1. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Medidas de tendência central fornecem um
resumo parcial das informações de um conjunto
de dados. A necessidade de uma medida de
variação é aparente, para que nos permita, por
exemplo, comparar conjuntos diferentes de
valores. Algumas característica desta medida
devem ser atendidos como veremos a seguir.
2. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amostragem A: 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12
Média 10; Mediana 10 e Bimodal (8, 12)
Amostragem B: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15
Média 10; Mediana 10 e sem Moda
Amostragem C: 1, 2, 5, 10, 15, 18, 19
Média 10; Mediana 10 e sem Moda
As medidas de tendência central pouco ou nada informam a
respeito da dispersão dos dados
O conceito de medida de dispersão é relativamente difícil. O
quanto informativo é dizer que as três amostragens possuem
dispersão 4, 10 e 18 (Y7-Y1)?
3. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amostragem D: 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12
Média 10; Mediana 10 e Modal 10
Amostragem E: 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15
Média 10; Mediana 10 e sem Moda
Amostragem F:1, 5, 8, 10, 12, 15, 19
Média 9; Mediana 10 e sem Moda
Estes três conjuntos de dados também possuem dispersão
máxima igual a 4, 10 e 18, respectivamente. As amostras A, B
e C apresentam um maior número de observações mais
distantes da média, enquanto nas amostras D, E e F ocorre um
maior número de observações concentradas em torno da
média. Torna-se interessante que haja uma definição a qual
use todas as observações e que seja um pequeno valor quando
as observações se aproximam da média e grande quando estas
são espaçadas.
4. MEDIDAS DE DISPERSÃO
Por fim considere os dados destas duas
amostras:
Amostra A: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15
Amostra B: 105, 106, 108, 110, 112, 114, 115
A dispersão (Y7-Y1) é igual nas duas amostra
e, portanto, independe do tamanho dos
números.
5. MEDIDAS DE DISPERÇÃO
O critério geralmente utilizado é aquele que mede a concentração dos
dados em torno da média, e algumas medidas são as mais usadas: desvio
médio, variância, desvio padrão e Coeficiente de Variação.
Ex: 3, 4, 5, 6, 7 (média 5), os desvios xi-x, são: -2, -1, 0, 1 ,2.
1, 3, 5, 7, 9 (média 5), os desvios xi-x, são: -4, -2, 0, 2, 4.
É fácil observar que a soma dos desvios é igual a zero, o que torna
inviável esta medida. As opções são:
a)Considerar o total dos desvios em valor absoluto (módulo) ou,
b)Considerar o total dos quadrados dos desvios. Assim teríamos:
Para a amostra: 3, 4, 5, 6, 7
= 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6 (a)
2
= 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 (b)
xixn
i
i −∑=
5
1
( )xixn
i
i −∑=
5
1
6. DESVIO MÉDIO
O desvio médio (DM) refere-se à média dos desvio em valor
absoluto, como na fórmula a seguir, aplicada a amostra 3, 4, 5,
6, 7.
DM(x) = /n , usando o exemplo anterior DM(x) = 6/5 = 1,2
Para a amostra 1, 3, 5, 7, 9 teríamos:
DM(x) = /n , DM(x) = 12/5 = 2.4
Baseado nos dados, pode-se dizer que a primeira amostra é mais
homogênea.
xixn
i
i −∑=
5
1
xixn
i
−∑=
5
1
1
7. VARIÂNCIA
A medida que contempla os aspectos apresentados e que é mais utilizada é
a Variância. A variância é representada por dois símbolos: σ2
(letra grega
sigma) para população e s2
para uma amostra. As fórmulas para a
variância da população e da amostra são apresentadas abaixo.
População: σ2
= 2
/n
Amostra: s2
= 2
/n-1,
O denominador n-1 tem o propósito de tornar a variância da amostra a
estimativa da variância da população. N-1 é conhecido como grau de
liberdade e refere-se ao número de somas independentes lineares numa
soma de quadrados.
A variância é uma medida que expressa um desvio quadrático médio. A
unidade da variância é portanto o quadrado dos dados originais. Ex: para
dados expressos em centímetros a variância será expressa em centímetros
quadrados.
( )µ−∑=
k
i
i ixn
1
( )xixn
k
i
i −∑=1
8. VARIÂNCIA
Para as amostras 3, 4, 5, 6, 7 e
1, 3, 5, 7, 9
As variâncias seriam:
S1
2
= (3-5)2
+ (4-5)2
+(5-5)2
+ (6-5)2
+ (7-5)2
/4 S1
2
=2,5
S2
2
= (1-5)2
+(3-5)2
+(5-5)2
+(7-5)2
+(9-5)2
/4 S2
2
=10
A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea.
10. DESVIO PADRÃO
Sendo a variância uma medida que expressa um desvio quadrático médio, esta
pode causar alguns problemas de interpretação. Para evitar isto, costuma-se usar o
desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada positiva da variância. Desta
forma, tem-se uma medida de variabilidade expressa na mesma unidade dos
valores do conjunto de dados. O desvio padrão (σ, para população e s para
amostras) pode ser calculado através das seguintes fórmulas:
σ= e s =
O DESVIO PADRÃO DAS AMOSTRAS 3, 4, 5, 6, 7 e 1, 3, 5, 7, 9 seria:
S1= =1,58
S2= =3,16
( )
∑
−k i
n
xin
1
2
µ ( )
∑ −
−k i
n
xxin
1
2
1
5,2
10
11. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio
padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada
dispersão absoluta. Entretanto, uma variação ou dispersão de
10 cm, na medida de uma distância de 1.000 m, é
inteiramente diferente, quanto ao efeito, da mesma variação
em uma distância de 20 cm. A medida desse efeito é
proporcionada pela dispersão relativa, definida por:
Dispersão relativa = Dispersão absoluta/média
Se a dispersão absoluta é o desvio padrão s e a média é a
aritmética, a dispersão relativa é denominada Coeficiente de
Variação ou de Dispersão.
CV= −
x
s
100∗
12. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coeficiente de variação é geralmente expresso em
percentagem. O C.V. é independente das unidades
adotadas. Por essa razão, é vantajosa para a
comparação de distribuições cujas unidades podem
ser diferentes. Uma desvantagem do C.V. é que ele
deixa de ser útil quando a média esta próximo de
zero.
Baixa dispersão: CV ≤ 15%
Média dispersão: CV 15-30%
Alta dispersão: CV ≥ 30%
13. ERRO PADRÃO DA MÉDIA
(Sx)
Quando se obtém uma amostra aleatória de tamanho
n, estima-se a média populacional. É bastante
intuitivo supor que se uma nova amostra aleatória for
realizada a estimativa obtida será diferente daquela
primeira. Desta forma, reconhece-se que as médias
amostrais estão sujeitas à variação e formam
populações de médias amostrais, quando todas as
possíveis amostras são retiradas de uma população.
O erro padrão analisa a variabilidade de uma
média
14. Erro padrão
Fornece um mecanismo de medir a precisão com que a média
populacional foi estimada
n
S
Sx =
