1. ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΔΥΟ ΒΑΘΜΟΥΣ
ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ
Ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας (x,y) περιγράφεται
από την Lagrangian:
2 2 2 2 1 1
( 2 ) ( 2 )
2 2
L m ax bxy cy k ax bxy cy
(1)
όπου a,b και c είναι σταθερές, με 2 ac b . Να γραφούν οι
εξισώσεις κίνησης του συστήματος.
Από τη Λαγκρανζιανή (1), έχουμε:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m ax by m ax by
x
(2)
Οπότε:
( ) ( )
d L
m ax by
dt x
(3)
Και:
1
(2 2 ) ( )
2
L
k ax by k ax by
x
(4)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη x, είναι:
( )
d L L
dt x x
(5)
Η (5) μέσω των σχέσεων (3) και (4), γράφεται:
m(ax by) k(ax by) (6)
2. Ομοίως, για τη συντεταγμένη y είναι:
1
(2 2 ) ( )
2
L
m bx cy m bx cy
y
(7)
( ) ( )
d L
m bx cy
dt y
(8)
1
(2 2 ) ( )
2
L
k bx cy k bx cy
y
(9)
Η εξίσωση Lagrange για τη συντεταγμένη y είναι:
( )
d L L
dt y y
(10)
Μέσω των σχέσεων (8) και (9) η σχέση (10) γράφεται:
m(bx cy) k(bx cy) (11)
Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων:
m(ax by) k(ax by) (12.1)
m(bx cy) k(bx cy) (12.2)
Ακολούθως θα προσπαθήσουμε να «αποσυμπλέξουμε» τις
εξισώσεις (12.1) και (12.2). Για το σκοπό αυτό, αρχικά
πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (12.1) με b και έχουμε:
2 2 m(abx b y) k(abx b y) (13.1)
Καθώς και τα δύο μέλη της (12.2) με a , οπότε:
3. m(abx acy) k(abx acy) (13.2)
Αφαιρώντας λοιπόν από την (13.1) την (13.2) βρίσκουμε:
2 2 m(b y acy) k(b y acy) ή
2 2 m(b ac)y k(b ac)y , οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac b
έχουμε:
my ky (14)
Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.1) με c,
παίρνουμε:
m(acx bcy) k(acx bcy) (15.1)
Ενώ πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (12.2) με b, παίρνουμε:
2 2 m(b x bcy) k(b x bcy) (15.2)
Αφαιρώντας λοιπόν κατά μέλη τις (15.1) και (15.2), έχουμε:
2 2 m(acx b x) k(acx b x) ή
2 2 m(ac b )x k(ac b )x, οπότε με δεδομένο ότι: 2 ac b
έχουμε:
mx kx (16)
Έτσι λοιπόν, οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του
συστήματος, είναι:
4. mx kx (17.1)
my ky (17.2)
Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης αντιστοιχούν στην περίπτωση
ενός διδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή. Για ένα τέτοιο ταλαντωτή η
Lagrangian δίνεται από τη σχέση:
2 2 2 2 1 1
( ) ( )
2 2
L T V m x y k x y
(18)
Οι Λαγκρανζιανές λοιπόν (1) και (18) οδηγούν στις ίδιες
εξισώσεις κίνησης.
(Συγκρίνοντας τις (1) και (18), παρατηρούμε ότι η (18)
«αντιστοιχεί» στην (1), με a c 1 και b 0 ).
Μπορούμε να «βρούμε» και άλλες Λαγκρανζιανές ξεκινώντας
από την (1), οι οποίες μας δίνουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Έτσι
πχ. αν βάλουμε a c 0 και b 1, παίρνουμε:
L mxy kxy (19)
Ένας άλλος τρόπος να «αποσυμπλέξουμε» τις (12.1) και (12.2)
είναι και ο εξής:
Με μορφή πίνακα, οι δύο εξισώσεις γράφονται:
a b x a b x
m k
b c y b c y
(20)
Εφ’ όσον η διακρίνουσα του πίνακα
a b
b c
, είναι μη
μηδενική ( 2 ac b ), υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Αυτός είναι:
5. 1
2
a b 1 c b
b c ac b b a
(21)
Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν και τα δύο μέλη της (20) με τον
πίνακα (21), έχουμε:
2 2
m a b c b x k a b c b x
ac b b c b a y ac b b c b a y
ή
2 2
2 2 2 2
0 0
0 0
m ac b x k ac b x
ac b ac b y ac b ac b y
ή
1 0 1 0
0 1 0 1
x x
m k
y y
(22)
Από την (22) παίρνουμε τις:
mx kx
my ky
(Δηλαδή τις (17.1) και (17.2), που βρήκαμε και προηγουμένως).
ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ