Educacional

3. 1. Equação do 2º grau
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º
grau completa
3. Fórmula geral para a resolução da equação do
2º grau
4. Situações-problema

4. 4
Equação do 2º grau
Um grupo de amigos se reuniu em um restaurante. Pelo almoço, o
restaurante cobrou R$ 240,00. Na hora de pagar a conta, quatro dos
amigos constataram que não tinham dinheiro para contribuir com a
despesa. Por causa disso, cada uma das demais pessoas foi obrigada a
pagar R$ 5,00 a mais do que pagaria se todos participassem da divisão do
valor total.
• Dê as expressões que representam: o valor a ser pago por pessoa se
todos contribuíssem igualmente com a conta; o número de pessoas que
participarão do rateio da conta; o valor a ser pago por pessoa que
participará do rateio.
• Escreva uma equação que represente essa situação-problema. (Dica:
lembre-se de usar o único valor conhecido − o valor total da conta.)

5. 5
1. Equação do 2º grau
Definição
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x toda sentença aberta
que pode ser escrita sob a forma:
ax2  bx  c  0, com a  0
CONCEITUANDO

6. 6
1. Equação do 2º grau
Definição
Na expressão:
• a, b e c são números reais chamados coeficientes e a ≠ 0;
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x toda sentença aberta
que pode ser escrita sob a forma:
ax2  bx  c  0, com a  0
CONCEITUANDO

7. 7
1. Equação do 2º grau
Definição
Na expressão:
• a, b e c são números reais chamados coeficientes e a ≠ 0;
• x é a incógnita;
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x toda sentença aberta
que pode ser escrita sob a forma:
ax2  bx  c  0, com a  0
CONCEITUANDO

8. 8
1. Equação do 2º grau
Definição
Na expressão:
• a, b e c são números reais chamados coeficientes e a ≠ 0;
• x é a incógnita;
• c é chamado termo independente da equação;
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x toda sentença aberta
que pode ser escrita sob a forma:
ax2  bx  c  0, com a  0
CONCEITUANDO

9. 9
1. Equação do 2º grau
Definição
Na expressão:
• a, b e c são números reais chamados coeficientes e a ≠ 0;
• x é a incógnita;
• c é chamado termo independente da equação;
• ax2  bx  c  0 é a forma normal, ou forma reduzida, da equação do
2º grau.
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x toda sentença aberta
que pode ser escrita sob a forma:
ax2  bx  c  0, com a  0
CONCEITUANDO

10. 10
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
Definição

11. 11
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
II. 4n2  7n  2  0
• n é a incógnita
• a  4, b  7, c  2
Definição

12. 12
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
II. 4n2  7n  2  0
• n é a incógnita
• a  4, b  7, c  2
III. .
• k é a incógnita
• a  1, b 
1
6
, c 
3
4
−k2 +
k
6
+
3
4
 0
Definição

13. 13
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
II. 4n2  7n  2  0
• n é a incógnita
• a  4, b  7, c  2
Equações do 2º grau incompletas
I. 3p2  9  0
• p é a incógnita
• a  3, b  0, c  9
III. .
• k é a incógnita
• a  1, b 
1
6
, c 
3
4
−k2 +
k
6
+
3
4
 0
Definição

14. 14
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
II. 4n2  7n  2  0
• n é a incógnita
• a  4, b  7, c  2
Equações do 2º grau incompletas
I. 3p2  9  0
• p é a incógnita
• a  3, b  0, c  9
II. 2m2  3m  0
• m é a incógnita
• a  2, b  0, c  0
III. .
• k é a incógnita
• a  1, b 
1
6
, c 
3
4
−k2 +
k
6
+
3
4
 0
Definição

15. 15
1. Equação do 2º grau
Equações do 2º grau completas
I. 5x2  20x  960  0
• x é a incógnita
• a  5, b  20, c  960
II. 4n2  7n  2  0
• n é a incógnita
• a  4, b  7, c  2
Equações do 2º grau incompletas
I. 3p2  9  0
• p é a incógnita
• a  3, b  0, c  9
II. 2m2  3m  0
• m é a incógnita
• a  2, b  0, c  0
III. y2  0
• y é a incógnita
• a  1, b  0, c  0
III. .
• k é a incógnita
• a  1, b 
1
6
, c 
3
4
−k2 +
k
6
+
3
4
 0
Definição

16. 16
1. Equação do 2º grau
Definição
Gerd
Altmann/Pixabay
skeeze/Pixabay
De acordo com o Michaelis dicionário brasileiro da Língua Portuguesa, incógnita é a grandeza ou
valor desconhecido que se deve determinar na solução de um problema ou de uma equação ou,
também, aquilo que é desconhecido e que se procura saber; mistério. Os viajantes e cartógrafos
dos séculos XV e XVI (época dos descobrimentos) usavam a expressão “terra incógnita” para se
referir a territórios ainda desconhecidos do hemisfério sul. Em decorrência da natureza desses
locais e das dificuldades de acesso, o imaginário das pessoas fantasiava animais e populações, o
que ainda gera alguns interessantes filmes de aventura e mistério.

17. 17
1. Equação do 2º grau
Raízes da equação do 2º grau
Raiz de uma equação é um valor que a torna verdadeira.
CONCEITUANDO

18. 18
1. Equação do 2º grau
Raízes da equação do 2º grau
• O número 2 é raiz da equação do 2º grau x2  5x  6  0, pois,
substituindo x por 2, temos:
22  5 · 2  6  0  4  10  6  0  0  0
Raiz de uma equação é um valor que a torna verdadeira.
CONCEITUANDO

19. 19
1. Equação do 2º grau
Raízes da equação do 2º grau
• O número 2 é raiz da equação do 2º grau x2  5x  6  0, pois,
substituindo x por 2, temos:
22  5 · 2  6  0  4  10  6  0  0  0
• O número 3 também é raiz dessa equação, pois, substituindo x por 3,
temos:
32  5 · 3  6  0  9  15  6  0  0  0
Raiz de uma equação é um valor que a torna verdadeira.
CONCEITUANDO

20. 20
1. Equação do 2º grau
Raízes da equação do 2º grau
• O número 5 é raiz da equação do 2º grau x2  5x  0, pois,
substituindo x por 5, temos:
(5)2  5 · (5)  0  25  25  0  0  0
Raiz de uma equação é um valor que a torna verdadeira.
CONCEITUANDO

21. 21
1. Equação do 2º grau
Raízes da equação do 2º grau
• O número 5 é raiz da equação do 2º grau x2  5x  0, pois,
substituindo x por 5, temos:
(5)2  5 · (5)  0  25  25  0  0  0
• O número 0 também é raiz dessa equação, pois, substituindo x por 0,
temos:
02  5 · 0  0  0  0  0  0  0
Raiz de uma equação é um valor que a torna verdadeira.
CONCEITUANDO

22. 22
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
Chama-se conjunto solução ou conjunto verdade, em um conjunto
universo U, o conjunto cujos elementos são as raízes da equação que
pertençam a U.
CONCEITUANDO

23. 23
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  5x  6  0 possui as raízes 2 e 3, logo:
S  {2; 3}
Chama-se conjunto solução ou conjunto verdade, em um conjunto
universo U, o conjunto cujos elementos são as raízes da equação que
pertençam a U.
CONCEITUANDO

24. 24
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  5x  6  0 possui as raízes 2 e 3, logo:
S  {2; 3}
• No universo IR, a equação x2  5x  0 possui as raízes 5 e 0, logo:
S  {5; 0}
Chama-se conjunto solução ou conjunto verdade, em um conjunto
universo U, o conjunto cujos elementos são as raízes da equação que
pertençam a U.
CONCEITUANDO

25. 25
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  9  0 não possui raízes, pois não existe
um número real que, substituindo x, torne a igualdade verdadeira,
logo: S  ∅

26. 26
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  9  0 não possui raízes, pois não existe
um número real que, substituindo x, torne a igualdade verdadeira,
logo: S  ∅
• Conjunto universo ou domínio é o conjunto formado por todos os
elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser
substituídas.
CONCEITUANDO

27. 27
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  9  0 não possui raízes, pois não existe
um número real que, substituindo x, torne a igualdade verdadeira,
logo: S  ∅
• Conjunto universo ou domínio é o conjunto formado por todos os
elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser
substituídas.
• Raízes de uma equação são os elementos do conjunto universo que
tornam a igualdade verdadeira.
CONCEITUANDO

28. 28
1. Equação do 2º grau
Conjunto solução de uma equação do 2º grau
• No universo IR, a equação x2  9  0 não possui raízes, pois não existe
um número real que, substituindo x, torne a igualdade verdadeira,
logo: S  ∅
• Conjunto universo ou domínio é o conjunto formado por todos os
elementos pelos quais as incógnitas de uma equação podem ser
substituídas.
• Raízes de uma equação são os elementos do conjunto universo que
tornam a igualdade verdadeira.
• Conjunto solução ou conjunto verdade é o conjunto cujos
elementos são as raízes de uma equação.
CONCEITUANDO

29. 29
1. Equação do 2º grau
Resolução de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau, em certo conjunto universo,
significa encontrar as raízes e determinar o conjunto solução.
CONCEITUANDO

30. 30
1. Equação do 2º grau
Resolução de uma equação do 2º grau
Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau incompleta
Resolver uma equação do 2º grau, em certo conjunto universo,
significa encontrar as raízes e determinar o conjunto solução.
CONCEITUANDO
• Quando b  0
Para resolvermos uma equação do 2º grau incompleta na forma ax2  c  0
(observe que b  0), podemos isolar a incógnita no primeiro membro da
igualdade.

31. 31
1. Equação do 2º grau
Resolução de uma equação do 2º grau
Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau incompleta
Resolver uma equação do 2º grau, em certo conjunto universo,
significa encontrar as raízes e determinar o conjunto solução.
CONCEITUANDO
• Quando b  0
Para resolvermos uma equação do 2º grau incompleta na forma ax2  c  0
(observe que b  0), podemos isolar a incógnita no primeiro membro da
igualdade.
• Quando c  0
Para resolvermos uma equação do 2º grau incompleta na forma ax2  bx  0
(observe que c  0), podemos colocar o fator comum (x) em evidência e, em
seguida, usar a propriedade do produto nulo.

32. 32
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Quadrado da soma (ou da diferença) de dois termos
Quadrado da soma ou um quadrado da diferença de dois termos
(n  m)2  n2  2nm  m2

33. 33
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Quadrado da soma (ou da diferença) de dois termos
Quadrado da soma ou um quadrado da diferença de dois termos
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2

34. 34
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Quadrado da soma (ou da diferença) de dois termos
Quadrado da soma ou um quadrado da diferença de dois termos
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Em decorrência da propriedade simétrica da igualdade, podemos fatorar
um trinômio quadrado perfeito, simplificando-o:
n2  2nm  m2  (n  m)2

35. 35
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Quadrado da soma (ou da diferença) de dois termos
Quadrado da soma ou um quadrado da diferença de dois termos
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Em decorrência da propriedade simétrica da igualdade, podemos fatorar
um trinômio quadrado perfeito, simplificando-o:
n2  2nm  m2  (n  m)2 n2  2nm  m2  (n  m)2

36. 36
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Trinômio quadrado perfeito
(n  m)2  n2  2nm  m2
Trinômios:

37. 37
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Trinômio quadrado perfeito
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Trinômios:

38. 38
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Trinômio quadrado perfeito
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Trinômios:
• dois termos forem quadrados perfeitos (n2 e m2)

39. 39
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Trinômio quadrado perfeito
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Trinômios:
• dois termos forem quadrados perfeitos (n2 e m2)
• um dos termos for, em módulo, igual ao dobro da raiz
quadrada dos anteriores (2mn).

40. 40
2. Métodos resolutivos de uma equação do 2º grau
completa
Trinômio quadrado perfeito
(n  m)2  n2  2nm  m2 (n  m)2  n2  2nm  m2
Trinômios:
• dois termos forem quadrados perfeitos (n2 e m2)
• um dos termos for, em módulo, igual ao dobro da raiz
quadrada dos anteriores (2mn).
Cuidado ao observar a ordem em que esses termos estão dados.

41. 41
3. Fórmula geral para a resolução da equação do 2º grau
ax2  bx  c  0, com a  0
Equação do 2º grau:

42. 42
3. Fórmula geral para a resolução da equação do 2º grau
ax2  bx  c  0, com a  0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
Equação do 2º grau:

43. 43
3. Fórmula geral para a resolução da equação do 2º grau
ax2  bx  c  0, com a  0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
∆= b2 − 4ac
Equação do 2º grau:

44. 44
3. Fórmula geral para a resolução da equação do 2º grau
ax2  bx  c  0, com a  0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
∆= b2 − 4ac x =
−b ± ∆
2a
Equação do 2º grau:

45. 45
3. Fórmula geral para a resolução da equação do 2º grau
ax2  bx  c  0, com a  0
x =
−b ± b2 − 4ac
2a
∆= b2 − 4ac x =
−b ± ∆
2a
Essa fórmula pode ser usada, também, para resolver equações
do 2º grau incompletas.
Equação do 2º grau:

46. 46
4. Situações-problema
No início deste capítulo, propusemos uma situação-problema sobre a qual
poderíamos chegar às seguintes equações na incógnita x:
x − 4
240
x
+ 5 = 240 ⇒ 5x2 − 960 − 20x = 0

47. 47
4. Situações-problema
No início deste capítulo, propusemos uma situação-problema sobre a qual
poderíamos chegar às seguintes equações na incógnita x:
• Quantas pessoas participaram do rateio?
x − 4
240
x
+ 5 = 240 ⇒ 5x2 − 960 − 20x = 0

48. 48
4. Situações-problema
No início deste capítulo, propusemos uma situação-problema sobre a qual
poderíamos chegar às seguintes equações na incógnita x:
• Quantas pessoas participaram do rateio?
• Quanto cada pessoa pagou?
x − 4
240
x
+ 5 = 240 ⇒ 5x2 − 960 − 20x = 0

49. 49
4. Situações-problema
No início deste capítulo, propusemos uma situação-problema sobre a qual
poderíamos chegar às seguintes equações na incógnita x:
• Quantas pessoas participaram do rateio?
• Quanto cada pessoa pagou?
• Quanto cada pessoa teria pagado se a divisão fosse feita pelo total de pessoas?
x − 4
240
x
+ 5 = 240 ⇒ 5x2 − 960 − 20x = 0

50. 50
4. Situações-problema
No início deste capítulo, propusemos uma situação-problema sobre a qual
poderíamos chegar às seguintes equações na incógnita x:
• Quantas pessoas participaram do rateio?
• Quanto cada pessoa pagou?
• Quanto cada pessoa teria pagado se a divisão fosse feita pelo total de pessoas?
x − 4
240
x
+ 5 = 240 ⇒ 5x2 − 960 − 20x = 0
Ao solucionar uma situação-problema com uso de equações (de qualquer
tipo e grau), não é necessário apresentar um conjunto solução. Entretanto,
lembre-se sempre de voltar ao enunciado e conferir se todas as raízes
podem ser consideradas. Nem sempre os valores encontrados para as
incógnitas são a resposta para o problema. Releia sempre a pergunta!