1. | Unidades 1
Unidades
1. Lógica matemática
2. Conjunto
3. Numero reales
4. Funciones variables real
5. Trigonometría
6. Geometría plana y del espacio
7. Vectores
8. Geometría analítica del plano
9. Números complejos
10. Matrices y sistemas lineales y no lineales
11. Estadística y probabilidades

2. | Unidades 2
Contenido
Unidades ....................................................................................................................................... 1
Lógica matemática ........................................................................................................................ 7
Proposición.................................................................................................................................... 7
Negación........................................................................................................................................ 7
Proposiciones compuestas............................................................................................................ 7
Tablas de verdad ........................................................................................................................... 8
Tabla de verdad de conjunción................................................................................................. 8
Tabla de verdad de condicional ................................................................................................ 8
Tabla de verdad de la disyunción.............................................................................................. 9
Tabla de verdad de la disyunción exclusiva .............................................................................. 9
Tabla de verdad bi condicional ................................................................................................. 9
Definición de tautología................................................................................................................ 9
Definición de Contradicción........................................................................................................ 10
Definición de contingencia.......................................................................................................... 10
Definición de falacia.................................................................................................................... 12
Variación de la condicional ......................................................................................................... 13
Definición de implicación lógica.................................................................................................. 14
Definición de equivalencia lógica................................................................................................ 14
Leyes de la lógica......................................................................................................................... 14
Unidad 2...................................................................................................................................... 17
Conjuntos .................................................................................................................................... 17
Definición de Cardinalidad.......................................................................................................... 18
Cuadrado de un binomio......................................................................................................... 38
Suma de la diferencia de dos cantidades................................................................................ 39
Producto de dos binomios con termino repetidos ................................................................. 39
Productos de dos binomios con términos diferentes............................................................. 39
Cubo de un binomio................................................................................................................ 39
Cuadrado de un polinomio...................................................................................................... 40
Factorización ............................................................................................................................... 40
Factor común monomio y polinomio...................................................................................... 40
Factor común por agrupación de términos. ........................................................................... 41
Diferencia de cuadrados perfectos ......................................................................................... 41
Suma y diferencia de cubos perfectos .................................................................................... 41

3. | Unidades 3
Trinomio de la forma............................................................................................................... 42
Trinomio de la forma............................................................................................................... 42
Trinomio cuadrado perfecto ................................................................................................... 43
Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción ........................................................ 43
Operaciones con fracciones algebraicas..................................................................................... 44
Multiplicación de fracciones algebraicas .................................................................................... 44
División de fracciones algebraicas .............................................................................................. 45
Fracciones compuestas (fracciones compuestas)....................................................................... 45
Método de división sintética....................................................................................................... 45
Racionalización............................................................................................................................ 46
Definición de valor absoluto ....................................................................................................... 46
Intervalo cerrado......................................................................................................................... 46
Intervalo abierto.......................................................................................................................... 47
Intervalo semi abierto................................................................................................................. 47
Intervalos con extremo infinito................................................................................................... 47
Ecuaciones lineales de primer grado .......................................................................................... 48
Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado ........................................................... 48
Ecuaciones de Segundo grado .................................................................................................... 50
Método de factorización............................................................................................................. 50
Método de la formula general .................................................................................................... 50
Complementar cuadrados........................................................................................................... 50
Inecuaciones lineales de primer grado ....................................................................................... 51
Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) .............................................................. 52
Regla de la suma ......................................................................................................................... 53
Regla de producto (Multiplicación)............................................................................................. 53
Permutaciones ............................................................................................................................ 53
Permutaciones con repetición ................................................................................................ 54
Permutaciones Circulares PCn ................................................................................................ 55
Combinaciones............................................................................................................................ 56
Numero combinatorio................................................................................................................. 57
Coeficiente binomial ............................................................................................................... 57
Binomio de Newton ................................................................................................................ 57
Formula del término General.................................................................................................. 58
Progresiones Aritméticas ............................................................................................................ 58

4. | Unidades 4
Interpolación de medios Aritméticos.......................................................................................... 59
Progresiones Geométricas .......................................................................................................... 60
Funciones de variable real .......................................................................................................... 61
Dominio y rango de una función real.......................................................................................... 61
Rango de una función de variable Real...................................................................................... 62
Función lineal .............................................................................................................................. 62
Ecuaciones línea recta................................................................................................................. 64
Ecuaciones de punto y pendiente............................................................................................... 64
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos........................................................................ 64
Ecuación general de la recta ....................................................................................................... 65
Ecuaciones de la recta de la abscisa y ordenada ........................................................................ 65
Ecuación normal de la recta........................................................................................................ 66
Función cuadrática .................................................................................................................... 66
Función exponencial ................................................................................................................... 69
Función logarítmica..................................................................................................................... 69
Unidad 5...................................................................................................................................... 69
Trigonometría.............................................................................................................................. 69
Teorema de Pitágoras: ............................................................................................................ 69
Hipotenusa:............................................................................................................................. 69
Cateto o lado:.......................................................................................................................... 70
Funciones trigonométrica ....................................................................................................... 70
Funciones Trigonométricas de 30° y 60°................................................................................. 70
Ley del Seno y del Coseno........................................................................................................... 71
Ley del coseno:........................................................................................................................ 71
Ley del seno:............................................................................................................................ 72
Identidades Trigonométricas ...................................................................................................... 72
FORMULAS .............................................................................................................................. 74
Capitulo 6 .................................................................................................................................... 75
Geometría Plana y del Espacio.................................................................................................... 75
Polígonos.-................................................................................................................................... 75
Los polígonos regulares........................................................................................................... 75
Los polígonos irregulares ........................................................................................................ 76
Perímetro.-.................................................................................................................................. 76
Área o Superficie.-....................................................................................................................... 77

5. | Unidades 5
Área de polígonos regulares.- ..................................................................................................... 78
Apotema (ap).- ............................................................................................................................ 78
Elementos de la Circunferencia y Círculo.................................................................................... 79
Ángulos en la Circunferencia....................................................................................................... 80
Angulo Central.- ...................................................................................................................... 80
Angulo Inscrito.-...................................................................................................................... 81
Angulo Interior.-...................................................................................................................... 81
Angulo exterior.- ..................................................................................................................... 81
Angulo semi-inscrito.- ............................................................................................................. 82
Relación entre Angulo central e inscrito.-................................................................................... 82
Capitulo 7 .................................................................................................................................... 83
Vectores en el plano y el espacio................................................................................................ 83
Multiplicación de un escalar por un vector............................................................................. 84
Modulo de un Vector .............................................................................................................. 85
Suma de Vectores ....................................................................................................................... 85
Diferencia de vectores ................................................................................................................ 86
Producto escalar de 2 Vectores .................................................................................................. 86
Producto de dos valores (Producto Cruz) ................................................................................... 87
Unidad 9...................................................................................................................................... 93
Números complejos. ................................................................................................................... 93
Multiplicación de un numero complejo por un número cualquiera........................................... 93
Número Complejo Conjugado:.................................................................................................... 93
Suma de números complejos:..................................................................................................... 94
Diferencia de números complejos. ............................................................................................. 94
Multiplicación de número complejos,......................................................................................... 95
División de números complejos.-................................................................................................ 95
Representación Grafica De Los Números Complejos.................................................................. 95
Coordenadas polares de números complejos............................................................................. 96
Capítulo 10 .................................................................................................................................. 97
Matrices: ..................................................................................................................................... 97
Matriz rectangular:.................................................................................................................. 97
Matriz cuadrada:..................................................................................................................... 97
Matriz Transpuesta: ................................................................................................................ 97
Multiplicación de una matriz por una escalar:............................................................................ 98

6. | 6
Suma de matrices:....................................................................................................................... 98
Diferencia de matrices: ............................................................................................................... 99
Multiplicando matrices: .............................................................................................................. 99
Matriz identidad 1:.................................................................................................................... 100
Matriz inversa:........................................................................................................................... 100
Matriz de adjuntos:................................................................................................................... 101
Capítulo 11 ................................................................................................................................ 102
Estadística y probabilidad ......................................................................................................... 102
Estadística: ................................................................................................................................ 102
Población:.................................................................................................................................. 102
Muestra:.................................................................................................................................... 102

7. | Lógica matemática 7
Lógica matemática
Es el estudio de las proposiciones simples y compuestas.
Proposición
Es una oración que se puede decir que es verdadera o es falsa, se la representa con la
letra del alfabeto en minúscula, para indicar si es verdadera se utiliza el número 1 y si es falsa
el numero 0
Ejemplo
a: Machala es la capital de la provincia de El Oro (1)
b: Bogotá es la capital del Ecuador (0)
c: El número 2 es par (1)
d: 4 y 7 son números impares (0)
e: El planeta tierra está ubicado en el tercer lugar dentro del sistema solar (1)
f: amarillo, azul y rojo son colores primarios (1)
Negación
Su símbolo es una , se escribe lo contrario
Ejemplo
a: Quito es la capital del Ecuador (1)
(0)
b: (1)
(0)
c: 2 y 6 son pares (1)
(0)
d: El valor de pi es 3.14 (1)
(0)
Proposiciones compuestas
Son 2 proposiciones unidas por un conector lógico y se clasifican en:
a) Conjunción ⋀ a y b
b) Disyunción ⋁ a o b

8. | Tablas de verdad 8
c) Disyunción exclusiva V b
d) Condicional a implica b
e) Bi condicional
Tablas de verdad
Son los valores de verdad de cada una de las proposiciones compuestas
Tabla de verdad de conjunción
Si las dos proposiciones son verdaderas la conjunción es verdadera y las demás son
falsas
p q p ⋀ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Ejemplo
⋀
p q p ⋀ q
1 1 0 1 0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 0 0
Tabla de verdad de condicional
En la condicional si la proposición es verdadera y la otra es falsa la condicional es falsa
en los demás casos es verdadera
p Q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Ejemplo (p ⋀ q) → (q ⋀ r)
p q r (p ⋀ q) (q ⋀ r) (p ⋀ q) → (q ⋀ r)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1

9. | Definición de tautología 9
Tabla de verdad de la disyunción
Si en las dos proposiciones son falsas la disyunción es falsa en las demás son
verdaderas
p Q p ⋁ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabla de verdad de la disyunción exclusiva
Si las 2 proposiciones son verdaderas o las dos son falsas la disyunción exclusiva va ha
ser falsa caso contrario las demás son verdaderas
p Q p V q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabla de verdad bi condicional
Si las 2 proposiciones son verdaderas o son falsas la bi condicional es verdadera y las
demás falsas
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ejemplo (p ⋀ q) (q ⋁ r)
p q r (p ⋀ q) (q ⋁ r) (p ⋀ q) (q ⋀ r)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 0
Definición de tautología
Se llama tautología cuando la última columna de todos los valores sale verdaderos (1)

10. | Definición de Contradicción 10
Definición de Contradicción
Cuando todo los valores de la ultima columna salen falsos (0)
Definición de contingencia
Cuando los valores de la ultima columna son verdaderos y otros falsos.
Ejemplo
⋀
p q r (p q) (q ⋀ r) (p q) (q ⋀ r)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0
Contingencia
Ejercicios
Indique si son proposiciones
1547 es un numero impar Si es (1)
Cuenca es capital de Uruguay Si es (0)
¡Cuanta alegría hay en este país! No es
El numero 7 es triste No es
¡Levántese por favor! No es
Desde hace mucho tiempo no enfermado del asma No es
Mañana lloverá en Guayaquil Si es (1)
Las oraciones en tiempo futuro si son proposiciones porque no se sabe si son verdaderas o
falsas.
X+4=0 No es
El 12 de agosto fue jueves No es porque no se especifica el año.
¿Estas haciendo deporte? No es
Caracas es Capital de Colombia Si es (0)
(335)2
=4 Si es (1)
√ √ Si es (0)

11. | Definición de contingencia 11
(a ⋀ b) (b ⋁ c)
a b c (a ⋀ b) (b ⋁ c) (a ⋀ b) (b ⋁ a)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1
0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Contingencia
(p q) ⋀ (q r)
a b c (p q) (q r) (p q) ⋀ (q r)
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1
Contingencia
(┐p q) v (q ┐r)
p q r ┐p ┐r (┐p q) (q ┐r) (┐p q) v (q ┐r)
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1
Contingencia
(d v e) (e ⋀ p)
e b p (d v e) (e ⋀ p) (d v e) (e ⋀ p)
1 1 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1
1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1
Contingencia

12. | Definición de falacia 12
┐(p q) (p ⋁ r)
p r q (p q) ┐(p q) (p ⋁ r) ┐(p q) (p ⋁ r)
1 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 0 0 1
Tautología
(p ⋀ r) (r ⋁ p )
p q r (p ⋀ r) (r ⋁ p ) (p ⋀ r) (r ⋁ p )
1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 1
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 1
Tautología
(┐a b) v (┐a ⋀ c )
a b c ┐a (┐a b) (┐a ⋀ c ) (┐a b) v (┐a ⋀ c )
1 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0
0 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 0 1
Contingencia
Definición de falacia
Es una forma proporcional no tautológica según la definición una falacia puede ser una
contradicción o una contingencia ya que unen ambos casos corresponden a una forma
proposicional no tautológica.

13. | Variación de la condicional 13
(p ⋀ q) ┐q
p q ┐q (p ⋀ q) ┐(p q) (p ⋁ r)
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
Contingencia Falacia
(r ┐p) ⋀(p V q) ⋀ ⋀ r)
Se realiza las operaciones dentro de los 3 paréntesis, al final se analiza el resultado con los
operadores.
p r q ┐p (r ┐p ) (p V q) ⋀ r) (r ┐p) ⋀(p V q) ⋀ ⋀ r)
1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
Contingencia Falacia
Variación de la condicional
Son las reciprocas, contra reciprocas e inversas
A la condicional se le llama implicación
Condicional
Reciprocas
Contra reciprocas
Inversa
p= hipótesis
q= conclusión
De la definición anterior para obtener la reciproca simplemente debes de intercambiar la
hipótesis y conclusión, para obtener la contra reciproca debes de cambar hipótesis y
conclusión y negar cada una de ellas y finalmente para obtener la inversa debes mantener el
orden original y negar cada una de ellas.
Determine la reciproca, contra reciproca e inversa
Condicional
Reciprocas
Contra reciprocas
Inversa

14. | Definición de implicación lógica 14
Condicional
Reciprocas
Contra reciprocas
Inversa
Condicional
Reciprocas
Contra reciprocas
Inversa
Definición de implicación lógica
Sea A y B dos formas proporcionales, se dice que implica lógicamente a B, denotado por A B
si y solo si A B es una tautología
p q
1 1 1 1
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 1 1
Implicación lógica
p q Ʌq
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
Implicación lógica
Definición de equivalencia lógica
Sean A y B dos formas proporcionales, se dice que su equivalente lógicamente A B denotado
por A B, si y solo si A B es una tautología.
p r ┐q ┐p
1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
Leyes de la lógica
Las leyes lógicas son expresiones tautológicas, es decir expresiones siempre verdaderas en las
cuales se puede apoyar para realizar demostraciones.

15. | Leyes de la lógica 15

16. | Leyes de la lógica 16
Ejercicios de implicación de las leyes de lógica
Cuando se aplica las leyes de lógica si el resultado es 1, la forma proposicional es una
tautología, si el resultado es 0 es una contradicción, si el resultado es 0 y 1 es una
contingencia, recuerde que la contradicción y contingencia son falacias
1.- Aplicando las leyes lógicas determine si la forma proporcional es una tautología,
contradicción
Ley condicional
Ley del tercer excluido
Es una tautología
2.-
Ley de condición
Ley de asociación
Ley del tercer excluido
Ley de absorción
Pero el valor de verdad 0
Es una Contradicción
3.-
Ley conmutativa
Ley distributiva
Ley de contradicción
Ley de identidad
Es una contingencia Falacia

17. | Unidad 2 17
Unidad 2
Conjuntos
Conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o
propiedad común bien definida, se la representa con letras mayúsculas y sus elementos van
entre llaves, a los elementos se los escribe con letra minúscula.
A={a, e, i, o, u}
B={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C={amarillo, azul, rojo}
c c
Cuando un elementos pertenece a un conjunto se utiliza el signo Pertenece, cuando un
elementos no pertenece a un conjuntos se utiliza el Símbolo No pertenece.
D= {1, 2, 3, 4}
1 D 2 D 8 D
6 D 3 D 9 D
7 D 4 D 10 D
Descripción de conjuntos.
A los conjuntos se los puede describir de 3 Maneras.
1. Por comprensión
2. Por expresión o tabulación
3. Diagrama de Venn
Por comprensión. Es cuando se escribe una característica común de los elementos del
conjunto. Ejemplo:
A= {X/X Vocales} (X tal que X)
B= {X/X Números dígitos}
C= {X/X Colores de la Bandera de Ecuador}
D= {X/X Días de la semana}
E= {X/X Útiles escolares}
Por extensión o Tabulación. Es cuando se escribe los elementos que forman el conjunto.
A= {a, e, i, o, u}

18. | Definición de Cardinalidad. 18
B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C= {Amarillo, Azul, Rojo}
Por diagrama del Venn. Es cuando se realiza un gráfico.
A B C
A= {Enero, Febrero, Marzo, Abril……..}
A= {X/X Meses del Año}
A
B= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
B= {X/X Números Pares}
B
Definición de Cardinalidad.
Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, se lo representa con la N (…) =
A= {1, 2, 3, 4} N (A) = 4
B= {5, 6, 7, 8, 9, 10} N (B) = 6
C= {20, 21, 22, 23, 24} N (C) = 5
D= {30, 31, 32, 33, 34} N (D) = 5
Tipo de Conjunto.- Existen los siguientes tipos de conjuntos
1. Vacío.- Es el que no tiene elementos se lo representa N (A) = 0 “ø”
2. Conjunto unitario.- Tiene un solo elemento N (A) = 1 para expresar ejemplos de
conjunto vacío se escribe algo que no exista en la realidad.
a, e, i,
o, u
0, 1, 2,
3, 4, 5,
6, 7, 8, 9
Amarill
o, Azul,
Rojo
Enero,
Febrero
…..
2, 4, 6,
8, 10,
12, 14

19. | Definición de Cardinalidad. 19
A = {X/X Es un numero par e impar a la vez}
B = {X/X Un cuadro de 6 lados}
Ejemplo de conjunto unitario.
A = {Sol}
B = {4}
3. Conjunto finito.- Tiene una cantidad finita de elementos.
A = {X/X Estaciones del año}
B = {X/X Habitantes del Ecuador}
4. Conjunto infinito.- Tiene una cantidad infinita de elementos.
A = {X/X Números Enteros}
B = {X/X Números impares}
5. Conjunto universo o Preferencia.- Todos los elementos que consideran en un
problema su símbolo es Re U, el grafico se lo representa por un rectángulo.
Re U
Re {X/X Letras del Alfabeto}
Re {X/X Números Reales}
Relaciones entre conjuntos.
Entre dos conjuntos pueden haber los siguientes relaciones igualdad, Disjunto, Intersecantes.
1. Igualdad.- Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.
A = B
2. Disjuntos.- Dos conjuntos son distintos cuando no tienen elementos repetidos.
3. Intersecaste.- Cuando tienen por lo menos un elemento en común.
Cuantificadores.- En matemáticas se puede considerar 3 tipos de frases o expresiones.
1. Verdaderas.
5 + 3 = 8
2 < 6
2. Falsas.
5 + 3 = 10
2 > 6
3. Expresiones distintas o abiertas.
5x + 3y = 8
2x < 6

20. | Definición de Cardinalidad. 20
Existen dos tipos de cuantificadores que son el cuantificador Universal y el cuantificador
Existencial.
Cuantificador Universal.- Su símbolo es ∀, utiliza las expresiones “Para todo” “todo” “Para
Cada” “Cada”, constituyen el lenguaje formal un cuantificador universal. Ejm:
∀x, 2+x3=5x “Se lee para todo numero y se cumple que 2x + 3x = 5x”
∀y, 6y + 10y = 16y Se lee “Para todo numero y se cumple que 6y + 10y = 16y”
Cuantificador Existencial.- Su símbolo es Ǝ se utiliza las expresiones “Existe” “Algún” “Algunos”
“Por lo menos uno” “Basta que uno”, constituyen el lenguaje formal en un cuantificador
existencial.
Ǝx, 2x + 2 = 4 Se lee “Al menos un numero y para el cual 2x + 2 = 4”
Ǝy, 8y + 6 = 20 Se lee “Existe al menos un numero y para el cual 8y + 6 = 20”
Operaciones entre conjuntos.
Entre dos conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica, complementación.
1. Unión de conjuntos.- Es otro conjuntos formado por los elementos de ambos
conjuntos, si existe elementos repetidos se los escribe una sola vez su símbolo es U.
En el grafico se raya en un solo sentido.
A = {1,2,3,4,5,6} B = {4,5,6,7,8,9} C = {4,5,10,12,13}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A B
2. Inserción de Conjuntos.- Es otro conjunto formado por los elementos repetidos en los
conjuntos su símbolo es ∩ en el grafico se raya dónde van los elementos repetidos.
A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}
A ∩ B = {1,4,6}
1
2
3
7
8
9
4
5
6
1
2
3
7
8
9
4
5
6

21. | Definición de Cardinalidad. 21
3. Diferencia de Conjuntos.- Es otro conjunto formado por los elementos del conjunto
minuendo que no pertenece al conjunto sustraendo su símbolo es - en el grafico se
raya la parte del conjunto minuendo 55 parte entre cruzada.
A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}
A – B = {2,3,5}
A B
4. Diferencia simétrica.- Su símbolo es ∆, es un conjunto formado por los elementos que
pertenezcan a la unión de los conjuntos pero no pertenecen a la intersección de los
conjuntos. (No se consideran a los elementos repetidos.)
A ∆ B = {2,3,4,5,6,7,8,9}
A B
5. Complemento de un conjunto.- Su símbolo es C, es otro conjunto formado por la
diferencia entre el conjunto referencial y el conjunto al cual se le saca el
complemento.
Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}
A = {1,2,3,4,5,6} B = {1,4,6,7,8,9} C = {4,6,10,11,12,13}
AC = Re – B = {7,8,9,10,11,12,13}
1. Re = {1,2,3,4,5,6,7,8}
A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,8} C = {1,3,6,7}
Hallar los Conjuntos.
(A U B) ∩ (CC ∩ B)C
A U B = {1,2,3,4,5,6,8}
Cc = Re - C = {2,4,5}
BC = Re – B = {1,3,5,7}
CC ∩ BC = {5}
(CC ∩ B)C = Re - (CC ∩ B) = {1,2,3,4,6,7,8}
(A U B) ∩ (CC ∩ B)C = {1,2,3,4,6,8}
Conjunto potencia.- Su símbolo es la letra P mayúscula, es el conjunto que tiene él como
elementos todos los subconjuntos de un conjunto se lo representa P (A) =
{X/X C A} para calcular el número de subconjuntos se lo eleva el número 2 al número de
elementos del conjunto.
2
3
5
7
8
9
1
4
6
2
3
5
7
8
9

22. | Definición de Cardinalidad. 22
N (P(A)) = 2 N(A) Elemento del conjunto A.
Dado A = {1,2,3} Determine P (A)
N (P(A)) = 23 = 8 Tiene 8 Subconjuntos.
P (A) = {{1},{2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} , A}
Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, un conjunto es un conjunto del
mismo conjunto.
1. B = {a,b,c} Hallar P (B)
N (B) = (P(B)) = 23 = 8
P (B) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} , B}
2. Si A = {x,y,{x}} Hallar P (A)
P (A) = {{x}, {y}, {{x}}, {x,y}, {x{x}}, {y{x}}, , A}
3. Determine el valor de la verdad de las proposiciones.
a. X P (A) = 0
b. {x} P (A) = 1
c. {{{x}}} P (A) = 0
d. {{x}} P (A) = 1
e. P (A) = 1
Problemas de Conjuntos.- Se los conoce como problemas de carnalidad (conteo).
Los problemas de conjuntos se pueden resolver de la siguiente manera.
1. Realizando un grafico
2. En otros problemas se tiene que utilizar las siguientes formas.
N (A U B) = N (A) + N (B) – N (A B)
3. También se puede resolver los problemas de conjunto utilizando ecuaciones.
Ejemplo:
En una encuesta realizada a 500 alumnos se obtuvo la siguiente información, 220 estudian
matemática, 18 estudian física, 300 estudian química, 150 física y química, 120 estudian
matemática y químicas, 60 estudian matemática y física, 50 estudian tres materias. Determine
cuantos alumnos no estudian materia alguna.
Re
N (Re) = 500
N (M) = 220
2090
80
10
50
10070

23. | Definición de Cardinalidad. 23
N (F) = 180
N (Q) = 300
N (F ∩ Q) = 150
N (M ∩ Q) = 120
N (M ∩ F) = 60
N (M ∩ F ∩ Q) = 50
No estudian ninguna materia = 500 – 420 = 80
Cuantos estudiantes estudian por lo menos una materia = 90 + 80 + 20 = 190
Cuantos estudiantes estudian matemáticas o física pero no química = 90 + 20 + 10= 120
Cuantos estudiantes estudian matemáticas o química pero no física = 90 +70 + 80 = 240
Predicado de una variable.- Son expresiones en término de una variable que al ser
remplazados por los elementos de un conjunto referencial se convierten en proposiciones se lo
representa en minúsculas y entre paréntesis se pone la letra x.
p(x), q(x), r(x)
Ejemplo:
Re = {Quito, Lima, Bogotá, Caracas, Santiago}
p (x): x es la capital de Ecuador
p(Lima)= (Lima es la capital de Ecuador. (0)
p(Quito)= Quito es la capital de Ecuador (1)
p (Bogotá)= Bogotá es la capital de Ecuador (0)
Conjunto de verdad de un predicado.- Es el conjunto formado por todo el elemento
referencial para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. “Ap (x)”
Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P(x): x es número par
Ap (x): {2, 4, 6, 8, 10}
q(x): x es número impar.
Aq(x): {1, 3, 5, 7, 9}
Complemento de un conjunto de verdad.- Es un conjunto formado por todos los elementos
que no pertenezcan al conjunto de verdad de un predicado pero que sean parte del conjunto
referencial “A┐p (x)” “Ac
p(x)”

24. | Definición de Cardinalidad. 24
Re = {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30}
p(x): x es numero par.
q(x): x < 27
r(x): x < 29
s(x): x es número impar
Ap(x): {20, 22, 24, 26, 28, 30}
Aq(x): {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27}
Ar(x): {20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29}
As(x): {21, 25, 27, 29}
A┐p (x): {21, 25, 27, 29}
A┐q (x): {28, 29, 30}
A┐r (x): {30}
A┐s (x): {20, 22, 24, 26, 28, 30}
Cuantificadores
Existen dos tipos de cuantificador que son el cuantificador universal y el cuantificador
existencial.
Definición del cuantificador universal.- El cuantificador universal “∀” actua sobre un
predicado P (x) para formar la proposición ∀cp(x) que se lee “todo por cumple p(x)” o “cada x
cumple p (x)”. El cuantificador universal ∀xp(x) es verdadero si el conjunto de verdad del
predicado p (x), es igual al conjunto referencial. Si le falta un elemento es falso.
Definición de cuantificador existencial.- El cuantificador existencial “Ǝ” actúa sobre un
predicado p (x) para formar la proposición. Ǝxp(x) que se lee “Existe por lo menos un x que
cumple p(x)” o “algún x cumple p(x)”
Ǝxp(x) es verdadero si el conjunto de verdad de p(x) tiene menos un elemento que no
pertenezcan al referencial es falso si no tiene elementos que pertenezcan al referencial.
Ejemplo:
Re = {1,2,3,4,5} x el predicado p(x) = x > 2
Determinar el valor de verdad de las proposiciones.
a) ∀xp(x) falso por que los elementos del conjunto de verdad son diferentes.
b) Ǝxp(x) verdadero por que todos los elementos del conjunto Ap(x) son iguales.
Ap(x) = {2,3,4,5}

25. | Definición de Cardinalidad. 25
Definición de par Ordenado.- Un par ordenado es un conjunto formado por dos componentes
representado como (x,y), en el cual x se denomina primera componente y “y” se denomina
segunda componente. Como lo indica el nombre el orden es importante los pares ordenados
2, 3 y 3,2 no son iguales.
Definición de plano cartesiano.- El producto cartesiano entre los conjuntos A y B representado
como “AxB”, está formado por los pares ordenados (x,y) en los cuales la primera componente
pertenece al conjunto “A” y la segunda componente pertenece al conjunto “B”. Ejemplo:
A = {1, 2, 3} B = {a, b} Determine AxB
AxB = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
BxA = {(a,1), (a,2,), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
Relación.-
Una relación de A en B, que se representa como r: A→B es cualquier subconjunto del producto
cartesiano A x B, y se A donomina conjunto de partida y B se denomina conjunto de llegada.
Definición de Dominio.- El dominio de “r:” representado como “Dom r” es el conjunto
formado por los elementos del conjunto de partida que está en la relación.
Definición de Rango.- El rango se representa por “Rg r” es el conjunto formado por los
elementos del conjunto de llegada que están relacionados.
1. A = {1,2,3} B = {3,5,7,9}
R = {(1,5), (3,9)} es relación de A en B
El conjunto r si es un relación de A en B porque los pares ordenados (1,5), (3,9)
pertenecen a (AxB).
2. A = {a,b,c} B = {2,4,6,8} Determine si los siguientes conjuntos son relación de B en A.
R = {(a,2), (b,6), (b,8)} 0 no es un relación de B en A
R= {(2,a), (2,b), (2,c)} 1 si es una relación de B en A
Definición de fusión.- Un función de A en B es una relación de A en B que asigna que cada
elemento de A en único elemento de B.
Según la definición anterior el dominio de una función es igual al conjunto de partida por cada
elemento de conjunto de partida se relaciona un único elemento del conjunto de llegada, en
un diagrama sagital esto significa que cada elemento del conjunto de partida de salir
exactamente una flecha, para representar una función se utiliza f, también se puede utilizar las
letras d, h.
Cabe notar que toda función no es una relación para no toda relación representa una función.
Es una expresión y = f (x), x representa la variable independiente y la letra y representa la
variable dependiente.

26. | Definición de Cardinalidad. 26
A = {1,2,3,4} B = {1,4,9,12,16}
r: A → B
r: {(x,y)} y = x2
Determine si r es una función.
r: A → B
SI ES UNA FUNCION
r= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
Tipos de función.- Existen los siguientes tipos de función inyectiva. Sobreyectiva, biyectiva e
inversa.
Función inyectiva.- Una función es inyectiva cuando se asigna a cada elemento del rango un
único elemento dominio, de manera practica una función es inyectiva cuando los elementos
de una partida de cada elemento del conjunto de partida debe salir una sola flecha.
A = {2,4,5} B = {8,64,125,216}
f = A → B “y el cubo de x”
f = {(2,8), (4,64), (5,125)}
dom f: {2,4,5}
rg f: {8,64,216}
Dedición sobre inyectiva.- Una función es sobre inyectiva cuando el rango es igual al conjunto
de llegada. En una función sobre inyectiva no deben sobrar elementos en el conjunto de
llegada cada elemento debe tener una sola flecha de llegada. Ejemplo:
A = {-1, 0, 1} B = {0, 1}
F: A → B “y es el cuadrado de x”
1
2
3
4
1
4
9
12
16
2
4
5
8
64
125
216

27. | Definición de Cardinalidad. 27
F = {(-1,1), (0,0), (1,1)}
Dom f = {-1, 0, 1}
Rg F = {0,1} = B la función
es sobreyectiva.
Función biyectiva.- es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la función biyectiva es N (A) = N
(B).
En la función sobreyectiva N (A) es N (A) > N (B)
A = {Guayas, El Oro, Los Ríos} B = {Machala, Guayaquil, Babahoyo}
F A→ B “y es la capital de X”
F= {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Los ríos, Babahoyo)}
Dom f {Guayas, El oro, Los Rios} = A es Inyectiva
Rg f {Machala, Guayaquil, Babahoyo} = B es sobre inyectiva.
Definición de Función inversa.- El símbolo de F-1
solo las funciones biyectiva tiene función
inversa. Se invierten el orden de los pares ordenado.
-1
0
1
0
1
Guayas
El Oro
Los Rios
Machala
Guayaquil
Babahoyo

28. | Definición de Cardinalidad. 28
Números irracionales.-
Son aquellos que no pueden ser expresados como división de enteros, se lo representa con la
letra I mayúscula, algunos ejemplos de estos números son:
√ ,-√ , e, . Los irracionales se clasifican en:
Algebraicas y trascendentes.-
Los algebraicos son todos aquellos que tienen la forma √ , siempre que esta raíz no se exacta
y los trascendentes son e, , los números decimales que no son periódicos y no tienen un
numero finito de decimales son irracionales.
Números Reales.-
Se lo representa con la letra R mayúscula y se obtienen de la unión de los números racionales
con los irracionales R= QUI
Recuerda que el conjunto de números reales es subconjunto de los enteros y el conjunto de
los enteros es subconjunto de los racionales. Utilizando el diagrama de Venn para representar
los conjuntos numéricos se tiene.
I Q ᶻ Enteros
ᶰ Naturales
Irracionales Racionales
Las siguientes proposiciones son verdaderas:
N c Z c Q c R (1)
I Q= (1)
Q Z=Z (1)
Z N=N (1)
1) Determina cuál de los siguientes números es racional
(0) Irracional
1,232323 (1) Racional periódica puro

29. | Definición de Cardinalidad. 29
(0) Irracional
√ (0) Irracional
2) Determina el valor de verdad de la proposición:
El producto de números irracionales es un número irracional
La proposición es falsa. En muchos casos se cumple como en el producto entre √ √ =√ .
Sin embargo no siempre es así para justificar que la expresión es falsa basta que idees un
contraejemplo aquí uno si se realiza el producto entre los irracionales
Contraejemplo= √ √ = √ =4
Representación decimal de números irracionales
√ = 1,414213562373095
Este número puede representar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles cuyos catetos tienen medida igual a 1
√ = √ = √
√ = 1,73205080…
Este número puede representar la longitud de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados
miden 2 unidades
h=√ = √ =√

30. | Definición de Cardinalidad. 30
Este número resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su
diámetro
Una circunferencia tiene un diámetro de 8 m determine el valor
L= 25,13
= 3.14125
Notación Científica.- sirve para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas se
escribe como un número entre el 1 y el 9 multiplicando por una potencia de 10 cuyo
exponente nos indica los lugares que se mueve la coma.
Si la coma se mueve para la izquierda el exponente es positivo, si la coma se mueve hacia la
derecha el exponente es negativo.
La coma debe estar ubicada siempre después de la primera cifra que tiene valor en el lado
izquierdo ejemplos.
12000=
0,00036=
142000000=
1348=
0,00016=
0,00028=
Correcciones
1,2853 1.2853
1564,21 1,56421
0,0024 = 2,4
0,00364 = 3,64

31. | Definición de Cardinalidad. 31
Suma y Resta en notación científica
Para sumar y restar en notación científica primero se iguala los números a la mayor potencia
de 10 y luego se resuelve ejemplo.
1) 3,45
(3,45+0,0221+0,512) = 3,983
2) 4,72
0,0472
0,0472 = -5,75999
Multiplicación en notación científica.-
Se multiplica las partes numéricas y se suma los exponentes de la potencia de 10, ejemplo.
1) (3,42 ( ) = 7,781
2) (2,81 ( ) = 12,334 1,2334
3) (7,6 ( ) = 370,272
División en notación científica
Se divide las partes numéricas y se resta los exponentes de la potencia de 10
= 3,4 2,4
= 4,6 1,2
= 6,8 2,3
Potenciación en notación científica
Se eleva la parte numérica y la potencia de 10 al exponente del ejercicio
= 3,9304

32. | Definición de Cardinalidad. 32
Radicación en notación científica
Se extrae la raíz a la parte numérica y a la potencia de 10 en ocasiones se debe mover la coma
para poder extraer la raíz
√ 8
√ 5
√ √ √
√ √ √
Ejercicios combinados en notación científica
√ √
= =
=
Operaciones Binarias
Son operaciones que se realizan dentro del conjunto de números y que el resultado de esa
operación también está dentro del mismo conjunto de números por ejemplo.
La suma de números enteros es binaria porque al sumar un número entero y otro número el
resultado es un número entero

33. | Definición de Cardinalidad. 33
10
c
Cuando realizar la operación de división de números no siempre se va a obtener como
resultado un número entero por lo tanto la división de números enteros no es binaria.
Propiedades de las operaciones binarias
1. Propiedad clausurativa o cerradura
∀
Cuantificador signo de operación (suma, resta, multiplicación, división)
Universal
La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operación binaria debe permanecer al
conjunto que se toma como referencia.
Números enteros (z)
4+6=10
10-4=6
3 c
6x4=24
2. Propiedad Conmutativa
∀
La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la
operación Ejemplos.
c
3. Propiedad asociativa
∀ c c c

34. | Definición de Cardinalidad. 34
La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la
operación Ejemplo.
4. Propiedad de poseer elemento neutro
∀
La propiedad de poseer elemento neutro (n) indica que al realizar la operación entre cualquier
elemento del referencial y este elemento; o viceversa no lo modifica al primero Ejemplo.
Elemento neutro de la suma
Elemento neutro de la multiplicación
5. Propiedad de poseer elemento inverso
̅ ∀ ̅ ̅ ̅
La propiedad de poseer elemento inverso ̅ indica que al realizar la operación entre cualquier
elemento del referencial y este elemento, o viceversa se obtiene el elemento neutro (n).
Esta propiedad solo deberá probarse en caso de que existir elemento neutro.
Por definición toda operación binaria cumple con la propiedad clausurativa, las restantes
propiedades pueden o no cumplirse, según sea el caso, sin perjuicio de que la operación sea
binaria.

35. | Definición de Cardinalidad. 35
a*̅ inverso
Elemento neutro
Divisores y múltiplos de un numero entero (z)
6
Los divisores de un número son todos los números por los cuales se puede dividir el número
exactamente
1 2 3 6 cuál es el múltiplo….
Es el 6
Un múltiplo es un número que contiene exactamente a otros números en muchas ocasiones es
necesario saber si un número entero divide a otro sin necesidad de efectuar la división. Para
ello, se aplican las sencillas reglas o criterios de divisibilidad.
Un número es divisible por 2
Si termina en 0 en cifra par:
Ejemplos.
20 si es divisible para 2
1462 si es divisible

36. | Definición de Cardinalidad. 36
Un número es divisible para 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3
3: si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3
Ejemplos.
9 si es divisible para 3
69 si es divisible para 3
24 si es divisible para 3
Un número es divisible para 5 cuando termina en 0 o en 5
Ejemplo.
40
55
Un número es divisible para 10 cuando termina en 0 o en más ceros
10
20
100
Números primos y números compuestos
Los números primos son números mayores que no tienen como divisores el número 1 y el
mismo número.
7 divisores 1y7
11 divisores 1y 11
El conjunto de números primos está formado por los siguientes números
{ }
Los números que tienen más divisores se llaman números compuestos
20 divisores 1, 2, 4, 5, 10,20
10 divisores 1, 2, 5,10
1. Clasifica los siguientes números en primos o compuestos en caso de ser compuesto
descomponlos y en sus factores primos

37. | Definición de Cardinalidad. 37
A=225 Compuesto 5,3 225 3 2264 2
B=2264 Compuesto 2,283 75 3 1132 2
C=29 Compuesto 1,29 25 5 566 2
D=31 Compuesto 1,31 5 5 283 283
1 1
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
20 10 40 2
10 5 20 5 mcd 2x5=10
2 1 4
20 10 40 2
10 5 20 2 4
5 5 10 2 mcm=4x10=40
5 5 5 5 10
1 1 1
Ejercicios de aplicación de máximo común divisor = mcd
Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidades de 3 artículos diferentes, respectivamente
necesita elaborar paquetes por cada artículo de tal forma que el número de unidades de todos
los paquetes sea el mismo y el más grande posible.
El vendedor necesita calcular el número de unidades que debe tener cada paquete y cuantos
paquetes por artículo obtendrá.
24 36 48 2
12 18 24 2 4
6 9 12 3 mcm=4x3=12 unidades
2 3 4 paquetes
24 artículos salen 2 paquetes
36 artículos salen 3 paquetes
48 artículos salen 4 paquetes
Ejercicios de aplicación de mínimo común múltiplo
Un fabricante tiene 3 productos en su inventario, los cuales se realizan periódicamente cada
2, 6 ,10 semanas respectivamente, el fabricante necesita calcular cual será el mínimo tiempo
que debe transcurrir en semanas para que la revisión de los 3 productos coincidan

38. | Definición de Cardinalidad. 38
2 6 10 2
1 3 5 3 4
1 5 5 mcm=6x5=30
1
Teorema: Un teorema muy importante relacionado al mínimo común múltiplo y al máximo
común divisor es el que sigue. Para dos números enteros mayores que uno se cumple que la
multiplicación de los números es igual a la multiplicación del máximo común divisor por el
mínimo común múltiplo Ejemplo.
20 10 2 20 10 2
10 5 5 mcd=10 10 5 2 4 mcm=20
2 1 5 5 5 5
1 1
20 (10)= mcd (McM)
20 (10)= 10 (20)
200=200
Productos notables:
Son multiplicaciones que se realizan aplicando reglas.
Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera cantidad + o – el duplo de la
primera cantidad por la segunda cantidad más el cuadrado de la segunda cantidad.
1º cantidad 2º cantidad

39. | Definición de Cardinalidad. 39
Suma de la diferencia de dos cantidades
Minuendo Sustraendo
Es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo
Producto de dos binomios con termino repetidos
Es igual a la multiplicación de los primeros términos de ambos binomios, para obtener el
coeficiente del segundo término se suma algebraicamente los coeficientes del segundo y
tercer término y se escribe la letra del primer término con exponente la mitad, el tercer
término se obtiene multiplicando los términos segundo por el tercero
+
x
Productos de dos binomios con términos diferentes
Se multiplica cada término del primer binomio por los términos del segundo binomio y luego
se reduce los términos semejantes Ejemplo.
Cubo de un binomio
Es igual al cubo de la primera cantidad más el triple de la primera cantidad elevada al cuadrado
por la segunda cantidad más el triple de la primera cantidad por la segunda cantidad elevada al
cuadrado más la segunda cantidad elevada al cubo
Si el binomio tiene signo menos la respuesta lleva los signos alternados
+

40. | Factorización 40
Cuadrado de un polinomio
Es igual a la suma de los cuadrados de cada termino más el duplo de las combinaciones
binarias que se puedan formar, se debe tener en cuenta la ley de signos.
Las combinaciones binarias siempre se forman de un término con lo que está a su derecha.
Ejemplo.
c
c c
c c
c c c
c
Factorización
Factor común monomio y polinomio
El factor común monomio es el número y letras repetidas en todos los términos del ejercicio
para resolver se escribe el factor común monomio y se abre con un paréntesis en el que se
escribe el resultado de dividir cada término del ejercicio para el factor común monomio.
Se debe tener presente que los números y letras repetidos se los toma como el menor
exponente
El factor común polinomio es un binomio o trinomio repetido en todos los términos del
ejercicio o con el menor exponente.

41. | Factorización 41
Factor común por agrupación de términos.
Tiene cuatro o seis términos cada dos términos tienen algo en común. Para resolver se agrupa
en paréntesis los términos que tienen algo en común luego se factoriza el factor común
monomio y a continuación se resuelve el factor común polinomio.
Diferencia de cuadrados perfectos
Tiene dos términos separados por el signo menos, ambos términos tienen raíz cuadrada
exacta. Para resolver se escribe en un paréntesis al suma de las raíces cuadradas multiplicado
por otro paréntesis en el que se escribe la diferencia de las raíces cuadradas Ejemplo.
Suma y diferencia de cubos perfectos
Se lo conoce por que tiene dos términos separados por el signo menos, ambos términos tienen
raíz cubica exacta.
Para resolver se escribe en un paréntesis la suma o la diferencia de las raíces cubicas, según el
signo que tenga el ejercicio luego en otro paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz
cubica y luego se escribe un signo contrario al primer paréntesis y se multiplica las dos raíces
cubicas más el cuadrado de la segunda raíz cubica. Ejemplo

42. | Factorización 42
Trinomio de la forma
c
Se lo reconoce por que el primer término tiene siempre coeficiente uno y raíz cuadrada exacta.
El segundo y tercer término pueden ser positivos o negativos.
Para resolverlo se abre dos paréntesis en el primer paréntesis se escribe la raíz cuadrada del
primer término del ejercicio, este mismo valor se lo escribe como primer término del segundo
paréntesis.
En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término del ejercicio, en el segundo
paréntesis se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el
tercer término.
Si los signos de ambos paréntesis son iguales se buscan dos números que al multiplicar den el
tercer término y sumados el coeficiente del segundo término.
Si los signos son diferentes se buscan dos números que al multiplicados den el tercer término y
restados el coeficiente del segundo término, Ejemplo.
mayor menor
Trinomio de la forma
c
Se lo conoce por que el coeficiente del primer término es diferente de uno para resolverlos se
multiplica el coeficiente del primer término por el tercer término.
El primer paréntesis se escribe el coeficiente del primer término y la raíz cuadrada de la letra
del primer término, este valor también se escribe en el segundo paréntesis luego se procede

43. | Factorización 43
como en el caso del trinomio de la forma c, finalmente se divide ambos paréntesis
para el coeficiente del primer término.
Trinomio cuadrado perfecto
Tiene tres términos el primero y el tercero tiene raíz cuadrada exacta y signo positivo, el
segundo término debe ser el doble de la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada del
tercer término y puede ser positivo y negativo.
Para resolverlo se escribe entre paréntesis la raíz cuadrada del primer término, el signo del
segundo término y la raíz cuadrada del tercer término. Ejemplo
m 6
Se eleva el paréntesis al cuadrado
5 2
1
Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción
Es parecido al trinomio cuadrado perfecto pero tiene incompleto el segundo término, para
resolverlo se debe sumar una misma cantidad y también restar esa cantidad para completar un
trinomio cuadrado perfecto. Se factorisa el trinomio cuadrado perfecto y luego se resuelve la
diferencia de cuadrados, Ejemplo.

44. | Operaciones con fracciones algebraicas 44
Diferencia de cuadrados
Operaciones con fracciones algebraicas
1. Suma de fracciones algebraicas
2. Diferencia de fracciones algebraicas
3. Suma y diferencia de fracciones algebraicas
Primero se factoriza todos los denominadores y luego se saca el mínimo común múltiplo de
todos los denominadores se lo escribe como el denominador de las respuestas.
A continuación se divide el mínimo común múltiplo para cada denominador y el resultado se
multiplica por el numerador, luego se simplifica términos semejantes en el numerador,
Ejemplo.
MCM=
Multiplicación de fracciones algebraicas
Se factoriza el numerador y denominador de cada fracción y luego se simplificas, Ejemplo.

45. | División de fracciones algebraicas 45
División de fracciones algebraicas
Se factoriza numerador y denominador de cada fracción y luego se convierte la división en
multiplicación invirtiendo la fracción que esta alado derecho del signo de división, Ejemplo.
Fracciones compuestas (fracciones compuestas)
Son fracciones que tienen operaciones en el numerador y denominador, Ejemplo.
Método de división sintética
Divisores del 4
+1
( ) Se vuelve a aplicar división sintética
+2

46. | Racionalización 46
Racionalización
√ √
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número x se representa por | | y es un número no negativo tal que:
| | {
Si x es un número positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número. Si x es un número
negativo, su valor absoluto es su valor numérico cambiado de signo.
| |
| |
| |
| | | |
Propiedades del valor absoluto
Las siguientes propiedades de valor absoluto resultan de mucha utilidad en el trabajo de
números reales.
1. | | | || |
2. | |
| |
| |
3. | | | | | |
4. | | | | | |
Ejemplo.
| | | || |
| |
Intervalo cerrado
4, 5, 6, 7, 8, 9,10
8, 9, 10, 11,12
[ ]
a b
Un intervalo cerrado es un subconjunto de los números reales que contiene a todos los valores
que se encuentran entre a y b incluyendo los extremos a y b.

47. | Intervalo abierto 47
Intervalo abierto
3, 4,5
21, 22, 23,24
- +
a b
Un intervalo abierto es un subconjunto de los números reales que contiene a todos los valores
que se encuentran entre a y b sin incluir a los extremos
Intervalo semi abierto
] 3, 4, 5, 6, 7,8
a b
) 4, 5, 6, 7, 8,9
a b
Intervalos con extremo infinito
- +
a
Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales menores que a incluyendo el valor a
- +
a

48. | Ecuaciones lineales de primer grado 48
Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales menores que a sin incluir el valor a
- +
a
Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales mayores que a incluyendo el valor a
- +
a
Este tipo de intervalos incluye a todos los números reales mayores que sin el incluye el valor a
Ecuaciones lineales de primer grado
Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado
Para resolver problemas se sigue los siguientes pasos
a) Leer todo el problema
b) Asignar la incógnita al que representa menor cantidad
c) Con los datos del problema se plantea la ecuación
d) Se debe utilizar lenguaje matemático como por Ejemplo.

49. | Problemas sobre ecuaciones lineales o de primer grado 49
Hallar cuatro números pares enteros consecutivos cuya suma sean 172
Primero=
Segundo=
Tercero=
Cuarto=
Ecuación
Dentro de 40 años la edad de pedro será el doble de su edad actual. Cuantos años tiene pedro
Pasado Presente Futuro
Pedro X X+40
Actualmente Pedro tiene 40 años
La edad de Patty dentro de 30 años será el quíntuple de la edad que tiene hace 10 años. Cual
será la edad actual.

50. | Ecuaciones de Segundo grado 50
Ecuaciones de Segundo grado
a) Método de Factorización
b) Formula general
c) Por el método de complementar cuadrados
Método de factorización
Método de la formula general
√
√
√
√
Complementar cuadrados
Se dividen todo los términos del coeficiente x2

51. | Inecuaciones lineales de primer grado 51
Se divide el coeficiente de x a la primera para dos y el resultado se eleva al cuadrado, este
valor se suma a ambos en la ecuación
Trinomio cuadrado perfecto
( )
Raíz cuadrada en ambos lados
( )
√( ) √
Inecuaciones lineales de primer grado
(
3

52. | Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones) 52
Técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones)
Se la representa así n! significa que es igual a la multiplicación descendente desde el valor del
numero hasta el 1.
Ejemplo
5!=5x4x3x2x1=120
6!=6x5x4x3x2x1=720
7!=7x6x5x4x3x2x1=5040
Al realizar la operación con factorial recuerde que puede detenerse donde usted quiera
siempre que el ultimo numero le ponga factor y se pueda simplificar 2 factoriales iguales.
Ejemplo
5!=5x4x3!
1)
2)
El factor siempre será número positivo

53. | Regla de la suma 53
Regla de la suma
Si una primera tarea se puede realizar P formas, mientras que un 2da tarea se puede realizar
de Q formas, pero ambas tareas no se pueden hacer al mismo tiempo entonces existen p + q
formas de hacer las tareas. Ejemplos
Fernanda tiene una fiesta en la noche, por lo cual ha decidido irse con sus zapatos favoritos y
con su blusa color morada, pero aun no decide con que falda o con que pantalón de cuantas
formas puede ir vestida a la fiesta. Si su armario tiene 4 faldas y 5 pantalones
Faldas = 4
Pantalones = 5
Formas = 4 + 5 = 9
Andrés quiere adquirir un repuesto para su auto solo existe en 3 ciudades donde los venden
Guayas, Quito, Cuenca, En Guayaquil hay 4 locales, en Quito 3 y en Cuenca 7.
Cuantas formas puede adquirir el repuesto.
Guayaquil =4
Quito = 3
Cuenca = 7
Posibilidades 14
Regla de producto (Multiplicación)
Cuando un suceso puede ocurrir de m maneras y otro suceso puede ocurrir de n maneras sin
que afecte del uno al otro esas formas de ocurrir. Ejemplos
Un joven tiene 3 camisas y 2 corbatas ¿De cuantas maneras puede vestirse?
Camisas=3
Corbatas = 2
Formas 3 x 2=6
La producción de camionetas se da en 4 modelos de carrocería, 5 clases de motores y 8 colores
diferentes.
De cuantas maneras pueden presentarse una camioneta terminada.
Carrocería = 4
Motor = 5
Colores = 8
Permutaciones
Se la representa con la letra P, es un arreglo que se puede formar con todo los elementos o
parte de un conjunto donde si nos importa el orden de los elementos.
Sus formulas son:

54. | Permutaciones 54
n= Número de elementos
r= Cantidad de elementos tomados
Ejemplo
Calcular el número de permutaciones de 10 objetos tomado de 4 en 4
De cuantas maneras se pueden sentar 3 personas en una banca
Cuantas permutaciones se puede hacer con las letras de la cadena MONDAY si:
a) 4 letras son usadas al mismo tiempo
b) Se usan toda las letras
c) Se usan toda las letras, eligiendo una vocal para la primera posición
a.-
b.-
c.-
MONDAY= 6 letras
2 5 4 3 2 1 = 240 formas
Permutaciones con repetición
Llamamos permutaciones de n elementos cuando un elemento aparece A veces, otro B veces
y asi…
Ejemplo

55. | Permutaciones 55
Cuantas palabras no necesariamente pronunciadas se pueden formar con la palabra
MISSISSIPPI
I=4
S=4
P=2
=34650
Queremos ordenar 7 libros, 4 son de matemáticas, 2 de lenguaje y 1 de física
También se presentan permutaciones con repetición cuando ponemos n elementos y
tomamos de r en r
Cuantas permutaciones con repetición se pueden realizar con 3 elementos, si se tomamos de 2
en 2
Sin permutación sin repetición
2.-
Permutaciones Circulares PCn
Las permutaciones circulares de n elementos se refiere a los diferentes ordenamientos que se
pueden realizar alrededor de un círculo.
De cuantas maneras se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa
PC=10

56. | Combinaciones 56
De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas formando un circulo
PC=8
Combinaciones
AB-BA = Permutaciones
AB = Combinaciones
Se llama combinaciones de n elementos tomados de r en r a los diferentes grupos que se
pueden formar tomando r elementos en cada grupo diferente en un elemento combinatorio n
se toman cuenta el orden de los elementos por lo cual en este casi es así AB=BA
En los ejemplos por lo general es cuando se forman comités, grupos du guardias, etc.
Ejemplo
De cuantas maneras pueden elegirse un comité de entre 18 personas, si el comité debe tener
a) 3 miembros
b) 14 miembros
a)
n=18
r=3
b)
n=18
r=14

57. | Numero combinatorio 57
A una reunión asisten 10 personas que se inter saludan entre todos, cuantos saludos se han
intercambiado
De cuantas formas se pueden mesclar los 7 colores del arcoíris tomados de 3 en 3
Para cierto experimento se selecciona 3 ratones de un grupo de 5 blancos y 4 cafés
a) De cuantas maneras se pueden escoger 3 ratones blancos
b) De cuantas maneras se pueden escoger 2 ratones blancos y 1 café
c) De cuantas maneras se puede escoger 1 ratón blanco y 2 cafés
Numero combinatorio
Coeficiente binomial
Es un número que está asociado con las combinaciones de n elementos tomadas de r en r
Ejemplo
El número combinatorio se puede calcular utilizando la calculadora
Binomio de Newton
Sirve para calcular potencia de binomio elevando a un numero entero
Su fórmula es:
( ) ( ) ( ) ( )

58. | Progresiones Aritméticas 58
Donde a y b pertenecen a los números reales
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Formula del término General
( )
Hallar el 5 término de
( )
( )
Determinar el término central
( )
( )
Progresiones Aritméticas
Es una serie creciente o decreciente en la cual cada termino después del primer termino es
formado sumando una cantidad fija al termino precedente, esta cantidad se llama diferencia.

59. | Interpolación de medios Aritméticos 59
Sus fórmulas son
Hallar el 8vo termino de la progresión aritmética 2,4,6,8…….
a=2
n=8
d=4-2=2
Si la suma de 7 elementos de una progresión aritmética es -7 y su diferencia es 2. Hallar el
primer término de esa progresión
Interpolación de medios Aritméticos
3_ _ _ _ _ _38

60. | Progresiones Geométricas 60
Progresiones Geométricas
Una progresión geométrica es una serie tal que cada término, después del primero resulta de
la multiplicar términos precedente por un número fijo, llamado razón.
Hallar el 9 término de una progresión geométrica
10,20,40,…………………….
Hallar el numero de términos una progresión geométrica que comienza por 7 y termina en 448
sabiendo que su razón es 2

61. | Funciones de variable real 61
Halla la suma de los 6 primeros términos de 3,6,12,24……
Funciones de variable real
En la función de la variable real tanto la variable independiente como la variable dependiente
pertenece al conjunto de números reales.
Función de la recta
Función cuadrada
Función exponencial
Función logarítmica
Función logarítmica
Dominio y rango de una función real
El dominio de la función es todos los valores que pueden tomar la variable independiente y
que pertenece al conjunto de números reales
√
Si la función contiene un cociente, esto no existe, si el denominador se hace 0, por lo que se
debe excluir del dominio aquellos valores de, que provocan esta situación
Si la función contiene una raíz de índice para esta existirá solo si el radicando es positivo o 0
1.- Determine el dominio de la función
Dom f = R todo los números reales
2.- Hallar el dominio de

62. | Rango de una función de variable Real 62
Dom f= R-{3}
3.- Determinar el dominio
√
Dom f
4.- Determinar el dominio
√
Cuando el radica esta en el denominador la expresión solamente
puede ser positiva
Dom f =
Rango de una función de variable Real
Se despoja x en la función de rango, son los valores de x
Determine el rango de
Rango todo los números reales
Función lineal
Es una línea recta que no pasa por el origen y se la expresa de la siguiente manera.
X
Y

63. | Función lineal 63
Donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen y
Ordenada
Pendiente
Intersección de X
Intersección de Y
Pendiente
A la ecuación de la recta se la conoce como ecuación de la pendiente y ordenada
en el origen
Hallar la ecuación de la recta de pendiente y ordenada en el origen
Intersección de X
Intersección de Y
En la recta cual es el valor de la pendiente y cual es la ordenada
Pendiente =8
Y
X
(0,6)
(-3,0)

64. | Ecuaciones línea recta 64
Ordenada =16
En la recta la pendiente vale 4 y la ordenada 12
Falso
Ecuaciones línea recta
6 ecuaciones de recta de pendiente y ordenada en el origen
Ecuaciones de punto y pendiente
Punto
Pasa por el punto (4,6) y m=3
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos
Hallar la ecuación de rectas por los puntos A=(6,4) y B =(8,10)
(4,6)
(8,10)
(6,4)
Y
X
Y
X

65. | Ecuación general de la recta 65
Ecuación general de la recta
En la ecuación general de la recta se toma la ecuación de rectas paralelas II
Dos rectas perpendiculares, tienen pendiente invertida y cambiadas de símbolo
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y es paralela a la recta
Punto (2,3) m=3
Ecuaciones de la recta de la abscisa y ordenada
Abscisa = a (a,0) abscisa en el origen
Ordenada=b (0,b) ordenada en el origen
Esta ecuación se refiere a la intersección de la recta con los puntos x
Hallar la ecuación e la recta que tiene de abscisa en el origen 6 y la ordenada en el origen 4
Y
X

66. | Ecuación normal de la recta 66
Ecuación normal de la recta
c
La ecuación normal de la recta tiene el valor positivo P que va del origen en forma
perpendicular y la recta A y B, formando un ángulo de inclinación
Halla la ecuación normal de la recta que tiene un valor p=4 y su ángulo es 30º
c
c
Función cuadrática
Se refiere a la ecuación de segundo grado
El grafico representa una parábola si
Y
X
Y
X
p
a
b

67. | Función cuadrática 67
a>0 hacia arriba
a<0 hacia abajo
Para graficar una parábola se asigna valores a la variable independiente y luego se marca los
puntos
Graficar la siguiente parábola
X Y
0 -6
1 -10
2 -12
3 -12
-1 0
-2 8
-3 18
Y
X
Y
X
Y
X
𝟐 𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓

68. | Función cuadrática 68
Vértice
( )
( )
( )
( )
( )
El vector de la parábola tiene una coordenada y nos indica el punto donde vira la parábola , el
vértice indica si trata de un mínimo o máximo
( )
( )
( )
( )
x y
0 2
1 7
2 16
3 29
-1 1
-2 4
-3 11
Y X
𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐𝑴𝒂𝒙𝒊𝒎𝒐
X
Y

69. | Función exponencial 69
Función exponencial
Tiene como base constante y y el exponente es una variable
X Y
0 1
1 2
2 4
3 8
Función logarítmica
X Y
1 3
2 3.30
3 3.48
4 3.60
Unidad 5
Trigonometría
Teorema de Pitágoras:
Sirve para calcular la hipotenusa y los catetos.
Hipotenusa:
Es igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos de ambos lados.
X
Y
X
Y

70. | Trigonometría 70
√
Cateto o lado:
Es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el cuadrado del otro lado.
√ √
1. En triangulo rectangular a = 3 b = 4 hallar el valor c.
√
√
√
C = 5
Funciones trigonométrica
Ceno A = cosecante A =
Coseno A = secante A =
Tangente A = cotangente A =
El cateto opuesto es el que está al frente del ángulo, y cateto adyacente es el que está a lado
del ángulo.
1. hallar las funciones trigonométricas de los ángulos A y B del triángulo.
Ceno A = B = cosecante A = B =
Coseno A = B = secante A = B =
Tangente A = B = cotangente A = B =
Funciones Trigonométricas de 30° y 60°
Las funciones trigonométricas de 30° y 60° se los encuentran en un triángulo equilátero cuyos
lados miden 2 unidades.
2
2 2
30
R

71. | Ley del Seno y del Coseno 71
R=√ √ √
Sen 30= ½
Cos 30=
√
Tag 30=
√
=
√
√
√
√
Ctg 30=
√
Sec 30=
√ √
√
√
√
Csc 30=
√
Sen 60=
√
Cos 60=
Tag 60=
√
Ctg 60=
√ √
√
√
√
Sec 60=
Csc 60=
√ √
√
√
√
Ley del Seno y del Coseno
Se aplica en triángulos oblicuángulos que se dividen en dos grupos los acutángulos que tienen
3 ángulos agudo y el obtusángulo que tienen un Angulo absoluto
Ley del coseno:
En todo triangulo un rectángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de
los 2 otros lados menos el duplo de la multiplicación de dichos lados de multiplicación por el
coseno del Angulo que forman dichos lados

72. | Identidades Trigonométricas 72
a2
=b2
+c2
-2bc Cos A
b2
=a2
+c2
-2ac Cos B
c2
=a2
+b2
-2ab Cos C
√
√
√
C2
= a2
+b2
-2ab Cos C
C2
=(600m)2
+(80m)2
-2(60)(80) cos 700
C2
=3600+6400-3283,39
C2
=6716,61m2
√
Ley del seno:
En todo triangulo no rectángulo el lado del triángulo sobre el seno del ángulo opuesto es igual
a otro lado del mismo triangulo sobre el seno de su ángulo opuesto.
Sen B(81,95) 80m Sen 70
Sen B= 80M Sen 70/81.951
Sen B= 0.92
<)= 66,54
Identidades Trigonométricas
Para resolver identidades trigonométricas se utiliza las siguiente formulas conocidas como
relaciones fundamentales
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
70
AC
b=80
c=81,94
70
B

73. | Identidades Trigonométricas 73
De las formulas se pueden despejar y también se puede elevar al cuadrado al cubo cuando
requiere hacer remplazo.
Elevado al cubo Elevado al cuadrado
Elevado al cubo Elevado al cuadrado
1) Tanx .Ctgx=1 2) (Senx+Cosx)2
Sen2
+2Senx+Cosx+Cos2
x=
2Sen+Cosx+1=2SenxCosx+1
(Senx+Cosx)2
+(Senx-Cosx)2
=2
Sen2
x+2SenCosx+Cos2
x+Sen2
x-2SenxCosx+Cos2
x=2
1+1=2
2=2
Sec2
x+Csc2
x=Sec2
x.Csc2
x
+

74. | Identidades Trigonométricas 74
Csc2
x.Sec2
x=Sec2
x.Csc2
x
+
+
Senx.Cosx+Cosx+Seny
Cosx.Cosy
Cosx.Seny+ Senx.Cosx
Senx.Seny
+
FORMULAS
Senx.Cscx=1
Cosx.Secx=1
Tangx.Cotgx=1
Sen2
x+Cos2
x=1
Sec2
x=1+tan2
x
Csc2
x=1+ctg2
x

75. | Capitulo 6 75
+ 1
2Cosx-Senx-Cosx
+
1=1
Capitulo 6
Geometría Plana y del Espacio
Polígonos.-
son figuras geométricas planas que tienen tres o más lados pueden ser regulares e irregulares.
Triángulo equilátero
Cuadrado, rombo
Regulares Pentágono regular
Hexágono regular
Polígonos
Irregulares
Los polígonos regulares
Tienen todos sus lados iguales son ejemplos de polígonos regulares el triángulo equilátero

76. | Perímetro.- 76
Los polígonos irregulares
Son aquellos que no tienen sus lados iguales son ejemplos el triángulo isósceles, triángulos:
escaleno, triangulo, rectángulo, cuadriláteros, cuadrado, romboide, trapecio.
Perímetro.-
Es igual a la suma de todos los lados de la figura geométrica ejemplos.
c √
c √
c √
c √
c
Calcular un perímetro de un rectángulo que mide de largo 20m y 12 m de ancho
Hallar el perímetro del círculo que tiene de radio 8m
Hallar el perímetro del romboide que mide 10m de lado

77. | Área o Superficie.- 77
Hallar el perímetro del trapecio que mide de base mayor 20m de base menor 12m altura 8m
c √
c √
c √
c
Hallar el perímetro del pentágono regular cuyo lado mide 14m
Área o Superficie.-
Se lo representa con la A mayúscula cada figura geométrica tiene su fórmula para calcular el
área.
Triangulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Trapecio
Romboide

78. | Área de polígonos regulares.- 78
Área de polígonos regulares.-
El área de cualquier polígono regular es igual a perímetro por apotema sobre dos
Apotema (ap).-
Es la línea que va del centro del polígono al punto medio de un lado del polígono
Hallar el área del polígono regular que mide de lado 8m y radio 5m

79. | Elementos de la Circunferencia y Círculo 79
√
√
√
Elementos de la Circunferencia y Círculo
O= Centro
AB= Diámetro
OC= Radio
DE= Cuerda
L1= Secante
El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia
En la figura de radio las cuerdas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son paralelas si la cuerda ̅̅̅̅ √
unidades encuentre la distancia que separa las dos cuerdas

80. | Ángulos en la Circunferencia 80
√
̅̅̅̅ || ̅̅̅̅
CB= Diámetro
̅̅̅̅
̅̅̅̅
√
̅̅̅̅
̅̅̅̅ √
̅̅̅̅ √ √ √ √ √
Ángulos en la Circunferencia
Angulo Central.-
Es aquel cuyo vértice es el centro de la circunferencia, y sus lados están sobre los
radios ejemplo
Angulo centro
Vértice

81. | Ángulos en la Circunferencia 81
Angulo Inscrito.-
Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados están sobre las cuerdas
o secantes.
Angulo inscrito
Vértice
Angulo Interior.-
Es aquel que está formado por la intersección de dos cuerdas cuales quiera
Angulo interior
Vértice
Angulo exterior.-
Es aquel que está formado por dos secantes o dos tangentes; o una secante y una
tangente que parten de un mismo punto exterior a la circunferencia.
Angulo exterior
ApB
Vértice

82. | Relación entre Angulo central e inscrito.- 82
Angulo Exterior
ApB
Vértice
Angulo Exterior
ApB
Angulo semi-inscrito.-
Es aquel cuyo vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son una tangente y una
cuerda respectivamente
Angulo semi- abierto
ApT
Vértice
Relación entre Angulo central e inscrito.-
Una propiedad muy útil que relaciona el ángulo central con el ángulo inscrito es:
La medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central para ángulos
que intersecan la circunferencia en los mismos puntos

83. | Capitulo 7 83
Angulo inscrito
Angulo central
Medida
Capitulo 7
Vectores en el plano y el espacio
Los vectores en el plano se representan en coordenadas rectangulares de la siguiente manera
⃗
⃗⃗
⃗

84. | Vectores en el plano y el espacio 84
Los vectores en el espacio en coordenadas rectangulares se representan con 3 valores que
corresponden a los ejes x,y,z
⃗
⃗⃗
⃗
Para graficar se utiliza un plano cartesiano en el espacio conocido como sistema de la mano
derecha o también sistema de la mano izquierda
Multiplicación de un escalar por un vector
Un escalar es un número que se lo debe multiplicar por los valores del vector
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

85. | Suma de Vectores 85
Modulo de un Vector
Para sacar el modulo de un vector se aplica el teorema de Pitágoras
⌊⃗⃗⃗⌋
⌊ ⃗⌋ √
⌊ ⃗⌋ √
⌊ ⃗⌋ √
⌊ ⃗⌋
⌊⃗⃗⃗⌋
⌊⃗⃗⌋ √
⌊⃗⃗⌋ √
⌊⃗⃗⌋ √
⌊⃗⃗⌋
Vector Unitario.- Para obtener el Vector Unitario se obtiene el modulo del vector y luego
se divide los valores del vector para el modulo
⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
Suma de Vectores
Para sumar vectores se suman los valores de i , de j y de k
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗

86. | Diferencia de vectores 86
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
Diferencia de vectores
Para realizar la diferencia se escribe el vector minuendo y al vector sustrayendo se le cambia
los signos y luego se resuelve
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Producto escalar de 2 Vectores
Se lo conoce como producto punto de 2 vectores y la operación viene de la siguiente manera
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ en el producto punto se debe tener en cuenta lo siguiente+

87. | Producto de dos valores (Producto Cruz) 87
⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Producto de dos valores (Producto Cruz)
El producto vectorial es otro vector que es perpendicular a cada uno de los vectores que se
multiplica
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Cuando el producto vectorial no sale un vector es nulo
⃗⃗⃗ VECTOR NULO
Cuando no sale un vector, uno los vectores paralelos para realizar el producto vectorial se
utiliza determinantes, y ese determinante se resuelve en desarrollo por menores que consiste
en utilizar la primera fila con cada letra se forman un nuevo determinante, eliminando la fila y
la columna de esa letra, también se utiliza el cofactor que resulta sumar el vector de la fila mas
el numero de columnas del resultado si es par se pone signo mas, si el resultado es impar se
coloca signo menos.
Ejemplo
Encuentre el producto cruz de
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Cofactor

88. | Capitulo 8 88
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [ ] [ ] [ ] [ ]
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Capitulo 8
Geometría analítica
La geometría analítica es la aplicación del algebra a la geometría se utiliza el plano
cartesiano para representar las ecuaciones de rectas, circunferencias, parábolas, elipses e
hipérbola.
Distancia entre dos Puntos.
d= √ 2
dbc= √ √
dab= √ √
Punto medio de un Segmento.
x =

89. | Área de polígonos en función de las coordenadas de sus vértices. 89
Ejemplo:
De un triangulo sabiendo (-2,1) (2,-3) (5,2). Hallar las coordenadas de los vértices.
-3, 4 9, 0 1,8
Área de polígonos en función de las coordenadas de sus vértices.
Se grafica el polígono y se forma un determinante con las coordenadas de los vértices.
A=
Si se toma los vértices en sentido contrario las agujas del reloj en el área sale positivo.
Si se toma los vértices de las agujas del reloj el área sale negativo.
Hallar el área del triangulo cuyos vértices son (2,3) (5,7) (-3,4)
A
B
C
B 5,2
C 2,-3
A -2,1
Se repite la primera

90. | Líneas y puntos notables del triangulo 90
A= =
A = = 11.5
Líneas y puntos notables del triangulo
Todo triangulo tiene:
- 3 alturas
- 3 medianas
- 3 mediatrices
- 3 bisectrices
- Baricentro
Es el punto de inserción de las 3 medianas del triangulo.
Mediana:
Es la recta que va del vértice, al punto medio del lado opuesto.

91. | Mediatriz: 91
Mediatriz:
Es la recta que sale del lado punto medio de un triangulo en forma de perpendicular.
Circuncentro:
Es el punto de intersección de los 3 mediatrices del Angulo.
Altura:
Es la recta que va del vértice al lado opuesto en forma perpendicular.
Ortocentro:
Es el punto de intersección de la altura de un triangulo.

92. | Bisectriz: 92
Bisectriz:
Es la recta que divide a 2 triángulos en 2 partes iguales.
Incentro: Es el punto de intersección de los 3 bisectrices del triangulo.
 Bisectrices
 Incentro

93. | Unidad 9 93
Parte
ImaginariaParte
Real Parte
Real
Parte
Imaginaria
Respuesta
Unidad 9
Números complejos.
El número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria.
Z= x + y  (x, y)
El numero complejo también puede ser expresado como un par ordenado x, y. Tanto la
parte real como la parte imaginaria pueden ser positivas o negativas.
Z= 4 + 8i  (4,8) Z= 6 + 10i  (6,10)
Multiplicación de un numero complejo por un número cualquiera.
Se multiplica ese número por cada término del número complejo tomando en cuenta cada
signo.
1. Z= 6 + 8i
3Z= 3(6+8i) = 18 + 24i
3Z= 3(6+8) = (18 + 24)
2. Z1 = -4 +8i
7Z1 = 7(-4+8i) = -28 + 54i
7Z1 = 7(-4,8i) = (-28 ,54i)
Número Complejo Conjugado:
el número complejo conjugado es un número que tiene los mismos términos del número
complejo pero la parte imaginaria tiene signo cambiado, se lo representa con una barra en
la parte superior de la letra.
1. Z= -8 +6i = -8 – 6i
Z= (-8, 6i)  = (-8, 6i)
(-8, 6i) (-8, -6i)
2. Z= -7 -8i  = -7+8i
 = (-7, 8i)
(-7, -8i) (-7, 8i)
3. Z= -6 -5i  = -6 + 5i
 = (-6, 5i)
4. Z= -20 - 40i  = -20-40i

94. | Suma de números complejos: 94
 = (-20, 40i)
La letra i es igual  i = √ ; ( i )2 = √ 2 = i2 = -1
Es importante conocer la potencia de i que van variando en forma cierta para potencias
enteras del 1 al 4.
I1 = i
I2 = -1
I3 = i2 · i = ( -1 ) i = -i
I4 = i2 · i2 = ( -1) ( -1 ) = 1
Una forma practica de deducir el valor de la potencia in con n>4 es dividiendo n para 4 y
trabajar con el residuo de esta división.
I21 = ( 14)5 i = ( i)5 i = i
I62 = ( 14)15 i2 = ( i)15 i2 = ( 1) (-1) = -1
I92 = ( 14)22 i3 = ( 1) (-1) = -1
I96 = ( 14)24 = ( 1)24 = 1
I135 = ( 14)-33 i3 = ( 1)33 - i = -1
I202 = ( 14)50 i2 = ( 1)50 - i = -1
Suma de números complejos:
Para sumar números complejos se suman las partes reales y luego las partes imaginarias
realizando sumas algebraicas.
Z1 = 1 – i  Z2 = -3 + 4i
a) Z1 + Z2 = (1 – i) +3 (-3 + 4i)= -2 + 3i
b) 2Z1 + 3Z2= 2(2-1) + 3(-3 + 4i)=
22-2i-9+12i= -7+10i// (-7,10)//
c) 5Z1+6Z2= 5(1+i) +6(-3+4i)
5-5i(-18+24i)= -13+19i // (-13+19)//
Diferencia de números complejos.
Para realizar la diferencia se le cambian los signos al número complejo sustraendo y luego
se resuelve como en la suma
Z1=1-i Z2=-3+4i
Z1-Z2= (1-i) – (-3+4i) = 1 - i + 3 - 4i = 4 - 5i = (4,-5)//
Z2- Z1 = ( -3+4i) – (1-i) = -3 + 4i – 1 + I = -4 + 5i //
Z2- Z1 = (-3 + 4i ) – (1 + i) = -3 – 4i – 1 – I = -4 – 3i = (-4 – 3)//
Z2- Z1 = (-3+4i) – (1+i) = -3+4i-1-I = -4+3i = (-4,3) //

95. | Multiplicación de número complejos, 95
3 Z2- 2Z1= (-9+12) – (2-2i) =(-9+12) (-2+2i) = (-11+14i) //
Multiplicación de número complejos,
Para multiplicar números complejos se multiplica cada término del primer número
complejo por todos los términos del segundo número complejo, teniendo en cuenta la
potencia de i.
Z1= 1-i Z2= -3+4i
Z1Z2 = ( 1-i) (-3+4i) = -3+4i-3i+4i2 = -3+7i-4(-1) = -3+7i+4= 1+7i =(1,7) //
2Z1 3Z2= (2-2i) (-16+32i) =-18+24i+18i-24i2 = -18+24i+18i-24(-1) = -18+42i +24 =6+42i=
(6,42)
Z1= 6+3i Z2= -4+8i
2Z1 4Z2 = (16+6i) (-16+32i) =-192+384i-96i+192i2 = 192+288i +192(-1) = -192 +288i –
192 = 384+288i //
División de números complejos.-
Para dividir números complejos se multiplica por una fracción formada por el complejo
conjugado del denominador y luego se resuelve.
= =
//
Representación Grafica De Los Números Complejos
Un numero complejo se lo representa en el plano cartesiano, la parte real va en el eje X y la
parte imaginaria va en el eje Y.
Z=6+4i
Y (6,4i)
r
X
6
La línea que une al origen con el punto se designa con la letra r y se llama modulo del
número complejo su fórmula es:

96. | Coordenadas polares de números complejos. 96
R: | | | | √
R: | | | | √
R: | | | | √ √
R= √ √ //
El ángulo teta se lo conoce como ángulo de argumento y selo calcula con la segunda
formula
tangƟ=
tangƟ= = 0,64
≮Ɵ=33,69°
Z1= 1+√
Ɵ √
Coordenadas polares de números complejos.
Las coordenadas polares de números complejos son (r;Ɵ).
(r;Ɵ)
(2,60°)  (2; )
senƟ= cosƟ=
rsenƟ=y rcos=x
Remplazamos:
X+yi=rcosƟ +rsenƟ
Saco factor común
X+yi=r
tangƟ =
𝑦
𝑥
tangƟ=
≮Ɵ=60° =
𝜋
//
R= |𝑍| √
R= √ (√ )
R= √
R=2

97. | Capítulo 10 97
Z1 = 1+√ = 2
[ ]
Capítulo 10
Matrices:
Es un arreglo de filas y columnas que va dentro de un corchete o paréntesis {},
Matriz rectangular:
Es aquella que tiene diferente el número de filas y el número de columnas.
Matriz cuadrada:
Es aquella que tiene igual el número de filas y el número de columnas.
En la matriz cuadrada se distingue la diagonal principal
Matriz Transpuesta:
Su símbolo es una A elevada a una T mayúscula .
Es otra matriz formada por el intercambio de los elementos de las filas por las columnas.
Coordenadas
trigonométricas

98. | Multiplicación de una matriz por una escalar: 98
Multiplicación de una matriz por una escalar:
Se multiplica el escalar por cada término de la matriz.
Ejemplo
Suma de matrices:
Solo se puede sumar matrices cuadradas, para sumar las matrices se suma los elementos que
ocupan el mismo orden en las dos matrices.
Ejemplo

99. | Diferencia de matrices: 99
Diferencia de matrices:
La diferencia de matrices se puede realizar entre matrices cuadradas, para la diferencia de
matrices se le cambia los signos a la matriz que hace de sustraendo y luego se realiza como en
una suma.
Ejemplo
Multiplicando matrices:
La multiplicación de matrices de matrices se realiza entre dos matrices que no necesariamente
deben ser cuadradas para resolver se va multiplicando los elementos de la primera fila de la
matriz A por cada elemento de la primera columna de la matriz B, estos resultados se suman
para obtener un solo valor.
Luego se multiplica los elementos de la primera fila de la matriz a por los elementos de la
segunda columna de la matriz P, si la segunda matriz tuviera una tercera columna se
multiplicaría la primera fila de la materia A por la tercera columna de la matriz B y se suman
estos resultados para obtener un solo valor.
El mismo procedimiento con la primera y la segunda fila de la matriz A.

100. | Matriz identidad 1: 100
Matriz identidad 1:
La matriz identidad es una matriz cuadrada que tiene la diagonal principal formada por
números 1.
Ejemplo
De acuerdo a la matriz cuadrada tendrá la matriz identidad
Matriz inversa:
Su símbolo es A-1
. Para que una matriz tenga matriz inversa debe ser una matriz cuadrada y el
valor del determinante de la matriz debe ser diferente de 0.
La matriz inversa se calcula por la siguiente formula
A-1
= Matriz inversa.
= Determinante de la matriz.
= Matriz de adjuntos de A.
= Matriz transpuesto.

101. | Matriz de adjuntos: 101
Matriz de adjuntos:
La matriz de adjuntos se obtiene con los cofactores de cada elemento de la matriz.
Ejemplo
a) Calcular el determinante
Como el valor del determinante es diferente que cero la matriz A si tiene matriz inversa.
b) Calculo de la matriz de adjuntos Ad
.
c) Calcula de la matriz traspuesta del matriz adjunto.
d) Aplicamos la formula

102. | Capítulo 11 102
Capítulo 11
Estadística y probabilidad
Estadística:
Es la ciencia que reúne y organiza los datos informativos de una población.
Ejemplo:
Cuando se organiza los datos de las personas nacidas en el cantón Machala en el 2013.
Población:
Son todos los individuos que se toma en cuenta para un estudio estadístico.
Ejemplo:
Si realizamos un estudio de los alumnos que realizan el curso de nivelación en la Universidad,
la población son todos los alumnos.
Muestra:
Es una parte representativa de los individuos que integran una población
Ejemplo
En los estudiantes que asisten al sistema de nivelación de la Universidad la muestra podría ser
alumnos del paralelo “B” de Ingeniería en Sistemas.
Tabla de distribución de frecuencia: Es un cuadro donde se organiza la información
reconectada mediante encuestas.
Ejemplo:
 Los estudiantes de 8vo de Basica de la escuela La Providencia obtuvieron las siguientes
notas en la materia de matemáticas:
MATEMATICAS
14 13 12 12 14 18 20 20
14 15 15 16 16 17 18 19
19 18 16 13 12 14 15 16
20 18 14 15 16 18 13 19

103. | Muestra: 103
fi Fi hi Hi
Notas Frecuencia
absoluta
Frecuencia
absoluta
acumulativa
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
acumulad
12 3 3 3/32=0.09 0.09
13 3 3+3=6 3/32=0.09 0.09+0.09=0.18
14 5 6+5=11 5/32=0.16 0.18+0.16=0.34
15 4 11+4=15 4/32=0.13 0.34+0.13=0.47
16 5 15+5=20 5/32=0.16 0.47+0.16=0.63
17 1 20+1=21 1/32=0.03 0.63+0.03=0.66
18 5 21+5=26 5/32=0.16 0.66+0.16=0.82
19 3 26+3=29 3/32=0.09 0.82+0.09=0.91
20 3 29+3=32 3/32=0.09 0.91+0.09=1
32 1
Formula
 Las notas de química de los estudiantes del paralelo “B” de Ingeniería de Sistemas son
las siguientes:
7 7 8 8 9 10 10 9 7 7
7 8 8 9 9 10 10 7 7 8
7 8 7 9 10 10 7 7 8 8
10 10 7 8 8 9 9 7 7 8
fi Fi Hi Hi
Notas Frecuencia
absoluta
Frecuencia
absoluta
acumulativa
Frecuencia
relativa
Frecuencia
relativa
acumulad
7 14 14 14/40=0.35 0.35
8 11 14+11=25 11/40=0.28 0.35+0.28=0.63
9 7 25+7=32 7/40=0.18 0.63+0.18=0.81
10 8 32+8=40 8/40=0.20 0.81+0.20=1.01
40 1

104. | Muestra: 104