2[ T1(a, b) ], sering digunakan dalam
pembuktian.
 Contoh:

3

1

 

1. Diketahui pergeseran T1 = 






2
0
2 danT .
a) Tentukan T1(-3, 1) dan T2(T1(-3,1)).
b) Nyatakan T T 2 1
  T T 2 1
 (-3,1).
Penyelesaian:
a) T1(-3, 1) = (-3 + 3, 1 + 0 ) = (0,1)
T2(T1(-3, 1) = T2(0, 1) = (0 + 1, 1 + 2) = (1, 3)
b)   T T 2 1




 1
3



 
4
 = 









2
2
0
T T  2 1
 (-3, 1) = (-3 + 4, 1 + 2) = ( 1, 3 ).
B. ROTASI
Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat
tertentu atau memutar objek terhadap titik tertentu di bidang xy. Bentuk dan

11. ukuran objek tidak berubah. Untuk melakukan rotasi perlu diketahui sudut
rotasi titik rotasi dimana objek dirotasi.
Arah Rotasi
Nilai positif dari sudut rotasi menentukan arah rotasi berlawanan dengan
jarum jam
dan sebaliknya nilai negative akan memutar objek searah jarum jam
11
☼ Pusat O(0,0)
Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan
sudut : sudut 
      x’ = x cos - y sin dan
y’ = x sin + y cos 
      

☼Pusat A(a,b)
Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan sudut :
x’ – a = (x – a) cos - (y – b) sin dan y’ – b = (x – a) sin + (y – b) cos 
Contoh :
1. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal
koordinat dengan sudut putaran +90o, adalah….
Penyelesaian :
R+o 90
berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke: x + y = 6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6

12. 2. Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal
koordinat dengan sudut putaran -90o , adalah….
Penyelesaian :
R-90


12
o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
R-90
0 1




x
'
o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

x
3. Persamaan bayangan parabolay = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada
pangkal koordinat dengan sudut putaran +180o, adalah….
Penyelesaian :
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x - 1
 

 

 



  

 

y
y
1 0
'

13. BAB III
PENUTUP

y


b
13
A. Kesimpulan
1. Translasi adalah transformasi (atau perubahan) setiap titik dengan
jarak dan arah yang tetap.
2. Berikut ilustrasi penggambaran translasi dalam bidang XY :
C D C’ D’
A B A’ B’
3. Matriks Translasi dapat ditulis sebagai berikut :
Benda Translasi Peta / Bayangan


b
(i) (x, y)  

 

a
(x’, y’) = (x + a, y + b)


b
(ii) (x, y)  

 

a
=









x
x
y
'
'
(x’, y’)
(iii) (x, y) = (x’ – a, y’ –b) 

 

a
(x’, y’)
4. Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik
pusat tertentu atau memutar objek terhadap titik tertentu di bidang xy.
5. Macam-macam rotasi beserta matriksnya :
a. Pusat O(0,0) Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan sudut sudut 
 x’ = x cos - y sin dan
y’ = x sin + y cos 
b. Pusat A(a,b) Rotasi Titik P(x,y) diputar dengan sudut :
x’ – a = (x – a) cos - (y – b) sin dan y’ – b = (x – a) sin + (y –
b) cos 

14. DAFTAR PUSTAKA
Djojodihardjo Harijono. 2000. Geometri Transformasi. Jakarta: Gramedia.
Munir Rinaldi. 2008. Geometri Transformasi. Bandung: Informatika
14