Black-Scholes difuzyon

Türev Fiyatlaması ve
Difuzyon Matematiği
Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen
matematik teknikleri gerektirir. Stokastik süreçler dinamik
rastgeleliğin matematik modelidir.
Myron Scholes (Matematikçi)
ve Fischer Black (Fizikçi)

Black-Scholes
Matematiğine Giriş
Sunumda John C. HULL tarafından geliştirilen yaklaşım
ve teknoloji kullanılmıştır.

DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
)( 1dSNC = )( 2dNKe RT−
−
Cash Inflow Cash Outflow

Notasyonlar
C Call Opsiyonun Fiyatı ya da Pirmi
P Put Opsiyonun Fiyatı ya da Primi
S Opsiyona Dayanak Oluşturan Varlığın Spot Fiyatı
X Opsiyonun Anlaşma Fiyatı
r Yerli Para Risksiz Faiz Oranı
R Yabancı Para Risksiz Faiz Oranı
σ Dayanak Varlığın Volatilitesi
T Opsiyonun Vade Tarihi
t Opsiyonun Hesaplanma Tarihi (Başlangıç Tarihi)
N(X) Normal Dağılım Fonksiyonu
d1 Kümülative Distribution function
d2 Kümülative Distribution function

Arka Plan:
Türev Güvencesi:
Örnek: Avrupa Call Opsiyonu.
Burada opsiyon sahibinin belirli bir tarihte (the maturity date).
Belirlenmiş bir fiyat K dan (the maturity date) bir finansal
varlığı satın alma hakkı olması fakat yükümlülüğü olmaması.
Bir türev (veya türev güvencesi) değeri diğer bir daha
temel dayanak aktife bağlı olan bir finansal araçtır.
([Hull, 1999]).
Arbitraj:
Yatırım gerektirmeyen risksiz bir kazanç olanağı
(Bedava yemek - A free lunch)

Geçerli Varsayımlar
•İşlem maliyetleri (transaction costs) yok. Pazarlar sürtüşmesiz
(frictionless)
•İşlemler sürekli olarak gerçekleştirilebilir.
•Açığa satış engeli yok.
•Risksiz faiz oranı borç alma ve verme için aynı.
•Aktifler mükemmel olarak bölünebilir.
Bunlar “standart varsayımlarımız” olacak.
Bunlardan sapılması gerektiğinde durum özellikle belirtilecek.
Aksi halde bunlar hep geçerli sayılacak.

Türevsel Aktifler için Formül Geliştirmek
Üç adımlı bir yaklaşım uygulayacağız
(1) Ticari türevlerin getirisi için dinamikfaktör modelleri
oluştur. (genellikle Ito’nun lemması uygulanır)
(2) Arbitraj durumu yok.
(3) Sınır koşullarını uygula ve çöz.

Ön Tanımlar:
Varlıkların Dinamikleri:
Tahvil: rBdtdB =
Senet: SdzSdtdS σµ +=
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
10
12
14
Tahvil:
-Deterministik
-Exponential Büyür
-Sürekli bileşik faiz
rt
t eBB 0=

Ön Tanımlar:
Varlıklar:
Tahvil: rBdtdB =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Senet:
-Geometrik Brown Hareketi
-Log-Normal Dağılım
-Daima Pozitif Değer Alır
tzt
t eSS
σσµ +−
=
)(
0
2
2
1

Geometrik model gerçekçi değil ama çözülebilir
 Grafikten geometrik Brown
Hareketinin Gerçekte neden
uygun olmadığı görülebiliyor.
 Diferansiyel S ile orantılı
Olduğundan S ile birlikte
volatilite de büyüyor veya
küçülüyor.
 Bu gerçekçi değil ama elegant
bir analitik çözüme olanak
sağlıyor
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Ön Tanımlar:
Şimdi c fiyatı St ve t değerlerine bağlı olan bir türev olsun.
Bunun tanımı: ),( tSc t
Varlıklar:
Tahvil: rBdtdB =
Ito’nun lemması ile:
dzScdtcSSccdc SSSSt σσµ +++= )( 22
2
1
Burada cx gösterimi c fiyatının x değişkenine göre kısmi türevleridir.

Şimdi 3 fiyat süreci modellensin:
Tahvil:rBdtdB =
Senet:SdzSdtdS σµ +=
2
1
Türev:
Black-Scholes Kabulleri :
İki aktiften oluşan bir portföyümüz olsun ve bu üçüncüyü
tamamen yansıtsın.
Bu portföy üçüncü ile aynı fiyata sahip olmalıdır.
Portföy için herhangi iki aktifi seçebiliriz. Bir senet ve türev
seçelim ve bunları tahvil ile dengeleyelim.
Senedin değeri Geometrik Brown hareketine uygun olarak
Log-normal dağılsın

Tahvil:rBdtdB =
2
1
Türev:
Portföyümüzde ∆ pay senet ve β pay türev olsun.
ttttt cSP β+∆=
Bir tahvil yaratmak için ∆ and β öyle seçilmelidir ki, portföyümüz
risksiz olsun. (yani. dP içinde dz terimi olmasın).
Volatilite yok
Portföy risksiz olacağı için tahvil ile aynı oranda getiri sağlamalıdır. Buna
göre
dP=rPdt olmalıdır. (Aksi halde küçük getirili üzerinde arbitraj yaparak
Yüksek getirili satın alırız ve para koymadan para kazanırız.
Şimdi bu hesapları gerçekleştirelim

TahvilrBdtdB =
2
1
Türev:
Portföyümüz ∆ pay senet ve β pay türevden oluşuyor.
dP yi hesaplamak için, Ito’nun lemmasından yararlanabiliriz:
......)()( ++++∆+∆=+∆= βββ cddcSddScdSddP
Ayrıca portföyümüzün kendi kendine finanslanmasını da istiyoruz.
Bunu da hesaba katalım.
İlk yapacağımız şey, dP değerini hesaplamak ve ∆ ve β değerlerini dz terimini
Elimine edecek şekilde bulmaktır.
Volatilite yok
ttttt cSP β+∆=

Senetten ∆t pay ve Türevden
βt pay aldınız
dt donemi
Bakalım bir portföy nasıl çalışır?
Portfoyünüzün değeri
ttttt cSP β+∆=
Şimdi portfoyün değeri
dtttdtttdtt cSP +++ +∆= β
İsterseniz portföyü yeniden
dengeleyebilirsiniz.
Şayet yeni para koymaz veya
çekmez iseniz
dttdttdttdtt
dtttdtttdtt
cS
cSP
++++
+++
+∆=
+∆=
β
β
)( ttttdtttdttttdttt cScSPPdP ββ +∆−+∆=−= +++
)()( tdttttdttt ccSS −+−∆= ++ β
tttt dcdS β+∆=

Tahvil:rBdtdB =
2
1
Türev:
dP denklemi oto-finans kısıtı (self-financing constraint) olarak bilinir.
Portföye para eklenemedciği veya çekilmediği sürece
verilen dinamikler geçerli olacaktır.
Portföyümüz ∆ pay senet ve β pay türevden oluşuyor.
cSP β+∆=
dcdSdP β+∆=
Buna göre dP:
Volatilite yok

Tahvil:rBdtdB =
Türev:
∆
β+
dzScSdtcSSccSdP SSSSt )())(( 22
2
1
βσσσµβµ +∆++++∆=
Volatilite yok
2
1
0=+∆ SScS βσσ
cSP β+∆=
dcdSdP β+∆=
Diferansiyel bağıntılar:
Şimdi biraz aritmetik ile dP değerini hesaplayalım.
Portföyün riskten bağımsız yapmak için dz stokastik
terimini elimine edelim
Scβ−=∆
Denkleme
yerleştirelim

Tahvil:rBdtdB =
Türev:
∆
β+
Volatilite yok
2
1
dtcScdP SSt )( 22
2
1
σβ += Volatilite kalmadı
rPdt= Tahvil ile aynı olmalı
dtcSr )( β+∆= Yerine koy cSP β+∆=
Scβ−=∆dtSccr S )( −= β Yerine koy
)( 22
2
1
SSt cSc σβ + )( Sccr S−= β
rccSrScc SSSt =++ 22
2
1
σ Ve işte Black-Scholes Equation Dif. Denklemi
Denklemdeki terimleri normal sırasına koy

Bu hangi türden türev olsun?
Şayet Avrupa call opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:
Şayet Avrupa put opsiyonu ise ve strike K ve maturity T ise:
Genel olarak ne türden türev olduklarını hudut şartları tayin eder.
+
−= )(),( KSTSc
Hudut şartıdır.
0),0( =tc
+
−= )(),( SKTSc
Hudut şartıdır.
0),( =∞ tc

Black-Scholes Denklemi (Avrupa Call Opsiyonu İçin)
Çözüm (Verilen hudut şartlarına göre) :
)()(),( 2
)(
1 dNKedSNtSc tTr −−
−=
tT
tTrKS
d
−
−++
=
σ
σ ))(()/ln( 2
2
1
1
tTdd −−= σ12
Burada;
)(⋅N standard Normal dağılımı (yani. N(0,1)) gösterir.
Çözümlerin elde edilmesi rutin fakat karmaşık bir entegrasyon işlemi gerektiriyor.
(Bu işlemler matematiğe meraklı olanlar için ekte verilmektedir.)
2
1
σ
+
−= )(),( KSTSc 0),0( =tc

Genel Olarak:
Avrupa Alış (Calls) ve Satışları (Puts)
2
1
σ
+
−= )(),( KSTSc 0),0( =tc
rppSrSpp SSSt =++ 22
2
1
σ
+
−= )(),( SKTSp )(
),0( tTr
Ketp −−
=
Çözüm:
)()(),( 2
)(
−=
tT
tTrKS
d
−
−++
=
σ
σ ))(()/ln( 2
2
1
1
tTdd −−= σ12
Burada:
)(⋅N Standard Normal dağılımı ( N(0,1) ) gösterir.
)()(),( 12
)(
dSNdNKetSp tTr
−−−= −−
Bu formüller Black-Scholes analizinin temelini oluşturur
Mutlaka ezberlenilmelidir.

)()(),( 2
)(
−= )()(),( 12
)(
dSNdNKetSp tTr
−−−= −−
Bu bağıntıları hareketin bir geometric Brown hareketi olduğu
varsayımı ile elde ettik. Fakat bu denklemler ortalama getiriyi
yansıtmazlar..
Dayanak aktifler;
SdzdttSdS σµ += ),( 0),0( =tµand
Genel olarak:
Şeklinde zamanla değişen ortlama getiri şeklinde verilse dahi
Black-Scholes formülasyonu geçerlidir.

75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125
0
5
10
15
20
25
75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125
0
5
10
15
20
25
30
S S
c p
Call fiyatı Put fiyatı
)25.0%,20%,5,100( ==== TrK σ
)()(),( 2
)(
−= )()(),( 12
)(
dSNdNKetSp tTr
−−−= −−
Genel olarak:

Black-Scholes çözümünün diğer özellikleri:
-Çözüm senedin ortalama getirisine (µ) bağlı değildir.
Bu özellikleri ilerde daha kapsamlı inceleyeceğiz...
]|),([),( )(
tT
tTr
t STScEetSc −−
=
SdzrSdtdS σ+=
Çözümü aşağıdaki gibi de yazabiliriz:
Burada;
Risk Nötral Fiyatlama.
Risk nötral faiz oranına bağlı.
Senedin gerçek dinamikleri değil!

Amerikan Alış (Calls) ve Satış (Puts) Opsiyonları:
Burada opsiyonu süresinden önce işleme koymak söz konusudur.
Buna göre aşağıdaki koşullara göre opsiyon geçerli tutulur:
)0,max(),( KStSc −≥ Call için
)0,max(),( SKtSp −≥ Put için
Temettü ödemeyen bir aktife bağlı bir Amerikan call opsiyonun hiçbir zaman
optimal olmayacağı ve Avrupa call ile aynı değeri alacağı gösterilebilir.
Buna karşılık bir put erken işlemde optimal olabilir.
Genel olarak Amerikan opsiyonların çözümü için nümerik teknikler gerekecektir.
Verilen sınır koşulları sorun çıkartabilir.
Genel Olarak:

Terminoloji:
Avrupa ve Amerika alış (call) ve satış (put) genellikle
plain vanilla opsiyonları Olarak adlandırılır.
Diğer türevler ise exotikler olarak bilinirler. Bunlara “exotik”
denmesi zor oldukları anlamına gelmez. Bunlar sadece Black-
Scholes denklemleri için farklı sınır şartlarına sahiptirler.
Bunların sayısı (oldukça) fazladır:
Binary veya digital opsiyonlar
Bariyer opsiyonları
Bileşik opsiyonlar
seçmeli opsiyonlar v.s....

Bu sunum temel Black-Scholes modeli için ilk yaklaşım idi.
Eğitim programında bu modelin arkasında yatan temel
Matematik teknikler ve bunlardan kaynaklanan alternatif
Modeller daha yakından ve kapsamlı incelenecektir.
.
Bu modeller temel bir matematik-istatistik bilgisinin yanında
Kısmi diferansiyel/diferans denklemleri konusunda da yeterli
Bir bilgi düzeyi gerektirmektedir.

S
C
∂
∂
=δ
Rho ρChanges in the risk-free
borrowing rate
Theta θDecay of time to maturity
Vega νChanges in volatility of
share values
Gamma: γ or ΓChanges in
delta(convexity)
Delta: δ or ∆Changes in the value of
underlying shares
Greek orFormulaRisk Factor
2
S
C
∂
∂
=γ
σν ∂
∂
= C
T
C
∂
∂
=θ
r
C
∂
∂
=ρ

Black-Scholes difuzyon

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (17)

Más de Kutlu MERİH

Más de Kutlu MERİH (20)

Black-Scholes difuzyon