Algoritmos y estructuras de datos II: DiGrafos

13/09/2011

Algoritmos y Estructura de Datos II Agenda
2

 Digrafo
 DFS Dirigido
DIGRAFOS  Alcanzabilidad

Algoritmos y Estructura de Datos II
 Fuertemente conexo
 Algoritmo fuertemente conexo
 Clausura transitiva
 Floyd-Warshall: clausura transtiva
 Algoritmo Floyd-Warshall
 Grafos ponderados
 Problema del camino más corto - ruta mínima
 Algoritmo de Dijkstra
UCSM - 2011 Karim Guevara Puente de la Vega

DiGrafos DFS Dirigido
3 4

 Es un grafo cuyas aristas son  Especialización de los algoritmos DFS y BFS, para
todas dirigidas recorrer un grafo a lo largo de la dirección de sus aristas
 Propiedades  En el algoritmo DFS dirigido, se tiene cuatro tipos de


 Sea un grafo G=(V, E) tal que aristas:
cada arista va en una  arista discovery, back, fordward, cross
dirección  DFS dirigido determina a que vertices podemos llagar a
 Si G es simple, m≤n(n-1) partir de un vértice determinado s.
 Aplicaciones
 Planificación: Arista (a,b)
significa que la tarea a debe
ser completada antes que la
tarea b empiece

DFS Dirigido Alcanzabilidad
5 6

 Back edge(v,w)  El árbol DFS con raíz en v:
Back edge
 w es un ancestro de v en el árbol Forward edge  Vértices alcanzables a partir de v vía las rutas dirigidas
de aristas descubiertas Cross edge


 Forward edge(v,w) Discovery edge
 v es un ancestro (pero no el padre)
de w en el árbol de aristas
descubiertas
 Cross edge(v,w)
 w esta en el mismo nivel que v o
en el siguiente nivel en el árbol de
aristas descubiertas
 Discovery edge(v,w)
 v es el padre de w en el árbol de
aristas descubiertas

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Fuertemente conexo Algoritmo fuertemente conexo
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 Un dígrafo G es fuertemente conexo, si para cualquier  Elija un vértice v en G
par de vértices u y v de G, u es alcanzable desde v, y  Realizar DFS desde v
viceversa  Si hay algún vértice w no

 Cada vértice es alcanzable desde todos los vértices visitado, imprimir “no”
 Sea G’ el grafo G con los
vértices invertidos
 Realizar DFS desde v in G’
 si hay un w no visitado, imprimir
“no”
 sino, imprimir “si”

 Tiempo de ejecución: O(n+m)

Clausura transitiva Cálculo de la Clausura Transitiva
9 10

 Dado un dígrafo G, la  Se puede realizar DFS Si hay un
clausura transitiva de G es camino desde A
iniciando en cada a B y de B a C,
el dígrafo G* tal que: vértice entonces hay un


 G* tiene los mismos vértices  O(n(n+m)) camino desde A
que G aC
 Si G tiene una ruta dirigida
de u a v (u≠v), G* tiene una  Alternativamente…
arista dirigida desde u a v
aplicar Programación
 La clausura transitiva provee dinámica: Algoritmo
información de la
Floyd-Warshall
alcanzabilidad del dígrafo

Floyd-Warshall: Clausura Transitiva Floyd-Warshall
11 12

 Idea 1: número de vértices 1,2, …, n  En v1
 Idea 2: considerar las rutas que use solamente los
vértices 1,2, …, k como vértices intermedios


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Algoritmos y Estructura de Datos II Algoritmos y Estructura de Datos II Algoritmos y Estructura de Datos II

17
15
13



En v5
En v3
En v1

Floyd-Warshall
Floyd-Warshall
Floyd-Warshall

En v2

En v6
En v4
Algoritmos y Estructura de Datos II Algoritmos y Estructura de Datos II Algoritmos y Estructura de Datos II

18
16
14



En v6
En v4
En v2

Floyd-Warshall
Floyd-Warshall
Floyd-Warshall

En v5
En v3
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3

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Floyd-Warshall Algoritmo de Floyd-Warshall
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En v7  Numera los vértices de G: v1, …,
vn y calcula una serie de
digrafos G0, …, Gn
 G0 = G

 Gk tiene una arista dirigida (vi,
vj) si G tiene una ruta dirigida
desde vi a vj con vértices
intermedios en el conjunto
{v1,…,vk}
 Se tiene que Gn = G*
 En la fase k, el digrafo Gk es
calculado desde Gk-1
 Tiempo de ejecución: O(n3),
asumiendo que areAdjacent es
O(1)

Algoritmos y Estructura de Datos II Grafos Ponderados
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 Un grafo ponderado es aquel, en donde cada una de las
aristas tiene un valor asociado, denominado peso.
RUTAS MINIMAS
 Este peso puede representar: distancias, costos, etc.

 P.e.:

UCSM - 2011 Karim Guevara Puente de la Vega

Problema del camino más corto Problema del camino más corto
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 Dado un grafo ponderado y dos vértices u y v, encontrar  Propiedad:
el camino con el menor peso que hay entre u y v.  Una subruta de una ruta corta es por si misma una ruta corta
 P.e.: el camino más corto entre PVD y HNL  Una fuente de rutas cortas:


 Aplicaciones:  Dado un grafo ponderado G y un vértice s de G, las rutas más
 Enrutamiento de paquetes en internet cortas de s a cada uno de los otros vértices los encontraremos en
un árbol.
 Reservaciones de vuelos
 P.e.: el árbol de rutas cortas desde Providence (PVD)

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Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra
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 El más famoso de los algoritmos para el cálculo del  Funcionamiento del algoritmo:
camino de costo mínimo.  Sea PERM el conjunto que contiene inicialmente el vértice
 Escoge un vértice como raíz de la búsqueda. raíz s.

 Luego calcula el costo mínimo para todos los demás  PERM contiene todos los vértices para los cuales ya fueron

vértices. determinados los menores caminos usando apenas vértices
en PERM.
 Puede ser usado en grafos dirigidos y no dirigidos.
 Para cada vértice z fuera de PERM mantenemos la menor
distancia en D[z] de s a z.
 Es necesario almacenar también el vértice adyacente
(precedente) a z en path[z].

27 28

 Funcionamiento del algoritmo (cont.):  P.e.:
 Se toma el vértice (de los que aún no están en PERM) con la 1. Se define el nodo origen (s) y se lo incluye en PERM. Se
menor distancia D. atribuye cero a su distancia, el resto tiene distancia infinita ().


 Este vértice es adicionado a PERM, lo llamaremos current, y
se recalculan las distancias (D) para los vértices adyacentes vértice PERM D path
a él y que no estén en PERM. s si 0 -
u no  -
D[z] = min(D[z], D[z]+peso)
x no  -
 Puede haber un camino menor a partir de s pasando por el v no  -
vértice current y no  -

 Si hay un camino más corto se necesita actualizar path[z]

29 30

 P.e.:  P.e.:
2. A partir de s se calculan las distancias de los vértices 3. Entre los vértices que no pertenecen a PERM se escoge el de
adyacentes (u y x). A estos les llamaremos z: menor distancia (x).


if ( D[z] > D[s] + peso(s,z)){
D[z] = D[s] + peso(s,z);
path[z] = s;
}

vértice PERM D path
s si 0 -
s si 0 -
u no 10 s
u no 10 s
x no 5 s
x no 5 s
v no  -
v no  -
y no  -
y no  -

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 P.e.:  P.e.:
4. Incluir a x en PERM y a partir de x se consultan los vértices 5. Entre todos los vértices que no pertenecen a PERM se escoge el
adyacentes a él que no estén en PERM (y, u y v), y se recalculan de menor distancia (y).

sus distancias.

vértice PERM D path vértice PERM D path
s si 0 - s si 0 -
u no 8 x u no 8 x
x si 5 s x si 5 s
v no 14 x v no 14 x
y no 7 x y no 7 x

33 34

 P.e.:  P.e.:
6. Se incluye y en PERM y a partir de y se consultan los vértices 7. Entre todos los vértices que no están en PERM se escoge el de
adyacentes a él que no están en PERM (v), calcular sus menor distancia (u).


distancias.

s si 0 - s si 0 -
u no 8 x u no 8 x
x si 5 s x si 5 s
v no 13 y v no 13 y
y si 7 x y si 7 x

35 36

 P.e.:  P.e.:
8. Se incluye u a PERM y a partir de u se consultan los vértices 9. Entre todos los vértices que no están en PERM se escoge el de
adyacentes a él que no estén en PERM para calcular sus menor distancia (v).


distancias.

s si 0 - s si 0 -
u si 8 x u si 8 x
x si 5 s x si 5 s
v no 9 u v no 9 u
y si 7 x y si 7 x

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 P.e.:
10. Finalmente v es incluido en PERM. En este punto todos los
vértices están en PERM y la búsqueda finaliza.

s si 0 -
u si 8 x
x si 5 s
v si 9 u
y si 7 x

Extensión del algoritmo Dijkstra
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 Se puede extender el Algorithm DijstraShortestPathsTree(G,s)
algoritmo de Dijkstra .. .
para retornar el árbol for all v  G.vertices()
.. .

de rutas cortas desde
un vertice inicial a todos P[v] = 
los otros vértices. .. .

 Se almacena con cada while Q.isEmpty()
vértice z etiquetas que u Q.removeMin()
permitan seguir el for each vertex z adjacent to n such
that z is in Q
camino de regreso (la
if D[z] > D[u]+weight(u,z) then
arista antecesora en el
D[z]  D[u]+weight(u,z)
arbol):
change to D[z] the key of z in Q
 Arreglo P[z]. P[z]  edge(u,z)

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