logique com

1. Chapitre 3:
Fonctions binaires
Faculté des Sciences Ben M’sik
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Electronique

2. Chapitre 3: Fonctions binaires
3.1 Rappels
 Les combinaisons binaires de n bits sont les
éléments de l’ensemble {0,1}n.
 Si on a n bits, il y a 2n combinaisons binaires
différentes.
a- Définition d’une fonction binaire
Une fonction binaire à n variables associe aux
combinaisons binaires de n bits la valeur 0 ou 1.
Les n bits s’appellent variables binaires.
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3. Chapitre 3: Fonctions binaires
Une fonction binaire est une application:
f : {0,1}n {0,1}
L'ensemble des fonctions binaires muni des opérations . et + est une
algèbre de Boole.
f.g (x) = f(x).g(x) ;
f+g (x) = f(x) + g(x) ;
On peut donc appliquer les axiomes et les théorèmes de l’algèbre de
Boole.
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4. Chapitre 3: Fonctions binaires
3.2 Représentation des fonctions binaires
Il y a plusieurs façons de représenter une fonction
binaire.
3.2.1 Table de vérité
Elle possède deux colonnes, une pour les
combinaisons binaires (entrées) et une pour la
fonction binaire (sortie). La table de vérité d’une
fonction à n variables possède 2n lignes.
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5. Chapitre 3: Fonctions binaires
Xj f(Xj)
i = 0 …
i = 1 …
… … X=(xn, …,x2,x1)
… …
i = 2n-2 …
i = 2n-1 …
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6. Chapitre 3: Fonctions binaires
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Exemple : y = y((x3, x2, x1)
j x3 x2 x1 y
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0

7. Chapitre 3: Fonctions binaires
3.2.2 Ensembles de combinaisons
Définitions
Un point nul d’une fonction f est une combinaison
Xi telle que f(Xi) = 0.
Un point non nul d’une fonction f est une
combinaison Xi telle que f(Xi) = 1.
Z(f) est l’ensemble des points nuls de f.
Z(f) = {...,Zi,...,Zk,...} ou Z f = Mi
U(f) est l’ensemble des points non nuls de f.
U(f) = {...,Ul,...,Um,...} ou U f = 𝑚𝑖
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8. Maxtèrme : est un terme formé par la somme de tous les variables ou leurs
compléments
Exemple: soit 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 : 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒,
𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 + 𝐶 𝑛𝑒 𝑙′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 .
mintèrme : est un terme produit formé par tous les variables ou leurs compléments
Exemple soit 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 : 𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒,
𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝐶 𝑛𝑒 𝑙′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠
Le terme 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝑀2 , le terme 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝑚5
𝒎𝒊 = 𝑴𝒊
8

9. Rang minterme Maxterme X3 X2 X1 y = g(X)
0 𝐌𝟎 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 0 0 0
1 𝐌𝟏 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 0 1 0
2 𝐌𝟐 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 0 1 0 0
3 𝐦𝟑 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 0 1 1 1
4 𝐌𝟒 = 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 1 0 0 0
5 𝐦𝟓 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 1 0 1 1
6 𝐦𝟔 = 𝐗𝟑 𝐗𝟐 𝐗𝟏 1 1 0 1
7 𝐌𝟕: 𝐗𝟑 + 𝐗𝟐 + 𝐗𝟏 1 1 1 0
𝑦 = 𝑚3 + 𝑚5 + 𝑚6 = 𝑚 3,5,6
𝑦 = 𝑀0 𝑀1 𝑀2 𝑀4 𝑀7 = 𝑀 0,1,2,4,7
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10. Chapitre 3: Fonctions binaires
Les indices de Zi et Ui représentent le code décimal des combinaisons
correspondantes.
Représentation
Pour représenter une fonction f, il suffit de spécifier U(f) ou Z(f).
Exemple
Pour y = g(X), on a :
Z(g) = {0,1,2,4,7} ;
U(g) = {3,5,6}
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11. Chapitre 3: Fonctions binaires
3.2.4 Expression booléenne
La fonction est décrite sous forme d’une expression
logique.
y = f(X) = E ; E: Expression booléenne
Exemple
y = f d, c, b, a = d + c a + d a b + a d
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12. Chapitre 3: Fonctions binaires
3.2.5 Tables de Karnaugh
On les appelle aussi tableaux de Karnaugh.
a- Construction des tables
1 variable: x1  21 = 2 possibilités = 2 cases
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x1
0 1

13. Chapitre 3: Fonctions binaires
2 variables: x2 x1  22 = 4 combinaisons = table à 4 cases
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x1
0 1
2 3
x2
x1
0 1
𝐦𝟎 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏 𝐦𝟏 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏
𝐦𝟑 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏
𝐦𝟎 = 𝐗𝟐 𝐗𝟏

14. Chapitre 3: Fonctions binaires
2 variables: x3 x2 x1  23 = 8 combinaisons  tableau à 8 cases
14/54
x2
0 1
x1
2
3
4 5 7 6
x3

15. Chapitre 3: Fonctions binaires
4 variables: x4 x3 x2 x1  24 = 16 combinaisons  tableau à 16 cases
15/54
X2
0 1 3 2
X3
4 5 7 6
12 13 15 14
X4
8 9 11 10
X1

16. 16

17. CDE
AB
000 001 011 010 110 111 101 100
0 0 0 1 3 2 6 7 5 4
0 1 8 9 11 10 14 15 13 12
1 1 24 25 27 26 30 31 29 28
1 0 16 17 19 18 22 23 21 20
C
D
E E
B
A
5 variables: A B C D E  25 = 32 combinaisons  tableau à 32 cases
17

18. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
Simplifier une fonction logique = circuits plus simples
Deux types de minimisation :
Niveau logique : simplifier la fonction logique.
Niveau électronique : réarranger le circuit pour réduire la
complexité et le coût
Complexité d’un circuit est directement reliée à la complexité de la
fonction logique. Utilisation de théorèmes : long et difficile pour des
fonctions de plusieurs variables Méthode très utilisée : diagrammes de
Karnaugh
18

19.  On rempli le diagramme à partir de la table de vérité
 On ajoute les 1 et 0 aux endroits appropriés, selon la fonction
 On simplifie en créant des rectangles ou carrés les plus gros
possibles ( à 2n cases )
Regroupement des 1 pour obtenir  forme somme de
produit.
Regroupement des 0 pour obtenir  forme des produit
de somme.
Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
19

20. 20
Règles de simplification pour les diagrammes de Karnaugh.
1) Si deux niveaux logiques “1” remplissant respectivement deux cases adjacentes, il y a
simplification possible. Dans ce cas, on élimine une variable.
2) Dans le diagramme, un “1” peut servir autant de fois que cela est nécessaire car X + X = X.
3) On rassemble les cases adjacentes contenant des 1 dans des boucles regroupant un nombre pair de
“1” égal à 2n (2, 4, 8, etc…). La variable qui prend les deux valeurs 0 et 1 dans le groupement
disparaît. Il ne reste que le produit des variables, qui gardent la même valeur.
Dans un groupement de deux termes on élimine donc la variable qui change d'état et on conserve le
produit des variables qui ne changent pas. Dans un groupement de quatre on élimine les deux
variables qui changent d'état. Dans un groupement de huit on élimine trois variables, etc…
Pour les cases isolées on ne peut éliminer aucune variable. On conserve donc le produit caractérisant
la case.
4) On cherche à avoir le minimum de groupements c-à-d le minimum de boucles. Chaque
groupement doit rassembler le maximum de “1”.
5) Les variables permettant d’identifier une boucle, sont réunies pour former un “ET” logique.
6) Les différentes boucles réalisées dans un diagramme, sont reliées entre elles par un “OU” logique.
L'expression logique finale est la réunion des groupements après élimination des variables qui
changent d'état.
7) Si on simplifie un diagramme en utilisant les “0”, on obtient le complément de la sortie désirée.

21. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
Exemple fonction à 2 variables: x2 x1  Simplifier les fonctions suivantes
données par leurs table de Karnaugh
X1
1 1
X2 0 0
X1
0 1
X2 0 1
X1
0 1
X2 1 1
X1
1 1
X2 1 0
X1
1 1
X2 1 1
X1
0 1
X2 1 0
X1
1 0
X2 0 1
21

22. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
B
1 1 0 1
A 0 0 0 1
C
Exemple fonction à 3 variables: A,B,C Simplifier les fonctions suivantes données par
leurs table de Karnaugh
B
1 1 0 1
A 1 0 0 1
C
B
1 0 0 1
A 0 0 0 1
C
B
1 1 0 1
A 1 1 0 1
C
22

23. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
B
1 1
A 1
C
B
1 1 1
A 1
C
B
1 1 1
A 1 1
C
B
1 1 1
A 1 1 1
C
23

24. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
B
1 1 1
A 1 1
C
B
1 1
A 1 1
C
B
1 1
A 1 1 1 1
C
B
1 1
A 1 1
C
24
B
1 1
A 1 1 1
C

25. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
C
1 1 1
B
1
1 1
A
1
D
C
1 1 1 1
B
1 1 1
A
1 1 1 1
D
Exemple fonction à 4 variables: A,B,C,D  Simplifier les fonctions suivantes données
par leurs table de Karnaugh
25

26. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
C
1 1 1
B
1 1
A
1 1 1 1
D
C
1 1
B
1 1
1 1
A
1 1
D
26
C
1 1 1
B
1 1
1 1 1 1
A
1 1 1 1
D

27. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
C
1 1
B
1 1
1
A
1 1
D
C
B
1 1
1 1 1
A
1 1 1
D
27

28. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
C
1 1 1 1
B
1
1 1 1 1
A
1 1
D
C
B
A
D
28

29. Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh
C
1
B
1 1 1
1 1 1
A
1
D
C
1 1
B
1 1
1
A
1 1 1 1
D
29

30. CDE
AB
000 001 011 010 110 111 101 100
0 0 0 1 3 2 6 7 5 4
0 1 8 9 11 10 14 15 13 12
1 1 24 25 27 26 30 31 29 28
1 0 16 17 19 18 22 23 21 20
C
D
E E
B
A
30
Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh

31. 0 1 3 2 6 7 5 4
8 9 11 10 14 15 13 12
24 25 27 26 30 31 29 28
16 17 19 18 22 23 21 20
C
D
E E
B
A
31
Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh

32. 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
C
D
E E
B
A
32
Minimisation de fonctions logiques par table de Karnaugh

33. 33
• En créant la table de vérité d'une fonction, on écrit 1 si la fonction est
vrai, puis on rempli de 0
• Qu'arrive-t-il si certaines combinaisons ne sont pas possibles ?
Ex : en DCB, 6 combinaisons ne sont pas utilisées (de 10 a 15)
• S'il n'y a pas d'impact sur la sortie, on est indifférent a cette combinaison
• On utilise alors un X (au lieu d'un 0 ou 1) dans la table de vérité
• C'est une condition indifférente
• Les mintermes ou maxtermes qui ont des conditions indifférenes sont
exprimées avec un d (ou X).
• Les conditions indifférentes permettent de faire des groupements plus gros dans
les diagrammes de Karnaugh
• Mais, pas nécessaire d'utiliser tous les X
• On utilise seulement ceux qui permettent des plus gros regroupements
fonction logique incomplètement définie

34. 34
Simplfier la fonction suivante : 𝐹 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 1,2,3,7,11,15 + 𝑋 0,5
Minimisation par la table de Karnaugh de fonctions logiques incomplètement définie
F Y
X 1 1 1
X
X 1
1
W
1
Z
Simplfier la fonction suivante : G 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 0,4, 10,14 + 𝑋 1,2,3,5,6,11,15
G Y
X X X
X
1 X X
X 1
W
X 1
Z

35. 35
Simplfier la fonction suivante : 𝐹 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 1,2,3,7,11,15 + 𝑋 0,5
Minimisation par la table de Karnaugh de fonctions logiques incomplètement définie
F Y
X 1 1 1
X
0 X 1 0
0 0 1 0
W
0 0 1 0
Z
Simplfier la fonction suivante : G 𝑊, 𝑋, 𝑌, 𝑍 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑍: 𝐿𝑆𝐵 = 𝑚 0,4, 10,14 + 𝑋 1,2,3,5,6,11,15
G Y
0 X X X
X
1 X 0 X
0 0 X 1
W
0 0 X 1
Z