アルゴリズムとデータ構造15

アルゴリズムとデータ構
造
１５．「アルゴリズムの
設計」2011 年 4 月 27 日（水）
服部　健太

2011/4/27 アルゴリズムとデータ構造 15 2
N クイーン問題
 N×N のチェス盤に， N 個のクイーンの駒を置いて，それぞれが
他のクイーンの利き筋（縦，横，斜め）に当たらないようにす
る
 N ＝８の例：正しい配置間違った配置

N クイーン問題の力まかせ法による
解
 サイズ n の N クイーン問題を解く
def n_queen(n):
A = array(n)
for i in range(n): A[i] = 0
while A != None:
if valid(A, n): return A
A = next(A, n)
return None
 次候補となる盤面を返す
def next(A, n):
for i in range(n):
if A[i] == n-1:
A[i] = 0
else:
A[i] = A[i] + 1
return A
return None
 盤面が有効かどうかチェック
def valid(A, n):
for i in range(n-1):
k = 1
for j in range(i+1, n):
if A[i] == A[j]:
return False
if (A[i] == A[j] + k
or A[j] == A[i] + k):
return False
k = k + 1
return True

バックトラック法
 力まかせをより効率的に行
う
 問題の解が n 個の部分から
構成されるとする．
 これらの値を一つずつ決め
ていく
 いくつかの部分の値を決め
た時点で，これ以降どう決
めても解が得られないとわ
かったら，その決め方に関
する計算はそこで打ち切る
 以上の手順を深さ優先探索
の要領で，すべての解の可
能性を調べ終わるまで続け
る
1 2 3 n・・・
・・・
1 2 3 4 n 21 3 4 n
× × × × ×
× × × ×
1 2 3 4 5 n
・・・
1 列目のク
イーンの位置
2 列目のク
イーンの位置
3 列目のク
イーンの位置
・・・

N クイーン問題のバックトラック
解法
def n_queen(n):
B = board(n); backtrack(B, n, 0)
def board(n):
b = array(n);
for i in range(n):
b[i] = array(n);
for j in range(n):
b[i][j] = False
return b
def backtrack(B, n, level):
if level >= n: print(B); return
row = level
for col in range(n):
if check(B, row, col):
B[row][col] = True
backtrack(B, n, level + 1)
B[row][col] = False

N クイーン問題のバックトラック解
法 (2)
def check(B, row, col):
for i in range(len(B)):
if B[row][i] or B[i][col]:
return False
if row+i < n and col+i < n and B[row+i][col+i]:
return False
if row-i >= 0 and col+i < n and B[row-i][col+i]:
return False
if row+i < n and col-i >= 0 and B[row+i][col-i]:
return False
if row-i >= 0 and col-i >= 0 and B[row-i][col-i]:
return False
return True

置けるかどうかの判定を改良する
 horizontal
 0 ～ n-1
 それぞれの段に既に置
かれているかチェック
 major
 0 ～ (row+col) ～ n+n-2
 対角線方向に置かれて
いるかチェック
 minor
 1-n ～ (row-col) ～ n-1
 major とは逆の対角線
方向に置かれているか
チェック
 練習問題
 上記の配列を利用した
改良版のコードを書け
horizontal
major
minor
[0]
[1]
[2]
[n+n-2]
[n-1]
[0] [1][-1]
[0]
[1]
[n-1]
[n-1][1-n]
3 1A
[0] [1] [2]

解答例
def n_queen(n):
b = board(n); backtrack(b, n, 0)
def board(n):
b = record([‘rows’, ‘horizontal’,
‘major’, ‘minor’])
b.rows = array(n)
b.horizontal = array(n)
for i in range(n): b.horizontal[i] = True
b.major = array(2 * n – 1)
b.minor = array(2 * n – 1)
for i in range(2 * n – 1):
b.major[i] = b.minor[i] = True
return b

解答例（続き）
def backtrack(B, n, level):
if level >= n: print(B.rows); return
row = level
for col in range(n):
B.rows[row] = col
if (B.horizontal[col] and B.major[row+col]
and B.minor[row-col]):
B.horizontal[col] = False
B.major[row+col] = False
B.minor[row-col] = False
backtrack(B, n, level + 1)
B.rows[col] = None
B.horizontal[col] = True
B.major[row+col] = True
B.minor[row-col] = True

分割統治法
 問題をいくつかの部分問題に分割し，それぞ
れを独立に解く．
 その結果を組み合わせて全体の問題の解とす
る
 部分問題は元の問題と同じもので，ただデータの
少ないなどの点で簡単になっているだけが違い
 再帰呼び出しを用いて実装することができる
 例：
 クイックソート，マージソート

動的計画法（ DP ）
 より小さい部分問題の解を集めて，大きい問
題の解を構成する
 分割統治法と似ているが，各部分問題はちょうど
一度だけ解くようにする
 表 or 再帰呼び出し＋メモ化で実装できる
 例： Floyd 法

動的計画法の例
 フィボナッチ数列：
 再帰的定義にもとづくプログラム
def fib(n):
if n == 0 or n == 1:
return 1
else:
return fib(n-1) + fib(n-2)
 動的計画法を利用したプログラム
def fib(n):
n1 = n2 = result = 1
for i in range(1, n):
result = n1 + n2
n1 = n2
n2 = result
return result
FIB(4)
FIB(3) FIB(2)
FIB(2) FIB(1)
FIB(1) FIB(0)
FIB(1) FIB(0)
同じ計算を何
度も繰り返す
ため，非効率
的

Levenshtein Distance （編集距離）
 ２つの文字列がどれだけ異なっているか
 ２つの文字列を一致させるために必要な文字の挿
入，削除，置換操作の最小回数
 ”例： kitten” ”と sitting”
 kitten ⇒ sitten sitt⇒ in sittin⇒ g
 LD(“kitten”, ”sitting”) = 3
 練習問題：次の文字列の編集距離はいくら
か？
 apple と couple

DP を用いて編集距離を求める
 アルゴリズムのポイ
ント
 長さ 0 の文字列と長さ
n の文字列の LD は n
 LD(s1,s2) は，以下のう
ちの最小のもの
 置換： LD(s1-1,s2-1) + (if
s1.last = s2.last then 0
else 1)
 挿入： LD(s1-1,s2) + 1
 削除： LD(s1,s2-1) + 1
※ 文字列 s-1 は文字列 s から末尾の文字
を
　　削除したものとする
k i t t e n
0 1 2 3 4 5 6
s 1 1 2 3 4 5 6
i 2 2 1 2 3 4 5
t 3 3 2 1 2 3 4
t 4 4 3 2 1 2 3
i 5 5 4 3 2 2 3
n 6 6 5 4 3 3 2
g 7 7 6 5 4 4 3

LD を求めるコード例
def levenshtein_distance(s1, s2):
m = len(s1)
n = len(s2)
D = array2(m+1, n+1)
for i in range(m+1): D[i][0] = i
for j in range(n+1): D[0][j] = j
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n + 1)::
if s1[i-1] == s2[j-1]: cost = 0
else: cost = 1
D[i][j] = min(D[i-1][j]+1,
D[i][j-1]+1,
D[i-1][j-1]+cost)
return D[m][n]

（整数）ナップサック問題
 大きさ W のナップサックに N 種類の品物を詰め込
むことを考える
 詰め込んだ品物の合計金額を最大にしたい
 各品物は何個取っても良い
 例：
 ナップサックの大きさ：２１
 品物の種類：
 (a) 大きさ３，金額５
 (b) 大きさ５，金額７
 (c) 大きさ１１，金額２１
 練習問題
 上記例の状況で，ナップサックに詰め込んだ品物の最大の
金額と，それぞれの品物の数はどれくらいになるか？

動的計画法を用いた解法
 入力：問題 P( ナップサックの大きさ w, 品物リスト items)
 items[i].size は品物 i の大きさ， items[i].value は金額を表す
def knapsack(P):
cost = array(P.w)
best = array(P.w)
for i in range(P.w):
cost[i] = best[i] = 0
for i in range(len(P.items)):
for j in range(P.w):
if j >= P.items[i].size:
if cost[j] < cost[j-P.items[i].size]+P.items[i].value:
cost[j] = cost[j-P.items[i].size]+P.items[i].value
best[j] = i
return cost[P.w-1]

実行の様子
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
5 5 5 10 10 10 15 15 15 20 20 20 25 25 25 30 30 30 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
5 5 7 10 10 12 15 15 17 20 20 22 25 25 27 30 30 32 35
a a b a a b a a b a a b a a b a a b a
5 5 7 10 10 12 15 15 21 21 21 26 26 28 31 31 33 36 36
a a b a a b a a c c c c c c c c c c c
j
i
cost1[]
best1[]
cost2[]
best2[]
cost3[]
best3[]
品物 a b c
大き
さ
3 5 11
金額 5 7 21

本講義で触れられなかった話題
 圧縮・暗号化アルゴリズム
 乱数生成アルゴリズム
 計算幾何
 凸包，重なり問題，最近点問題
 数値計算アルゴリズム
 多倍長数値演算，数値微分・数値積分，連立一次方程式の解法
 常微分方程式の解法，行列の固有値問題，高速フーリエ変換
（ FFT ）
 線形計画法
 線形制約のもとで目的関数を最大化する
 メタヒューリスティック
 擬似焼きなまし法，遺伝的アルゴリズム
 並列アルゴリズム
 ・・・

教科書・参考書の紹介
 どれでもよいので，一冊手元に置いて，じっくり読んで理解
することを勧める
 石畑清，「アルゴリズムとデータ構造」，岩波講座ソフト
ウェア科学３， 1989 ．
 探索，整列といった一般的なアルゴリズム全般を丁寧に解説して
いる
 本講座の内容の多くはこの教科書に沿ったもの
 R. セジウィック，「アルゴリズム C++ 」，近代科学
社， 1994 ．
 様々なアルゴリズムに関して系統的に解説している
 C++ のコード例も豊富
 3 分冊になっているが C 言語版もある
 T.H.Cormen++, “Introduction to Algorithms”, MIT Press,
 かなり専門的な内容の教科書で，アルゴリズムの証明や計算量の
議論も詳しい
 一応，日本語訳もある

アルゴリズムとデータ構造15

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