1. Mata Kuliah
: Kalkulus II
Program Studi
: Pendidikan Matematika
Dosen Pengampu : Isna Farahsanti, S.Pd.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA
SUKOHARJO
2011
2. INTEGRAL TAK TENTU
A. Pengertian Integral
Secara matematis, istilah integral adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau
diferensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers
dari diferensial atau pendiferensialan. Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah
yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, dan beberapa aplikasi lainnya.
Lambang ʃ menyatakan opersai integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman
bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).
B.Pengertian Integral Tak Tentu
Pada kalkulus diferensial telah dibicarakan cara-cara menentukan fungsi turunan, misalnya suatu
fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka 𝐹 ′ (𝑥) =
Misal :
F(x) = x2,
F(x) = x2 – 5,
F(x) = x2 + 10,
F(x) = x2 + c,
𝑑 𝐹(𝑥)
𝑑 (𝑥)
.
maka f(x) = 2x
maka f(x) = 2x
maka f(x) = 2x
maka f(x) = 2x, (c = konstanta)
Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang
diberikan. Integral tak tentu dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (dibaca “integral dari f(x) terhadap x”)
adalah fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan :
𝒇 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪
dengan : F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F’(x) = f(x),
f(x) dinamakan fungsi integran,
c adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang).
Dari contoh di atas, dapat ditulis :
2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶
C.Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral
umumnya dan c adalah konstanta real, maka :
1. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
2.
𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶
3.
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥
4.
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
1
3. 5. Dalam kasus 𝑛 ≠ −1, maka :
1
a.
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
b.
𝑘 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1 + 𝐶
𝑛 +1
𝑘
𝑛 +1
𝑥 𝑛+1 + 𝐶
6. Dalam kasus n = -1, maka :
1
a.
𝑥
𝑘
b.
𝑥
= ln 𝑥 + 𝐶
= 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶
Contoh :
1.
2.
5
5
5𝑥 2 𝑑𝑥 = 2+1 𝑥 2+1 + 𝑐 = 3 𝑥 3 + 𝐶
1
𝑑𝑥 =
𝑥3
1
1
𝑥 −3 𝑑𝑥 = −2 𝑥 −2 + 𝐶 = − 2𝑥 2 + 𝐶
Soal : (kerjakan)
Carilah integral berikut ini!
1.
2.
3.
4
𝑥 3 𝑑𝑥
3
3
4
𝑥
𝑥2
6.
4𝑥 5 +𝑥 3 −2
𝑥
dx
7. 5𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
11.
2𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 5 𝑦 3 𝑑𝑥
12.
𝜋𝑝5 𝑟 + 5𝑝𝑞 6 𝑟 3 − 12𝑝4 𝑞 𝑑𝑟
1
8. (𝑥 − 𝑥 )2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
4.
5𝑥 3 +
𝑥 𝑑𝑥
9.
5.
(8𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 𝑥 + 5) 𝑑𝑥
10.
1
𝑥(𝑥 + 5)2 𝑑𝑥
(2−𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥
D.Aplikasi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Menentukan Fungsi F(x), jika F’(x) dan F(a) Diketahui
Jika F(x) dan F(a) diketahui (a konstanta real), maka konstanta c pada hasil pengintegralan
mempunyai nilai tertentu. Sebagai akibatnya diperoleh fungsi F(x) tertentu pula. Nilai x = a
dinamakan sebagai syarat awal atau syarat batas bagi F(x).
Contoh :
Jika diketahui F’(x) = 2x + 3 dan F(1) = 14, tentukan F (x) !
Jawab :
F’(x) = 2x + 3
F(x) = 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶
F(1) = 14 ↔ (1)2 + 3(1) + C = 14
4 + C = 14
C = 10
2
∴ F(x) = 𝑥 + 3𝑥 + 10
2
4. Soal : (kerjakan)
Tentukan F(x), jika diketahui :
1
1. F’(x) = 3 −
1
dan F(2) = 3 2
𝑥2
2. F’(x) = 6x2 + 2x dan F(1) = -3
1
3. F’(x) = 𝑥 −
4. F’(x) =
1
dan F(2) = 42
𝑥2
𝑥 dan F(0) = 0
5. F”(x) = 6x – 6, F’(2) = 0, dan F(2) = -4
Menentukan Persamaan Kurva y = f(x) jika Diketahui
𝒅𝒚
𝒅𝒙
dan Sebuah Titik
pada Kurva.
Salah satu penerapan integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva y = F(x)
𝑑𝑦
apabila diketahui
𝑑𝑥
dan sebuah titik yang terletak pada kurva tersebut.
Contoh :
Gradien garis singgung dari suatu kurva y = F(x) memenuhi hubungan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=1−
4
𝑥2
. Tentukanlah
persamaan kurva tersebut jika kurva melalui titik (2, 5)!
Jawab :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
= 𝑦′ = 1 −
𝑥2
↔ 𝑦= 𝐹 𝑥 =
1−
𝑦 = 𝑥 + 4𝑥
4
𝑥2
−1
𝑑𝑥
+ 𝐶
Melalui titik (2, 5) 5 = 2 + 4(2)-1 + C
5 =4+C
C=1
Jadi, persamaan kurva adalah 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 −1 + 1
Soal : (kerjakan)
Tentukan persamaan kurva y = F(x) jika diketahui :
1. 𝑦 ′ = 6𝑥 2 − 2𝑥 dan kurva melalui titik (1,4)
2. 𝑦 ′ = 2𝑥 −
3. 𝑦 ′ =
𝑥−
1
𝑥2
1
𝑥
dan kurva melalui titik (1, 5)
dan kurva melalui titik (1, -2)
4. 𝑦" = 6(𝑥 − 2), gradien garis singgung di titik x = 2 adalah -12, dan kurva melalui titik (2, -16)
3
5. E. Teorema (Aturan Pangkat yang Digeneralisasi)
Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r adalah suatu bilangan rasional yang
bukan -1, maka
𝒈 𝒙 𝒓+𝟏
𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =
+ 𝑪
𝒓+ 𝟏
𝒓
𝒈 𝒙
′
Cara penulisan Leibniz :
Jika ditentukan 𝑢 = 𝑔 𝑥 →
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑔′ (𝑥)
Jadi 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
Sehingga integral di atas dapat ditulis sebagai :
𝑢 𝑟+1
𝑢 𝑑𝑢 =
+ 𝐶 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 ≠ −1
𝑟+1
𝑟
Contoh :
𝑥 3 + 2𝑥
Hitunglah
25
3𝑥 2 + 2 𝑑𝑥.
Solusi :
Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥; maka 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2 + 2. Jadi, menurut Teorema :
𝑥 3 + 2𝑥
25
3𝑥 2 + 2 𝑑𝑥 =
25
𝑔 𝑥
𝑔 𝑥
=
26
𝑔′ (𝑥)
26
𝑥 3 + 2𝑥
=
26
+ 𝐶
26
+ 𝐶
Soal : (kerjakan)
Hitunglah!
1.
𝑥 3 + 6𝑥
2.
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
3.
𝑥2 + 4
4.
5𝑥 3 − 18 7 15𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥3
5
15
6𝑥 2 + 12 𝑑𝑥
2
2𝑥 − 3 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥
+ 3 )2 𝑥 2 𝑑𝑥
5.
(
6.
3𝑥 3𝑥 2 + 7 𝑑𝑥
7.
5𝑥 2 + 1 (5𝑥 3 + 3𝑥 − 8)6 𝑑𝑥
8.
5𝑥 2 + 1
2
5𝑥 3 + 3𝑥 − 2 𝑑𝑥
4
6. F. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
Pengetahuan prasyarat yang harus dimiliki sebelum kita menguraikan tentang integral fungsi
trigonometri adalah turunan fungsi trigonometri.
Sekarang perhatikan turunan dari fungsi-fungsi trigonometri berikut!
No
f(x)
f’(x)
No
f(x)
f’(x)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
sin 𝑥
cos 𝑥
tan 𝑥
sin 𝑎𝑥
cos 𝑎𝑥
tan 𝑎𝑥
sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
tan(𝑎𝑥 + 𝑏)
cos 𝑥
− sin 𝑥
sec 2 𝑥
𝑎 cos 𝑎𝑥
−𝑎 sin 𝑎𝑥
𝑎 sec 2 𝑥
𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
−𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎 sec 2 (𝑎𝑥 + 𝑏)
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
cot 𝑥
sec 𝑥
cosec 𝑥
cot 𝑎𝑥
sec 𝑎𝑥
cosec 𝑎𝑥
cot (𝑎𝑥 + 𝑏)
sec(𝑎𝑥 + 𝑏)
cosec(𝑎𝑥 + 𝑏)
−cosec 2 𝑥
tan 𝑥 sec 𝑥
−cot 𝑥 cosec 𝑥
−𝑎 cosec 2 𝑎𝑥
𝑎 tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥
−𝑎 cot 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥
−𝑎 cosec 2 (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑎 tan(𝑎𝑥 + 𝑏) sec(𝑎𝑥 + 𝑏)
−𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec (𝑎𝑥 + 𝑏)
Dari tabel di atas, dapat ditentukan rumus-rumus dasar integral tak tentu fungsi trigonometri
sebagai berikut.
Tipe 1:
1.
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
4.
cosec 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
2.
sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
5.
tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
3.
sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
6.
cot 𝑥 cosec 𝑥 𝑑𝑥 = −cosec 𝑥 + 𝐶
4.
cosec 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝐶
5.
tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝑎𝑥 + 𝐶
6.
cot 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −
Tipe 2 :
1
1.
cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝐶
2.
sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cos 𝑎𝑥 + 𝐶
3.
sec 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑎𝑥 + 𝐶
1
1
1
1
1
𝑎
cosec 𝑎𝑥 + 𝐶
Tipe 3 :
1
1.
cos 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
2.
sin 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = − cos 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
1
𝑎
1
3.
sec 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
4.
cosec 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = − 𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
5.
tan 𝑎𝑥 + 𝑏 sec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
6.
cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = −
1
1
1
𝑎
cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶
5
7. Contoh :
1.
(𝑥 2 + sin 𝑥) 𝑑𝑥 =
2.
(cos 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑥 2 𝑑𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3 − cos 𝑥 + 𝐶
cos 𝑥 𝑑𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
Dalam pemgintegralan fungsi trigonometri seringkali digunakan rumus-rumus fungsi trigonometri
berikut.
Rumus Kebalikan, Perbandingan, dan Identitas Pythagoras
a. Rumus Kebalikan
1. sin 𝛼 × cosec 𝛼 = 1 ⟺ sin 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼
1
2. cos 𝛼 × cot 𝛼 = 1 ⟺ cos 𝛼 = sec
𝛼
1
𝛼
1
3. tan 𝛼 × cot 𝛼 = 1 ⟺ tan 𝛼 = cot
1
⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = sin
⟺ sec 𝛼 = cos
𝛼
1
𝛼
⟺ cot 𝛼 = tan
𝛼
b. Rumus Perbandingan
sin 𝛼
1. tan 𝛼 = cos
2. cot 𝛼 =
𝛼
cos 𝛼
sin 𝛼
c. Identitas Pythagoras
1. 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
2. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼
3. 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝛼
Rumus-Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Untuk setiap sudut 𝛼 sebarang, berlaku :
1
1. sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
3. sin2 𝛼 = 2 (1 − cos 2𝛼)
2. cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼
4. cos 2 𝛼 = 2 (1 + cos 2𝛼)
1
Rumus-Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Untuk setiap sudut 𝛼 dan 𝛽 sebarang, berlaku :
1. 2 sin 𝛼 cos 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin(𝛼 − 𝛽)
2. 2 cos 𝛼 sin 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin(𝛼 − 𝛽)
3. 2 cos 𝛼 cos 𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽
4. 2 sin 𝛼 sin 𝛽 = −cos 𝛼 + 𝛽 + cos(𝛼 − 𝛽)
6
8. Soal : (Kerjakan)
1.
2 sec 2 𝑥 𝑑𝑥
2.
cos 2𝑥 𝑑𝑥
3.
sin 4𝑥 − 2 𝑑𝑥
4.
(sin 𝑥 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥
5.
(sec 𝑥 tan 𝑥 − 5 sin 𝑥) 𝑑𝑥
6.
2 sec 2 𝑥 −
7.
cos 3𝑥 − 2 − 9 sin(2 − 3𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥
8.
(sin 𝑥 − cos 𝑥)2 𝑑𝑥
9.
sin2 𝑥 𝑑𝑥
10.
4 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
11.
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 2 𝑑𝑥
12.
2 sin 11𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥
13.
cos 4 𝑥 𝑑𝑥
14.
6 cos 8𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
15.
4 sin 3𝑥 sin 3𝑥 + 3
𝜋
𝑑𝑥
7
9. INTEGRAL TENTU
A. Pengertian Integral Tentu
Integral dengan batas-batas integrasi dinamakan integral tentu. Jika f(x) merupakan turunan dari
F(x), maka integral tentu dari f(x) menuju x pada interval [a, b] dinotasikan dengan
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
Nilai integral tentu tersebut dirumuskan dengan :
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Bentuk 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) ditulis dengan notasi khusus
𝐹(𝑥)
𝑏
𝑎
yamg dinamakan notasi kurung siku,
sehingga :
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)
𝑏
𝑎
= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Dengan a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas pengintegralan. Interval [a, b]
dinamakan wilayah pengintegralan.
B. Sifat-Sifat Integral Tentu
Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b] , dan k adalah
konstanta, maka :
𝑎
1.
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
2.
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −
3.
𝑏
𝑎
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
4.
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 =
5.
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐
𝑎
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑐
𝑏
𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, dengan a < c < b
6. a. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0
b. Jika 𝑓(𝑥) ≤ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka
𝑏
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0
Contoh :
3
2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥
3
1
= 18 − 4 = 14
1
8
