gabarito AVII MA14 2016 - PROFMAT - CPII

1. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA
COLÉGIO PEDRO II - CPII
Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura
Avaliação 2 - Aritmética - MA14 - 2016
Prof.
a
Luciana S. da Silva Martino
Questão 1 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 1,00 pt]
Sobre o que estudamos à respeito dos Números Primos, leia com atenção os seguintes itens e faça o que é pedido:
a) Seja p > 1 um número natural com a seguinte propriedade:
Se p divide o produto de dois números naturais quaisquer, então p divide um dos fatores
Mostre que p é necessariamente primo
Suponha que p tenha a propriedade mencionada, mas que não seja primo.
Assim p = a.b, com 1 < a < p e 1 < b < p.
Por hipótese, p | a ou p | b. Logo 1 < p < a e 1 < p < b, o que é uma contradição.
b) Enuncie o Lema de Euclides, a recíproca do resultado exposto no item a
Lema de Euclides: Sejam a, b, p ∈ Z, com p primo. Se p | ab, então p | a ou p | b.
c) Ache o resto da divisão de 12p−1
por p quando p é primo
. Quando (12, p) = 1, isto é, quando p 12, ou seja, quando p = 2 e p = 3, temos pelo Pequeno Teorema de Fermat
que o resto da divisão de 12p−1
por p é 1.
. Quando p = 2 ou p = 3 o resto é zero.
Questão 2 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt]
Após os pitagóricos, o próximo matemático a fazer parte da história dos números perfeitos foi Euclides
(aproximadamente 300 a. C.). Seu IX livro dos Elementos contém, além da denição de números perfeitos, uma
proposição muito particular a respeito desses números:
Se tantos números quantos se queira começando a partir da unidade forem dispostos continuamente numa proporção
duplicada até que a soma de todos resulte em um número primo, e se a soma multiplicada pelo último origina algum
número, então o produto será um número perfeito
a) Traduza essa proposição para a linguagem matemática atual. Em seguida, enuncie o Teorema de Euclides-Euler,
visto em sala de aula quando estudamos os Números Especiais
Considere a sequência de n números inteiros, 1, 2, 22
, 23
, ..., 2n−1
.
Considere a soma desses n números 1 + 2 + 22
+ 23
+ ... + 2n−1
= p, sendo p primo.
Ou ainda, Sn = 1.(2n
−1)
1 = 2n
− 1 = p.
Se (2n
− 1).2n−1
= m, sendo m um inteiro, então m é um número perfeito
Teorema de Euclides-Euler: Um número natural n é um número perfeito par se, e somente se, n = 2p−1
(2p
− 1),
onde 2p
− 1 é um primo de Mersenne.
b) Dena número perfeito
Um número natural n é chamado de número perfeito se S(n) = 2n, sendo S(n) a soma de todos os divisores naturais do
número n
c) Mostre que os únicos dois números primos cujo produto é perfeito são 2 e 3
Sejam p e q dois primos distintos. Sem perda de generalidade, suponhamos p q.
Se pq é perfeito devemos ter 1 + p + q + pq = S(pq) = 2pq, ou ainda 1 + p + q = pq.
Por outro lado, como p q então pq = 1 + p + q 3q. Logo p 3, ou seja, p = 2.
Assim 1 + p + q + pq = 2pq ⇒ 1 + 2 + q + 2q = 4q. E então q = 3.

2. Questão 3 [2,00 pts]
Prove, utilizando o conceito de congruências, que o quinto número de Fermat F5 = 225
+ 1 não é primo
. Uma solução: Note que, da igualdade 641 = 5.27
+ 1, temos que 5.27
≡ −1 mod 641.
Portanto, 54
.228
= (5.27
)
4
≡ (−1)
4
≡ 1 mod 641 (*)
Por outo lado, 641 = 54
+ 24
e assim 228
.(54
+ 24
) = 228
.54
+ 232
≡ 0 mod 641 (**)
De (*) e (**) temos que
54
.228
+ 232
≡ 0 mod 641
− 54
.22
8 ≡ 1 mod 641
232
≡ −1 mod 641
Ou ainda, 1 + 225
≡ 0 mod 641, o que implica que 641 | F5.
. Outra solução: Temos que os possíveis divisores primos de F5 são os números primos da forma 26
k + 1.
Fazendo k variar de 1 a 10 obtemos os candidatos: 65, 129, 193, 257, 321, 385, 449, 513, 577 e 641, dos quais apenas
193, 257, 449, 577 e 641 são primos. Vamos testar esses valores:
. p = 193:
28
= 256 ≡ 63 mod 193 ⇒ 232
≡ 634
≡ 108 mod 193 ⇒ 232
+ 1 ≡ 109 ≡ 0 mod 193
. p = 257:
28
= 256 ≡ −1 mod 257 ⇒ 232
≡ (−1)
4
≡ 1 mod 257 ⇒ 232
+ 1 ≡ 2 ≡ 0 mod 257
. p = 449:
28
= 256 ≡ −193 mod 449 ⇒ 232
≡ (−193)
4
≡ 324 mod 449 ⇒ 232
+ 1 ≡ 325 ≡ 0 mod 449
. p = 577:
216
≡ 335 mod 577 ⇒ (216
)
2
= 232
≡ 287 mod 577 ⇒ 232
+ 1 ≡ 288 ≡ 0 mod 577
. p = 641:
216
≡ 154 mod 641 ⇒ 232
≡ 1542
≡ 640 mod 641 ⇒ 232
+ 1 ≡ 641 ≡ 0 mod 641 ⇒ 641 | F5.
Questão 4 [2,00 pts ::: (a) = 0,50 pt; (b) = 0,50 pt; (c) = 0,50 pt; (d) = 0,50]
a) Dena um sistema reduzido de resíduos módulo m
Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números inteiros r1, ..., rs tais que:
i) (ri, m) = 1, para todo i = 1, ..., s
ii) ri ≡ rj mod m, se i = j
iii) Para cada n ∈ Z tal que (n, m) = 1, existe i tal que n ≡ ri mod m
b) Dena a função ϕ : N → N, que em sala chamamos de função de Euler
A função ϕ : N → N, chamada função de Euler é tal que:
i) ϕ(1) = 1
ii) ϕ(m) representa o número de elementos de um sistema reduzido de resíduos módulo m 1, que corresponde à
quantidade de números naturais entre 0 e m − 1 que são primos com m.
c) O Pequeno Teorema de Fermat pode ser generalizado como segue:
Se p é um número primo, então para todo a ∈ Z e todo k ∈ N, tem-se que ak(p−1)+1
≡ a mod p
Demonstre esse resultado
Se p | a então a = qp e a congruência é imediata já que qpk(p−1)+1
≡ qp mod p.
Se p a, temos pelo Pequeno Teorema de Fermat que ap−1
≡ 1 mod p. Assim ak(p−1)
≡ 1 mod p e então
ak(p−1)+1
≡ a mod p
2

3. d) No entanto, não é verdade em geral que para todo a ∈ Z e todo k ∈ N se tenha akϕ(m)+1
≡ a mod m. Justique essa
armação.
A congruência akϕ(m)+1
≡ a mod m só é válida se (a, m) = 1, pois é consequência do Teorema de Euler que diz que se
m, a ∈ Z, com m 1 e (a, m) = 1 então aϕ(m)
≡ 1 mod m.
Se (a, m) = 1 ela pode ser falsa. De fato, se m = 4 e a = 2 temos aϕ(m)+1
= 22+1
= 8 ≡ 2 mod 4.
Questão 5 [2,00 pts ::: (a) = 1,00 pt; (b) = 1,00 pt]
a) Dena resíduo quadrático módulo p, para a um número inteiro
Seja a ∈ Z. Quando a congruência X2
≡ a mod p possui alguma solução, diz-se que a é resíduo quadrático módulo p.
b) Determine os valores de a para os quais a é resíduo quadrático módulo 125
Temos que X2
≡ a mod 125 tem solução se, e somente se, X2
≡ a mod 5 tem solução, sendo (a, 5) = 1.
Valores possíveis: a = 0, 1, 2, 3 e 4
. a = 0 ⇒ X2
≡ 0 mod 5 ⇒ X = ±5
. a = 1 ⇒ X2
≡ 1 mod 5 ⇒ X = ±4
. a = 2 ⇒ X2
≡ 2 mod 5 não tem solução
x = 5q ⇒ (5q)
2
= 25q2
≡ 0 mod 5
x = 5q + 1 ⇒ (5q + 1)
2
= 25q2
+ 10q + 1 ≡ 1 mod 5
x = 5q + 2 ⇒ (5q + 2)
2
= 25q2
+ 20q + 4 ≡ −1 mod 5
x = 5q + 3 ⇒ (5q + 3)
2
= 25q2
+ 30q + 9 ≡ 4 mod 5
x = 5q + 4 ⇒ (5q + 4)
2
= 25q2
+ 40q + 16 ≡ 1 mod 5
. a = 3 ⇒ X2
≡ 3 mod 5 não tem solução
. a = 4 ⇒ X2
≡ 4 mod 5 ⇒ X = ±3
A congruência dada tem solução se, e somente se, a ≡ 0, 1, 4 mod 5.
3