9 tu giac noi tiep htq

Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10 Thầy Hồng Trí Quang
1
Nội dung
Phần 1. Kiến thức bổ sung
1. Số đo cung – góc ở tâm – góc nội tiếp
2. Góc ở trong và ngoài đường tròn
3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Phần 2. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800
Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau
Dấu hiệu 3. Dấu hiệu tích.
Phần 3. Ứng dụng tứ giác nội tiếp
Ứng dụng hai hệ thức
Định lí P tô lê mê
Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Chứng minh ba đường đồng quy.
Tài liệu này của khóa học “Luyện thi học sinh giỏi, thi chuyên toán lớp 10” của thầy Hồng Trí
Quang
Facebook thảo luận https://www.facebook.com/chuyentoanlop9/?ref=bookmarks
SỐ ĐO CUNG – GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt (O) tại E. Chứng
minh:
1/ Tam giác BEC cân
2/ BEC ABC ACB 
3/ . .AB AC AE AF
4/ 2
. .AF AB AC BF CE 
Bài 2. Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi PQ là một dây thay đổi của
đường tròn (O) sao cho PQ = R. Vẽ hình bình hành PAQM.
a) Chứng minh rằng B là trực tâm tam giác MPQ

2
b) Tính theo R khoảng cách từ tâm O đến PQ
c) Khi dây PQ thay đổi thì điểm M di động trên đường nào?
Bài 3. Điểm M tùy ý trên đoạn AB cố định. Trên AM và MB dựng về một phía đối với AB
hai hình vuông. Các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai N.
a) Chứng minh rằng đường thẳng AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai
b) Tìm quỹ tích của điểm N khi điểm M di động trên AB
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng nối hai tâm hình vuông
Luyện tập Góc …
Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Lấy điểm D trên cung BC (không chứa A) của
đường tròn đó. Vẽ DH vuông góc với BC; DI vuông góc với CA và BK vuông góc với AB.
Chứng minh rằng:
BC AC AB
DH DI DK
 
Bài 5. Tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn (O) đường kính 4 2cm. Tiếp tuyến tại
C của đường tròn cắt tia phân giác góc B tại K. Tính độ dài BK biết BK cắt AC tại D và BD =
4cm.
Bài 6. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Gọi
M là trung điểm AC. Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B). Tia AK cắt đường tròn tại
D (khác K). Chứng minh rằng BD song song với AC
Bài 7. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, r) tiếp xúc trong tại A (R > r). Dây BC của đường tròn
(O;R) tiếp xúc với (O’; r) tại M. Chứng minh rằng AM là tia phân giác góc BAC
Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại I, AB là tiếp tuyến chung. Kẻ đường
kính AOD, từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’). Chứng minh tam giác DAE cân.
Bài 9. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với
đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
IC MC
ID MD

Bài 10.*Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di
chuyển trên (O), (O’) sao cho chiều đi từ A đến M và từ A đến N trên các đường tròn theo chiều
kim đồng hồ và sđ AM = sđ AN . Chứng minh rằng đường trung trực MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 11.*Cho hai đường tròn (O; R) và (O’, R’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến với (O) tại
A cắt (O’) tại C. Tiếp tuyến với (O’) tại A cắt (O) tại D. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng
AB và CD. Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng:

3
1/
2
2
'MC R
MD R
 2/ CAM DAN
Bài 12.*Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB.
Đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B cắt đường tròn (O) tại C. Chứng minh rằng AC đi
qua trung điểm MB.
Bài 13.*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), A là điểm cố định; B và C thay đổi. Kẻ
đường cao BH và CK. Chứng minh rằng HK luôn song song với một đường thẳng cố định.
Bài 14. *Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA, MB, gọi
D là điểm trên cung lớn AB , đường thẳng AD cắt MB kéo dài tại E sao cho D là trung điểm của
AE. Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng BI song song với AD.
GÓC TRONG VÀ GÓC NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
Chú ý: Hai dây cung song song tạo ra hai cung có số đo bằng nhau.
Bài 15. Cho đường tròn (O; R) với ba dây liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ hơn R.
Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt nhau tại K.
1/ BIC BKD 2/ IBC KBD  ; CBD IBK 
Bài 16.Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân
giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E sao cho AD = AE. Tính
2 2
AB AC theo R.
Bài 17. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác. Vẽ đường tròn tâm (O) đi qua A và D
đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh
rằng:
a) EF song song với BC
b) AED ADC  và AFD ADB 
c) 2
. .AE AC AF AB AD 
Bài 18. Cho đường tròn (O; R) với ba dây cung liên tiếp AB, BC, CD bằng nhau và cùng nhỏ
hơn R. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt
nhau tại K. Chứng minh rằng
a) BIC BKD
b) IBC KBD 
c) CBD IBK 

4
Bài 19.Từ điểm E ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai cát tuyến EAB, EDC sao cho AB < CD.
Tia DA và CB cắt nhau tại F. Tia phân giác của hai góc CEB và CFD cắt nhau tại I. Chứng minh
rằng EI FI
PP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ỨNG DỤNG
Dấu hiệu 1 Chỉ ra hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cung một góc bằng nhau (ví dụ D DCA CB )
Dấu hiệu 2: Chỉ ra tổng hai góc đối nhau bằng 1800
.
Dấu hiệu 3: Mở rộng
Nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M thỏa mãn MA.MB = MC.MD thì ABCD nội tiếp
Nếu AC cắt BD tại N thỏa mãn NA.NC = NB.ND thì ABCD nội tiếp.
Chú ý.
1. Điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Nếu qua M kẻ tiếp tuyến MN và hai cát tuyến MAB,
MCD thì 2
. .MAMB MC MD MN 
2. Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một đường tròn,
+) Ta chứng minh 2 tứ giác bất kì (ví dụ ABCD, ABCE) nội tiếp.
+) Ta chứng minh 5 điểm cách đều một điểm cho trước
Dấu hiệu 1. Tổng hai góc đối bằng 1800
Bài 20. Từ 1 điểm M ở ngoài (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB
lấy 1 điểm C. Vẽ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB. Gọi I là
giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng
a) Tứ giác ICKD nội tiếp
b) IK vuông góc với CD
c) CD2
= CE.CF (góc tiếp tuyến và dây cung – hai tam giác đồng dạng)
Bài 21.Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên một nửa đường tròn đường kính AB lấy
điểm C, D sao cho AC AD (D khác B). Trên nửa đường tròn còn lại lấy điểm E (khác A và
B). CE cắt AD tại I. Đường thẳng IO cắt BE tại K.
a) Gọi F là điểm đối xứng của D qua IK, chứng minh tứ giác IFEK nội tiếp
b) Chứng minh tam giác CDK vuông.
Tự luyện

5
Bài 22.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là
giao điểm của BC và DE. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Gọi P (khác O) là giao điểm của các
đường tròn ngoại tiếp các tam giác OBE và OCD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác HEPD nội tiếp
b) Tứ giác MEPC nội tiếp
c) Chứng minh MP AO
Dấu hiệu 2. Hai góc cùng nhìn một cung
Bài 23.Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường thẳng d cắt (O) và (O’) lần
lượt tại C và D. Hai tia CO và DO’ cắt nhau ở E. Chứng minh rằng C, A, D, E cùng thuộc một
đường tròn.
Bài 24.Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Các đường trung trực của các đoạn
thẳng BM, CM lần lượt cắt AB, AC tại D, E.
a) Gọi S là điểm đối xứng của M qua DE, SM cắt AH tại K, chứng minh tứ giác SAKB nội tiếp
b) Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với DE luôn đi qua điểm cố định.
Tự luyện
Bài 25.Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có 2AB < BC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD =
AB. Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB ở E. Tia phân giác góc ABC cắt DE ở F.
a) Gọi N là giao điểm của AF và đường tròn (O. Đường thẳng qua D song song với AB cắt AF ở
M. Chứng minh tứ giác DNMC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng đường thẳng AF đi qua trung điểm I của BD.
Bài 26.Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm
M, vẽ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OM với BC và
BD.
a) Kẻ tiếp tuyến MN, chứng minh tứ giác MCNE nội tiếp.
b) Chứng minh rằng OE = OF.
Bài 27.*Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ax, trên nửa
mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ay sao cho 0
90yAC xAB  . Vẽ BD Ax tại D,
CE Ay tại E. Vẽ AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh
rằng M, H, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng.

6
Bài 28.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường
thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của
AD và BC.
a) Gọi N là trung điểm của OA, chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp
b) Chứng minh rằng 3
BC AE
AD BE

Bài 29.*Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia
đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần
lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng.
a) Gọi E là giao điểm của AC và PB, F là giao điểm của AB và PC. Qua P kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC, AB lần lượt tại E’, F’. Gọi I là giao điểm của HQ và AB, K là giao điểm
của HR và AC. Chứng minh IK song song với QR.
b) Chứng minh tứ giác BHAS nội tiếp với S là giao điểm của RA và PB
c) Chứng minh A là trực tâm tam giác PQR
Tự luyện
Bài 30. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MDthì bốn điểm
A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn.
Bài 31.Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát
tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Kẻ OH vuông góc với CD, cắt
AB ở E. Chứng minh rằng:
a) CMOE là tứ giác nội tiếp
b) CE, DE là các tiếp tuyến của (O).
Bài 32. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt
AC tại F. Các tia BE cà CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BH. Chứng minh rằng tứ giác
EMKF
Bài 33. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.
a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía
đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M.
a) Chứng minh tứ giác ADEN nội tiếp.
b) Chứng minh rằng tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố
định.
Bài 34.*Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các
đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q.

7
a) Chứng minh tứ giác AKEQ nội tiếp.
b) Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
Bài 35.*Cho hình thoi ABCD có 0
60BAD  . Đường thẳng d qua C cắt AB, AD lần lượt ở M và
N. Gọi K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh rằng A, B, D, K cùng thuộc một đường tròn.
DẤU HIỆU 4. SỬ DỤNG DẤU HIỆU TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Trong chương trình toán nâng cao hình học lớp 9, chứng minh tứ giác và sử dụng tứ giác nội
tiếp là rất quan trọng. Trong đó dấu hiệu tích là dấu hiệu để nhận biết và chứng minh nhanh tứ
giác nội tiếp mà các bạn chưa khai thác. Một vài ví dụ dưới đây sẽ chỉ cho các bạn thấy ứng
dụng đơn giản mà tuyệt vời này.
Tính chất tích
Thuận. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn cắt nhau tại một điểm M
(nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn) thì: . .MAMB MC MD
Đảo. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MDthì bốn điểm A,
B, C, D thuộc cùng một đường tròn.
Hướng dẫn. Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.
Chú ý. Nếu M nằm ngoài đường tròn (O), cát tuyến MAB và tiếp tuyến MP thì 2
.MAMB MP
Bài 36.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và
cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E
là giao điểm của CH và đường tròn (O).
a) Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMN). Chứng minh tứ giác
AEKC và HKCD nội tiếp.
b) Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.
Bài 37.Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến và cát tuyến ADE
(tia AD nằm giữa hai tia AB và AO). OA cắt BC tại H. Vẽ BK vuông góc với DE tại K, KH cắt
AB tại G và cắt đường thẳng đi qua A song song với CD tại M. Vẽ AS vuông góc với GD tại S.
Chứng minh tứ giác DKMS nội tiếp
Bài 38.Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) có đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC
ở N, đường tròn (I) đi qua B, C tiếp xúc với AD ở M. Chứng minh rằng tứ giác MNCD nội tiếp
Bài 39.Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động
trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là
giao điểm của AB và CD.
a) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh tứ giác
AODE nội tiếp, tứ giác BNED nội tiếp.

8
b) Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 40.Cho tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (BF < CE). BE cắt CF tại H, FD
cắt đường tròn (O) tại M, ED cắt đường tròn (I) tại N. Chứng minh tứ giác DMSN nội tiếp
Bài 41.*(Thi hsg cấp tỉnh – đề số 3) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại
điểm T. Hai đường tròn này nằm trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và
N. Tiếp tuyến chung tại T của (O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ
hai A và MN cắt (O1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại
điểm thứ hai C.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMND là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB song song với PN.
c) Gọi E là giao điểm của AB và CD, chứng minh . .EB PN EC PM
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.
Luyện tập
Bài 42.Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC. Vẽ AM là tiếp tuyến của
(O). Kẻ MK vuông góc với OA tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, D là giao điểm của
AH và BC. Chứng minh rằng D, H, K, O cùng thuộc một đường tròn.
Bài 43.Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát
tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Chứng minh rằng:
a) CMOD là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD.
Bài 44.Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA. D là điểm nằm
trên đường tròn (H). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB và DC. Chứng minh rằng bốn
điểm D, M, H, N cùng thuộc một đường tròn.
Bài 45.Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC.
Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường
thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Bài 46.Chuyên toán ĐHSPHN 2008 - 2009 Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy
điểm M tùy ý (M khác A và B). Kí hiệu 1 2; ;O O O lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp
các tam giác ABC, AMC và BMC.

9
a) Chứng minh bốn điểm 1 2; ; ;C O M O cùng nằm trên một đường tròn ( )
b) Chứng minh O cũng nằm trên đường tròn ( )
c) Xác định vị trí điểm M để đường tròn ( ) có bán kính nhỏ nhất
Bài 47. (Chuyên KHTN 2002 – 2003) Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC
(M không trùng với B), N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:
MAN MAB DAN 
a) BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng
nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M, N thay
đổi
c) Kí hiệu 1S là diện tích tam giác APQ, 2S là diện tích tứ giác PQMN. Chứng minh rằng tỉ số:
1
2
S
S
không đổi khi M và N thay đổi.
d) Tìm GTNN của MN
Bài 48.Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi I là
trung điểm của BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn đi qua C, D, I cắt nhau tại K (K khác
I)
a) Chứng minh năm điểm A, E, H, K, D nằm trên cùng một đường tròn
b) *Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.
Bài 49.Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường
tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, EO cắt cạnh BC, CA tại M
và N tương ứng. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng
a) Bốn điểm O, D, E, I nằm trên một đường tròn b) *O là trung điểm MN
Bài 50. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D trên
AC, E trên AB). Gọi I là trung điểm BC, đường tròn qua B, E, I và đường tròn qua C, D, I cắt
nhau tại K (K khác I).
a) Chứng minh rằng năm điểm A, E, H, K, D nằm trên một đường tròn và 𝐵𝐷𝐾̂ = 𝐶𝐸𝐾̂
b) Đường thẳng DE cắt BC tại M. Chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng.

10
Bài 51.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm đối xứng của O qua A. Đường
thẳng qua M cắt nửa đường tròn (O) tại C và D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng 3
BC AE
AD BE

Bài 52.Cho tam giác ABC. Các điểm D, E di động trên các tia BA, CA sao cho 3BD = 2CE.
a) Vẽ (O’) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là điểm chính giữa cung BC (M và A nằm khác phía
đối với BC). I là điểm trên cạnh BC và 3 2BI IC , MI cắt (O’) tại N khác M. Chứng minh rằng
tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 53.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và
cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E
là giao điểm của CH và đường tròn (O). Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.
Bài 54.Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động
trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là
giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 55.*Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia
đối của tia AM lấy điểm P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần
lượt cắt các đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng. Chứng minh A là trực tâm tam giác
PQR
Bài 56.*Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các
đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh
rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC.
ỨNG DỤNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Ứng dụng hệ thức để chứng minh đẳng thức
Hệ thức 1. Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB (B là tiếp
điểm) và các cát tuyến ACD, AEF với đường tròn. Chứng minh rằng
2 2 2
. .AFAB AC AD AE AO R    (*)
Hệ thức 2. Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm trong đường tròn  A O . Qua A kẻ hai
dây cung CD và EF. Chứng minh rằng 2 2
. .AFAC AD AE R OA   (**)
Các hệ thức (*) và (**) được gọi là hệ thức lượng giác trong đường tròn. Bạn đọc có thể chứng
minh chúng bằng kiến thức của tam giác đông dạng. vận dụng hệ thức lượng đó ta sẽ giải quyết
được nhiều bài toán về chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức trong đường tròn. Sau đây là một
thí dụ minh họa.

11
Bài 57. Cho tam giác ABC với I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp
góc A. chứng minh rằng .AJ .AI AB AC .
Bài 58. Cho tam giác ABC với hai đường phân giác trong và ngoài của góc BAC lần lượt là AD
và AE. Chứng minh rằng 2 2
. . D .AB AC DB DC A EB EC AE   
Bài 59. Hệ thức Euler. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là tâm và r là bán
kính đường tròn nội tiếp, J là tâm và or là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác
ABC. Chứng minh rằng 2 2
2OI R Rr  và 2 2
2 oOJ R Rr  .
Tự luyện
Bài 60. Cho tam giác ABC (các góc B, C đều nhọn), các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
chứng minh rằng 2
. .BH BD CH CE BC 
Bài 61. Cho M là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ
M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O) trong đó P, Q là các tiếp điểm. Hạ OH vuông
góc với đường thẳng d. Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng
a) 2
. .OI OH OK OM R  .
b)Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn cố định.
Bài 62. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp
điểm) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại C, D (C nằm giữa M và D). Gọi E là giao điểm
của AB và OM. Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh rằng 2DEC DBC .
Bài 63. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) ở C và D.
Kẻ dây BN của đường tròn(O), cắt đường tròn (A) tại điểm E ở bên trong đường tròn (O).
Chứng minh rằng 2
.NE NC ND .
Bài 64. Cho tứ giác ABCD. Các đường thẳng AD, BC và AB, CD lần lượt cắt nhau tại E và F.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là
2
. .EA ED FA FB EF  .
Định lí P tô lê mê và ứng dụng
Định lí Ptô-lê-mê có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:
-Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng
các tích của các cặp cạnh đối diện.
- Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của
hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. *]
Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức

12
Bài 65. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi M là điểm bất kì
thuộc cung BC
a) Chứng minh rằng MA = MB + MC
b) Gọi D là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng:
1 1 1
MB MC MD
 
c) * Tính tổng 2 2 2
MA MB MC  theo R.
Bài 66. Cho tam giác đều ABC có các cạnh bằng a.Trên AC lấy điểm Q di động, trên tia đối
của tia CB lấy điểm P di động sao cho 2
.AQ BP a . Gọi M là giao điểm của BQ và AP. Chứng
minh rằng: AM MC BM 
Tam giác ABC vuông có BC > CA > AB. Gọi D là một điểm trên cạnh BC, E là một điểm trên
cạnh AB kéo dài về phía điểm A sao cho BD = BE = CA. Gọi P là một điểm trên cạnh AC sao
cho E, B, D, P nằm trên một đường tròn. Q là giao điểm thứ hai của BP với đường tròn ngoại
tiếp  ABC. Chứng minh rằng: AQ + CQ = BP
(Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000)
Bài 67. Định lí Carnot
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đường tròn (I,r). Gọi x, y,
z lần lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh tam giác. Chứng minh rằng: x y z R r   
Ứn dụng Carnot:
Bài 68. *Ứng dụng Định lí Carnot
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R = 1, có AB = 2.BC. Tính
bán kính đường tròn nội tiếp (O’) nội tiếp tam giác ABC?
Bài 69. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và AC=2AB. Các đường thẳng tiếp
xúc với đường tròn (O) tại A,C cắt nhau ở P. Chứng minh rằng BP đi qua điểm chính giữa của
cung BAC.
Bài 70. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và
trọng tâm G. Giả sử rằng 𝑂𝐼𝐴̂ = 900
. Chứng minh rằng IG song song với BC.
Bài 71. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM là trung tuyến. Các tiếp tuyến tại A
và B của (O) cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: ACD BCM
Ứng dụng định lí Ptoleme để chứng minh đẳng thức
Bài 72. Cho tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng a, b, c, d và các đường chéo bằng p, q.
Chứng minh rằng:   2 2 2 2
pq a b c d  

13
Tự luyện
Bài 73. (149T5/246 – 45 năm).Cho tam giác ABC, biết rằng: 𝐴̂ = 2𝐵̂ = 4𝐶̂. Chứng minh
rằng:
1
𝐴𝐵
=
1
𝐵𝐶
+
1
𝐴𝐶
Bài 74. Cho tứ giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh:
. .
. .
AC BC CD AB BD
BD BC BA DC DA



Bài 75. Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
BM CN AM AN BN CM
    
Bài 76. Giả sử M, N là các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ;MAB NAC MBA NBC  .
. . .
1
. . .CB
AM AN BM BN CM CN
AB AC BA BC CA
  
Bài 77. (CMO 1988, Trung Quốc)
ABCD là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm ) và bán kính R. Các tia AB, BC,
CD, DA cắt (O,2R) lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh rằng:
( )2A B B C C D D A AB BC CD DA           
Bài 78. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung
lớn BC của đường tròn để AB+2AC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 79. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (O′) nằm trong (O) tiếp xúc
với (O) tại T thuộc cung AC (ko chứa B). Kẻ các tiếp tuyến AA′,BB′,CC′tới (O′). Chứng minh
rằng: BB′.AC=AA′.BC+CC′.AB
Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Updating…
Chứng minh dựa vào góc
Chứng minh dựa vào song song
Bài 80. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M, N, D
là điểm chính giữa các cung nhỏ BC, CA, AB. Giả sử MN cắt AC tại Q; MD cắt AB tại P.
a) MB = MI
b) Ba điểm P, I, Q thẳng hàng.

14
Ứng dụng tứ giác nội tiếp Chứng minh ba đường đồng quy
Updating…

9 tu giac noi tiep htq

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (12)

Similar a 9 tu giac noi tiep htq

Similar a 9 tu giac noi tiep htq (19)

Más de Hồng Quang

Más de Hồng Quang (15)

Último

Último (20)

9 tu giac noi tiep htq