CONSULTA

1. ANÁLISIS DE LA DEFLEXIÓN DE VIGAS DE TRES TIPOS DE MADERA: PASHACO, HIGUERILLA
NEGRA Y EUCALIPTO MEDIANTE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

2. INTRODUCCIÓN

3. En el ámbito de la ingeniería estructural, el análisis de la deflexión en vigas desempeña un papel crucial en la evaluación
y diseño de estructuras. En este contexto, el presente trabajo de investigación se centra en el análisis comparativo de la
deflexión en vigas construidas con tres tipos distintos de madera: Pashaco, Higuerilla Negra y Eucalipto. La elección de estos
materiales se debe a su prevalencia en la construcción y a sus propiedades mecánicas única
En el desarrollo de esta investigación, exploramos las propiedades mecánicas específicas de cada tipo de madera,
identificamos los parámetros relevantes para la modelación matemática y, finalmente, aplicaremos las herramientas
matemáticas mencionadas para obtener soluciones analíticas que describen la deflexión de las vigas en función de las variables
pertinentes.
El objetivo primordial de esta investigación es caracterizar la curva de deflexión en vigas de los mencionados tipos de
madera mediante el uso de ecuaciones diferenciales de segundo orden y la transformada de Laplace. Este enfoque nos
permitirá comprender con mayor profundidad el comportamiento estructural de las vigas en estudio, proporcionando información
valiosa para el diseño y la optimización de estructuras de madera en diversas aplicaciones

4. PLANTEAMIENTO
DEL PROBLEMA
En nuestra investigación, nos enfocamos en la búsqueda y
comprensión de la curva de deflexión de una viga de madera,
abordando el desafío mediante un análisis detallado de cómo la viga
experimenta deformaciones bajo la influencia de cargas aplicadas. Est
estudio se llevará a cabo con la ayuda de ecuaciones diferenciales, co
el propósito no sólo de cuantificar la cantidad de deflexión de manera
numérica, sino también de comprender la forma y el comportamiento d
la curva de deflexión a medida que la carga aumenta. El objetivo
principal de nuestra investigación radica en obtener una comprensión
profunda de cómo la madera se deforma en respuesta a cargas, lo
cual, facilita a ingenieros y diseñadores la capacidad de anticipar y
gestionar de manera más efectiva las deformaciones en estructuras de
madera en diversas aplicaciones constructivas.
La madera es un material estructural ampliamente utilizado en
la construcción destacándose por su renovabilidad, ligereza y
propiedades mecánicas favorables, como su resistencia a la
compresión y tracción. La madera es apreciada por su
flexibilidad y adaptabilidad en diversos diseños estructurales.
No obstante, presenta limitaciones en términos de resistencia
comparativa con otros materiales más densos y puede sufrir
deformaciones bajo cargas sostenidas. Por eso mismo es
importante comprender la deformación o pandeo que sufre el
material ante grandes cargas, en nuestra investigación nos
centraremos en un elemento estructural muy importante como
es la viga, la cual sostiene el techo o pisos posteriores, y que si
sufriera una deformación importante esta fallaria junto con toda
la estructura.

5. FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA

6. PROBLEMA GENERAL
¿Cuál es la curva elástica o curva de deflexión de la
viga de madera cuando se somete a esfuerzos de
flexión?

7. PROBLEMAS ESPECÍFICOS
- ¿Cuál es la curva elástica o curva de deflexión de la viga de madera blanca (Pashaco Bacurubú)
con sección cuadrangular cuando se somete a esfuerzos de flexión?
- ¿Cuál es la curva elástica o curva de deflexión de la viga de madera roja (Higuerilla Negra) con
sección cuadrangular cuando se somete a esfuerzos de flexión?
- ¿Cuál es la curva elástica o curva de deflexión de la viga de madera de eucalipto de sección
circular cuando se somete a esfuerzos de flexión?

8. OBJETIVOS.

9. OBJETIVO GENERAL
Hallar la curva de deflexión de la viga madera cuando
se somete a esfuerzos de flexión

10. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Hallar la curva de deflexión de la viga madera blanca con sección cuadrangular cuando se somete
a esfuerzos de flexión
- Hallar la curva de deflexión de la viga madera roja con sección cuadrangular cuando se somete a
esfuerzos de flexión
- Hallar la curva de deflexión de la viga madera de eucalipto con sección circular cuando se somete
a esfuerzos de flexión

11. VARIABLES.

13. MARCO TEÓRICO

14. ANTECEDENTES
(Aróstegui & Acevedo M., 2011), en su investigación
publicada por la revista forestal del Perú ha tenido como
objetivo principal de este estudio es determinar los
valores promedio de las propiedades físico-mecánicas
de la madera de 20 especies procedentes de Jenaro
Herrera, Loreto, y analizar los resultados para identificar
posibles aplicaciones. Esta investigación se llevó a cabo
en el laboratorio de Tecnología de la Madera del
Departamento de Industrias Forestales de la
Universidad Nacional Agraria "La Molina" como parte del
proyecto "Propiedades físico-mecánicas de las maderas
del Perú" (código FI-T-1-1969), en colaboración con el
Gobierno Suizo dentro del proyecto Jenaro Herrera.
También forma parte del "Estudio de Comercialización
de Productos Forestales".
En el ámbito internacional podemos destacar la investigación de Ana
Marquez y demás colaboradores donde exploran la aplicación de
ecuaciones diferenciales en la resolución de problemas relacionados
con la deflexión de vigas. Se aborda específicamente el análisis de la
deflexión y la curva elástica, también conocida como curva de
deflexión, en el contexto de la construcción de un estadio de fútbol. El
estadio presenta una estructura principal compuesta principalmente por
una viga en voladizo con una carga distribuida a lo largo de su
extensión. En el desarrollo de este trabajo, se emplea una ecuación
diferencial lineal de cuarto orden para describir la deflexión. La solución
de esta ecuación implica la aplicación del método del anulador para
ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes o coeficientes
indeterminados. Este método se basa en encontrar la solución general
de la ecuación lineal y aplicar las condiciones de frontera específicas
presentes en la viga.

15. BASES TEÓRICAS
TABLA COMPARATIVA DEL TIPO DE MADERA
MADERA BLANCA MADERA ROJA
Las maderas blancas abarcan diversas especies
que comparten características distintivas, como su
tonalidad clara y grano suave. Ejemplos comunes
incluyen el pino blanco y el abeto. Estas maderas
son apreciadas por su aspecto luminoso y
versatilidad en aplicaciones de carpintería y
construcción. Su ligereza facilita su manipulación, y
su maleabilidad permite una variedad de acabados
y tratamientos. Aunque las maderas blancas
pueden carecer de la densidad de algunas
maderas duras, su accesibilidad, costo a menudo
más bajo y capacidad para aceptar tintes y
selladores las convierten en elecciones populares
para muebles, revestimientos y construcciones de
interiores. Su uso se extiende a una variedad de
estilos arquitectónicos y proyectos, brindando una
opción atractiva y funcional en numerosas
aplicaciones.
Las maderas rojas engloban varias especies
arbóreas caracterizadas por su tonalidad rojiza y
propiedades excepcionales en la industria de la
carpintería y la construcción. Estas maderas, que
incluyen variedades como el cedro rojo y la caoba,
son apreciadas por su atractiva coloración, grano
distintivo y durabilidad. Además de su aspecto
estético, muchas maderas rojas exhiben una
resistencia natural a la descomposición y a los
insectos, lo que las hace ideales para aplicaciones
exteriores. Su versatilidad les permite ser utilizadas
en la fabricación de muebles finos, revestimientos,
suelos y elementos estructurales. La demanda de
maderas rojas se sustenta en su combinación única
de belleza y rendimiento, convirtiéndose en
elecciones populares para proyectos de diseño y
construcción de alta calidad.

16. TABLA COMPARATIVA DE LOS ÁRBOLES
ÁRBOL DE HIGUERILLA NEGRA ÁRBOL DE PASHACO ÁRBOL DE EUCALIPTO
De tronco cilíndrico que alcanza hasta 35
metros de altura total y 80 centímetros de
diámetro a la altura del pecho. Presenta
ramificación desde el segundo tercio y en
la base aletones poco desarrollados de
hasta 80 centímetros de alto. La corteza
externa es de color marrón rojizo,
agrietado con separaciones de 1 a 3
centímetros entre sí, se desprende en
placas más o menos rectangulares. La
corteza interna está compuesta de dos
capas, una externa compacta blanquecina
y otra interna laminar, de color pardo
blanquecino, de unos 3 milímetros de
espesor. Al corte con el machete exuda
látex blanco, abundante y ligeramente
amargo. (Rincón La Torre & Sibille Martina,
2020)
Llamado también "pashaco", el Myroxylon
balsamum es un árbol nativo de América del Sur,
incluido Perú. Su madera, conocida por su
resistencia y durabilidad, ha sido tradicionalmente
utilizada en la construcción en Perú. Su tronco
alcanza de 30 m de altura; tronco cilíndrico de 100
cm de diámetro; sin aletones. Copa aparasolada
sobre la mitad de la altura total. La corteza
superficial del tronco es agrietada, la corteza
muerta se exfolia de modo similar al de la Swietenia
macrophylla, en pedazos leñosos alargados de 3 a
4 mm de espesor. Corteza viva con dos capas la
externa de 8 mm, rosada, laminar ; y otra interna de
2 mm, de color pardo marillento, compuesta de
laminillas. (INIA, 2023)
El eucalipto, árbol originario de Australia, ha
encontrado aplicación en la construcción en Perú
debido a sus propiedades de crecimiento rápido
y madera versátil. Ampliamente cultivado en
diversas regiones del país, el eucalipto es
conocido por su madera dura y resistente, que
se utiliza comúnmente en la construcción de
estructuras ligeras, como marcos de casas,
postes y cercas. La madera de eucalipto es
apreciada por su durabilidad y facilidad de
procesamiento, así como por su resistencia a las
plagas. Los eucaliptos son árboles que varían en
altura desde especies pequeñas de unos pocos
metros hasta gigantes que pueden superar los
90 metros. La altura depende de la especie y las
condiciones de crecimiento. (Maderame, 2022)

17. TABLA COMPARATIVA DE LAS VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS MADERAS
MADERA VENTAJAS DESVENTAJAS PROPIEDADES MECÁNICAS
MADERA
PASHACO
(MADERA
BLANCA)
Buena trabajabilidad: Es
relativamente fácil de trabajar, lo
que permite el uso de
herramientas comunes.
Baja densidad: Tiene una
densidad básica de 0.45 gr/cm3, lo
que facilita su manejo y transporte.
Aislante térmico: Es un buen
aislante térmico, lo que puede ser
beneficioso en términos de
eficiencia energética.
Susceptibilidad al ataque biológico:
Tiene una durabilidad natural baja, lo que la
hace susceptible al ataque biológico de
insectos y hongos.
Ondulación: Puede ondularse en chapas y
triplay.
Comercio internacional: No tiene comercio
internacional.
Módulo de elasticidad en flexión: 86 000
kg/cm2
Módulo de rotura en flexión: 1,102.00 kg/cm2
Compresión paralela (RM): 574.00 kg/cm2
Compresión perpendicular: (ELP): 127.00
kg/cm2
Corte paralelo a las fibras: 135.00 kg/cm2
Dureza en los lados: 1,052.00 kg/cm2
Tenacidad (resistencia al choque): 5.90 kg-m
MADERA DE
HIGUERILLA
NEGRA
(MADERA
ROJA)
Ligera: Tiene una densidad básica
de 0.40 gr/cm3, lo que facilita su
manejo y transporte.
Estética: Tiene un color albura
blanca y duramen rojo, que puede
dar un aspecto atractivo a los
espacios construidos.
Trabajabilidad: Es relativamente
fácil de trabajar por su contenido
de látex, lo que permite el uso de
herramientas comunes.
Durabilidad: Tiene una durabilidad natural
baja, lo que la hace susceptible al ataque
biológico de insectos y hongos.
Mantenimiento: Requiere un cuidado y
mantenimiento regular para protegerla de
los elementos y prevenir la descomposición.
Resistencia al fuego: Es menos resistente
al fuego que algunos materiales sintéticos,
lo que puede ser un riesgo en términos de
seguridad.
Módulo de elasticidad en flexión: 94 000
kg/cm2
Módulo de rotura en flexión: 1,000 kg/cm2
Compresión paralela (RM): 400 kg/cm2
Compresión perpendicular (ELP): 60 kg/cm2
Corte paralelo a las fibras: 80 kg/cm2
Dureza en los lados: 1,000 kg/cm2
Tenacidad (resistencia al choque): 5.00 kg-m

18. MADERA DE
EUCALIPTO
Resistencia: Es una madera de
alta resistencia mecánica, lo que
la hace apta para la construcción
de estructuras y mobiliario.
Durabilidad: Es una madera
duradera y resistente al ataque de
insectos y hongos.
Estabilidad: Es una madera
estable y poco propensa a la
deformación.
Dificultad de secado: Es una madera
difícil de secar, lo que puede generar
deformaciones y fisuras.
Dificultad de trabajabilidad: Es una
madera difícil de trabajar debido a su
alta densidad y dureza.
Precio: Es una madera relativamente
costosa en comparación con otras
maderas.
Módulo de elasticidad en flexión: 165,000 kg/cm2
Módulo de rotura en flexión: 1 020-1224 kg/cm2
Compresión paralela (RM): 509.9-611.8 kg/cm2
Compresión perpendicular (ELP): 50.99-61.18
kg/cm2
Corte paralelo a las fibras: 102-122.4 kg/cm2
Dureza en los lados: 407.89-509.86 N
Tenacidad (resistencia al choque): 20-25 J
PESOS DE LAS MADERAS ENSAYADAS
MADERA PESO 1 kg PESO 2 kg PROM. kg
Madera pashaco 0.412 0.354 0.383
Madera higuerilla negra 0.612 0.613 0.6125
Madera de eucalipto 1.326 1.241 1.2835

19. DESARROLLO TEÓRICO
MEDIANTE LA DOBLE
INTEGRAL DE LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL

20. Reemplazando M(x) en el modelo matemático
obtenido para el análisis de la deflexión de la viga.

21. DESARROLLO TEÓRICO
MEDIANTE TRANSFORMADAS
DE LAPLACE DE LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL.

23. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL APLICADO A LAS
CONDICIONES INICIALES DE LA
DEFLEXIÓN DE VIGA EN MADERA.

24. Desarrollo de la E.D.
en la viga de madera
pashaco (madera
blanca)

25. Desarrollo de la E.D. medianamente transformadas de laplace

27. Desarrollo de la E.D.
en la viga de madera
higuerilla negra
(madera roja)

28. Desarrollo de la E.D. medianamente transformadas de laplace

30. Desarrollo de la E.D.
en la viga de madera
de eucalipto

31. Desarrollo de la E.D. medianamente transformadas de laplace

33. PROCESO
EXPERIMENTAL
MATERIALES:
● Madera pashaco (madera blanca)
● Madera higuerilla negra (madera roja)
● Madera de eucalipto
● Regla
● Lapicero
● Máquina universal para realizar el ensayo
PROCESO
El proceso experimental se realizó en el
laboratorio de estructuras dentro de la facultad de
ingeniería civil y arquitectura.
Durante el proceso de realización nos
percatamos de que la máquina va aplicando una
fuerza creciente en la parte central a lo largo de
la viga de madera.

34. LIMITACIONES
1. Durante en ensayo experimental que tuvimos nos percatamos que
influyen muchas variables para la comprobación y exactitud respecto al
modelo matemático, es por ello que nos dimos cuenta del porque el
resultado matemático no se acerca al valor arrojado por el ensayo:
2. Empezaremos limitando las propiedades de la madera, por ejemplo
sabemos que el módulo de elasticidad de cada cuerpo es diferente
respecto a otra, como existen variedades de madera y con diferentes
propiedades el módulo de elasticidad cambia. Por consiguiente
usaremos los módulos mencionados en el cuadro de propiedades.
3. Mencionar también que durante en el sayo se aplicó una fuerza puntual
en la parte central a lo largo de la madera, lo cual creemos que para
una deflexión de vigas tendría que aplicarse una carga distribuida a lo
largo de la misma. Por ende la distancia arrojada de la máquina
universal será mucho mayor a la deflexión resultante del modelo
matemático.

35. RESULTADOS
DE LA
MÁQUINA
UNIVERSAL

37. Empezar mencionando que la
fuerza aplicada a la mitad del largo
de la madera pashaco fue
progresiva a razón de 0.2 mm/s,
siendo la máxima fuerza aplicada
4.08 kN o 4080 N, producto de
este acontecimiento la madera
blanca se quebró luego de 3600 s
equivalente a 1h, con un
desplazamiento de 18 mm.

39. Respeto con la madera higuerilla
negra, mencionando que la fuerza
aplicada a la mitad del largo de la
madera fue progresiva a razón de
0.5 mm/s, siendo la máxima fuerza
aplicada 11.68 kN o 11680 N,
producto de este acontecimiento
la madera roja se quebró a luego
de 900 s equivalente a 15 min, con
un desplazamiento de 15 mm .

41. Respecto con la madera de
eucalipto, mencionar que la fuerza
aplicada a la mitad del largo de la
madera fue progresiva a razón de
1 mm/s, siendo la máxima fuerza
aplicada 17.53 kN o 17530 N,
producto de este acontecimiento
la madera roja se quebró en el
rango de 1750 s a 2100 s con un
aproximado de 1925 s equivalente
a 32 min, con un desplazamiento
de 34 mm

42. ALGORITMO
MATEMÁTICO
#DIAGRAMA DE
FLUJO

43. CÓDIGO EN MATLAB

44. Respondiendo el programa de la siguiente
manera, nos podemos dar cuenta que el
resultado de la flecha es 2.5 mm la cual se
asemeja mucho a nuestro resultado manual.

45. CONCLUSIONES
Respondiendo a los objetivos diremos que la curva de deflexión de
la viga vendría a ser de la siguiente manera:

49. RECOMENDACIONES

50. 1) Estudio de otros materiales de construcción: Se sugiere centrarse en
materiales convencionales en ingeniería estructural, como el acero o el concreto,
y explorar materiales avanzados como la fibra de carbono al examinar la deflexión
en vigas. Es crucial examinar las características mecánicas distintivas de estos
materiales, como la elasticidad del acero, la rigidez del concreto y las propiedades
no lineales de los compuestos. Asimismo, se puede investigar cómo la disposición
de las fibras en materiales compuestos y la posible deformación plástica influyen
en la respuesta de la viga ante cargas aplicadas. La combinación de análisis
teóricos, simulaciones estructurales y pruebas experimentales contribuirá a una
comprensión holística de la deflexión en vigas fabricadas con estos materiales
alternativos.

51. 2) Análisis de la influencia del momento de inercia de la sección de la viga: Se sugiere
prestar especial atención al diseño geométrico de la viga, centrándose en el momento de
inercia que representa la distribución de masa alrededor del eje neutro de la sección
transversal. Este factor desempeña un papel crucial en la resistencia estructural y en la
capacidad de la viga para resistir deformaciones. Se aconseja llevar a cabo análisis
detallados para comprender cómo las variaciones en el momento de inercia afectan la
respuesta de la viga frente a cargas externas. Asimismo, al elegir materiales y formas de
sección transversal, es importante considerar la optimización del momento de inercia, ya que
esto puede tener un impacto significativo en la capacidad de la viga para resistir la flexión y
reducir la deformación. La combinación de cálculos teóricos y simulaciones estructurales
permitirá obtener una comprensión más profunda de cómo el momento de inercia influye en
la reflexión de la viga, proporcionando una guía efectiva en el diseño estructural.

52. 3) Evaluación de la deflexión con ensayos especiales para el pandeo en vigas: se
recomienda enfocarse en ensayos que evalúen la capacidad de la estructura para
resistir cargas compresivas y detectar posibles modos de pandeo. Entre los ensayos
más pertinentes se encuentran las pruebas de compresión axial, que permiten evaluar
la estabilidad estructural bajo cargas verticales. Además, los ensayos de flexión lateral
también son valiosos, ya que pueden revelar la tendencia de la viga a pandear
lateralmente. Al combinar estos ensayos con análisis teóricos y simulaciones
computacionales, se puede obtener una comprensión más completa de cómo la viga
responde al pandeo. La integración de técnicas experimentales y métodos analíticos
contribuirá a identificar eficazmente las condiciones críticas de pandeo y a orientar el
diseño estructural para prevenir esta forma de inestabilidad.

53. ANEXO

56. DRIVE DONDE SE ENCUENTRA EL PPT, EL WORD Y EL EXCEL CON LOS RESULTADOS
DE LA SIMULACIÓN
https://drive.google.com/drive/folders/1W4t-LvH0UXPlmxjUMYgAtu3_FLKiLvTO?usp=drive_link