1. MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY Chương VI GV THỰC HIỆN : ÐỖ TRẦN MINH VŨ BỘ MÔN : TOÁN
2. Phát biểu định lý trung tuyến trong tam giác ? A B M C Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định là gì? AM 2 = AB 2 +AC 2 BC 2 2 4
3. BÀI 1: MẶT CẦU 1/. ĐỊNH NGHĨA Cho một điểm O cố định và một số thực dương R . Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R . Ký hiệu : S ( O ; R ) hay viết tắt là ( S ) Như vậy ta có : S ( O ; R ) = { M / OM = R } . O M R
4. A 3 A 2 A 1 B O Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S ( O ; R ) Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S ( O ; R ) Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S ( O ; R )
5. 2/ Bán kính , đường kính của mặt cầu : A B O * Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S ( O ; R ) thì đoạn thẳng OA được gọi là bán kính mặt cầu ( S ). * B đối xứng với A qua tâm O thì AB được gọi là đường kính của mặt cầu ( S ). Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k 2 . Ví dụ 1:
6. A B O M Giải : Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB , với M bất kỳ ta có : OM 2 = MA 2 + MB 2 AB 2 2 4 = k 2 2 AB 2 4 * Nếu k 2 2 AB 2 4 > thì đặt Ta có : { M / MA 2 + MB 2 = k 2 } = { M / OM = R }= S ( O ; R ). Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán kính { M / MA 2 + MB 2 = k 2 }= ??? 2 AB 2 4 k 2 R= 2 AB 2 4 k 2 R=
7. k 2 2 AB 2 4 = thì OM = 0 hay M 0 Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O . * Nếu thì quỹ tích là tập rỗng . * Nếu k 2 2 AB 2 4 <
8. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại B , DA ( ABC ) a / Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A , B , C , D b / Cho AB = 3 a , BC = 4 a , AD = 5 a . Tính bán kính mặt cầu nói trên . D A B C Giải : a / Ta có : DA ( ABC ) DA BC Lại có : AB BC nên BC DB . Suy ra : DAC = DBC = 90 0 Vậy A , B , C , D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC I b/ R = 5a 2 2 A D B C O
9.
10.
11. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG I . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và mp ( P ) bất kỳ . Gọi H = hc O / mp ( P ) Khi đó OH = d O , mp ( P ) H R Ta xét các trường hợp sau : Khi đó mọi điểm M ( P ) thì OM > OH . Vậy mọi điểm của ( P ) đều nằm ngoài mặt cầu ( S ) Vậy ( S ) ( P ) = M Nếu OH > R : P O
12. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG I . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và mp ( P ) bất kỳ . Gọi H = hc O / mp ( P ) Khi đó OH = d O , mp ( P ) H R Ta xét các trường hợp sau : Khi đó điểm H ( S ). M ( P ), M H . thì OM > OH = R . Vậy ( S ) ( P ) = H M Điểm H gọi là tiếp điểm của ( S ) và ( P ) Mặt phẳng ( P ) gọi là tiếp diện của mặt cầu ( S ) P Nếu OH = R : O
13. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG H R Khi đó mp ( P ) sẽ cắt mặt cầu ( S ) theo một đ tròn C ( H , r ) với r = R 2 – d 2 I . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và mp ( P ) bất kỳ . Gọi H = hc O / mp ( P ) Khi đó OH = d O , mp ( P ) Ta xét các trường hợp sau : M Khi d =0 thì ( S ) ( P ) = C ( O ; R ) C ( O ; R ) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S ( O ; R ). Vậy ( S ) ( P ) = C ( H , r ) P Nếu OH < R : O
14. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG R II . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và đường thẳng ( d ) bất kỳ . Gọi H = hc O /( d ) Khi đó OH = d O , ( d ) Ta xét các trường hợp sau : Vậy d ( S ) = P Nếu d > R : (C) H d Nếu d không đi qua O thì : ( O , d ) (S)= C(O;R) Khi đó : d (C)= Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2 điểm A , B với AB là đường kính của mặt cầu O
15. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG II . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và đường thẳng ( d ) bất kỳ . Gọi H = hc O /( d ) Khi đó OH = d O , ( d ) Ta xét các trường hợp sau : Vậy d ( S ) = { H } P Nếu d = R : (C) H d Nếu d không đi qua O thì : ( O , d ) (S)= C(O;R) Khi đó : d (C) = {H} Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu S ( O ; R ) tại điểm H , điểm H gọi là tiếp điểm của d và ( S ) Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của mặt cầu ( S ) O
16. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG II . Vị trí tương đối của một mặt cầu và một đường thẳng : Cho một mặt cầu S ( O ; R ) và đường thẳng ( d ) bất kỳ . Gọi H = hc O /( d ) Khi đó OH = d O , ( d ) Ta xét các trường hợp sau : Vậy d cắt ( S ) tại 2 điểm P Nếu d < R : (C) H d Nếu d không đi qua O thì : ( O , d ) (S)= C(O;R) Khi đó : d cắt (C) tại 2 điểm O
17. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG III . Các tính chất của tiếp tuyến : Định lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S ( O ; R ) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu ( S ). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của ( S ) tại điểm A . P a A O
18. Bài 2 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG O III . Các tính chất của tiếp tuyến : Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S ( O ; R ) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu ( S ). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau . A M M’ (C) p
19. Ví dụ : Cho mặt cầu S ( O ; a ) và một điểm A , biết OA = 2 a , qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc ( S ) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt ( S ) tại C và D , biết CD = a 3 . a / Tính AB . b / Tính d ( O , CD ) O A B D H C Đáp số : b / d ( O , CD ) = a/ AB = a 3 a 2
