HI-ARC 정기모임 #6 dfs

HI-ARC 정기모임 #6
(DFS 응용)
이재열(@kodingwarrior)

DFS (Depth First Search)
우리말로는 깊이 우선 탐색
Void DFS(int i) {
visited[i] = true;
for(auto v : graph[i])
if(!visited[v])
DFS(v); // 방문하지 않았을 경우 재귀적으로 시행
}
쉽게 말해서 먼저 보이는 지점부터 방문한다!
한번 방문한 지점은 두번 다시 확인할 필요 없도록 true 로 마킹해둔다.

DFS 가 동작하는 과정
A
B C D
E F G H
J
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
방문순서 :
A - B - E - F - C - G - J - H - D - I

DFS 를 이용한 여러가지 알고리즘
● Flood fill
● Euler circuit
● Articulation point & Bridge
● Connected Components
● Strong Connected Components
● Topological Sort
● 2-SAT problem
● …...

#1 Connected Components
그래프 이론 용어 정리
● Connected component : 어떤 길이의 path 로든 서로 도달할 수 있는 정점들로
구성된 subgraph
○ C(v) = {u ∈ V | there exists a path in G from u to v }.
관계(Relation)의 관점으로 보면 reflecxive, symmetric, transitive 모두 성립.
Equivalence class 를 나타낼 때도 쓰일 수 있음.

#1 Connected Components (1-3)
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J

#1 Connected Components (1-3)
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
중간중간에 간선이 끊어져 있을 경우도
생각해야 한다.

● Connected Component 는 어떻게 구할 것인가?
Undirected Graph 에서 도달할 수 있는 놈들끼리 분류한다.
● 그렇다면 어떻게 구현할 것인가?
방문한 적이 없는 각 정점마다 (더 이상 도달할 정점이 없을때까지) DFS를 수행한다.

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
for(auto v : graph[u])
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
for(int i=1; i<=V; ++i)
if(!visited(i)) {
dfs(i); dfs_count++;
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A)
* Connected component는 괄호로 묶어서 표시

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
if(!visited(i)) {
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A B)

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
if(!visited(i)) {
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A B C)

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
if(!visited(i)) {
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A B C D)

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
if(!visited(i)) {
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A B C D E)

비슷한 과정을 거쳐서…….

Void dfs(int u) {
visited[u] = true;
if(!visited[v])
dfs(u);
}
Int main() {
if(!visited(i)) {
}
}
A
B
C
E
F
G
I
D
H
J
DFS 방문 순서 : (A B C D E) (F G) (H I J)

DFS 가 아니더라도, Disjoint Set 자료구조를 이용하여 구현할 수도 있다!
Disjoint Set 자료구조를 이용하는 방법은 Minimum Spanning Tree 세션에서 추후 설명

Connected Components 연습문제
https://www.acmicpc.net/problem/11724

#2 Flood Fill
격자로 나타내는 묵시적 그래프에서 사용되는 알고리즘
직역하면 (웅덩이에) 흘러넘치도록 채운다!
사실상, Connected Component 랑 다를게 없는 문제

Flood Fill pseudo code
Int dx[] = {+x,0,-x,0, ...}; // 시계방향이든 반시계 방향이든 상관없음
Int dy[] = {0, +y, 0, -y, ...};
void dfs(int y, int x) { // xy 좌표 혼동하는 것때문에 은근히 많이 틀림(팀이면 특히..?)
visited[y][x] = true;
for(int i=0; i<directions; ++i) {
Int next_x = x + dx[i]; int next_y = y + dy[i];
// 경계조건 검사
if( next_x > 0 && next_x <= MAX_X
&& next_y > 0 && next_y <= MAX_Y
&& !visited[ next_y ][ next_x ] )
dfs(next_y, next_x);
}
}
Int main() {
Int height; int width;
cin >> width >> height;
for(int i=1; i<=height; ++i)
for(int j=1; j<=width; ++j)
if(!visited[i][j])
dfs(i,j), count++;
}

Flood Fill 관련 문제들
https://www.acmicpc.net/problem/4963 방향의 갯수가 추가된 문제

#3 Topological Sort
그래프 이론 용어 정리
● Directed Graph(Digraph)
● Digraph 에서는 간선에 방향이 있으며, 방향을 가진 간선을 Arc 라 한다.

#3 Topological Sort
Dependency 가 아예 없는 놈부터 정렬 (DFS / BFS)

#3 Topological Sort
Void TopologicalSort(int u) {
Visited[u] = true;
if(!visited[v]) TopologicalSort(v); // 여기까지만 보면 DFS 와 유사함
stack_tmp.push(u); // 순회를 끝낸 노드는 push 해준다.
}
dependency가 없는 정점을 우선순위를 두더라도
구체적으로 어느 기준으로 정렬할 지 기준이 없으면 정답은 없음

Topological sort 관련 문제들
● 단순히 순서만 출력하는 문제
● 비용이 추가로 들어간 문제

#4 Strongly Connected Components
● C(v) = { u ∈ V | there exists a path in G from u to v and a path
in G from v to u }.
Directed Graph 에서 도달할 수 있는 놈들끼리 분류한다.

1
6
7
5
3
2
4

SCC 알고리즘을 구현하는 두가지 알고리즘
● Kosaraju algorithm
○ DFS 를 두번 돌리는 알고리즘
○ 정방향 그래프와 역방향 그래프가 같은 SCC를 가진다는 성질을 이용함
○ O(V + E)
● Tarjan algorithm
○ O(V + E)
둘 중 어떤 알고리즘을 써도 상관 없다.

Void KosarajuSCC(int u) {
1. 정방향 그래프를 위상정렬 후 스택에 저장
(순회를 끝낸 노드를 스택에 push 하는 방식으로 DFS)
2. 스택이 빌 때까지 최상위 원소부터 하나씩 빼가면서
(방문하지 않았을 경우에만) 역방향 그래프에서 DFS를 수행
2-1. 위에서 수행하는 DFS에서 탐색되는 모든 노드를 SCC로 묶는다.
}

if(!visited_forward[i])
dfs(i);
while(!st.empty()) {
int tmp = st.top();
st.pop();
if(!visited_backward[tmp]) {
scc.push_back(vector<int>());
dfs_rev(tmp);
scc_count++;
}
}
main

SCC를 이용하여 푸는 문제들
https://www.acmicpc.net/problem/10451 : 간단하게 SCC의 갯수 출력
https://www.acmicpc.net/problem/2150 : 출력이 까다로운 문제(SCC의 구성요소
출력)

눈치챈 사람도 있겠지만 다루지 못한 알고리즘도
있음● Euler circuit
● Articulation point & Bridge
● 2-SAT
● …
혼자 다 준비하느라, 역량도 시간도 모자란 관계로…. 내년을 기약하는 걸로 갑시다,,,,

다음 주까지 BFS, Queue 복습해오세요

HI-ARC 정기모임 #6 dfs

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Más de Jae-yeol Lee

Más de Jae-yeol Lee (14)

HI-ARC 정기모임 #6 dfs