量子情報

1. 電磁気と重力のとある関係
原 健太郎
東京理科大学 理学研究科
10/2018
原 健太郎 (Tokyo University of Science,Math) 電磁気と重力のとある関係 10/2018 1 / 21

2. 自己紹介
1
身分 ：大学院生
、非常勤講師（高等学校）
2
専攻：物理学、数学
3
大学で非常勤講師（物理学、
数学）をやりたいのですが、
厳しいです。
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3. Main result
(https://arxiv.org/abs/1809.02328v1

4. Main result
metric matrix made of gauge field matrix
g := 2
(
E4 − ˆF−θ
)−1
− E4
Theorem
If the gauge field ˆF− is instanton,
then g is the Einstein metric
ˆF− = −ˆF− =⇒ R¯jk = 0
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5. 一般相対性理論

6. 一般相対性理論
Definition (Einstein’s equations)
Rjk −
1
2
Rgjk = Tjk
Example (Einstein manifolds)
Schwarzschild solution
Kerr‐Newman metric
Friedmann‐Lematre‐Robertson-Walker metric
G¨odel solution · · ·
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7. マクスウェルの方程式(ゲージ
理論)

8. Electromagnetic field tensor
Definition (Electromagnetic field tensor)
Electromagnetic field tensor E ∈ C∞
(M, Alt4) is defined
as
E (p) =




0 E1 (p) E2 (p) E3 (p)
−E1 (p) 0 −B3 (p) B2 (p)
−E2 (p) B3 (p) 0 −B1 (p)
−E3 (p) −B2 (p) B1 (p) 0




where p ∈ M
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9. Electromagnetic field tensor
Remark
E =




0 E1 E2 E3
−E1 0 −B3 B2
−E2 B3 0 −B1
−E3 −B2 B1 0




=:




0 F−
12 F−
13 F−
14
−F−
12 0 F−
23 F−
24
−F−
13 −F−
23 0 F−
34
−F−
14 −F−
24 −F−
34 0




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10. Gauss’s law,Amp´ere’s circuital law
Definition (Equations of motion)
Electromagnetic tensor E is
defined as
∂µF−
µν := ˜gµα∂αF−
µν = 0
where ˜g is a Minkowski metric.
Remark (Gauss’s law,Amp´ere’s circuital law )
∇ · E = 0, ∇ × B − ∂tE = 0
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11. Gauss’s law for magnetism,Maxwell-Faraday equation
Definition (Bianchi identity)
Electromagnetic tensor E is
defined as
µνρσ∂ρF−
µν = 0
Remark (Gauss’s law for magnetism,Maxwell-Faraday equation)
∇ · B = 0, ∇ × E + ∂tB = 0
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12. インスタントン
Remark
E = ±E, dE = 0 =⇒ d E = 0
Theorem
Assume
g := 2
(
E4 − ˆF−
θ
)−1
− E4
then
(
d ˆF−
= 0 ⇐=
)
ˆF−
= −ˆF−
=⇒ |g| = 1 (Ricci flatness)
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13. おまけ

14. 古典力学、シンプレクティック幾何学
Definition (Hamiltonian vector field XH ∈ ΓTM)
(M, ω):symplectic manifold
dH = ω (XH, · )
Fact (Hamilton’s equations and Darboux coordinates)
∃ (q, p) : M −→ U ⊂ R2n
s.t.
dq
dt
=
∂H
∂p
,
dp
dt
= −
∂H
∂q
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15. 量子化
Remark (quantization)
canonical quantization:
q −→ ˆq, p −→ ˆp, [ˆqi, ˆpj] = i δij
Deformation quantization:
(C∞
(M) , · ) −→ (C∞
(M) [[ ]] , ∗ )
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16. 量子力学：無限次元の線形代数
Definition (Schr¨odinger equation)
ˆHψ = Eψ
where
ψ ∈ L2
(
C3
)
, ˆH =
ˆp · ˆp
2m
+ V (ˆq) ∈ B
(
L2
(
C3
))
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17. 無限次元⇒有限次元
Definition (vector space)
C2
= {ae1 + be2|a, b ∈ C}
CN
= {a1e1 + a2e2 + · · · + aNeN|a1, · · · , aN ∈ C}
L2
(C) =
{ ∞∑
n=−∞
cneinx
cn ∈ C
}
Remark (２状態系)
L2
(
C3
)
−→ C2
, B
(
L2
(
C3
))
−→ B
(
C2
)
∼= M2C
Two-dimensional linear algebra
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18. 量子 n 体系 (２状態系)
Remark (many-body system)
C2
−→
(
C2
)⊗n ∼= C2n
, B
(
C2
)
−→ M2nC
2n-dimensional linear algebra
Definition
ˆHψ = Eψ
where
ψ ∈
(
C2
)⊗n
, ˆH ∈ M2nC
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19. k-ベクトル空間の圏
Definition (k-Vect as a category)
X ∈ Ob (k-Vect) :⇔ X:vector space on k
ˆH ∈ Hom
(
X, ˜X
)
:⇔ ˆH:linear mapping over k
Definition (tensor product⊗)
⊗ : km
× kn
−→ km×n
⊗ (ea, fb) := ea ⊗ fb
Remark
k1
⊗ X ∼= X
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20. 強モノイド圏
Fact ((k-Vect, ⊗, k))
A, B, C ∈ Ob (k-Vect)
=⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
A ⊗ k = k ⊗ A = A
Definition ((C, ⊗, I):strict monoidal category)
A, B, C ∈ Ob (C)
=⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
A ⊗ I = I ⊗ A = A
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21. 強モノイド圏の例
Example (Functor category)
(
CC
, ◦, id
)
Ob
(
CC
)
: functor from C to C
Ob
(
CC
)
id (identity functor)
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
f ◦ id = id ◦ f = f
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