Corpo nero

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<PARTICELLE E ONDE
Una frase di Pierre Simon de Laplace, dell’inizio del 1800, che riassume molto bene l’idea di determinismo
che avevano gli scienziati prima del 1900 e che si fondava appunto sul carattere deterministico
delle leggi della fisica classica è: “Noi possiamo considerare lo stato attuale dell’universo come l’effetto del
suo passato e la causa del suo futuro. Un intelletto che a un determinato istante dovesse conoscere tutte
le forze che mettono in moto la natura, e tutte le posizioni di tutti gli oggetti di cui la natura è
composta, se questo intelletto fosse inoltre sufficientemente ampio da sottoporre questi dati ad analisi,
esso racchiuderebbe in un’unica formula i movimenti dei corpi più grandi dell’universo e quelli degli
atomi più piccoli; per un tale intelletto nulla sarebbe incerto ed il futuro proprio come il passato sarebbe
evidente davanti ai suoi occhi”. Quindi gli scienziati credevano che, al di là della difficoltà pratica che
può avere un intelletto comune e non straordinario nel conoscere lo stato di tutti gli oggetti
dell’universo, se in linea di principio fosse possibile conoscerlo, allora questo intelletto conoscerebbe
esattamente non solo il passato ma anche il futuro. Perché le leggi della fisica sono deterministiche
e quindi la conoscenza dello stato presente ci consente di definire esattamente qual è il passato e
qual è il futuro.
Questo esprime in un modo molto efficace l’idea di determinismo che avevano gli scienziati appunto nel 1800.
Questa è un’altra citazione, una frase di Michelson del 1903.“Le leggi e i fatti fondamentali delle scienze
fisiche sono stati tutti scoperti..” (quindi, diciamo, una frase molto molto drastica e molto precisa) “..e sono
ora così fermamente stabiliti che la possibilità che vengano soppiantati in conseguenza di nuove scoperte è
estremamente remota ”. Quindi è assolutamente improbabile che succeda qualcosa che ci possa in
qualche modo sorprendere, abbiamo capito tutto, non succederà più niente. Lo dice proprio lui, che è
stato uno dei due autori di un esperimento che è stato rivoluzionario per lo sviluppo della fisica.
Queste citazioni danno un po’ l’idea di cosa pensavano gli scienziati sulla scienza. Si pensava di aver capito
tutto. È in questo contesto che cominciano a venire fuori una serie di osservazioni che invece sono
destinate a cambiare sia la scienza sia il modo di pensare degli scienziati, che hanno mostrato che non si era
capito tutto. In particolare, tutto il mondo microscopico era ancora da capire.
CERTEZZE E DUBBI ALLA FINE DEL XIX SECOLO
I successi teorici della fisica alla fine dell’Ottocento
- 1810-1820: la luce viene riconosciuta e descritta quantitativamente come fenomeno
ondulatorio ( Young e Fresnel).
- 1820-1830: a partire dall’esperimento di Oersted e tramite le ricerche di Ampere e Faraday
viene fondato l’elettromagnetismo.
- Prima metà dell’Ottocento: si sviluppa la termodinamica ( Carnot e Klepeyron) rapporto tra
calore e produzione di lavoro.
- Anni Quaranta: viene enunciato il principio di conservazione dell’energia ( Mayer,
Joule,Helmoltz) valido per qualunque sistema fisico isolato.
- 1850-1870: il concetto di calore trova una sua interpretazione definitiva nell’ambito di una
descrizione corpuscolare e statistica ( Clausius, Boltzmann, Maxwell).
- Anni Settanta: tutte le leggi sui fenomeni elettrici e magnetici vengono inquadrate nello
schema delle equazioni di Maxwell e nel modello di “Campo”; la luce viene identificata come
radiazione elettromagnetica e quindi l’Ottica viene inglobata nell’elettromagnetismo.
- Fine degli anni Ottanta: Hertz ottiene per la prima volta onde elettromagnetiche da un
circuito oscillante.

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- 1895-1896: Röntgen scoprì i raggi X e le emissioni radioattive.
- 1897: J. Thomson conferma, con magistrali esperimenti, la natura corpuscolare dell’elettrone
aprendo la strada all’interpretazione classica della conduzione elettrica.
( ripassare Millikan e Thomson )
Tutta questa serie di successi non rimane legata all’ambito teorico della conoscenza “pura” ma trova
sempre più significative applicazioni nel campo tecnologico e industriale: sviluppo della macchina a
vapore, applicazioni industriali dell’elettrochimica, il telegrafo e il telefono, la corrente elettrica per
l’alimentazione dei motori elettrici e per l’illuminazione, le prime comunicazioni mediante radiazioni
elettromagnetiche realizzate da Marconi. In questo trionfo di certezze vi erano alcune contraddizioni
riconducibili ai cinque problemi seguenti:
1. Discontinuità degli spettri di emissione e di assorbimento
Quando si analizza la radiazione emessa o assorbita dai vari stati della materia, si osservano ben precisi
comportamenti che caratterizzano lo spettro della sostanza oggetto di studio.
1. Spettri continui: si passa, senza interruzione della continuità, da una frequenza all’altra come avviene,
se si tratta di una emissione di luce, quando la luce emessa dal Sole dà luogo all’arcobaleno Limitandosi
alle emissioni di frequenze corrispondenti alla luce, emettono luce dotata di spettro continuo, i solidi, i
liquidi, gli aeriformi densi e, in una parola, il corpo nero.
2. Spettri discreti: le varie frequenze dello spettro si presentano come righe separate e colorate a
seconda della frequenza alla quale corrispondono (righe spettrali). Sono emessi da gas rarefatti resi
incandescenti o posti in un tubo a cui è applicata una d.d.p. (spettro di emissione) o da gas rarefatti
freddi esposti a sorgente luminosa continua (spettro di assorbimento)
In un gas monoatomico, gli spettri a righe sono un fenomeno caratteristico del singolo atomo La
lunghezza d’onda delle righe di emissione coincide con la lunghezza d’onda delle righe di assorbimento
Gli spettri a righe sono quindi una caratteristica tipica di ogni elemento chimico.

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Qual era la causa di questa discontinuità spettrale che contrastava così apertamente con la struttura
degli spettri di emissione dei corpi solidi incandescenti, apparentemente continui?
2. Calore specifico dei solidi
Le prime misure di calore specifico di solidi (1819) portarono Dulong e Petit a postulare che tutti i
materiali hanno calore specifico costante. Quando furono però compiute (tardo 800) misure del calore
specifico a temperature più basse della temperatura ambiente ci si accorse che CV tendeva a diminuire,
fino a raggiungere valori nulli a temperature basse. Sembrava dunque paradossale che andando a
temperature dove l’ approssimazione armonica dei solidi doveva funzionare meglio, la predizione
classica diveniva sempre più inesatta.
La fisica classica non è in grado di spiegare e giustificare il calore specifico nei solidi
3. Effetto fotoelettrico
Verso la fine del XIX secolo molti fisici avevano osservato che, investendo con radiazione ultravioletta o
con radiazione X la superficie di sostanze solide, in particolare metalliche, queste si caricavano
elettricamente.
Dopo l’individuazione dell’elettrone, ci si rese conto che dai corpi solidi investiti dalla radiazione
venivano espulse proprio queste particelle cariche e ciò avveniva con modalità non interpretabili
mediante i concetti classici di energia della radiazione e di struttura della materia.
https://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/template.php?s=opt_fotoefekt&l=it
4. Radiazione del corpo nero
La tipologia della radiazione emessa dai corpi riscaldati era stata oggetto di ricerche dagli anni Cinquanta
del XIX secolo, ma solo verso la fine di quel secolo una serie di misure delle frequenze emesse da un
particolare modello fisico dei corpi incandescenti ( detto corpo nero) evidenziò l’inadeguatezza delle
interpretazioni classiche. Lo studio dell’emissione del corpo nero divenne il “ problema del corpo nero”.
Un corpo nero è un contenitore chiuso, ma in equilibrio termico. Per esempio una scatola. Per
semplificare la trattazione successiva, si consideri una scatola metallica (così che la temperatura della
scatola si possa considerare uniforme e così che la radiazione interna sia schermata da quella esterna)
di forma cubica. All’ equilibrio termico, nella scatola sarà presente un campo elettromagnetico che
”scambia” energia con gli atomi del metallo a temperatura T. Un forellino nella scatola consente di
studiare la intensità e distribuzione in frequenza della radiazione contenuta nella scatola ( il forellino è il
corpo nero).
5. Il modello nucleare dell’atomo
Secondo il modello atomico di Rutherford (1911) gli elettroni sono dotati di moto circolare attorno al
nucleo con frequenza molto elevata e quindi possiedono accelerazione centripeta. Secondo la teoria
elettromagnetica dovrebbero irraggiare energia sotto forma di radiazione elettromagnetica. Dunque gli
elettroni dovrebbero perdere energia e collassare sul nucleo !!!
CORPO NERO-BLACKBODY
Qual è il problema del corpo nero?

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Tutti i corpi, se sufficientemente caldi irradiano una miscela di calore e luce la cui intensità e il cui colore
variano con la temperatura. La punta di un attizzatoio di ferro lasciata sul fuoco comincia ad emettere una
fioca luce rossastra; all’aumentare della temperatura diventa rosso ciliegia, poi di un intenso arancio
giallastro e infine bianco-azzurra. Se viene allontanato dal fuoco, l’attizzatoio si raffredda ripercorrendo a
ritroso questo spettro di colori finché non è caldo abbastanza per emettere luce visibile. Ma anche allora
continua ad emettere radiazione termica invisibile fino a quando non diventa abbastanza freddo da poterlo
toccare.
Nel 1800 l’astronomo Herschel pose un termometro a mercurio davanti a uno spettro e vide che spostandolo
attraverso le bande dei vari colori, dal violetto al rosso, la temperatura aumentava. Con sua grande sorpresa
continuò ad aumentare anche quando accidentalmente lasciò il termometro qualche centimetro oltre la
regione della luce rossa. Herschel aveva rivelato la radiazione infrarossa.
Nel 1801 Ritter scoprì quella ultravioletta.
Il fatto che tutti i corpi riscaldati alla stessa temperatura emettano luce dello stesso colore era ben noto ai
vasai prima del 1859, l’anno in cui il fisico tedesco Kirchhoff iniziò la sua indagine sulla correlazione tra la
temperatura e il colore ( frequenza della radiazione o lunghezza d’onda della stessa).
In generale quando una radiazione colpisce la superficie che separa due mezzi diversi, una parte dell’energia
incidente viene riflessa ed una parte penetra nel secondo mezzo: la proporzione tra le due frazioni dipende
dall’angolo di incidenza del fascio sulla superficie e dal suo grado di trasparenza.
D’altra parte, un corpo che si trovi ad una temperatura T emette radiazione elettromagnetica caratterizzata
da uno spettro di emissione; se avviciniamo la mano a un ferro caldo percepiamo calore. Tale calore è
l’irraggiamento cioè la radiazione elettromagnetica che il corpo emette per il fatto che viene riscaldato ad
una certa temperatura T.
L’energia raggiante viaggia alla velocità della luce e presenta una fenomenologia simile a quella delle
radiazioni luminose: la luce e l’irraggiamento differiscono infatti, secondo la teoria elettromagnetica, solo
per la lunghezza d’onda il cui campo, per le radiazioni visibili, è compreso fra 400 e 700 nm mentre per quelle
termiche è compreso tra 0,1 μm (100 nm) e 100 μm.
L’irraggiamento pertanto si occupa non dello studio di tutta la radiazione elettromagnetica ma solo dello
studio della radiazione termica cioè dell’energia elettromagnetica emessa dai corpi a causa della loro
temperatura.
La radiazione elettromagnetica emessa da un corpo per irraggiamento varia sensibilmente al variare della
temperatura del corpo, della lunghezza d'onda, del materiale costituente il corpo e del trattamento
superficiale di quest’ultimo. Ad esempio, a parità di lunghezza d'onda e di temperatura, una superficie di
ferro ossidato emette grosso modo quanto una superficie intonacata a calce; se il ferro è accuratamente
lucidato, la radiazione emessa diventa meno della decima parte. L’energia termica emessa da una superficie,
così come tutte le grandezze che entrano in gioco nell’irraggiamento termico, dipende dalla lunghezza
d’onda o dalla frequenza; per evidenziare questa dipendenza, tutte queste grandezze sono denotate con
l’aggettivo monocromatico o spettrale e si usa, in genere, il pedice λ o f.
Si introducono alcune grandezze:
1. potere assorbente. Il potere assorbente è indicato con la funzione 𝑨(𝒇, 𝑻) e dipende dalla
frequenza 𝑓 e dalla temperatura T. Tale funzione fornisce la frazione di energia che viene assorbita
da un corpo, rispetto a quella totale incidente, quando questo viene investito da una radiazione di
frequenza f e si trova in equilibrio termico alla temperatura T; esso può assumere un valore
compreso tra 0 (corpo perfettamente riflettente) e 1 (perfettamente assorbente).
2. Potere emissivo , si indica con 𝑬(𝒇, 𝑻) e fornisce l’energia irradiata per unità di tempo, per unità
di superficie, in un intervallo di frequenza 𝑑𝑓( analogamente 𝑬(𝝀, 𝑻) fornisce l’energia irradiata per
unità di tempo, per unità di superficie, in un intervallo 𝑑𝜆).

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3. Emissività. Il rapporto tra Il potere emissivo di un corpo qualsiasi e quello di un corpo nero alla stessa
temperatura è detto emissivita’ spettrale: e =
𝐸(𝑓,𝑇)
𝐸𝑏𝑏(𝑓,𝑇)
, 𝐸𝑏𝑏 potere emissivo del corp nero. Tale
rapporto, naturalmente, è una quantità compresa tra lo 0 e 1.
Il potere assorbente e il potere emissivo dipendono anche dalla natura e dalla forma della
superficie.
Kirchhoff aveva realizzato che il rapporto tra il potere emissivo e il potere assorbente di un corpo è una
funzione universale, cioè è la stessa per tutti i corpi.
𝐸(𝑓,𝑇)
𝐴(𝑓,𝑇)
= 𝜀(𝑓, 𝑇) dove 𝜀(𝑓, 𝑇) è la funzione universale ( legge di Kirchhoff-1860)
Ogni corpo è caratterizzato da un proprio potere emissivo e un proprio potere assorbente; il rapporto tra
queste due grandezze è lo stesso per tutti i corpi, non dipende né dal materiale di cui è fatto il corpo, né
dalla forma dell’oggetto in questione. Dipende soltanto dalla frequenza f e dalla temperatura T.
Per semplificare la propria analisi, Kirchhoff elaborò il concetto di assorbitore ed emettitore perfetto di
radiazione, chiamato corpo nero.
Per un corpo nero il potere assorbente è uguale ad 1, indipendentemente dalla frequenza e dalla
temperatura, pertanto la funzione universale coincide con il potere emissivo del corpo nero:
𝐸(𝑓, 𝑇) = 𝜀(𝑓, 𝑇)
Nel 1860 Kirchhoff scriveva: “È compito della massima importanza determinare la funzione 𝜀(𝑓, 𝑇). Grandi
difficoltà si frappongono alla sua determinazione sperimentale. Tuttavia non appare priva di fondamento la
speranza che essa abbia una forma semplice, come accade per tutte le funzioni finora note indipendenti
dalle proprietà dei singoli corpi”.
Problema di Kirchhoff : misurare la distribuzione spettrale dell’energia nella radiazione di corpo nero, ossia
la quantità di energia a ciascuna frequenza o lunghezza d’onda a una data temperatura e ricavare una
formula che riproduca la distribuzione a qualunque temperatura.
Osservazione
Se consideriamo lo spettro dell’emissione di un corpo qualsiasi, ad una certa temperatura T, si presenta
frastagliato, cioè per certi valori di lunghezza d’onda si presenta un picco di emissione di energia, mentre
per altri si hanno valori molto bassi di emissione.

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Presi due corpi differenti anche alla stessa temperatura T, possono presentare due spettri molto
differenti fra loro, come mostrato in figura 6 ( i due spettri sono rappresentati in rosso e blu ).
Kirchhoff concepì il suo corpo nero immaginario come una un recipiente cavo con un forellino in una delle
pareti.
La radiazione elettromagnetica entra nel contenitore e viene diffusa molte volte al suo interno, ed è molto
più probabile che alla fine venga assobita piuttosto che riesca ad uscire dallo stesso foro da cui è entrata. In
questo modo la radiazione che entra nella cavità scalda le pareti che riemettono radiazione
elettromagnetica: il corpo è un assorbitore totale.
Viceversa, mantenendo la cavità alla temperatura T, le cariche costituenti le pareti si muovono in virtù
dell’agitazione termica e così irraggiano onde elettromagnetiche che riempiono la cavità: in tal modo si
trasferisce energia dalle pareti al campo elettromagnetico. Le onde elettromagnetiche a loro volta,
muovendosi internamente alla cavità, urtano contro le pareti trasferendo energia dal campo alle pareti.
L’equilibrio è raggiunto quando, mediando su un elemento di parete, l’energia che tale elemento riceve è
uguale a quello che irraggia. Se in una parete della cavità viene praticato un foro piccolo rispetto alle
dimensioni della parete, il foro è detto corpo nero ed emette verso l’esterno la radiazione incidente sull’area
dS rimossa.
Studiare lo spettro in energia della radiazione elettromagnetica all’equilibrio emessa equivale a
studiare il comportamento del campo elettromagnetico all’equilibrio termodinamico ad una certa
temperatura T.
Purtroppo solo nel 1880, quando le compagnie elettriche tedesche cercarono di mettere a punto lampadine
più efficienti di quelli dei loro concorrenti americani e britannici, la misurazione dello spettro del corpo nero

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e l’identificazione dell’equazione divennero una priorità. Lo spettro del corpo nero sarebbe servito da
parametro di riferimento per la taratura e la produzione di una lampadina che emettesse il massimo
possibile di luce mantenendo minima la quantità di calore generata.
Le Cavità Isoterme
Figura 1.1: Esperimento di Corpo Nero di Lummer e Kurlbaum (1898).
L’idea che delle cavità isoterme potessero essere impiegate per lo studio della radiazione di Corpo Nero
fu confermata nel 1884 da Christiansen e relizzata nel 1895, sottoforma di apparati da laboratorio
costituiti da un cilindro di platino con un tubo in ceramica, per opera di Wien, Lummer e Kurlbaum. La
radiazione in ingresso viene assorbita (quasi totalmente) mentre la radiazione uscente da un piccolo foro
rappresenta un campione di quella prodotta dal raggiungimento dell’equilibrio termico con le pareti
interne. Ai giorni nostri, le cavità isoterme vengono utilizzate per i test e la calibrazione di sensori a
infrarossi in ambito industriale e per lo studio e la diffusione di quantità fotometriche dall’ultravioletto
fino all’infrarosso a scopi di ricerca. Gli strumenti più recenti raggiungono alti livelli di precisione in un
intervallo di temperature dai -170◦C fino a 3000◦C.
Di seguito sono riportate le curve sperimentali della densità di energia a diverse temperature rilevate da
Lummer e Pringsheim nel 1899. Sull’asse x si riportano le lunghezze d’onda della radiazione e sull’asse y la
densità di energia della radiazione contenuta nella cavità.
Per densità di energia si intende il valore dell’energia per unità di volume e per unità di lunghezza d’onda. (
i numeri esprimono la densità di energia nelle unità di misura utilizzate in quel periodo storico. )
Lo spettro di un corpo nero assume una particolare forma ad ogni valore di T e per un certo valore di f o di
𝜆 presenta un massimo:

8. 8
fig.2
Ciascuna di queste curve esprime il contributo delle varie frequenze o lunghezze d’onda al potere emissivo
totale ( detto anche emissività totale o radianza ); matematicamente il potere emissivo totale è
rappresentato dall’area sottesa da ogni curva (integrazione per f (o per λ ) da 0 a ∞). Poiché il potere emissivo
(o radianza)I dipende solo dalla temperatura assoluta, le curve corrispondenti a temperature più elevate
contengono quelle relative alle temperature inferiori. Si può osservare che la lunghezza d’onda
corrispondente al massimo di ciascuna curva diviene sempre più piccola all’aumentare della temperatura.
(fig.2)
Per studiare lo spettro di emissione del corpo nero occorre introdurre alcune grandezze:
1. Si definisce potere emissivo monocromatico la funzione 𝜺(𝒇, 𝑻); essa fornisce l’energia irradiata
per unità di tempo e per unità di superficie da un corpo nero alla temperatura T sotto forma di
radiazione di frequenza 𝑓( analogamente 𝜺(𝝀, 𝑻) fornisce l’energia irradiata per unità di tempo e
per unità di superficie da un corpo nero alla temperatura T sotto forma di radiazione di lunghezza
d’onda 𝜆)
Con il prodotto 𝜺(𝒇, 𝑻)𝒅𝒇 si indica l’energia emessa per unità di tempo e per unità di superficie come
radiazione di frequenza compresa tra 𝒇 e 𝒇 + 𝒅𝒇. Analogamente per 𝜀(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 .
2. Potere emissivo totale ( o integrale) ( o intensità di irraggiamento) è l’energia totale emessa da
un corpo nero a temperatura T per unità di tempo e per unità di superficie; si calcola mediante
l’integrale improprio ∫ 𝜀(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓
+∞
0
3. densità di energia monocromatica 𝒖(𝒇, 𝑻) relativa alla frequenza f l’energia per unità di volume
del campo e.m. all’interno della cavità di corpo nero alla temperatura T. Unità di misura J/(m3
s-1
)
4. densità totale di energia ∫ 𝑢(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓
+∞
0
Si dimostra che le grandezze 𝑢(𝑓, 𝑇) 𝑒 ε(𝑓, 𝑇) sono legate dalla relazione: 𝜀(𝑓, 𝑇)=
𝑐
4
𝑢(𝑓, 𝑇)
Analizzando i dati sperimentali ( fig.2 ) i fisici dedussero che:
a) a una determinata temperatura, lo spettro della radiazione emessa presenta un picco in
corrispondenza di una determinata lunghezza d’onda il cui valore dipende dalla temperatura.
b) La lunghezza d’onda corrispondente al picco diminuisce con l’aumentare della temperatura.
c) L’ energia emessa totale della radiazione della cavità aumenta con l’aumentare della temperatura.
https://phet.colorado.edu/sims/html/blackbody-spectrum/latest/blackbody-spectrum_it.html

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Le caratteristiche indicate nei punti b) e c) furono espresse nelle due leggi empiriche formulate tra il 1870 e
1880 :
- legge di Stephan-Boltzman
l’energia totale, relativa a tutto lo spettro della radiazione emessa nell’unità di tempo
dall’unità di superficie di un corpo nero alla temperatura T, è data dalla relazione seguente
I = 𝜎𝑇4
dove 𝜎 = 5,6703 ∙ 10−8 𝑊
𝑚2𝐾4
- legge di spostamento di Wien 𝜆𝑚𝑎𝑥𝑇 = 2,898 ∙ 10−3
𝑚𝐾 ( tale legge può essere espressa
anche in funzione della frequenza)
Tali leggi non risolvevano però il problema di descrivere la forma delle curve di figura 1; a tale scopo
occorreva, infatti, individuare una funzione che descrivesse l'intensità della radiazione emessa in funzione
della lunghezza d'onda λ( o frequenza f) e della temperatura T. Questa indagine teorica impegnò non pochi
fisici che operarono negli ultimi decenni dell'Ottocento.
I fisici britannici John William Strutt 3° barone di Rayleigh (1842 – 1919) James Hopwood Jeans (1877 – 1946)
proposero un modello microscopico secondo il quale le pareti della cavità (corpo nero) si dovevano pensare
come un insieme di cariche oscillanti, ciascuna con una frequenza propria, capaci di emettere e di assorbire
radiazioni di frequenza identica a quella della propria oscillazione.
In condizioni di equilibrio alla temperatura T, l’energia assorbita dagli oscillatori pareggia esattamente
l’energia emessa. Se 𝐸
̅ è l’energia media dell’oscillatore di frequenza 𝑓 alla temperatura T ed 𝑛 è il numero
di oscillatori, per il principio di equipartizione dell’energia, si ha che l’energia totale della radiazione emessa
è 𝑛𝐸
̅ .
Si dimostra che il numero degli oscillatori di frequenza compresa tra 𝑓 e 𝑓 + 𝑑 𝑓 , presenti all’interno della
cavità per unità di volume è
8𝜋
𝑐3 𝑓2
𝑑𝑓 .Associando ogni onda stazionaria della cavità a un oscillatore armonico
unidimensionale, dotato di due gradi di libertà ( assorbe energia sotto forma di energia potenziale elastica
e energia cinetica), l’energia media di ogni oscillatore risultava essere uguale a 𝑘𝐵𝑇 (𝑘𝐵 costante di
Boltzmann). Con questo ragionamento i fisici Lord Rayleigh e James Jeans ricavarono l’espressione ,
𝑢(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓 =
8𝜋
𝑐3
𝑘𝐵𝑇𝑓2
𝑑𝑓
Questa espressione è detta formula di Rayleigh-Jeans e rappresenta lo spettro di frequenza della radiazione
contenuta nella cavità; il potere assorbente associato è dato da
𝜀(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓 =
2𝜋
𝑐2
𝑘𝐵𝑇𝑓2
𝑑𝑓
Mediante le sostituzioni 𝑓 ⟶
𝑐
𝜆
𝑑𝑓 ⟶
𝑐
𝜆2 𝑑𝜆 ( a meno del segno) si ottengono le due espressioni:
𝑢(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
8𝜋
𝜆4 𝑘𝐵𝑇𝑑𝜆 𝜀(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
2𝜋
𝜆4 𝑐 𝑘𝐵𝑇𝑑𝜆
( vedi libro di testo-vol.3- angolo matematico pg 213)

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Il confronto con i dati sperimentali mostra che la legge di Rayleigh-Jeans è una buona approssimazione dello
spettro di emissione del corpo nero solo per grandi lunghezze d’onda (ovvero basse frequenze) ma è in
completo disaccordo per i valori corrispondenti a piccole lunghezze d’onda. La legge di Rayleigh conduce a
un risultato assurdo: l’energia irraggiata da un corpo nero risulterebbe infinita in quanto la funzione
𝜀(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
2𝜋
𝜆4 𝑐 𝑘𝐵𝑇𝑑𝜆 diverge per 𝜆 → 0. Poiché il disaccordo tra la curva teorica e quella sperimentale si
accentuava quanto più ci su avvicinava all’ultravioletto, questo comportamento venne chiamato
CATASTROFE ULTRAVIOLETTA.
Plack nel tentativo di formulare una legge in accordo con i dati sperimentali, propose una teoria
rivoluzionaria che egli stesso faticò ad accettare. Trovò una legge che correlava energia, lunghezza d’onda e
temperatura.
Le due ipotesi fondamentali introdotte da Planck sono:
- un oscillatore può possedere solo energia multipla intera di una quantità minima finita:
𝐸 = 𝑛ℎ𝑓, dove h è la costante di proporzionalità e 𝑛 = 1,2,3 …
- gli oscillatori non emettono energia con continuità ma soltanto per “pacchetti”, cioè in
quantità finite: ∆𝐸 = ℎ𝑓
Ognuno di questi pacchetti fu chiamato quanto di energia dal termine latino quantum.
Quindi l’energia non è distribuita con continuità ma è quantizzata; l’energia di ogni oscillatore può essere
solo un multiplo esatto di una quantità fissata, dipendente dalla frequenza. Inoltre, un oscillatore può
emettere energia in quanti solo se è in stato eccitato.
Il postulato di Planck “dissuade” l’energia dallo sconfinare nelle regioni delle frequenze alte dello spettro o
delle basse lunghezze d’onda. Sotto queste ipotesi Planck ricavò l’energia media di un oscillatore e, di
conseguenza, l’espressione della funzione detta legge di radiazione di Planck
𝑢(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓 =
8𝜋
𝑐3
𝑓3
𝑒
ℎ𝑓
𝐾𝐵𝑇 − 1
𝑑𝑓
Il potere assorbente associato è dato da
𝜀(𝑓, 𝑇)𝑑𝑓 =
2𝜋𝑓ℎ3
𝑐2
𝑑𝑓
𝑒
ℎ𝑓
𝐾𝐵𝑇 − 1
Mediante le sostituzioni 𝑓 ⟶
𝑐
𝜆
𝑑𝑓 ⟶
𝑐
𝜆2 𝑑𝜆 ( a meno del segno) si ottengono le due espressioni:
𝑢(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
8𝜋ℎ𝑐
𝜆5
𝑑𝜆
𝑒
ℎ𝑐
𝐾𝐵𝑇𝜆−1
𝜀(𝜆, 𝑇)𝑑𝜆 =
2𝜋ℎ
𝜆5
𝑐2
𝑒
ℎ𝑐
𝐾𝐵𝑇𝜆−1
.