Các bạn có tin được không, có đến 20 cách để chứng minh một BĐT Nesbit. Qua cách chứng minh, bạn có thể học được rất nhiều kĩ thuật quan trọng grin emoticon

1. 20 cách ch ng minh b t đ ng th c NesBit
Lo t bài này s gi i thi u 20 cách ch ng minh b t đ ng th c Nesbit n i ti ng. Trư c h t ta
phát bi u l i b t đ ng th c này: V i m i a, b, c l n hơn 0, ta luôn có
Xin nói ngoài l m t chút, trong bài này ta s d ng m t cách vi t công th c trong Blogspot
m i, cho m t k t qu t t hơn chưa xu t hi n đâu trên th gi i. Nó s ra m t b n đ c trong
m t ngày không xa.
Ta tr l i v i bài toán.
Cách 1:
C ng thêm 1+1+1 vào hai v c a b t đ ng th c , ta đư c:
Đây là b t đ ng th c quen thu c (nhân hai v v i 2 r i s d ng BĐT Cauchy 2 l n và nhân l i).
Cách 2: Đ t
Ta có
T đó
Cách 3: Không m t tính t ng quát, ta gi s : . Xét hàm s :

2. trên kho ng I=(0;1), ta có
Do đó là hàm l i trên , áp d ng b t đ ng th c Jensen thì
Cách 4:
Đ t
Ta s ch ng minh:
Th t v y,
Do đó
Ti p theo ta ch ra
Ta đ t
Bài toán tương đương v i
Nói cách khác
Đi u này là rõ ràng.
Cách 5:
Có th gi s

3. Lúc đó
luôn không âm vì a, b, c dương và .
Cách 6:
Dùng phương pháp SOS.
Vì a, b, c là các s dương nên b t đ ng th c cu i cùng hi n nhiên đúng.
Cách 7:
Không m t tính t ng quát ta gi s .
Khi đó
hay
Theo BDT hoán v thì
và
C ng v theo v ta có k t qu mong mu n
Cách 8:
Theo Cauchy-Schwarz ta có:
Ta còn có :
K t h p l i là xong .
Cách 9:
BDT ban đ u tương đương v i
hay :
Theo AM-GM:

4. C ng theo v 6 BDT tương t ta có k t qu mong mu n.
Cách 10:Không m t tính t ng quát gi s .
Ta có:
và các d ng "hoán v " c a nó. Áp dung BDT:
ta có đpcm .
Cách 11:
Trư c h t ta ch ng minh
That vay, ta có th vi t l i là:
luôn đúng. C ng v theo v là xong.
Cách 12:
Gi s . Khi đó:
Theo Chebyshev và AM-GM, ta có:
Ch ng minh xong.
Cách 13:
Ta có

5. Theo AM-GM ta có:
Cách 14:
Đ t
Lúc đó
BDT c n ch ng minh là
Ta ch ng minh b ng ph n ch ng, n u
thì theo 2 BDT quen thu c ta có
Mâu thu n!!!
Cách 15:
Theo AM-GM cho 2 s thì
hay
Hoàn toàn tương t , ta đư c

6. và
C ng v theo v ta có k t qu
Cách 16:
Ta có th gi s
V i x thu c kho ng (0;3) ta có (dành cho b n đ c)
L n lư t thay x b i a, b, c và c ng các BDT v a đ t đư c theo v ta có k t qu .
Cách 17:
Đ t
thì
BDT Nesbit tr thành
Rút g n ta có
Áp d ng AM-GM cho 6 s là xong.
Cách 18: (Áp d ng BDT Jensen cho hàm lõm)
Đ t
V i t dương, xét hàm s
D th y

7. Theo BDT Jensen
M t khác
do đó hàm f tăng ng t trên . Suy ra
Suy ra đi u ph i ch ng minh.
Cách 19: (Theo Hojoo Lee)
Theo AM-GM ta có các BDT
và
Suy ra
hay
Đi u này quá g n v i BDT Nesbit. Công vi c còn l i dành cho b n đ c.
Cách 20:
Ta có: Áp d ng BDT sau c a Vasile Cirtoaje (có th tìm th y ch ng minh trong cu n Sáng t o BDT
c a Ph m Kim Hùng).
Áp d ng BDT Schwarz cho 3 s